ZESZYTY NAUKOWE INSTYTUTU POJAZDÓW 4(95)/2013 Aleksandra Waszczuk-Młyńska 1, Stanisław Radkowski 2 DRGANIA PŁYTY, MODEL ANALITYCZNY I JEGO WERYFIKACJA ZA POMOCĄ WIBROMETRU LASEROWEGO 1. Wstęp Problem drgań jest zjawiskiem często występującym w życiu codziennym. Oprócz częstotliwości z jaką drga dany obiekt, ważną rolę odgrywa identyfikacja postaci drgań. Dzięki tej wiedzy możemy wykrywać uszkodzenia w badanej strukturze lub sterować drganiami. Defekty na powierzchni mogą być wykrywane na podstawie porównania postaci drgań na przykład za pomocą analizy obrazu [1]. W poniższym artykule skupiono się nad wykorzystaniem wibrometru laserowego. Innym ważnym zagadnieniem jest aktywne sterowanie drganiami. Zagadnienia związane z tą tematyką można znaleźć w literaturze [2, 3, 4]. Również ważną rolę odgrywa znajomość postaci drgań, czyli położenia węzłów i strzałek (maksymalnych amplitud). Wiedząc jaki jest rozkład amplitud drgań powierzchni dla określonej częstotliwości, możliwe jest efektywnie ich tłumienie lub wzmocnienie wybrane postacie drgań. 2. Stanowisko badawcze Stanowisko do badań powstało w Zintegrowanym Środowiskowym Laboratorium Systemów Mechatronicznych Pojazdów i Maszyn Roboczych. Układ pomiarowy, składa się z: głowicy laserowej, skanującej powierzchnię wiązką lasera oraz jednostki sterująco-pomiarowej, która pozwala na analizowanie wyników. Obiektem badań była stalowa blacha podparta przegubowo z dwóch boków i mająca swobodne krawędzie z pozostałych stron (Rys. 1). Płyta była pobudzana do drgań za pomocą aktywatora piezoelektrycznego, przymocowanego do obiektu. 1 mgr inż. Aleksandra Waszczuk-Młyńska, doktorantka, Wydział Samochodów i Maszyn Roboczych Politechnika Warszawska 2 prof. dr hab. inż. Stanisław Radkowski, Dziekan Wydziału Samochodów i Maszyn Roboczych Politechnika Warszawska 169
Rys.1. Stanowisko do badań w Zintegrowanym Środowiskowym Laboratorium Systemów Mechatronicznych Pojazdów i Maszyn Roboczych 3. Model analityczny W tym rozdziale rozpatrywane będą drgania prostokątnej płyty o wymiarach a = 0,41 m, b = 0,34 m, h = 0,00095 m (Rys. 2). Zatem poszukiwane będzie rozwiązanie równania : (1) 170
Rys.2. Badany obiekt Po rozpisaniu laplasjanu otrzymuje się równanie (2) [5]. gdzie : (2) moduł Younga gęstość stali współczynnik Poissona Stosując metodę rozdzielenia zmiennych [5] wyrażenie podstawia się do równania (2). W efekcie zostaje uzyskany układ równań : gdzie :. Warunki brzegowe, które występują w badanym obiekcie są następujące: (3) (4) momentu zginającego zginającego brak przemieszczenia i brak siły tnącej i momentu Zgodnie z przyjętymi założeniami, funkcje własne w równaniu (4) mają postać: (5) gdzie : 171
Wartości te są wynikiem swobodnego podparcia [5], zaś dla warunków brzegowych o końcach swobodnych poszukiwane jest rozwiązanie równana (6), gdzie występują oprócz funkcji sinus i cosinus, funkcje hiperboliczne :,. Ostatecznie poszukiwane rozwiązanie przyjmuje postać : Po zróżniczkowaniu i podstawieniu warunków brzegowych końców swobodnych powstaje układ czterech równań: (6) (7) Z równań otrzymuje się macierz, której wyznacznik przyrównywany jest zera (8) i otrzymuje się równanie charakterystyczny. do (8) Stąd otrzymuje się równanie częstości rozpatrywanej płyty: (9) (10) Z dalszych obliczeń mamy zależności dla stałych A, B, C, D : (11) Podstawiając (11) do równania (6) otrzymuje się: (12) 172
(13) Przyjmując: Obliczając równanie różniczkowe (3) przy odpowiednich warunkach początkowych otrzymuje się rozwiązanie : Częstość drgań własnych badanej płyty wynosi: (14) (15) (16) Rozwiązanie końcowe otrzymuje formę : (17) (18) 4. Wibrometr laserowy Wibrometria laserowa jest nową techniką badań konstrukcji, która pozwala na przeprowadzenie bezdotykowych pomiarów drgań. Systemy, oferowane obecnie na rynku, umożliwiają skanowanie powierzchni całych elementów oraz rejestrowanie drgań w trzech kierunkach. Wibrometr laserowy jest to urządzenie wykorzystujące efekt Dopplera. Wewnątrz głowicy lasera znajduje się interferometr oraz układ soczewek. W głowicy następuje podzielenie wiązki na dwie składowe. Pierwsza, zwana wiązką referencyjną, kierowana jest bezpośrednio na fotodetektor i przechodzi po drodze przez tzw. celę Bragga i w wyniku efektu Dopplera jej częstotliwość zostaje przesunięta o 40 MHz. Dzięki temu jest możliwy pomiar stałej składowej oraz kierunku ruchu badanego obiektu. Druga część wiązki kierowana jest na badany obiekt, a po odbiciu od niego wraca z powrotem do głowicy padając następnie na fotodetektor (Rys. 3). Dzięki danym z wiązek referencyjnej i pomiarowej, generowany jest sygnał, który podlega dalszej analizie [6]. Wibrometr laserowy ma wiele zalet, nad innymi urządzeniami do pomiarów drgań, takimi jak np. akcelerometry. Wynika to z tego, że wibrometry mogą być skierowane na obiekty, które są trudno dostępne, zbyt małe lub mają bardzo wysoką temperaturę, aby 173
zamocować na nich klasyczny przetwornik. Ponadto, wibrometry zapewniają bezstykowy pomiar drgań co wiąże się z uniknięciem montowania dodatkowej masy na badanej strukturze, co jest szczególnie ważne dla urządzeń w systemach mikroelektromechanicznych MEMS. Dzięki wibrometrowi można dokonać analizy drgań konstrukcji zarówno w dziedzinie czasu, jak i częstotliwości. Dodatkową zaletą jest możliwości wizualizacji i analizowania zjawisk dynamicznych zachodzących w badanej konstrukcji. Rys. 3. Wykorzystanie zjawiska Dopplera w wibrometrze laserowym. [6] 5. Eksperyment badawczy Badanie zostało wykonane na stanowisku pokazanym na rysunku 1. Jednostka sterująco pomiarowa wibrometru, wykorzystując wbudowany generator sygnału, za pośrednictwem aktywatora piezoelektrycznego, pobudziła badaną płytę do drgań sygnałem białego szumu w zakresie częstotliwościowym 0-500 Hz realizując równoczesny pomiar odpowiedzi drganiowej głowicą laserową. W efekcie otrzymano wykres zależności amplitudy w funkcji częstotliwości (Rys. 4). Przedstawione na rysunku szczyty odpowiadają kolejnym postaciom drgań własnych płyty. 174
Rys. 4. Widmo uzyskane w wyniku doświadczenia 6. Porównanie modeli Rysunki od 5 do 8 przedstawiają przykładowe postacie drgań dla wybranych częstotliwości otrzymane z badań eksperymentalnych (strona lewa) i modelu opisanego równaniem (14) (strona prawa). Oznaczenia:, częstotliwość, gdzie d wynik uzyskany doświadczalnie, t wynik uzyskany analitycznie, m, n numery postaci drgań w kierunku odpowiednio x i y. Rys. 5. Częstotliwość Rys. 6. Częstotliwość =116,8Hz 175
Rys. 7. Częstotliwość Rys. 8. Częstotliwość Rysunki przedstawiające postać drgań płyty otrzymane z doświadczenia są wynikiem wizualizacji wyliczonej przez wibrometr laserowy, zaś teoretyczne rozkłady amplitud zostały wykonane w programie MATLAB. 7. Podsumowanie Wibrometr laserowy jest urządzeniem, które w istotny sposób może ułatwić prace inżynierskie związane z badaniem i analizą drgań. Rozwiązanie otrzymane z modelu teoretycznego i w wyniku eksperymentu są bardzo zbliżone, co potwierdza poprawność przyjętego modelu a zarazem wymaganą dokładność i rozdzielczość przestrzenną zastosowanej aparatury. Niewielka rozbieżność wyników może wynikać, między innymi, z nieznajomości dokładnej gęstości stali i modułu Younga, ponieważ wielkości te wpływają na sztywność blachy, a tym samym na jej zachowanie dynamiczne. Doświadczenie wykazało, że wibrometr może dużą rozdzielczością przestrzenną zarejestrować postacie drgań, co przedstawiono na rysunkach 5-8. Węzły postaci drgań, czyli miejsca przegięcia sinusoidy, są koloru jasnego zielonego zaś strzałki, czyli maksymalne lub minimalne amplitudy, na rysunkach są koloru czerwonego lub, odpowiednio, niebieskiego. Znajomość położenia strzałek i węzłów umożliwia łatwiejsze sterowanie draniami, na przykład w celu zmniejszenia amplitud drgań.. Literatura: [1] Radziński M., Doliński Ł., Palacz M., Krawczuk M., Lokalizacja uszkodzeń konstrukcji z wykorzystaniem skaningowego wibrometru laserowego, 2010, PAK [2] Kowal J.: Sterowanie drganiami, 1987, GK ZHP 176
[3] Gosiewski Z.: Aktywne sterowanie drganiami konstrukcji mechanicznych, 2012, WNIL [4] Bajkowski J., Jasiński M., Mączak J., Radkowski S., ZalewskiR.: The active magnetorheological support as an element of damping of vibrations transferred from the ground to large-scale structure supports. Key Engineering Materials, Vol. 518, pp 350-357, 2012. [5] Kaliski S.: Drgania i fale, 1986, PWN [6] Materiały informacyjne firmy Polytec GmbH Measurement Solutions Made Possible by Laser Vibrometry Streszczenie W artykule przedstawiono metody wyznaczania częstości i postaci drgań. Podstawowym sposobem do wyznaczenia wibracji jest stworzenie modelu analitycznego, który, w przypadku płyty, oblicza równanie różniczkowe cząstkowe czwartego rzędu. Innym, sposobem wyznaczenia drgań jest skanowanie powierzchni wiązką lasera za pomocą wibrometru laserowego. Porównując otrzymane wyniki dla obu meto badawczych zauważa się dobrą zbieżność w wartościach częstotliwości (tzn. częstotliwości uzyskanej metodą analityczną i doświadczalną). Ewentualne rozbieżności mogą wynikać z braku dokładnej informacji o wartości gęstości i module Younga stalowej płyty. Niewielki błąd potwierdza wiarygodność wibrometru laserowego jako użytecznego urządzenia do weryfikacji modelu teoretycznego oraz badania częstości drgań własnych analizowanego obiektu. Znajomość częstotliwości i postaci drgań w późniejszym etapie prac będzie wykorzystana do aktywnego sterowania wibracjami, jak również do wykrywania defektów na badanej powierzchni. Słowa kluczowe: Efekt Dopplera, wibrometr laserowy, drgania płyty PLATE VIBRATIONS: ANALYTICAL MODEL AND ITS EVALUATION USING LASER VIBROMETER Abstract Paper presents methods of determination of natural frequencies and mode shapes. Basic method is to create analytical model, which, in case of plate, calculates partial differential equation of forth order. Other method to determine vibrations is to scan surface of object with laser using laser vibrometer. Comparing results acquired with both methods one can see good correlation of frequencies (i.e. frequency calculated from analytical model and determined from experiment). Possible differences can result from lack of precise information about value of density and Young modulus of steel plate. Small error confirm reliability of laser vibrometer as a useful tool for verification of theoretical model and for study of natural frequencies and mode shapes of examined object. Knowledge of modal frequencies and mode shapes in later phases of research works will be used to actively control the vibrations as well as for detection of surface failures. Keywords: Doppler effect, laser vibrometer, vibration plate, model validation 177