matematyka >>systemy gier losowyc h MATEMATYK w szponach W cenie od kilku do kilkuset złotych można kupić w Internecie absolutnie pewne systemy gwarantujące wygraną w Lotto, Multilotka czy zakładach sportowych. U nas te same systemy gratis. A w pakiecie analiza: na czym polega ten cud? PIOTR WOŁOWIK WBREW TEMU, w co może od czasu do czasu chcielibyśmy wierzyć kupując los, loterie i kasyna nie są instytucjami charytatywnymi. Służą temu, by zarabiali ich właściciele, a nie użytkownicy. Oferują chwile emocji i zabawy, skalkulowanej tak, aby stanowić dla kasyna źródło dochodu, nigdy straty. Klient zawsze traci Sposobem, w jaki kasyno najefektywniej zarabia jest obrót pieniędzmi im więcej ludzi przewija się przez dom gry tym interes lepszy. Pieniądze przegrywających przepływają do wygrywających ale pewna ich cześć pozostaje w kasie organizatora zabawy. Ta część zależy od rodzaju gry i stanowi procent od przepływającego kapitału.w fachowej terminologii funkcjonuje pod pojęciem przewagi kasyna (ang. house advantage), a matematycy mówią, że gra ma ujemną wartość oczekiwaną wygranej (ramka poniżej). Nie wierzmy więc w cuda (czytaj: cudowne systemy). Grając dostatecznie długo zawsze będziemy do tyłu. Wyjątkiem jest... black jack. Tutaj grając odpowiednim systemem naprawdę możemy zapewnić sobie nieznaczną statystyczną przewagę nad kasynem. Oznacza to, że przy okazji dobrej zabawy zwiększymy kapitał początkowy o kilka procent. Na czym polega gra w black jacka (zwanego też popularnie oczkiem i gdzie znaleźć system piszemy w ramce na s. XX) WARTOŚĆ OCZEKIWANA GRY Dobrą charakterystyką finansowych własności gier jest wielkość nazywana przez matematyków wartością oczekiwaną wygranej. Określa ona średni zysk przypadający na jedną partię przy założeniu, że rozgrywamy nieskończoną liczbę kolejek. Ściśle wartość oczekiwaną wygranej wyraża formuła E[X]=p x[zysk]+(1-p)x[strata] gdzie p określa prawdopodobieństwo osiągnięcia zysku, (1-p) odpowiednio prawdopodobieństwo straty. Jeśli rzucając monetą dostajemy złotówkę za każdym razem, gdy wypada orzeł i tracimy złotowkę, gdy pojawia się reszka, wartość oczekiwana wygranej przy takiej zabawie wynosi zero. Gry o zerowej wartości oczekiwanej wygranej nazywane są grami sprawiedliwymi i w kasynach nie występują. No dobrze spyta ktoś ale w takim wypadku dlaczego kasyno promuję grę na której mogłoby tracić? Rzecz w tym, że wszystkie black jackowe systemy wymagają niewiarygodnie wyćwiczonej pamięci, gdyż przy stole do gry nie wolno robić notatek i aby skutecznie korzystać z systemu trzeba umieć jednocześnie zapamiętywać wszystkie schodzące z talii karty i przeprowadzać niekiedy bardzo skomplikowane rozumowanie odnośnie aktualnych i przyszłych kwot obstawiania. Hazardzistów grających tą techniką przedstawiono w znakomitym filmie Rain Man w reżyserii Barryego Levinsona ze znakomitą rolą Dustina Hoffmana. Tylko niezwykle zdolności matematyczne i pamięciowe głównego bohatera autystycznego sawanty pozwoliły mu rozbić bank niejednego domu gry. Czerwone i czarne Spójrzmy teraz oczami matematyka na najpopularniejszą grę spotykaną w kasynach ruletkę. Obrosła ona jak żadna inna wieloma mitami i legendami oraz cudownymi systemami, które miały szybko przynieść ich odkrywcom fortunę. Załóżmy, że decydujemy się na najprostszy i najpopularniejszy sposób gry. Obstawiamy kolor czarny (albo czerwony). Prawdopodobieństwo, że kulka zatrzyma się na czarnym wynosi 18/37 jest bardzo bliskie 0,5. Stawiamy jeden żeton (załóżmy dla uproszczenia, że jest on wart złotówkę) na określony kolor. Jeżeli trafimy zyskujemy jeden żeton, jeśli nie tracimy obstawienie. Gra nie jest sprawiedliwa (tak jak np. rzut monetą) a wartość oczekiwana wygranej (patrz ramka) jest mniejsza od zera i wynosi - 0,0135. Oznacza to, że grając odpowiednio długo stracimy na rzecz kasyna średnio 1,35 proc. stawianej puli. Kasyno zapewnia sobie przewagę poprzez wprowadzenie pola zero (prawdopodobieństwo jego wypadnięcia wynosi 1/37), które gra na jego korzyść. Jeżeli obstawialibyśmy tuziny lub kolumny wyszlibyśmy na tym jeszcze gorzej.wartość oczekiwana naszej gry wynosiłaby -0,027, czyli tracilibyśmy średnio na rzecz kasyna aż ok. 2,7 proc. naszych pieniędzy. System Martingale Czy rzeczywiście z kasynem nie da się wygrać? A gdyby tak postawić 1 żeton na czerwone, a potem podwajać stawkę w razie przegranej obstawiając ciągle ten kolor? Jeśli czerwone wypadnie już za pierwszym razem, wygramy 1 żeton. Jeśli za drugim w pierwszej grze stracimy co prawda 1, ale w drugiej wygramy 2 więc w sumie będziemy żeton do przodu. Jeśli i w drugiej grze nie dopisze nam szczęście stawiamy na czerwone 4 żetony.w przypadku wygranej zysk to 4 żetony minus 3 żetony straty w poprzednich grach zostaje na czysto 1 żeton.wniosek jest prosty mając nieskończenie wiele czasu (i nieskończenie wiele pieniędzy) w końcu zawsze wyrwiemy od kasyna wygraną. Fot. Łukasz Zandecki 2 W IEDZA I Ż YCIE STYCZEŃ 2005
Hazardu
Maszyna będąca pierwowzorem została skonstruowana w XVII wieku przez Blaisa Pascala RULETKA AMERYKAŃSKA Koło podzielone jest na 37 części, ponumerowane od 0 do 37. Gra polega na obstawianiu pojedynczych pól, ich kombinacji lub całych wyszczególnionych grup. Pole zero gra na korzyść kasyna, co oznacza, że jeżeli wypadnie, wszystkie zakłady na inne numery, a także zakłady na tuziny i kolumny przegrywają. Pozostałe obstawienia na szansach: numery duże i małe, kolory czerwone i czarne, liczby parzyste i nieparzyste, przegrywają połowę stawki. Kwoty wypłat podane są w tabeli. Zakład Wyplata Jeden numer 35:1 Dwa numery 17:1 Trzy numery 11:1 Cztery numery 8:1 Sześć numerów 5:1 Kolumna 2:1 Tuzin 2:1 Małe numery 1:1 Duże numery 1:1 Parzyste 1:1 Nieparzyste 1:1 Czerwone 1:1 Czarne 1:1 Gra tą metodą jest jednak korzystna tylko z pozoru.wystarczy zauważyć jak szybko rośnie kwota obstawiania. Przy złym losie, jeśli nie trafimy 10 razy pod rząd za 11 razem musimy wyłożyć na stół 1024 żetonów. Może się więc zdarzyć, że kwota, którą chcemy postawić przekroczy maksymalny limit stołu gry. Jest on wprowadzany właśnie po to, by ktoś dysponujący nieograniczonymi niemal funduszami nie mógł grać w nieskończoność. Systemy oparte na zasadzie podwajania czy zwielokratniania stawek zwane są systemami Martingale. Na naszej stronie internetowej (www. wiedzaizycie. pl) zamieściliśmy matematyczne podstawy wyprowadzenia bazującego na tej zasadzie systemu do gry w Multilotka określanego jako stuprocentowego pewniaka.warto pamiętać, że gra tym systemem ciągle posiada ujemna wartość oczekiwaną wygranej, wobec czego korzystna jest dla organizatora. Mimo to systemy takiego obstawiania cieszą się bardzo duża popularnością wśród graczy, a także co już nie powinno dziwić są również promowane przez organizatorów gier. Zarobić na obiad Kowalski dostał 2047 zł premii za które chce kupić wymarzony telewizor. Przedtem jednak postanawia, dla uczczenia dnia, zjeść dobry obiad. Żeby nie uszczuplać funduszy przeznaczonych na zakup, decyduje się wstąpić do kasyna i grając systemem Martingale, zarobić ok. 30 zł na posiłek. Aby mu się to udało musiałby wygrać 30 razy zgodnie z zasadą podwajając każdorazowo stawianą kwotę (za każdym cyklem zarabiałby 1 zeton). Jeżeli obstawia nieustannie kolor czerwony może obawiać się tylko jednego jeśli w czasie 30 cykli gry 11 razy pod rząd wypadnie kolor czarny będzie bankrutem. W pierwszych 10 zakładach straci w sumie 1023 zł, a w kolejnym jedenastym będzie zmuszony postawić i przegra ostatnie1024 zł). Bezpieczeństwo tej strategii gry wynosi ok. 98 proc. To sporo, ale proszę pamiętać, że istnieje ok. 2 proc. realnej szansy utraty wszystkich posiadanych pieniędzy. Jeśli zestawimy to z możliwością zarobku 30 zł to taki sposób zarobienia na obiad nie wszystkim może wydawać się rozsądny. Farba daje szansę Istnieją jednak sposoby, które pozwalają dodatkowo zwiększyć szansę wygranej. Można to osiągnąć badając reguły rządzące konkretną grą. Po długiej obserwacji można próbować oszacować prędkość kuli rzucanej mechanicznie przez tego samego krupiera, lub poznać jego przyzwyczajenia które mogą mieć wpływ na przebieg gry. Hugo Steinhaus zalecał obstawianie w Lotku liczb leżących na skraju kuponu, na przykład 1,2,3,4,5,6. Oka- Fot. East News 4 W IEDZA I Ż YCIE STYCZEŃ 2005
Fot. Corbis/Free zuje się bowiem, że ludzie traktują kupon jak tarczę i obstawiając celują w jej środek.wybierając kombinację niepopularną mamy co prawda taką samą szansę trafienia, ale nie będziemy musieli się z nikim dzielić wygraną w razie sukcesu. 30 marca 1994 roku w Dużym Lotku wylosowano następujące numery: 11, 16, 23, 30, 35 i 41 (proszę spróbować zakreślić te liczby na kuponie otrzymamy ładny, symetryczny wzorek) Po najwyższą wygraną zgłosiło się do Totalizatora kilkadziesiąt osób... wyliczone teoretyczne prawdopodobieństwa 1 0,8 0,6 0,4 0,2 0 0 sukces bankructwo 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 zysk netto Wykres przedstawia prawdopodobieństwo sukcesu i bankructwa metody Martingale (podwajanie obstawień) w zależności od planowanego zysku. Grając va banque Kowalski z Kwiatkowskim grają lekko niesymetryczną monetą orzeł wypada statystycznie w 52 przypadkach na 100.Kowalski ma 100 zł i obstawia orła,stawiając po złotówce na każdy zakład. Po 1000 rozgrywek, statystycznie rzecz biorąc, Kowalski wygra średnio 520 razy a przegra 480. Czyli zarobi 40 zł. A gdyby chciał zgarnąć więcej? Może zaryzykować stawiając wszystko co ma. Po 5 kolejnych korzystnych dla niego grach miałby 3200 zł. Zyskałby 3100 zł netto. Zarobek całkiem godziwy ale i ryzyko bankructwa ogromne szansa wygrania 5 gier pod rząd wynosi bowiem mniej niż 4 proc. Stawianie wszystkiego na jedną kartę to sposób dla desperatów. Z drugiej strony, mozolne powtarzanie tej samej gry tysiąc razy w nadziei na 40 złotowy zarobek może wystawić na szwank cierpliwośc nawet najwytrwalszego drobnego ciułacza. Czy istnieje złoty środek? Kowalski mógłby przecież obstawiać więcej niż złotówkę a mniej niż 100 zł, za każdym razem zostawiając sobie na wszelki wypadek część posiadanej kwoty, by oddalić widmo całkowitego bankructwa i dać sobie szansę odegrania się w następnej kolejce. Jeżeli ułamek ryzykowanego majątku byłby wysoki (np. 60 proc.), to o końcowym bilansie decydowałyby wyniki początkowych gier. Jeśli na początku przeważałyby przegrane, straciłby znaczącą część kapitału, której nie zdążyłby w dalszej części gry odrobić. Zakończyłby więc grę z mniejszą ilością pieniędzy niż ją zaczynał. Z kolei, przeznaczanie na kolejne gry małego procentu aktualnie posiadanego przez gracza kapitału (np. 2 proc.) byłoby strategią bezpieczną, ale takie asekuranctwo nie pozwoliłoby mu wygrać żadnej znaczącej kwoty. Kto wymyślił ruletkę? Jej powstanie przypisuje się starożytnym Rzymianom, Chińczykom, anonimowemu francuskiemy mnichowi bądź matematykowi Blaise Pascalowi. W 18 wieku we Francji gry oparte o kręcenie kulką po kole były dość popularne i występowały pod wieloma nazwami. Ruletka we współczesnej postaci pojawiła się w Paryżu około 1760 roku STYCZEŃ 2005 W IEDZA I Ż YCIE 5
Black Jack jest grą francuską pochodzącą z początków 18 w. W Paryżu znana była pod nazwą 21. Amerykańska nazwa bierze się od premii wyplacanej gdy gracz jako pierwsze karty otrzymał J i asa pik, obydwie czarne karty Powstaje pytanie: jak obstawiać (jaki stały procent posiadanego kapitału przeznaczać na kolejne gry), aby zmaksymalizować zysk? Kryterium Kelly Odpowiedzi na to pytanie po raz pierwszy udzielił J. L. Kelly opierając się na matematycznej teorii informacji i jej zastosowaniu w telekomunikacji. Podał on wzór pozwalający obliczyć optymalny procent posiadanej kwoty, którą należy przeznaczać na kolejne gry. Procent ten określa formuła: (k+1)x ƒ p-1 = k W powyższym wzorze p jest prawdopodobieństwem sukcesu (gra musi być korzystna czyli p>0,5), k kurs wypłata netto w grze w przypadku sukcesu. UWAGA: TU JEST SYSTEM W grze w Black Jacka udział bierze krupier (po stronie kasyna), który występuje przeciwko graczom. Krupier rozdaje karty (jednocześnie je odkrywając) każdemu z uczestników po dwie, sobie jedną. Zadaniem graczy jest dobór kart do wartości 21. Figury w kartach (króle, damy, walety) maja wartość 10, pozostałe zgodnie z ich wartością liczbową. Wyjątkiem jest as, który może w zależności od kontekstu oznaczać 1 lub 11. Gracz może dobierać dowolną ilość kart, jednak przekroczenie limitu 21 oczek powoduje jego natychmiastowa porażkę i stratę postawionych na grę żetonów. Jeżeli zdecyduje się zatrzymać na jakiejś ilości oczek mniejszej od 21, karty zaczyna dobierać sobie krupier. Zasadą jest, że dobierać (za każdym razem) musi on tylko do wartości 17. Jeżeli zebrał już 18 lub więcej oczek musi na tym poprzestać. W przypadku, gdy krupier dobierając karty przekroczy limit 21, również przegrywa. Gracz wygrywa jeżeli jego ilość oczek jest bliższa wartości 21 niż krupiera. Opis różnych wariantów black jacka jak i proponowanych odpowiednio do nich systemów liczenia schodzących kart, a także wiele innych ciekawostek dotyczących tej gry, znaleźć można na stronach: http://www.kasyno.org/, http://www.blackjackinfo.com/ oraz http://www.bjmath.com/. W rozgrywce Kowalski kontra Kwiatkowski optymalna strategia dla Kowalskiego wyliczona z formuły Kellego zakłada obstawianie 4 proc. posiadanej puli i pozwala zarobić w ciągu 1000 kolejek 122,6 proc. kwoty wyjściowej czyli w przypadku Kowalskiego 122zł 60 gr. (dokładne rachunki znależć można na naszej stronie internetowej).wyliczona ze wzoru strategia sprawdza się tylko w przypadkach posiadania w grze statystycznie niewielkiej przewagi. Może być też stosowana w przypadku gry giełdowej przewaga, jaką mamy wówczas po swojej stronie to stosowna wiedza ekonomiczna. Zarobić na wyścigach Wzór J. L. Kellyego sprawdza się też w sportowych grach bukmacherskich. Również w tym przypadku proponowane stawki na określone zdarzenia wyliczone są w specyficzny korzystny dla bukmachera sposób przewagę może dać nam tylko doskonała znajomość realiów sportowych rządzących daną dyscypliną. Najwyższe stawki proponują zazwyczaj bukmacherzy internetowi ze względu na niskie koszty prowadzenia działalności. Ich firmy z reguły zarejestrowane są w krajach, w których ta forma działalności gospodarczej zwolniona jest z podatku (np. Malta), więc grający przy zawieraniu zakładu również jest niego zwolniony. Jaki jest mechanizm ustalania stawek? Załóżmy, że grają drużyny A i B. Jeśli bukmacher uważa, że drużyna A jest faworytem, proponuje zakład na jej zwycięstwo z kursem wypłaty np. 1,95 (za każdą postawioną na A złotówkę wypłata wynosi 1,95 zł, czyli zysk netto 0,95 zł). W ten sam sposób szacuje szanse na zwycięstwo drużyny B (jako że uważa ją za słabszą, oferuje wyższe przebicie w zakładzie np. 3,55 za zwycięstwo i 3,2 za remis). Dokładne wartości prawdopodobieństw wyników nie są oczywiście znane bukmacherowi ani jego klientom, są one szacowane na podstawie analizy rynku zdarzeń sportowych. Brana jest pod uwagę aktualna dyspozycja drużyny którą najlepiej odzwierciedlają osiągane przez nią ostatnio wyniki. Żeby gra była sprawiedliwa (wartość oczekiwana wygranej wynosiła zero) oferowane kursy powinny być równe odwrotności prawdopodobieństwa obstawianego wyniku rozgrywki. Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo że Legia wygra z Wisłą jest równe 1/4, proponowany kurs wypłaty wyniósłby 4 do 1. Jeśli szacujemy szanse wygranej Wisły na 3/4, kurs wypłaty na to zdarzenie powinien być równy 4/3, czyli ok. 1,33 do 1.W praktyce jednak tak nie jest. Bukmacher prowadzi działalność aby zarobić i ustala kursy na poziomie nieznacznie niższym tzn. K 1 <1/P 1, K 2 <1/P 2 i K 3 <1/P 3. (K 1 jest kursem wypłat zdarzenia o prawdopodobieństwie P 1 itd). Wartość Z=1/K1+1/K2+1/K3 jest większa od jedynki i określa ile, niezależnie od wyniku rozgrywek, zarobi bukmacher. Im Z jest większa od 1, tym bukmacher bardziej zachłanny. Fot. Łukasz Cynalewski 6 W IEDZA I Ż YCIE STYCZEŃ 2005
Fot. Getty Images/Flash Press Media Porównując kursy u kilkunastu, a nawet kilkudziesięciu bukmacherów, możemy znaleźć takie zakłady dla których wartość Z będzie mniejsza od jedynki (oczywiście nigdy nie u tego samego bukmachera).w takim przypadku umiejętne obstawienie przeciwnych rozstrzygnięć tego samego zdarzenia sportowego u różnych bukmacherów, bez względu na wynik przyniesie nam wymierny pewny zysk.wyszukiwaniem takich kursów (tzw. sytuacji arbitrażowych), ich analizą i porównywaniem, zajmują się różne tematyczne serwisy internetowe (np. www.betbrain.com oraz www.noriskbetting.com). Porównajmy teraz kursy u różnych bukmacherów. Przykład jest całkowicie fikcyjny i wymyślony przez autora w celu zobrazowania rozważanego zagadnienia. Uwaga: trzeba będzie wykonać kilka rachunków. Dla osób nieprzyzwyczajonych może to być wyczerpujące ale czego się w końcu nie robi dla pieniędzy... Andrzej Gołota spotyka się w finale meczu bokserskiego o mistrzostwo świata z Mikem Tysonem. Bukmacher Expert ustala kurs za zwycięstwo Gołoty jako K 1a =2,50, a za zwycięstwo Tysona K 2a =1,50. Otrzymujemy Z a =1/K 1a +1/K 2a =1,066, co oznacza, że średnio 6,6 proc. obstawianych kwot ląduje w kieszeni przyjmującego zakłady. Inny bukmacher Velifex uważa, że Gołota ma trochę większe szanse na zwycięstwo więc ustala kurs na K 1b =2,00 oraz K 2b =1,73 w przypadku zwycięstwa Tysona. Po podstawieniu danych do wzoru otrzymujemy Z b =1/K 1b +1/K 2b =1,078. (Ten bukmacher zgarnia więcej aż 7,8 proc) Obliczmy wartość Z w przypadku obstawiania zwycięstwa Andrzeja Gołoty w Expert, a zwycięstwa Mika Tysona w Velifex. Otrzymujemy Z=1/K 1a +1/K 2b =0,978. Jest to wartość mniejsza od jedynki! Widać stąd, że taki mieszany zakład, o zachłanności mniejszej od jedynki gwarantuje pewny zysk. Załóżmy teraz, że chcielibyśmy wygrać 100 zł. Jeśli przewidujemy zwycięstwo Gołoty, warto obstawić je tam, gdzie dają za nie jak najwięcej, czyli u Experta. Jako że kurs wynosi 2,50, aby wypłacono nam 100 zł trzeba zagrać za złotych 40. Z kolei wygraną Tysona obstawmy w Velifex. Przy oferowanym tu kursie 1,73 aby wygrać 100 zł należy postawić 57,80 zł.w ten sposób inwestując 97,80 (40+57,80) zarabiamy 100 zł niezależnie od wyniku starcia Gołota-Tyson! Zysk netto jest pewny i wynosi 2,20 zł. Jeżeli zainwestujemy kwotę 10-krotnie większą to również 10-krotnie wzrośnie nasz zysk netto do poziomu 22 zł. Wyszukanie różnic w stawkach zakładów odpłatnie oferują wspomniane serwisy informacja jak wiadomo kosztuje gwarantując zysk rzędu do blisko 10 proc., a czasami nawet większy. W żadnym banku czy funduszu pewnego zysku tej wysokości tak szybko nie osiągniemy. Wadą i niedogodnością takiego rozwiązania jest to, że należałoby mieć pozakładane konta u różnych bukmacherów (a jest ich na całym świecie bardzo wielu) z odpowiednimi kwotami które umożliwiałyby grę na rozsądnym poziomie. Ryzyko dobrze określone Jaki morał płynie z powyższych rozważań? Ano taki, że wprawdzie systemy istnieją (i działają!) to jednak nie likwidują bo i nie mogą przewagi kasyna nad graczem.ta jest bowiem wpisana w samą strukturę gry. Kasyno nie chce oskubywać gości (gdyby tak było, rychło starciłoby wszystkich klientów), zarabia tylko na jak największym obrocie, musi jednak zapewnić sobie pewną barierę bezpieczeństwa, chroniąc się przed bankructwem.temu i wyłącznie temu służy przewaga. Co zatem daje system? Minimalizację ryzyka.techniki martyngałowe oparte są na fakcie, że zły los kiedyś się w końcu odwraca. I że skoro do tej miało się pecha, z tym większą odwagą można podnieść stawkę i w następnej koklejce postawić więcej. Oczywiście cudów nie ma. Bo wprawdzie z każdą kolejką prawdopodobieństwo, że tym razem w końcu karta się odwróci jest większe ale i ryzykujemy coraz wyższą stawkę...w końcu, jeśli mamy kosmicznego pecha możemy przegrywać nawet kilkadziesiąt razy z rzędu. To oznacza że może nas spotkać klapa i ostateczne bankructwo, czyli piękna katastrofa jak mawiał Zorba. Na stronie www.wiedzaizycie.pl zamieściliśmy rozszerzoną wersję tekstu zawierającą szczegółowe wyliczenia, wyprowadzenia używanych formuł a także opis systemy do gry w Multilotka. Na zakładach sportowych można zarobić nawet wówczas, gdy nie ma się zielonego pojęcia która z drużyn ma większą szansę na wygraną. Wystarczy zadać sobie trud przeanalizowania kursów u różnych bukmacherów PIOTR WOŁOWIK jest doktorantem w Instytucie Elektroniki i Telekomunikacji Politechniki Poznańskiej. STYCZEŃ 2005 W IEDZA I Ż YCIE 7