Estymatory i testy statystyczne - zadania na kolokwium Zad. 1. Cecha X populacji ma rozkład N(µ, σ), gdzie µ jest znane, a σ nieznane. Niech X 1,...,X n będzie n-elementową próbą prostą pobraną z tej populacji. Dobrać liczbę k tak, aby zmienna losowa n V = k X i µ i=1 była estymatorem nieobciążonym parametru σ. Zad. 2. Wykazać, że estymator ˆλ 2 = 1 n 2n Xi 2 wariancji rozkładu wykładniczego i=1 jest estymatorem nieobciążonym. 1 f(x, λ) ={ λ exp ( x ) λ, x > 0, 0, x 0 Zad. 3. W zakładzie pracuje ogółem na trzech zmianach 2000 robotników. Wylosowano niezależną próbę 300 robotników pytając ich, czy występuje różnica między sprawnością wykonywania operacji roboczych w ciągu dwóch pierwszych i dwóch ostatnich godzin pracy na danej zmianie. Różnicę potwierdziło 210 robotników, natomiast 90 nie stwierdziło różnicy. Zakładając współczynnik ufności 1 α = 0, 9 zbudować przedział ufności pokrywający nieznaną frakcję (wskaźnik struktury) robotników populacji generalnej wykazujących różnicę w sprawności operacji roboczych w zależności od godzin pracy. Zad. 4. Ośrodek Badania Opinii Społecznej Uniwersytetu Gdańskiego przeprowadził w styczniu 1972 roku badanie budżetu czasu studentów studiów stacjonarnych. Z populacji liczącej 4783 studentów wylosowano 483, dla których otrzymano następujące wyniki: Rodzaj zajęcia Średnia liczba godz. w tyg. x Odchylenie standardowe s Nauka w domu 18,2 4,3 Nauka w czytelni 4,6 0,9 Radio i telewizja 6,8 1,8 Prasa i beletrystyka 3,9 0,9 Wizyty towarzyskie 5,9 1,2 Zakładając poziom ufności 1 α = 0, 90 zbudować przedziały ufności pokrywające średnie czasy wykonywania poszczególnych czynności dla wszystkich studentów uniwersytetu. Zakładamy, że rozkład czasu wykonywania poszczególnych czynności jest normalny. Zad. 5. W zakładzie wylosowano niezależną próbę 13 osób, dla których średnia pracochłonność przy obróbce pojedynczego półproduktu wynosiła 30 minut, a odchylenie standardowe (ŝ) 7 minut. Przyjmując poziomy ufności 1 α = 0, 95 i 1 α = 0, 90 zbudować przedział ufności pokrywający średnią pracochłonność dla wszystkich robotników. Zakładamy, że rozkład pracochłonności w populacji generalnej jest normalny. 1
Zad. 6. Z populacji mężczyzn przyjętych do wojska wylosowano niezależną próbę 20, których średni wzrost był równy 175 cm, a odchylenie standardowe (ŝ) wynosiło 4 cm. Przy założeniu poziomu ufności 1 α = 0, 90 wyznaczyć przedział ufności średniego wzrostu dla całej populacji, jeżeli zakłada się, że rozkład wzrostu w populacji jest normalny. Zad. 7. W zakładach produkujących chemikalia wylosowano z populacji 1800 robotników niezależną próbę 260 osób i przeprowadzono wśród nich ankietę na temat stanu BHP. 70% robotników oceniło warunki bezpieczeństwa i higieny pracy jako niezadowalające. Przyjmując poziom ufności 1 α = 0, 95 oszacować metodą przedziału ufności frakcję robotników niezadowolonych z istniejących warunków BHP. Zad. 8. W pewnym mieście wylosowano niezależną próbę 500 gospodarstw domowych, z których 400 posiadało odbiorniki telewizyjne. Zakładając poziom ufności 1 α =0, 95 oszacować przedział ufności pokrywający procent gospodarstw domowych posiadających odbiorniki telewizyjne. Zad. 9. W zakładach przemysłu spożywczego zatrudniających 6000 pracowników wylosowano niezależną próbę 200 kobiet, wśród których 120 posiadało wykształcenie zawodowe zasadnicze. Zakładając poziom ufności 0,99 ustalić przedział ufności obejmujący liczbę kobiet z wykształceniem zawodowym w całym zakładzie. Zad. 10. Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych gotowych elementów konstrukcji budowlanych i otrzymano następujące wyniki (w MPa): 383, 284, 339, 340, 305, 386, 378, 335, 344, 346. Zakładając, że rozkład wytrzymałości tych elementów jest rozkładem N(µ, σ) o nieznanych parametrach, wyznaczyć na podstawie tej próbki 95% realizację przedziału ufności dla nieznanej wartości przeciętnej µ badanej cechy populacji. Zad. 11. Jak liczną należy wylosować próbę z partii 1000 sztuk rur stalowych, aby oszacować średnią średnicę rur z błędem nie przekraczającym 1,2 mm, jeżeli z poprzednich pomiarów wiadomo, że wariancja wynosiła 2,8 mm 2. Przyjąć poziom ufności 1 α =0, 95 i 1 α =0, 99. Zad. 12. Ilu należy wylosować robotników w celu ustalenia średniej pracochłonności przy instalacji jednakowych urządzeń elektrycznych, jeżeli wiadomo z poprzedniego badania generalnego, że odchylenie standardowe wynosiło 26 minut i zakłada się błąd szacunku odpowiednio a) d =13min,b)d = 18 min oraz poziom ufności 0,95. Zad. 13. W celu ustalenia średnich wyników w nauce studentów trzeciego roku Wydziału Ekonomiki Produkcji Uniwersytetu Gdańskiego należało wylosować próbę, która byłaby podstawą do uogólnień. Na podstawie wstępnej próby pilotażowej (n 0 = 8) obliczono, że odchylenie standardowe (ŝ) wynosiło 0,7 stopnia. Zakładając poziom ufności 0,95 oraz błąd szacunku 0,4 stopnia obliczyć minimalną liczebność próby. 2
Zad. 14. Ustalić minimalną liczebność próby, jaką należy pobrać w celu w celu zbadania jakości bananów (frakcja bananów zepsutych), jeżeli zakłada się błąd szacunku równy 4,5% oraz poziom ufności 0,99. Zad. 15. Ile torebek kawy należy pobrać do próby w celu ustalenia średniej wagi (w celach kontrolnych) z błędem dopuszczalnym 0,4 dkg i poziomem ufności 0,99? Zakłada się, że wariancja wagi wynosi 1,2 (dkg) 2. Zad. 16. W zakładzie należy ustalić średni staż pracy pracowników produkcyjnych. Wylosowano próbę pilotażową, otrzymując następujące dane (staż w latach): 0,3; 1,9; 5,0; 2,4; 7,1; 3,0; 3,9; 4,6. Jak liczną należy pobrać próbę, jeżeli zakłada się dopuszczalny błąd szacunku średniej d =1, 2 lat, a poziom ufności 1 α =0, 99. Zad. 17. Z populacji, w której badana cecha ma rozkład N(µ, 4) wylosowano próbkę złożoną z 9 obserwacji. Na poziomie istotności α =0, 05 zweryfikować hipotezę H 0 : µ = 2 przy alternatywie H 1 : µ<2, jeśli średnia z próbki wynosi 1,4. Zad. 18. Robotnik napełnia puszki konserwowe filetami rybnymi. Według ustalonej normy waga napełnianej puszki powinna wynosić 18 g. Z poprzednio przeprowadzonego badania generalnego wiadomo, że odchylenie standardowe wagi puszek (σ) było równe 1,5 g. Wylosowano niezależną próbę 20 robotników, dla której średnia waga napełnianych puszek wynosiła 17,8 g. Przyjmując, że rozkład wagi napełnianych puszek jest rozkładem normalnym zweryfikować na poziomie istotności α =0, 05 hipotezę H 0, że średnia waga napełnianych puszek przez wszystkich robotników różni się nieistotnie od wagi przewidzianej normą. Zad. 19. Zakład L otrzymuje od zakładu N pręty stalowe, których długość powinna wynosić 1 m. Odbiorca L złożył reklamację, że dostarczane pręty są krótsze. Dostawca N w obecności odbiorcy L wylosował z dostarczonej partii próbę liczącą 10 prętów. Wyniki pomiarów były następujące (w cm): 97, 101, 100, 102, 96, 99, 101, 98, 99, 100. Czy można uznać reklamację odbiorcy L za słuszną? Do weryfikacji hipotezy przyjąć α = 0, 05. Zad. 20. Norma przewiduje, że waga produkowanego wyrobu powinna wynosić 70 g. Wysunięto przypuszczenie, że producent zawyża wagę wyrobów. W celu potwierdzenia przypuszczenia wylosowano 20 wyrobów, których średnia waga wynosiła 72 g. Wiadomo jednocześnie, że odchylenie standardowe σ = 1, 3 g. Zakładając, że rozkład wagi wyrobów jest normalny, zweryfikować hipotezę, że waga wyrobów według normy i waga faktyczna są równe, wobec hipotezy alternatywnej, że faktyczna waga wyrobów jest większa od zakładanej. Przyjąć α = 0, 10. Zad. 21. Otrzymano dostawę nasion w specjalnych torebkach, z których każda powinna ważyć 20 g. Wylosowano 9 torebek, których waga wynosiła (w gramach): 16,0; 19,8; 20,2; 20,0; 19,6; 20,1; 19,3; 20,4; 19,9. Na poziomie istotności α =0, 01 zweryfikować hipotezę H 0 : a = 20 g, wobec hipotezy alternatywnej H 1 : a<20 g. 3
Zad. 22. Badając w zakładzie przemysłowym absencję pracujących kobiet stwierdzono, że w wylosowanej próbie 100 pracownic tego zakładu, średni czas przebywania ich na zwolnieniach lekarskich wyniósł 38 dni, a odchylenie standardowe s = 16 dni. Czy można twierdzić, że średni roczny czas zwolnień lekarskich dla pracownic tego zakładu jest dłuższy niż miesiąc (31 dni)? Przyjąć poziom istotności α = 0, 01. Zad. 23. Wytrzymałość przędzy według normy powinna wynosić 170 g. Zgłoszono reklamację, że zakład dostarcza przędzę niezgodną z normą, a mianowicie mniej wytrzymałą. W celu rozstrzygnięcia sporu zbadano 80 odcinków przędzy, których średnia wytrzymałość była równa 162 g, a odchylenie standardowe wynosiło 20,1 g. Na poziomie istotności α = 0, 01 zweryfikować hipotezę, że różnica między średnią wytrzymałością a normą jest nieistotna, przy hipotezie alternatywnej, że średnia wytrzymałość przędzy jest mniejsza od zakładanej normą. Zad. 24. Zmierzono długości 198 włókien bawełny, a wyniki pomiarów zgrupowano: Nr klasy 1 2 3 4 5 6 7 Środek przedziału 8 13 18 23 28 33 38 Liczebność 4 9 18 70 75 19 3 Na poziomie istotności α = 0, 01 zweryfikować hipotezę, że średnia długość włókna dla całej badanej partii włókien jest równa 24. Zad. 25. Mając empiryczny rozkład liczby pracowników według czasu wykonywania określonej operacji aproksymowano rozkład normalny. Otrzymano następujące wyniki badania: Czas w min 10-15 15-20 20-25 25-30 30-35 35-40 40-45 45-50 50-55 55-60 Licz. faktyczna 1 6 9 15 19 20 14 10 4 2 Licz. teoret. 1 4 9 16 20 20 16 9 4 1 Testem zgodności χ 2 na poziomie istotności α =0, 10 zweryfikować hipotezę, że rozkład czasu wykonywania operacji roboczych jest normalny. Zad. 26. Z populacji, w której badana cecha ma nieznaną dystrybuantę F, pobrano próbkę o liczności 200. Otrzymen wyniki po podziale na 10 równych klas zawarto w tabeli. Na poziomie istotności α = 0, 05 zweryfikować hipotezę, że F jest dystrybuantą rozkładu jednostajnego na przedziale (45,50). Środki klas 45,25 45,75 46,25 46,75 47,25 47,75 48,25 48,75 49,25 49,75 n i 23 19 25 18 17 24 16 22 20 16 Zad. 27. Liczby ocen niedostatecznych uzyskanych na egzaminie z pewnego przedmiotu przez jednakowo liczne grupy studentów I roku Wydziału Włókienniczego Politechniki Łódzkiej były następujące: Grupa k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Liczba ocen ndst 7 9 14 6 2 11 7 8 5 4 9 3 6 4
Na poziomie istotności α =0, 05 testem χ 2 zweryfikować hipotezę, że prawdopodobieństwa występowania ocen niedostatecznych w tych grupach są jednakowe. Zad. 28. Zmierzono maksymalną pojemność 40 kondensatorów, uzyskując następujące wyniki (w pf): 55,1 67,3 54,6 52,2 58,4 50,4 70,1 55,3 57,6 62,5 65,2 68,4 54,5 56,7 53,5 61,6 59,6 49,0 63,7 58,1 56,7 57,8 63,6 69,2 60,8 62,9 54,3 61,0 58,2 64,3 57,4 39,3 59,0 60,1 60,7 59,9 70,5 57,2 61,8 46,0 testem Kołmogorowa zweryfikować hipotezę, że rozkład pojemności kondensatorów jest N(60; 2, 5). Zad. 29. Wykonano 15 pomiarów czasu likwidowania zrywów w przędzarce obrączkowej otrzymując (w s): 4,5 3,6 6,0 6,4 7,9 6,9 6,1 7,4 9,0 4,3 6,1 8,2 4,9 7,5 5,8. Zweryfikować testem Kołmogorowa na poziomie istotności 0,05, że czas likwidacji zrywu przędzy ma rozkład N(6, 3; 1, 5). Zad. 30. Wyznaczono liczby błędów przy korekcie 500-stronicowej książki i otrzymano: Liczba błędów 0 1 2 3 4 5 6 7 8 Liczba stron 67 139 134 90 44 15 6 4 1 Zweryfikować na poziomie istotności 0,05, że liczba błędów na stronicy ma rozkład Poissona. 5