Większość zadań zamieszczonych na tej liście pochodzi z książki Modele i metody statystyki matematycznej w zadaniach, autorstwa Alicji Jokiel-Rokity i Ryszarda Magiery. W tym zbiorze można również znaleźć rozwiązania wielu spośród tych problemów. 1
Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 1. 2 Lista 1. Rozkłady. 1. Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy z parametrem λ = 2. Wyznaczyć prawdopodobieństwa P (X > 1), P (X 3), P (1 X < 3), P ( 5 < X < 2). 2. Zmienna losowa X ma rozkład normalny N(10, 2 2 ). Wyznaczyć prawdopodobieństwa P (X < 13), P (X > 9), P (6 < X < 14), P (2 < X < 4). 3. Czas sprawnej pracy mierników pewnego typu (w dniach) ma rozkład N(900, 100 2 ). Jaki powinien być okres gwarancji, aby z prawdopodobieństwem 0.95 miernik działał przynajmniej przez okres gwarancji? 4. Niech X, Y i Z będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach N(6, 1), N(7, 1) i N(13, 1). Obliczyć P (X + Y > Z). 5. Niech X 1,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie (oznaczenie: i.i.d.) N(µ, σ 2 ). Wyznaczyć rozkład średniej arytmetycznej X = X 1,..., X n. n Ile pomiarów należy wykonać, aby prawdopodobieństwo, że X odchyli się od µ o mniej niż 0.1 było większe od 0.99, jeśli σ 2 = 1/4? 6. Dla dwóch niezależnych prób X 1,..., X m i.i.d. N(µ, σ 2 1) i Y 1,..., Y n i.i.d. N(µ, σ 2 2) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X Y. Następnie obliczyć gdy m = 2n = 12 i σ 2 1 = σ 2, σ 2 2 = 3σ 2. P ( X Y < 0.4σ), 7. Niech X 1,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi rozkładach gamma G(α 1, β),..., G(α n, β), tzn. niech X i ma gęstość Znaleźć rozkład sumy X 1 +... + X n. β α Γ(α) xα 1 e βx 1 (0, ) (x). 8. Niech X 1,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie N(0, 1). Wówczas zmienna losowa χ 2 n := X 2 1 +... + X 2 n ma rozkład zwany rozkładem chi-kwadrat z n stopniami swobody. Znaleźć gęstość tego rozkładu i uzasadnić, że jest ona równa gęstości rozkładu Gamma(n/2, 1/2). 9. Niech Z i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach N(0, 1) i chikwadrat z n stopniami swobody. Wówczas zmienna losowa t n := Z Y/n ma rozkład zwany rozkładem t-studenta z n stopniami swobody. Wyznaczyć gęstość tego rozkładu i udowodnić, że dla n t n jest zbieżny według rozkładu do N(0, 1).
Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 1. 3 10. Wykorzystując odpowiednie tablice wyznaczyć kwantyle rzędu 1 α dla rozkładu (a) N(0, 1); (b) chi-kwadrat z v stopniami swobody; (c) t-studenta z v stopniami swobody. Przyjąć, że α {0.005, 0.025, 0.05} i v {1, 10, 20}. 11. Udowodnić, że jeśli X 1,..., X n+m będą niezależnymi zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie N(0, 1), to zmienna Y = X2 1 +... + X 2 n X 2 1 +... + X 2 n+m ma rozkład beta Be(n/2; m/2). 12. U i V będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach chi-kwadrat z m i n stopniami swobody, odpowiednio. Jaki rozkład mają zmienne losowe U + V oraz U. Odpowiedzieć na te pytania nie obliczając gęstości, a wykorzystując jedynie U + V definicję rozkładu chi-kwadrat i jedno z poprzednich zadań. 13. Niech U i V będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach chi-kwadrat z m i n stopniami swobody, odpowiednio. Wowczas zmienna losowa F = U/m V/n ma rozkład zwany rozkładem F-Snedecora z (m, n) stopniami swobody. Wyznaczyć gestość rozkładu tej zmiennej losowej. Jaki rozkład ma zmienna losowa 1 F?
Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 2. 4 Lista 2. Rozkłady normalne Oznaczenia: y 1,..., y n zmienne losowe, E(y i ) = µ i, Cov(y i, y j ) = σ ij, Y = (y 1,..., y n ) T, µ = E(Y ) = (µ 1,..., µ n ) T. macierz kowariancji dla Y : Cov(Y ) = E [ (Y µ) T (Y µ) ] = [σ ij ] n n 1. Uzasadnić, że dla dowolnej macierzy deterministycznej A r n i dla dowolnego deterministycznego wektora b R r E(AY + b) = AE(Y ) + b, Cov(AY + b) = ACov(Y )A T. 2. Załóżmy, że n-wymiarowy wektor losowy Y ma rozkład N(µ, Σ), czyli rozkład o gęstości 1 f(y) = (2π) n/2 Σ exp { (y µ) Σ 1 (y µ) }. 1/2 Znaleźć E(Y ) i Cov(Y ). Jaki rozkład ma (a) wektor losowy Σ 1/2 (Y µ); (b) zmienna losowa (Y µ) Σ 1 (Y µ). Uwaga: Jeśli A jest nieujemnie określoną macierzą symetryczną, to A 1/2 oznacza pierwiastek kwadratowy z macierzy A, czyli symetryczną i nieujemnie określoną macierz, taką że A 1/2 A 1/2 = A. Gdy A jest dodatnio określona, to A 1/2 ozn. = (A 1/2 ) 1. 3. Pokazać, że jeśli Y jest n-wymiarowym wektorem losowym, takim że Y D = N(µ, Σ), to dla dowolnej macierzy B wymiaru m n, BY D = N(Bµ, BΣB T ). 4. Udowodnić, że jeśli Y D = N(µ, σ 2 I), a Z = UY, gdzie U jest macierzą ortonormalną, to Z D = N(Uµ, σ 2 I) W szczególności Z 1,..., Z n są niezależne i mają rozkłady normalne. 5. Przypuśćmy, że X ma rozkład N(µ, σ 2 I n ), czyli X = (X 1,..., X n ) T jest wektorem, którego współrzędne są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie N(µ, σ 2 ) (próba rozmiaru n z rozkladu N(µ, σ 2 )). Niech Y = UX, gdzie U jest macierzą ortonormalną, której pierwszy wiersz ma postać Uzasadnić kolejno, że (a) taka macierz U istnieje; (b) Y 1 = nx; ( 1 n,..., (c) Y1 2 +... + Yn 2 = n i=1 (X i X) 2 + nx 2 ; (d) Y2 2 +... + Yn 2 = (n 1)S 2, gdzie S 2 oznacza wariancją próbkową, tzn. 1 n ). S 2 = n i=1 (X i X) 2. n 1
Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 2. 5 (e) Y D = N(Uµ, σ 2 I n ), przy czym Uµ = ( nµ, 0, 0,..., 0) T. (f) Y 1,..., Y n są niezależne, Y 1 D = N( nµ, σ 2 ), Y i D = N(0, σ 2 ), i = 2,..., n. Wykorzystując te fakty udowodnić, że n(x µ)/σ i (n 1)S 2 /σ 2 są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach N(0, 1) i chi kwadrat z (n 1) stopniami swobody. 6. Zużycie wody (w hektolitrach) w pewnym osiedlu w ciagu dnia ma rozkład N(µ, 11). Obliczyć prawdopodobieństwo, ze wariancja próbkowa (empiryczna wariancja) zużycia wody w losowo wybranym kwartale nie przekroczy 100 hl. 7. Dla dwóch niezależnych prób X 1,..., X m i.i.d. N(µ 1, σ 2 ) i Y 1,..., Y n i.i.d. N(µ 2, σ 2 ) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej SX 2. SY 2 8. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykladniczego Exp(1). Udowodnić, że dla każdego x R, lim Pr(X (n) log n x) = exp [ exp ( x)]. n 9. Niech U = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na odcinku [0, 1]. Znaleźć gęstość pary statystyk pozycyjnych (X (i), X (j) ), gdzie 1 i < j n.
Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 3. 6 Lista 3. Rodziny wykładnicze. 1. Pokazać, że jeżeli P jest rodziną z parametrem skali na R +, to jej obraz przez przekształcenie Y = log X jest rodziną z parametrem położenia na R. 2. Niech P będzie jednoparametrową rodziną rozkładów gamma G(α, β), gdzie α jest ustalone, a β > 0. Pokazać, że obraz P w przekształceniu Y = σ log X, σ > 0, jest rodziną z parametrami położenia i skali (log β, σ). 3. Niech P będzie rodziną wykładniczą o gęstościach względem pewnej miary µ: [ s ] f(x; η) = exp η i T i (x) A(η) h(x), i=1 Niech Σ będzie zbiorem tych wszystkich η = (η 1,..., η s ) R s, dla których [ s ] exp η i T i (x) h(x)dµ(x) <. i=1 Stosując twierdzenie Lebesgue a o zbieżności ograniczonej udowodnić, że zachodzą wzory E η (T j ) = A(η); Cov η (T j, T k ) = 2 A(η). η j η j η k Co w tym dowodzie trzeba założyć o zbiorze Σ i o punkcie η Σ? 4. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Rayleigha R(σ), czyli z rozkładu o gęstości f(x; σ) = x σ 2 e x/(2σ2) 1 0, ) (x). Korzystając z poprzedniego zadania wyznaczyć E(Y ) i Var(Y ), gdzie Y = n i=1 X2 i. 5. Zbadać, czy następujące rodziny rozkładów są rodzinami wykładniczymi: (a) Poissona P (λ) z parametrem λ > 0; (b) beta B(α, β) z parametrami α > 0 i β > 0 o gęstości Γ(α + β) f(x; α, β) = Γ(α)Γ(β) xα 1 (1 x) β 1 1 (0,1) (x); (c) o gęstości f(x; θ) = 1 9 dla x {0.1 + θ, 0.2 + θ,..., 0.9 + θ}, θ > 0; 2(x + θ) (d) o gęstości f(x; θ) = 1 + 2θ 1 (0,1)(x), θ > 0; (e) dwuwymiarowych rozkładów normalnych (pięcioparametrowa); (f) wielomianowych M(n; p 0,..., p s ); gdzie p i > 0, i = 0,..., s, p 0 +... + p s = 1. (g) lognormalnych L(µ, σ 2 ), gdzie [ (µ, σ) R ] R +, o gęstości f(x; µ, σ 2 1 (log x µ) 2 ) = exp 1 2πσx 2σ 2 (0, ) (x). Jeśli tak, to która jest naturalną rodziną wykładniczą, rodziną z naturalną parametryzacją, rodziną pełnego rzędu? 6. Czy któraś z poniższych rodzin rozkładów jest rodziną wykładniczą?
Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 3. 7 (a) ujemno dwumianowych NB(r, p): Pr(X = x) = Γ(x+r) Γ(r)x! px (1 p) r, x = 0, 1, 2,...; (b) Cauchy ego C(µ, σ) o gęstości f(x; µ, σ) = 1 πσ 1 1 + ( x µ (c) Weibulla W e(α, β) o gęstości f(x; α, β) = α β α xα 1 exp σ ) 2 [ ( ) α ] x 1 (0, ) (x) β e (x µ)/σ (d) logistycznych LG(µ, σ) o gęstości f(x; µ, σ) = 1 σ [1 + (x µ)/σ] 2 (e) podwójnie wykładniczych DE(µ, θ) o gęstości f(x; µ, θ) = 1 [ ] 2θ exp x µ. θ
Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 4. 8 Lista 4. Dystrybuanta empiryczna, histogram, estymator jądrowy. 1. Niech X 1,..., X n będzie próbą losową prostą z rozkładu o dystrybuancie F i niech F n (x) = F n (x; X 1,..., X n ) będzie dystrybuntą empiryczną opartą na tej próbie. Udowodnić, że (a) Dla każdej realizacji x 1,..., x n próby X 1,..., X n, Fn (x; x 1,..., x n ) jest dystrybuantą pewnego rozkładu. Wyznaczyć ten rozkład. (b) n F n (x) = D B(n, F (x)) dla każdego x R. ( ) ( ) F (x)(1 F (x)) (c) E F Fn (x) = F (x) i Var F Fn (x) = dla każdego x R. n (d) F n (x) p.n. F (x) (zbieżność z prawdopodobieństwem 1) dla każdego x R. (e) n( F n (x) F (x)) D N(0, F (x)(1 F (x))) dla każdego x R. Następnie obliczyć E F [ Fn (x) F (x)] 2 i udowodnić, że jeśli X1,..., X n jest losową próba prostą z rozkładu o ciągłej dystrybuancie F, to rozkłady zmiennych losowych nie zależą od F. sup x R ( F n (x) F (x)) i sup F n (x) F (x) 2. Niech f n (x) = f n (x; X 1,..., X n ) będzie estymatorem histogramowym albo estymatorem jądrowym gęstości f, opartym na próbie X 1,..., X n i.i.d. f. (a) Udowodnić, że dla każdej realizacji x 1,..., x n próby X 1,..., X n, estymator f n (x; x 1,..., x n ) jest gęstością pewnego rozkładu absolutnie ciągłego względem miary Lebesgue a. (b) Dla estymatora jądrowego i ustalonego punktu x 0 R obliczyć różnicę [ ] E fn (x 0 ) f(x 0 ). Przypuśćmy, że f jest ograniczona na R i ciągła w punkcie x 0, a szerokość pasma h n dąży do zera, gdy n. Co można wówczas powiedzieć o { [ ] } E fn (x 0 ) f(x 0 ). lim n x R
Wstęp do statystyki. Lista 5. 9 Lista 5. Metoda momentów i metoda największej wiarogodności. 1. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie jednostajnym na (0, θ). Za pomocą metody momentów wyznacz estymator ˆθ n parametru θ. (a) Wykorzystując ten estymator oszacuj θ dla próby 0.1, 0.3, 0.7, 0.8, 0.2. (b) Oblicz obciążenie i błąd średniokwadratowy ˆθ n. (c) Zbadaj zgodność ˆθ n. Wyznacz estymator największej wiarogodności (w skrócie: estymator MLE) parametru θ i oblicz jego wartość dla próby z punktu (a). 2. Niech X 1,..., X n będzie próbą z populacji o rozkładzie trzypunktowym P (X = 1) = p, P (X = 0) = 0.4 p, P (X = 1) = 0.6. Za pomocą metody momentów wyznacz estymator p n parametru p. Wykorzystując ten estymator oszacuj p dla próby 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1. Czy to oszacowanie jest sensowne? 3. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu dyskretnego na zbiorze {1, 2, 3} o gęstosci p θ (1) = θ 2, p θ (2) = 2θ(1 θ), p θ (3) = (1 θ) 2, θ (0, 1). Wyznaczyć estymator parametru θ metodą momentów i metodą podstawienia. 4. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie ciągłym o gęstości { (θ + 1)x f(x) = θ, gdy 0 x 1, 0, w przeciwnym razie. (a) Znajdź estymator największej wiarogodności ˆθ parametru θ. (b) Wykorzystując θ oszacuj θ na podstawie próby 0.1, 0.3, 0.7, 0.8, 0.2. 5. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie ciągłym o gęstości { c(1 + θx), gdy 1 x 1, f(x) = 0, w przeciwnym razie. (a) znajdź c, (b) za pomocą metody momentów wyznacz estymator parametru θ, (c) czy można wyznaczyć jawny wzór na estymator MLE dla θ? 6. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Weibulla W (α, β), gdzie α jest ustalone i znane. Znaleźć estymator MLE funkcji parametrycznej g(β) = β α. Sprawdzić, czy jest nieobciążony. Wykazać, że jest zgodny i asymptotycznie normalny. 7. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu (a) Gamma G(α, β), gdzie α jest znane i ustalone; (b) geometrycznego Ge(p), p (0, 1); (c) jednostajnego U(θ, θ + 1), θ R; (d) normalnego N(σ, σ 2 ), σ (0, );
Wstęp do statystyki. Lista 5. 10 (e) normalnego N(µ, σ 2 ), µ R, σ (0, ); Znaleźć estymatory MLE parametrów rozkładu. Zbadać ich nieobciążoność i zgodność. 8. W jeziorze jest nieznana liczba N ryb. W celu oszacowania N złowiono m ryb, oznakowano i wpuszczono do jeziora. Po dłuższym czasie złowiono ponownie m ryb i okazało sie, ze k z nich jest oznakowanych. Znaleźć estymator MLE parametru N. 9. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Pareto P a(1, α), α > 1. Znaleźć estymatory parametru α metodą momentów i metodą największej wiarogodności. Wykazać, że są one estymatorami zgodnymi i, dla α > 2, asymptotycznie normalnymi. Porównać wariancje asymptotyczne tych estymatorów.
Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 6. 11 Lista 6. Dostateczność i zupełność. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona P (λ), λ (0, ) i niech T = n i=1 X i. Znaleźć rozkład warunkowy Pr(X T = t) i za pomocą definicji wykazać, że T jest statystyką dostateczną dla λ. 2. Losujemy bez zwracania n jednostek z partii N wyrobów, spośród których Nθ jest wadliwych. Niech X i, i = 1,..., n, przyjmuje wartość 1, gdy i-ta jednostka jest wadliwa i wartość 0, gdy i-ta jednostka jest dobra. Pokazać, że statystyka T = n i=1 X i jest dostateczna dla parametru θ. 3. Pokazać, że jeśli T jest statystyką dostateczną dla P oraz T = g(s) dla pewnej statystyki S i odwzorowania mierzalnego g, to S jest statystyką dostateczną dla P. 4. Niech X będzie czasem czekania na k-ty sukces w schemacie Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu p (0, 1), gdzie k > 1 ustalone (znane). Pokazać, że rozkłady X tworzą jednoparametrową rodzinę wykładniczą. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z rozkładu z tej rodziny. Korzystając z twierdzenia o rodzinach wykładniczych, podać statystykę dostateczną dla parametru p i wyznaczyć jej rozkład. 5. Niech X 1,..., X n będzie próbą z rozkładu o gęstości p (θ,η) = c(θ, η)h(x)1 (θ,η) (x), gdzie h(x) jest ustaloną dodatnią funkcją całkowalną na (, ). Udowodnić, że (X (1), X (n) ) jest statystyką dostateczną dla parametru (θ, η) R R. 6. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z populacji o rozkładzie P P = {P θ, θ Θ}. Wykorzystując kryterium faktoryzacji znaleźć statystykę dostateczną dla θ, tego samego wymiaru co θ, gdy (a) P θ jest rozkładem Poissona P (θ), θ (0, ); (b) P θ jest rozkładem ujemno dwumianowym NB(r, θ) ze znanym r i θ (0, 1); (c) P θ jest rozkładem wykładniczym Exp(θ), θ (0, ); (d) P θ jest rozkładem Gamma G(α, β), θ = (α, β) (0, ) (0, ); (e) P θ jest rozkładem beta Be(α, β), θ = (α, β) (0, ) (0, ); (f) P θ jest rozkładem lognormalnym LN(µ, σ 2 ), θ = (µ, σ 2 ) R (0, ); (g) P θ jest rozkładem Weinbulla W (α, θ) ze znanym α i θ (0, ). 7. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z rozkładu beta B(α, α), α (0, ) Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru α. Uzasadnić, że jest to statystyka zupełna. 8. Udowodnić, ze rodzina rozkładów normalnych N(µ, 1) z parametrem położenia µ R jest rodziną zupełną. 9. Niech X 1,..., X n będzie próbą z rozkładu normalnego N(σ, σ 2 ), σ > 0. Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla parametru σ. Pokazać, że nie jest ona zupełna.
Wstęp do statystyki matematycznej. Lista 6. 12 10. Niech X 1,..., X n będzie próbą z rozkładu jednostajnego na odcinku [0, θ], θ (0, ). Pokazać, że T (X) = X (n) jest minimalną, zupełną statystyką dostateczną. 11. Niech X 1,..., X n będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego na odcinku [θ 1 2 ; θ + 1 2 ], θ R. Udowodnić, ze (X (1), X (n) ) jest minimalną statystyką dostateczną dla parametru θ, ale nie jest statystyką zupełną. 12. Niech P będzie rodziną wszystkich rozkładów absolutnie ciągłych na prostej. Niech X 1,..., X n będzie próbą z rozkładu z tej rodziny. Wykazać, że wektor statystyk pozycyjnych jest statystyką dostateczną i zupełną, a więc również minimalną dostateczną.
Wstęp do statystyki. Lista 7. 13 Lista 7. Nieobciążoność, dopuszczalność, zgodność. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu B(1, p), p (0, 1). (a) Znaleźć estymator UMVU dla funkcji g(p) = p r, gdzie r jest liczbą naturalną nie większą niż n. Dla r = 1 wyznaczyć funkcję ryzyka tego estymatora (przy kwadratowej funkcji straty!). (b) Znaleźć estymator UMVU dla funkcji g(p) = p(1 p) i zbadać jego asymptotyczne własności (zgodność, n-zgodność, asymptotyczną normalność). 2. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego U(α, β), α, β R, α < β. (a) Znaleźć estymatory UMVU parametrów α i β. (b) Znaleźć estymator UMVU funkcji g(α, β) = β α. 3. Pokazać, że estymator X parametru µ w rodzinie N(µ, 1) jest lepszy niż estymator T (X) = 1(X 2 (1) + X (n) ), tzn. T (X) jest niedopuszczalny; Następnie udowodnić, że w rodzinie rozkładów jednostajnych na odcinku [µ 1, µ + 1 ] jest na odwrót tzn. 2 2 X jest niedopuszczalny. 4. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu o dystrybuancie F. Pokazać, że dla każdego x R dystrybuanta empiryczna F n (x) jest nieobciążonym estymatorem F (x). 5. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu o wartości oczekiwanej µ, wariancji σ 2 i skończonym czwartym momencie centralnym µ 4 = E(X µ) 4. Wyznaczyć Var(S 2 ). 6. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu N(µ, σ 2 ). Dobrać stałą c, tak aby statystyka n 1 W 2 = (X i+1 X i ) 2 i=1 była nieobciążonym estymatorem parametru σ 2. Porównać wariancję W 2 z wariancją S 2. Który z estymatorów pozwala ocenić σ 2 z wiekszą dokładnością? 7. * Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na zbiorze trzypunktowym {θ 1, θ, θ + 1}, gdzie θ jest dowolną liczbą całkowitą. (a) Znaleźć rodzinę wszystkich nieobciążonych estymatorów zera. (b) Udowodnić, że dla żadnej niestałej funkcji g(θ) nie istnieje estymator UMVU, chociaż estymatory nieobciążone istnieją. 8. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na przedziale [0, θ], gdzie θ > 0. Wykazać, że w klasie wszystkich estymatorów estymator T (X) = n + 1 n X (n) jest niedopuszczalny dla L(θ, d) = (d θ) 2, chociaż jest estymatorem UMVU. Wskazówka. Rozważyć estymator T 1 (X) = n + 2 n + 1 X (n).
Wstęp do statystyki. Lista 7. 14 9. * Niech zmienna losowa X ma rozkład P (X = 1) = p, P (X = x) = (1 p) 2 p x, gdy x = 0, 1,..., z parametrem p (0, 1). (a) Udowodnić, że każdy nieobciążony estymator 0 ma postać d(x) = cx. (b) Wykorzystać (a) do udowodnienia tego, że estymator UMVU funkcji g(p) = (1 p) 2 ma postać d(0) = 0 i d(x) = 0, dla pozostałych wartości x. (c) Udowodnić, że nie istnieje estymator UMVU parametru p, choć istnieją estymatory nieobciążone dla p. 10. Niech X = (X ( 1,..., X n ) będzie ) próbą z rozkładu N(µ, 1). Udowodnić, że dla każdego c R, Φ (c X) jest estymatorem UMVU funkcji parametrycznej n n 1 g c (µ) := Pr(X 1 < c) = Φ(c µ). Zbadać asymptotyczne własności tego estymatora (zgodność, n-zgodność, asymptotyczną normalność). 11. Niech X = (X 1,..., X m ) i Y = (Y 1,..., Y n ) będą niezależnymi próbami z rozkładów U(0, θ) i U(0, η). Wyznaczyć estymator UMVU ilorazu g(θ, η) = θ/η, gdy n > 1.
Wstęp do statystyki. Lista 8. 15 Lista 8. Efektywność. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Bernoulliego B(1, p), p (0, 1). Uzasadnij, że T (X) = n X(1 X) jest estymatorem UMVU funkcji parametrycznej g(p) = p(1 p). Sprawdź, czy T (X) jest efektywny lub asymptotycznie n 1 efektywny. 2. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(0, σ 2 ). Pokaż, że estymator T (X) = n i=1 X2 i jest nieobciążonym i efektywnym estymatorem σ 2. 3. *Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego U(0, θ) i niech f θ (x) oznacza gęstość rozkładu statystyki X (n). Pokaż, że (a) xf θ (x) dx x θ θ f θ(x) dx, (b) estymator UMVU parametru θ nie jest efektywny w sensie Rao-Cramera. 4. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, σ), gdzie µ π n jest znane. Udowodnij, że estymator T (X) = n X i µ parametru σ jest 2 i=1 1 nieobciążony i ma efektywność π 2. 5. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, σ 2 ) z nieznaną wartością oczekiwaną µ R i znaną wariancją σ 2 > 0. Dla ustalonego t 0 znajdź estymator UMVU dla e tµ i pokaż, że ten estymator nie jest efektywny w sensie Rao-Cramera, ale jest asymptotycznie efektywny. 6. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu gamma G(α, β). (a) Wyznacz estymatory parametrów α, β za pomocą metody momentów. (b) Zakładając, że α jest znane i równe α 0 wyznacz estymator parametru β za pomocą metody momentów i oblicz jego efektywność (po usunięciu obciążenia).
Wstęp do statystyki. Lista 9. 16 Lista 9. Przedziały ufności. 1. Niech X będzie pojedynczą obserwacją z rozkładu jednostajnego U(θ 1/2, θ+1/2), gdzie θ R jest nieznane. Pokaż, że Q(X; θ) = X θ jest funkcją centralną, a następnie udowodnij, że [X + c, X + d] jest przedziałem ufności dla parametru θ na poziomie ufności 1 α wtedy i tylko wtedy, gdy ma dlugość 1 α. 2. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(λ). Uzasadnij, że Q(X; λ) = 2nX jest funkcją centralną. Skonstruuj przedział ufności dla parametru λ na poziomie ufności 1 α. Dla n = 10 i α = 0.04 wyznacz końce tego λ przedziału. 3. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu z rozkładu N(θ, θ). Znajdź funkcję centralną i skonstruuj przedział ufności dla θ na poziomie ufności 1 α. 4. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu jednostajnego na odcinku [θ 1 ; θ + 1 ], θ R. Skonstruuj przedział ufności dla parametru θ na poziomie ufności 2 2 1 α. 5. Niech X = (X 1,..., X m ) i Y = (Y 1,..., Y n ) będą niezależnymi próbami z rozkładów N(µ 1, σ 2 1) i N(µ 2, σ 2 2). Załóżmy, że σ 2 1 = σ 2 2 = σ i oznaczmy θ = (µ 1, µ 2, σ), g(θ) = µ 2 µ 1. Uzasadnij, że Y X g(θ) (m 1)S 2 X + (n 1)SY 2 1 n + m 2 m + 1 n jest funkcją centralną dla g(θ). Skonstruuj przedział ufności dla parametru g(θ) na poziomie ufności 1 α. 6. Niech X = (X 1,..., X m ) i Y = (Y 1,..., Y n ) będą niezależnymi próbami z rozkładów N(µ 1, σ 2 1) i N(µ 2, σ 2 2). Załóżmy, że σ 2 1 = σ 2 2 = σ i oznaczmy θ = (µ 1, µ 2, σ 1, σ 2 ), g(θ) = σ 2 1/σ 2 2. Skonstruuj przedział ufności dla parametru g(θ) na poziomie ufności 1 α. 7. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu N(µ, σ 2 ), gdzie σ > 0 jest znane. Podaj postać przedziału ufności dla parametru µ na poziomie ufności 1 α. 8. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem λ. Wykorzystując CTG, twierdzenie Słuckiego oraz metodę delta udowodnij, że n(x λ) (a) D N(0, 1); X (b) 2 n( X λ) D N(0, 1). Użyj tych własności do wyznaczenia asymptotycznych funkcji centralnych i konstrukcji asymptotycznych przedziałów ufności dla parametru λ, na poziomie ufności 1 α. Zauważ, że oba przedziały mają tę samą długość i są tylko przesunięte względem siebie. 9. Niech Y n będzie zmienną losową o rozkładzie chi-kwadrat z n stopniami swobody. Wykorzystując CTG, twierdzenie Słuckiego oraz metodę delta udowodnij, że
Wstęp do statystyki. Lista 9. 17 (a) Y n n 2n D N(0, 1); (b) 2Y n 2n 1 D N(0, 1); ( ) 9n 3 Yn (c) 2 n 1 D N(0, 1); Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu N(µ, σ 2 ), gdzie µ i σ są nieznane. Wykorzystaj powyższe fakty do określenia asymptotycznych funkcji centralnych i konstrukcji asymptotycznych przedziałów ufności na poziomie ufności 1 α dla funkcji parametrycznej g(θ) = σ 2. Uwaga. Ciąg zmiennych losowych z punktu c) daje lepsze przybliżenie rozkładu chi-kwadrat niż ciągi z punktów a) i b). 10. *Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Weibulla o gęstości f(x; α, θ) = α θ xα 1 e xα /θ 1 (0, ) (x). Udowodnij, że Q(X; α, θ) = n i=1 (Xα i /θ) jest funkcją centralną. Wykorzystaj tę funkcję do konstrukcji zbioru ufności dla (α, θ) na poziomie ufności 1 α.
Wstęp do statystyki. Lista 10. 18 Lista 10. Testy jednostajnie najmocniejsze. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(µ, 1). (a) Wyznacz statystykę testu Neymana-Pearsona (najmocniejszego, w skrócie NP) dla testowania hipotezy H 0 : µ = 0 przeciwko H 1 : µ = µ 0 > 0. (b) Wyznacz funkcję mocy dla ustalonego poziomu istotności α (0, 1 2 ). 2. Niech X ma rozkład U(0, θ), θ > 0. Skonstruuj test NP na poziomie istotności α dla hipotezy H 0 : θ = θ 0 przeciwko H 1 : θ = θ 1, gdy 0 < θ 0 < θ 1 są ustalonymi liczbami. 3. Niech X ma rozkład należący do rodziny P = {B(10, 1/2), P (1)}. Wykorzystaj tablice rozkładu dwumianowego i rozkładu Poissona do skonstruowania testu NP na poziomie istotności α = 0.1 dla hipotezy H 0 : X D = B(10, 1/2) przeciwko H 1 : X D = P (1). 4. Niech X ma rozkład należący do rodziny P = {U(0, 1) {Exp(λ), λ > 0}}. Skonstruuj test NP na poziomie istotności α = 0.1 dla hipotezy H 0 : X D = B(10, 1/2) przeciwko H 1 : X D = P (1). 5. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu normalnego N(0, σ 2 ). (a) Wyznaczyć statystykę testu NP dla testowania H 0 : σ = 1 przeciwko H 1 : σ = σ 0 > 1. (b) Wyznaczyć funkcję mocy dla ustalonego α (0, 1). Dla α = 0.05 oraz σ 0 { 2, 2} obliczyć moc w zależność mocy od n. 6. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu (a) gamma G(θ, 1), θ > 0; (b) Pareto o gęstości p θ (x) = θ x 2 1 (θ, ), θ > 0. Wyznacz statystykę testu NP dla testowania H 0 : θ = 1 przeciwko H 1 : θ = θ 1 > 1. Wyznacz asymptotyczną wartość krytyczną i obliczyć ją dla α = 0.05. Dla jakich n dokładna wartość krytyczna różni się o mniej niż 0.1 od wartości asymptotycznej? Dla b) wyznaczyć funkcję mocy testu. 7. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu (a) normalnego N(0, θ 2 ), θ > 0; (b) beta Be(θ, 1), θ > 0. Uzasadnić monotoniczność ilorazu wiarogodności względem odpowiedniej statystyki i skonstruować test UMP dla hipotezy H 0 : θ θ 0 przeciwko H 1 : θ > θ 0. Wyznaczyć wartości krytyczne testów dla poziomu istotności α. 8. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie, którego gęstość należy do rodziny P = {f θ : θ Θ}, Θ R. Pokaż, że P ma monotoniczny iloraz wiarogodności względem X, gdy
Wstęp do statystyki. Lista 10. 19 (a) Θ = R, a f θ jest gęstością rozkładu podwójnie wykładniczego z parametrem położenia θ i znanym parametrem skali σ. (b) Θ = R, a f θ jest gęstością rozkładu wykładniczego na przedziale (θ, ) z ze znanym parametrem skali σ. (c) Θ = R, a f θ jest gęstością rozkładu logistycznego z parametrem położenia θ i znanym parametrem skali σ. (d) Θ = R, a f θ jest gęstością rozkładu jednostajnego U(θ, θ + 1). ( θ N θ ) (e) Θ = {1, 2,..., N}, a f θ (x) = x)( r x ( N ) dla max (r θ, 0) x min (r, θ), r gdzie r, N są znanymi liczbami naturalnymi (X ma rozkład hipergeometryczny).
Wstęp do statystyki. Lista 11. 20 Lista 11. Testy ilorazu wiarogodności. 1. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Bernoulliego B(1, p). Skonstruuj test ilorazu wiarogodności (test LR) dla hipotezy H 0 : p p 0 przeciwko H 1 : p > p 0 na poziomie istotności α. Dla jakich wartości X odrzucana jest hipoteza zerowa? 2. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu Poissona z parametrem λ. Skonstruuj test LR dla hipotezy H 0 : λ = λ 0 przeciwko H 1 : λ λ 0 na poziomie istotności α. Wyznacz wartość krytyczną testu dla n = 10, λ 0 = 1 i α = 0.05 oraz moc testu (niezrandomizowanego) dla λ 0 = 0.6. Wyznacz rozkład asymptotyczny statystyki testowej i asymptotyczną wartość krytyczną. 3. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu beta B(θ, 1). Skonstruuj test LR dla hipotezy H 0 : θ = θ 0 przeciwko H 1 : θ θ 0 na poziomie istotności α, gdzie 4. *Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(µ, σ) o gęstości f(x; µ, µ) = 1 σ e (x µ)/σ 1 (µ, ) (x), σ (0, ) i µ (0, ). (a) Załóżmy, że σ jest znane. Skonstruuj test LR rozmiaru α dla hipotezy H 0 : µ µ 0 przeciwko H 1 : µ > µ 0, gdzie µ 0 jest znane. (b) Załóżmy, że σ jest znane. Skonstruuj test LR rozmiaru α dla hipotezy H 0 : µ = µ 0 przeciwko H 1 : µ µ 0. (c) Skonstruuj test LR rozmiaru α dla hipotezy H 0 : µ µ 0 przeciwko H 1 : µ > µ 0, gdy σ także jest nieznane. (d) Skonstruuj test LR rozmiaru α dla hipotezy H 0 : µ = µ 0 przeciwko H 1 : µ µ 0, gdy σ także jest nieznane. 5. Niech X = (X 1,..., X n ) będzie próbą z rozkładu N(µ, σ 2 ), a Y = (Y 1,..., Y m ) próbą z rozkładu N(η, τ 2 ). Zakładając niezależność obu prób, skonstruuj test ilorazu wiarogodności dla hipotezy H 0 : τ = kσ przeciwko H 1 : τ kσ, gdzie k znaną liczbą (np. k = 1) na poziomie istotności α. Dla k = 1, n = 12, m = 18, α = 0.05 wyznacz wartość krytyczną, posługując się rozkładem Snedecora. Czy otrzymany test jest nieobciążony?
Wstęp do statystyki. Lista 12. 21 Lista 12. Testy chi-kwadrat zgodności i niezależności. 1. W celu sprawdzenia czy kostka sześcienna do gry jest rzetelna (symetryczna), wykonano 120 rzutów tą kostką i otrzymano następujące wyniki: Liczba oczek 1 2 3 4 5 6 Liczba rzutów 11 30 14 10 33 22 Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że kostka jest symetryczna. 2. W pewnej fabryce zaobserwowano następujący rozkład absencji w tygodniu, zbadany w wylosowanej grupie 900 pracowników z absencją: Dzień tygodnia PN WT ŚR CZ PT SOB Liczba nieobecnych 200 160 140 140 100 160 Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że absencja w tej fabryce jest jednakowa w każdym dniu tygodnia. 3. Zbadano 300 losowo wybranych 5 sekundowych odcinków czasowych pracy pewnej centrali telefonicznej i otrzymano empiryczny rozkład liczby zgłoszeń : Liczba zgłoszeń 0 1 2 3 4 5 Liczba odcinków 50 100 80 40 20 10 Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować hipotezę, że liczba zgłoseń w tej centrali jest zmienną losową o rozkładzie Poissona. 4. W celu zweryfikowania hipotezy, że studentki pewnej uczelni lepiej zdają egzaminy niż studenci, wylosowano próbę 200 studentek i studentów i otrzymano następujące wyniki zaliczenia letniej sesji egzaminacyjnej: Zdany Oblany Studenci 55 45 Studentki 75 25 Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikować, za pomocą testu chi-kwadrat, hipotezę o niezależności wyników egzaminacyjnych od płci. 5. Pewien produkt można wytwarzać trzema metodami. Wysunięto hipotezę, że wadliwość produkcji nie zależy od metody wytwarzania. Wylosowano niezależnie próbę 270 sztuk wyrobu i otrzymano następujące wyniki badania jakości dla poszczególnych metod: Jakość Metoda I Metoda II Metoda III Dobra 40 80 60 Zła 10 60 20 Na poziomie istotności α = 0.05 zweryfikuj hipotezę o niezależności jakości produkcji od metod produkcji.
Wstęp do statystyki. Lista 12. 22 6. Studenci Wydziału Matematyki PWr ocenili każdego z trzech wykładowców, prowadzących zajęcia ze statystyki Beznadziejny Niezły Bardzo dobry Wykładowca nr 1 17 25 18 Wykładowca nr 2 11 29 20 Wykładowca nr 3 12 26 22 Czy na podstawie tych danych należy odrzucić hipotezę zerową, mówiącą, że rozkład ocen dla każdego z wykładowców jest taki sam? Przyjąć poziom istotności α = 0.05.