Próba wyznaczenia wartości stałych równania Johnsona-Cooka na podstawie testu pierścieniowego

BIULETYN WAT VOL. LVII, NR 3, 2008 Próba wyznaczenia wartości stałych równania Johnsona-Cooka na podstawie testu pierścieniowego JACEK JANISZEWSKI, ROBERT PANOWICZ*, Wojskowa Akademia Techniczna, Wydział Mechatroniki, *Instytut Optoelektroniki, 00-908 Warszawa, ul. S. Kaliskiego 2 Streszczenie. W pracy podjęto próbę określenia stałych do równania konstytutywnego Johnsona-Cooka dla miedzi Cu-ETP na podstawie wyników otrzymanych z elektromagnetycznego testu pierścieniowego. Do wyznaczenia stałych wykorzystano przedstawiony w opracowaniu [1] model matematyczno-fizyczny, opisujący proces elektromagnetycznego rozciągania pierścieni metalowych. Na podstawie dokonanych analiz stwierdzono, że dla otrzymanych wartości stałych równania konstytutywnego Johnsona-Cooka osiągnięto dobrą zgodność wyników obliczeń numerycznych z danymi doświadczalnymi. Słowa kluczowe: elektromagnetyczny test pierścieniowy, równanie konstytutywne Johnsona-Cooka Symbole UKD: 620.1 1. Wprowadzenie Rozwój nauk przyrodniczych, a także wzrost mocy obliczeniowych współczesnych komputerów oraz postęp w opracowywaniu specjalistycznego oprogramowania, umożliwiają obecnie rozwiązywanie coraz bardziej złożonych zagadnień fizycznych. Jesteśmy świadkami powstawania i rozwijania systemów komputerowych, pozwalających symulować tak skomplikowane zjawiska, jak zderzenie meteorytu z powierzchnią ziemi, wybuch ładunku materiału wybuchowego i oddziaływanie powstałej fali uderzeniowej na różnego rodzaju obiekty, czy też powstawanie strumienia kumulacyjnego, jego lot i oddziaływanie na pancerz. Oprogramowanie pozwalające analizować te złożone procesy bazuje na równaniach mechaniki ośrodków ciągłych, wyrażających prawa zachowania masy, pędu i energii. Równania te są rozwiązywane za pomocą różnorodnych metod numerycznych, jak np. metody różnicowe, metoda elementów skończonych, metody bezsiatkowe [2]. Istotnym

274 J. Janiszewski, R. Panowicz elementem niezbędnym do domknięcia tak powstałego układu równań są związki opisujące reakcję materiału na różnorodne warunki obciążenia. Do tej pory zaproponowano wiele równań konstytutywnych, które zostały opracowane na podstawie różnych kryteriów oceny zachowania się materiałów poddanych dynamicznym obciążeniom. Typowym związkiem konstytutywnym, opracowanym na podstawie przesłanek doświadczalnych, jest związek Steinberga- -Guinana czy Johnsona-Cooka, natomiast związki takie jak MTS (ang. Mechanical Threshold Stress) i PTW (Preston, Tonks, Wallace) opierają się na założeniach i rozważaniach teoretycznych [3]. Jednym z ważniejszych osiągnięć w obszarze badań teoretycznych nad zachowaniem się ciał poddawanych dynamicznym obciążeniom było opracowanie eksperymentalnego równania konstytutywnego Johnsona-Cooka (JC) [4]. Związek ten dobrze odzwierciedla zachowanie się wielu materiałów poddanych dynamicznym obciążeniom. Jednocześnie, mimo stosunkowo prostej postaci, uwzględnia on wpływ wielkości odkształcenia, szybkości odkształcania oraz temperatury na wartość granicy plastycznego płynięcia. Jest on wyrażony w następującej postaci: T T = A + B + C T T = (1) n m ( )( )( ) * * * 0 1 ln 1 ;, Tm T0 gdzie: A, B, C, n, m stałe materiałowe; T m = 1356,15 K temperatura topnienia Cu; T 0 temperatura początkowa; ε odkształcenie plastyczne; * unormowana szybkość odkształcenia. Równanie konstytutywne JC jest obecnie powszechnie wykorzystywane przez społeczność naukową, implementację tego modelu zawierają także współczesne programy CAE (np. ANSYS, LS DYNA). Prostota postaci, nieduża liczba stałych (pięć) oraz stosunkowo proste sposoby ich wyznaczania są głównymi przyczynami jego popularności. W związku z tym, w literaturze przedmiotu są dostępne informacje dotyczące wartości poszczególnych stałych równania JC dla stosunkowo dużej ilości materiałów. Stałe równania JC są określane doświadczalnie. Część z nich (A, B i n) najczęściej wyznaczana jest na podstawie wyników badań statycznych, tj. statycznej próby rozciągania lub skręcania. Z kolei wartość stałych C i m ustala się bazując na wynikach otrzymanych metodami dynamicznymi, tj. metodą Taylora lub pręta Hopkinsona [5]. Opracowano także metody wyznaczania stałych do równania JC jedynie na podstawie testów dynamicznych [6]. Chociaż stałe równania JC są dostępne dla wielu metali, to jednak w wielu przypadkach, zwłaszcza materiałów produkcji polskiej, trudno jest znaleźć odpowiedni

Próba wyznaczenia wartości stałych równania Johnsona-Cooka... 275 zestaw stałych. Komplikuje to znacznie wykorzystanie technik obliczeniowych do badania i projektowania różnorodnych urządzeń, w których wykorzystuje się materiały rodzimej produkcji. W związku z powyższym, w niniejszej pracy podjęto próbę wyznaczenia trzech stałych do równania konstytutywnego JC miedzi polskiej produkcji (Cu-ETP) na podstawie danych eksperymentalnych pozyskanych z elektromagnetycznego testu pierścieniowego. W pierwszej części artykułu skrótowo przedstawiono elektromagnetyczny test pierścieniowy oraz opracowaną metodykę wyznaczania stałych równania JC. W drugiej części dokonano weryfikacji opracowanej metodyki na podstawie danych doświadczalnych zaczerpniętych z literatury oraz przedstawiono obliczone wartości stałych związku konstytutywnego JC dla miedzi Cu-ETP. Ponadto podano przykłady wyników obliczeń numerycznych procesu napędzania elektromagnetycznego pierścienia miedzianego z użyciem wcześniej wyznaczonych stałych. 2. Metodyka wyznaczania stałych Johnsona-Cooka na podstawie testu pierścieniowego 2.1. Istota elektromagnetycznego testu pierścieniowego Rozciąganie promieniowe pierścieni metalowych metodą elektromagnetyczną jest wynikiem działania sił Lorentza, które powstają na skutek przepływu zmiennych w czasie prądów [7]. Schemat układu do elektromagnetycznego rozciągania został przedstawiony na rysunku 1. Układ składa się ze źródła zasilania w postaci baterii kondensatorów, przełącznika oraz symetrycznej cewki, na którą nasunięto cienkościenny pierścień wykonany z materiału o dobrej przewodności elektrycznej. Rys. 1. Schemat układu do elektromagnetycznego rozciągania pierścieni

276 J. Janiszewski, R. Panowicz Procedura eksperymentalna napędzania elektromagnetycznego zaczyna się od ładowania kondensatorów do napięcia V. Następnie obwód zasilania jest zamykany przełącznikiem tyrystorowym. W obwodzie zaczyna płynąć prąd I 1, który osiąga wartość od kilku do kilkudziesięciu kiloamperów. Ten zmienny w czasie prąd generuje zmienny strumień pola magnetycznego, który indukuje w pierścieniu zmienny prąd I 2 o kierunku przeciwnym do kierunku prądu cewki. W ten sposób cewka i pierścień, wskutek działania sił Lorentza, odpychają się wzajemnie wywołując, w przypadku sztywnego zamocowania zwojów cewki, promieniowe rozciąganie pierścienia. Prędkość rozciągania pierścienia może osiągnąć nawet kilkaset metrów na sekundę. Po upływie pewnego czasu od chwili zadziałania przełącznika tyrystorowego, amplituda prądu w obwodzie cewki maleje do zera, a następnie prąd zaczyna płynąć w kierunku przeciwnym (oscylacyjny charakter obwodu RLC). Jednakże po zmianie kierunku, przepływ prądu jest już blokowany przez przełącznik tyrystorowy, który przewodzi prąd tylko w jednym kierunku. W ten sposób prąd w obwodzie cewki zanika. Od tego momentu pierścień porusza się w wyniku działania sił bezwładności, a wartość opóźnienia pierścienia jest zależna wyłącznie od własności fizyko-mechanicznych materiału, z którego wykonano pierścień. Końcowym etapem rozszerzania się pierścienia jest jego fragmentacja następująca po czasie charakterystycznym dla badanego materiału i warunków napędzania. Wyznaczanie właściwości dynamicznych materiałów z użyciem metody pierścieniowej polega na precyzyjnej rejestracji zmian promienia pierścienia lub jego radialnej prędkości w fazie ruchu inercyjnego. W przypadku, gdy szerokość i wysokość pierścienia jest mała w porównaniu z jego średnicą, podczas rozciągania pojawia się jednowymiarowe naprężenie obwodowe σ Θ, które hamuje ruch pierścienia. Naprężenie to można określić za pomocą następującego równania: 2 r Θ = r t 2, (2) gdzie: ρ gęstość materiału pierścienia; r średni promień; t czas. Obliczone w ten sposób naprężenia odpowiadają zakresowi odkształceń plastycznych właściwych dla inercyjnego etapu rozciągania pierścienia. Wynika z tego, że bezpośrednio z testu pierścieniowego nie można skonstruować pełnego wykresu σ ε, lecz jedynie jego część [8]. Krzywą σ ε rozciągania pierścienia można jednak określić w sposób pośredni, wyznaczając najpierw stałe wybranego związku konstytutywnego na podstawie wyników uzyskanych ze statycznych testów wytrzymałościowych i testu pierście-

Próba wyznaczenia wartości stałych równania Johnsona-Cooka... 277 niowego. Jedną z propozycji metody określenia stałych równania JC na podstawie elektromagnetycznego testu pierścieniowego zaprezentowano w poniższym podrozdziale. 2.2. Metodyka wyznaczania stałych Johnsona-Cooka Głównym elementem zaproponowanej metodyki określenia stałych związku JC jest model teoretyczny rozciągania elektromagnetycznego pierścienia metalowego, który szczegółowo opisano w pracy [1]. Na podstawie tego modelu matematycznego opracowano program komputerowy, rozwiązujący zagadnienie ruchu pierścienia wywołanego siłami elektromagnetycznymi. Podstawowe równanie, opisujące ruch pierścienia na skutek oddziaływań elektromagnetycznych, można przedstawić w następującej postaci: 2 dv r b( r) 1 dlr I 1 Θ = ( t tc ) 0 I1I2 +, dt 4 P 4 P dr r r (3) gdzie: P pole przekroju poprzecznego pierścienia; b(r) czynnik geometryczny wynikający z zastosowania prawa Biota-Savarta dla cewki; v r prędkość radialna pierścienia; L r indukcyjność pierścienia; δ delta Diraca; t c czas odłączenia kondensatorów; µ 0 przenikalność dielektryczna próżni; µ przenikalność dielektryczna ośrodka. Proponowany algorytm wyznaczania stałych do równania JC (rys. 2) przedstawia się następująco: dla zadanych wartości stałych wejściowych A, B, n, C, m jest wyliczana zmiana promienia r(t) lub zmiana prędkości radialnej v(t). Obliczone w ten sposób wyniki są porównywane z danymi eksperymentalnymi za pomocą wybranej funkcji błędu dopasowania g. W niniejszej pracy przyjęto następującą postać tej funkcji: N 1 i= 1 ( ) g = N Weksp Wobl W eksp, (4) 2 gdzie: N ilość punktów pomiarowych; W eksp doświadczalnie określone wielkości charakteryzujące przebieg procesu rozciągania;

278 J. Janiszewski, R. Panowicz W obl obliczone, analogiczne wielkości dla danego zestawu stałych równania JC. Rys. 2. Poglądowy algorytm wyznaczania stałych równania JC na podstawie danych z testu pierścieniowego Wartość funkcji g jest następnie porównywana z najmniejszą wartością tej funkcji g min, która została wcześniej obliczona i zapamiętana. Jeżeli g < g min to g jest przyjmowane jako wartość najmniejsza, a odpowiadający jej zestaw stałych równania JC jest zapamiętywany. Wartość funkcji błędu dopasowania wyznacza się dla przyjętego przedziału zmienności stałych A, B, n, C, m. Za optymalny zestaw stałych równania JC przyjmuje się taki zestaw, któremu odpowiada wartość funkcji g min. W celu uproszczenia i skrócenia czasu obliczeń (średnio okres obliczeń optymalizacyjnych trwał około 3 dni z użyciem komputera klasy Intel Pentium Core 2 Duo), optymalizacji poddano tylko trzy parametry spośród pięciu, a mianowicie: B, n, C. Pozostałe stałe A i m określono na podstawie próby rozciągania (stała A) i danych literaturowych (stała m). W literaturze przedmiotu przyjmuje się, że wartość parametru A odpowiada granicy plastyczności określonej na podstawie statycznej próby rozciągania lub skręcania. Z kolei wartość stałej m równą 1,09 przyjęto na podstawie przeglądu literatury, w której taka wartość jest dla miedzi podawana najczęściej. Optymalizację parametrów B, n, C wykonano dla następujących przedziałów zmienności stałych: 200 B 450; 0,25 n 0,5; 1 10 2 C 5 10 2. 3. Wyniki i analiza badań 3.1. Weryfikacja metodyki wyznaczania stałych równania JC na podstawie danych doświadczalnych przedstawionych w literaturze [7, 9] Weryfikacji metodyki oraz wykonanego na jej podstawie programu komputerowego dokonano na podstawie wyników badań zaprezentowanych w pracach [7, 9]. Do wyznaczenia funkcji błędu dopasowania wykorzystano dane eksperymentalne

Próba wyznaczenia wartości stałych równania Johnsona-Cooka... 279 wyrażające zmianę prędkości radialnej pierścienia w pięciu wybranych chwilach procesu rozciągania. Pomiar prędkość rozciągania w trakcie inercyjnego lotu pierścienia wykonano za pomocą interferometru laserowego (VISAR). Napędzanie pierścienia o średniej średnicy 32 mm i przekroju poprzecznym 1 1 mm było przeprowadzane z energią rozładowania około 0,45 kj z użyciem cewki sześciozwojowej. Z uwagi na to, że w pracy [7] badano miedź OFE o wielkości ziarna 10 µm, wartość stałej A wynosiła 69 MPa, natomiast wartość parametru m była równa 1,09. Na podstawie obliczeń optymalizacyjnych wykonanych za pomocą ww. oprogramowania otrzymano następujący zestaw wartości stałych równania JC: A = 69 MPA; B = 372,6 MPa; n = 0,44; C = 3,5 10 2 ; m = 1,09. Na rysunku 3 przedstawiono wykresy zmiany prędkości rozciągania pierścienia oraz naprężeń plastycznych, wyznaczonych z użyciem wartości stałych, uzyskanych dzięki optymalizacji dla odkształceń odpowiadających rozszerzaniu inercyjnemu. Ponadto, na wykresach umieszczono również dane eksperymentalne, które zaczerpnięto z prac [7, 9]. a) b) Rys. 3. Porównanie danych eksperymentalnych [7, 9] z wynikami obliczeń numerycznych wykonanych z użycie stałych JC otrzymanych po optymalizacji: krzywa v(t); b) krzywa σ ε Przedstawione na rysunku 3 zestawienie wyników obliczeń pozwala stwierdzić, że dla wyznaczonych wartości stałych równania JC uzyskano dobrą zgodność wyników obliczeń numerycznych z danymi eksperymentalnymi zaczerpniętymi z [7, 9]. Na rysunku 3a punkty oznaczające wartość eksperymentalnie określonych prędkości rozszerzanie pierścienia [7] leżą bardzo blisko krzywej v(t) obliczonej z zastosowaniem stałych JC otrzymanych w wyniku optymalizacji. Dobrą zgodność wyników obliczeń numerycznych z danymi doświadczalnymi ujawnia również krzywa (rys. 3b). Wprawdzie kształt krzywej wyznaczonej w ramach niniejszej pracy odbiega od krzywej zaczerpniętej z pracy [7], jednak w przypadku danych z pracy [9] rozbieżności w przebiegach krzywych są już znacznie mniejsze.

280 J. Janiszewski, R. Panowicz 3.2. Określenie wartości stałych równania JC dla miedzi Cu-ETP na podstawie testu pierścieniowego Do wyznaczenia wartości stałych równania JC dla miedzi Cu-ETP posłużono się wynikami testów pierścieniowych, wykonanych za pomocą aparatury laboratoryjnej przedstawionej szczegółowo w pracy [10]. Widok stanowiska oraz schemat elektryczny układu napędzającego próbki pierścieniowe przedstawiono na rysunku 4. Elektromagnetyczne rozciąganie pierścienia miedzianego o średniej średnicy 32 mm i przekroju poprzecznym 1 1 mm następowało w wyniku rozładowania baterii kondensatorów w obwodzie zawierającym cewkę czterozwojową. Dla przyjętych parametrów ładowania baterii kondensatorów energia rozładowania osiągnęła wartość 0,48 kj. Rys. 4. Fotografia stanowiska laboratoryjnego widok od strony cewki z pierścieniem (po lewej), część schematu elektrycznego układu napędzającego (po prawej) Badaniom poddano próbki pierścieniowe z miedzi elektrolitycznej gatunku Cu-ETP, który charakteryzuje się granicą plastyczności równą 90 MPa oraz wielkością ziaren mieszczącą się w przedziale 50 100 µm. Pierścienie wykonano metodą obróbki skrawaniem z pręta o średnicy 40 mm. Rejestrację ruchu pierścienia przeprowadzono przy użyciu systemu pięciu cyfrowych kamer kadrowych umożliwiających uzyskiwanie obrazów o stosunkowo dużej rozdzielczości (1360 1024 pikseli) w wybranych chwilach rozciągania pierścienia. Na podstawie otrzymanych obrazów dokonano pomiarów promienia rozciągającego się radialnie pierścienia. Dzięki wysokiej rozdzielczości zarejestrowanych kadrów pomiar promienia był wykonany z dokładnością 0,03 mm. Określenie stałych równania JC zostało wykonane na podstawie wartości promienia pierścienia w pięciu wybranych chwilach procesu napędzania w od-

Próba wyznaczenia wartości stałych równania Johnsona-Cooka... 281 różnieniu od wcześniej wykorzystanych wyników pomiarów prędkości rozciągania. W rezultacie dokonanej optymalizacji komputerowej otrzymano następujące wartości stałych równania JC: A = 90 MPA; B = 279 MPa; n = 0,34; C = 3,1 10 2 ; m = 1,09. Niniejsze stałe zostały następnie zastosowane do obliczenia funkcji r(t) i v(t), które opisują przebieg rozciągania elektromagnetycznego pierścienia wykonanego z miedzi Cu-ETP. Wyniki tych obliczeń wraz z danymi eksperymentalnymi zastosowanymi do określenia stałych przedstawiono na rysunku 5. Rys. 5. Wyniki obliczeń numerycznych opisujących przebieg rozciągania pierścienia z miedzi Cu-ETP otrzymanych z zastosowaniem stałych określonych na podstawie testu pierścieniowego: a) zmiana promienia w trakcie rozciągania r(t); b) zmiana prędkości rozciągania v(t) Zaprezentowane na rysunku 5a porównanie rezultatów obliczeń numerycznych i doświadczalnych pozwala stwierdzić, że obliczona zmiana promienia pierścienia w czasie z zastosowaniem wyznaczonych stałych równania JC pozostaje w zgodności z danymi eksperymentalnymi. Trafność tego wniosku potwierdza również wykres na rysunku 5b przedstawiający zmiany prędkości rozciągania pierścienia. Przebieg zmian prędkości oraz maksymalna wartość prędkości ekspansji pierścienia jest bardzo podobna do rezultatów zaprezentowanych w pracy [7] (rys. 3a) pomimo to, że w tamtej pracy badano inny gatunek miedzi. Ten stan rzeczy należy tłumaczyć bardzo zbliżonymi w obu eksperymentach warunkami napędzania i wymiarami próbki pierścieniowej, gdy tymczasem wpływ właściwości materiału pierścienia na zmianę prędkości rozciągania objawia się dopiero w fazie lotu inercyjnego. Różnice właściwości rozpatrywanych gatunków miedzi są zobrazowane na rysunku 6. Na tym wykresie porównano zależność σ ε wykreśloną na podstawie równania JC z zastosowaniem wartości stałych uzyskanych w teście pierścieniowym z analogiczną krzywą dla miedzi OFE, zaczerpniętą z pracy [7]. Z przebiegu krzywych σ ε można stwierdzić, że miedź gatunku Cu-ETP ma wyższe naprężenia plastycznego płynięcia (średnio o około 50 MPa) w stosunku do

282 J. Janiszewski, R. Panowicz naprężeń występujących w pierścieniu z miedzi OFE. Z braku precyzyjnych danych materiałowych na temat miedzi OFE trudno jest jednak ocenić, czy występujące tutaj różnice w przebiegach krzywych są tylko wynikiem różnic we właściwościach fizyko-mechanicznych badanych materiałów, czy są także rezultatem przyjętych założeń i uproszczeń, lub też wynikają z niedostatecznej dokładności danych doświadczalnych. Rys. 6. Porównanie krzywych σ ε otrzymanych dla miedzi OFE [7] i Cu-ETP 4. Wnioski końcowe Jak zaznaczono we wprowadzeniu, niniejsza praca jest tylko pierwszą próbą określenia stałych do równania Johnsona-Cooka na podstawie danych doświadczalnych uzyskanych z testu pierścieniowego. Na podstawie danych zestawionych w tabeli można zauważyć, że istnieją różnice pomiędzy wartościami poszczególnych stałych równania JC. Przyczyny występowania tych różnic nie są jednoznacznie znane na obecnym etapie badań i wymagają dalszych badań i analiz. Dlatego przedstawiona w niniejszym opracowaniu metodyka wymaga dalszej, wszechstronnej weryfikacji. Na podstawie zaprezentowanych wyników można jednak ogólnie stwierdzić, że wyznaczone za pomocą opracowanej metodyki stałe związku JC nie odbiegają jakościowo od wyników przedstawianych w literaturze. Wyniki obliczeń numerycznych procesu rozciągania elektromagnetycznego, uzyskane z zastosowaniem wyznaczonych stałych równania JC, dobrze odzwierciedlają przebieg ekspansji radialnej pierścienia oraz stan naprężeń plastycznych.

Próba wyznaczenia wartości stałych równania Johnsona-Cooka... 283 Zestawienie wartości stałych równania Johnsona-Cooka Tabela 1 Gatunek miedzi A [MPa] B [MPa] n [ ] C [ ] M [ ] Źródło danych OFHC 90 292 0,31 2,5 10 2 1,09 [4] Cu-ETP 90 279 0,34 3,1 10 2 1,09 Optymalizacja własna OFE 69 223,6 0,31 2,5 10 2 1,09 [7] OFE 69 372,6 0,44 3,5 10 2 1,09 Optymalizacja własna Podziękowania Autorzy pracy pragną podziękować dr. inż. Wiesławowi Picholi i ppłk. dr. inż. Krzysztofowi Rutynie za pomoc w przeprowadzeniu badań eksperymentalnych. Pracę zrealizowano w ramach projektu badawczego własnego nr 0 T00C 007 30 finansowanego przez Ministerstwo Nauki i Szkolnictwa Wyższego. Artykuł wpłynął do redakcji 26.05.2008 r. Zweryfikowaną wersję po recenzji otrzymano w czerwcu 2008 r. LITERATURA [1] R. Panowicz, J. Janiszewski, W. Włodarczyk, Wybór modelu konstytutywnego do analizy zachowania się materiału pierścienia rozpęczanego impulsowym silnym polem elektromagnetycznym, Biul. WAT, 57, 4, 2007. [2] K. Jach i in., Komputerowe modelowanie dynamicznych oddziaływań ciał metodą punktów swobodnych, PWN, Warszawa, 2001. [3] M. A. Meyers, Dynamic Behavior of Materials, John Wiley and Sons, 1994. [4] G. R. Johnson, W. H. Cook, A constitutive Model and Data for Metals Subjected To Large Strains High Strain Rates and High Temperatures, Proceedings of the 7 th International Symposium on Ballistics, The Hauge, The Netherlands, April 1983. [5] W. K. Rule, S. E. Jones, A revised form for the Johnson-Cook strength model, Int. J. Impact Engng., 21, 8, 1998. [6] W. H. Cook, 2D Axissymetric Lagrangian Solver for Taylor Impact with Jahnson-Cook Constitutive Model, Technical Report AFRL-MN-EG-TR-2000-7026. [7] W. H. Gourdin, Analysis and assessment of electromagnetic ring expansion as a high-strain-rate test, J. Appl. Phys., 65, 2, 1989. [8] R. H. Warnes i in., An improved Technique for Determining Dynamic Material Properties using the Expanding Ring, Int. Conference on the Metallurgical Effects of High-Strain-Rate Deformation and Fabrication, 1980. [9] W. H. Gourdin, D. H. Lassila, Flow Stress of OFE Copper at Strain Rates from 10 3 to 10 4 s 1 : Grain-size Effects and Comparison to the Mechanical Thresholds Stress Model, Acta Metal Mater, 39, 10, 1991.

284 J. Janiszewski, R. Panowicz [10] J. Janiszewski, W. Pichola, Stanowisko do elektromagnetycznego rozciągania pierścieni jako aparatura umożliwiająca badanie właściwości dynamicznych metali, Biul. WAT, 57, 1, 2008. J. JANISZEWSKI, R. PANOWICZ Determination of constants of Johnson-Cook model for copper Cu-ETP by conducting electromagnetic expanding ring test Abstract. An attempt to determine the constants of the Johnson-Cook model for the Cu-ETP copper on the basis of the results obtained from electromagnetic expanding ring experiment is presented in this paper. To identify the constitutive parameters, the theoretical model presented in Ref. 1 was used which describes electromagnetic expansion of a metal ring. According to the performed analysis it was found that for the determined Johnson-Cook model constants, agreement of model calculation results with the experimental ring data is satisfactory. Keywords: electromagnetic expanding ring test, constitutive Johnson-Cook model Universal Decimal Classification: 620.1