TEORIA MASOWEJ OBSŁUGI TEORIA KOLEJEK Wykład 1 Dr inż. Anna Kwasiborska Literatura B. von der Veen: Wstęp do teorii badań operacyjnych. PWN, Warszawa 1970. Gniedenko B. W., Kowalenko I. N.: Wstęp do teorii masowej. PWN, Warszawa 1971. Jędrzejczyk Z., Kukuła K.: Badania operacyjne w przykładach i zadaniach. PWN, Warszawa 1999. Kozubski J.: Wprowadzenie do badań operacyjnych. Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 1999. Geneza Początek XX wieku - w związku z silnym rozwojem sieci telefonicznych oraz problemami praktycznymi związanymi z rozbudową już istniejących lub tworzeniem nowych sieci. Pojawiły się problemy dotyczące m.in. odpowiedniego doboru sprzętu, warunków tworzenia centrów telekomunikacyjnych itp. Nurt ten zapoczątkowany był przez duńskiego naukowca AGNERA KRARUPA ERLANGA. Teoria masowej Teoria kolejek zajmuje się budową modeli matematycznych, które można wykorzystać w racjonalnym zarządzaniu dowolnymi systemami działania, zwanymi systemami masowej. Przykładami takich systemów są: sklepy, porty lotnicze, podsystem użytkowania samochodów przedsiębiorstwa transportowego, podsystem wania środków transportu. Teoria masowej Cele masowej Z punktu widzenia: praktyczna dziedzina wiedzy wykorzystywana coraz częściej w zinformatyzowanym świecie, związana z rachunkiem prawdopodobieństwa i teorią procesów stochastycznych, używająca jako narzędzi badawczych analizy zespolonej, teorii równań różniczkowych i całkowych i innych kierunków matematycznych. Klient - wybór momentu zgłoszenia, - średni koszt, - średni czas, - długość kolejki. Zarządzający - usprawnienie systemu, - zwiększenie liczby kanałów, - rozbudowa poczekalni, - zwiększenie atrakcyjności, 1
Podstawowe pojęcia Zgłoszenie obiekt (jednostka) zgłaszający się lub oczekujący na zaspokojenie określonej potrzeby. Obsługa zaspokojenie określonej potrzeby. Aparat obiekt umożliwiający zrealizowanie zgłoszenia. Układ zbiór jednorodnych aparatów i czynności realizowanych przy pomocy aparatów. zbiór zgłoszeń oczekujących na obsługę. System masowej zbiór elementów: układ masowej, zgłoszenia. Schemat SMO odejście proces WE poczekalnia obsługa WY przybyć (kolejka) (stanowisko ) rezygnacja z SMO Procesy SMO proces zgłoszeń - losowy lub zdeterminowany, 1 zgłoszenia (obiekty zgłoszenia), 2 kolejka obiektów, stanowiska, 4 przemieszczenia obiektów w systemie bez oczekiwania, 5 przemieszczenia obiektów w systemie z priorytetem, 6 przemieszczenia obiektu w systemie z oczekiwaniem, lwej strumień wejściowy zgłoszeń, lwyj strumień wyjściowy obsłużonych obiektów. obsługa - jeden lub kilka równoległych kanałów, - obsługa pojedyncza lub grupowa, - obsługa składająca się z jednej lub kilku faz (etapów ), poczekalnia - kolejka o różnych możliwych regulaminach, - kolejki uprzywilejowane, Proces zgłoszeń (strumień) Proces λ - liczba zgłoszeń napływających do systemu w jednostce czasu Przykład Do sklepu zgłasza się średnio 5 klientów w ciągu 10 minut μ - liczba zgłoszeń wanych w ustalonej jednostce czasu Przykład Kasjer obsługuje w ciągu 12 minut 6 klientów λ = 5 [klientów]/10[minut] λ = 0,5 [klienta/minutę] μ = 6 [klientów]/12[minut] μ = 0,5 [klienta/minutę] 2
Intensywność ruchu Intensywność ruchu (stała Erlanga) stosunek średniej liczby zgłoszeń jaka napływa do systemu w jednostce czasu do średniej liczby zgłoszeń jaka może być obsłużona w jednostce czasu s liczba stanowisk przeznaczonych do zgłoszeń l s l s 1 l s 1 l s 1 System stabilny System na granicy stabilności System niestabilny λ = 0,5 [klienta/minutę] μ = 0,5 [klienta/minutę] Przykład ρ = 1 na granicy stabilności W systemie masowej mamy do czynienia z napływającymi w miarę upływu czasu zgłoszeniami (np. uszkodzony pojazd, klient, statek), z kolejką obiektów oczekujących na obsługę oraz za stanowiskami (np. stanowiska diagnozowania pojazdu, sprzedawca, stanowisko wyładunku). Rozróżnia się systemy masowej : - z oczekiwaniem; - bez oczekiwania. W SMO z oczekiwaniem zgłoszenie (obiekt zgłoszenia) oczekuje w kolejce na obsługę, zaś w systemie bez oczekiwania, wszystkie stanowiska są zajęte i obiekt zgłoszenia wychodzi z systemu nie obsłużony. Systemy jednokanałowe systemy wielokanałowe systemy Optymalizacja wszelkiego rodzaju jednostek usługowych Główne zadania: Minimalizacja czasu oczekiwania na obsługę Optymalne określenie stanowisk Określanie parametrów
Charakterystyka modeli systemów masowej charakter opisowy; możliwość wyliczenia podstawowych wielkości liczbowych dotyczących procesu masowej ; modele optymalizacyjne masowej, jako najczęściej formułowane, w których poszukuje się optymalnej liczby kanałów kierując się kryterium najniższego kosztu całkowitego działania całego systemu (koszt przestoju) stanowiska w jednostce czasu, koszt utraty zgłoszenia, koszt jednego zgłoszenia, itp.). 1. Organizacja (ze stratami, bez strat). Istnienie kolejki (zabroniona, dozwolona) 4. Rozmiary kolejki (ograniczona, nieograniczona) szeregowe, równoległe mieszane Klient Ładunek Przybycie Do systemu 1. Organizacja. Istnienie kolejki (zabroniona, dozwolona) 4. Rozmiary kolejki (ograniczona, nieograniczona) Zachowanie się zgłoszenia ze stratami (zgłoszenie opuszcza po upływie pewnego czasu system rezygnując z ); bez strat (zgłoszenie w systemie przebywa do czasu obsłużenia). 4
1. Organizacja. Istnienie kolejki 4. Rozmiary kolejki (ograniczona, nieograniczona) zabroniona dozwolona Istnienie kolejki 1. Organizacja. Istnienie kolejki 4. Rozmiary kolejki systemy z kolejką ograniczoną nieograniczoną; Rozmiary kolejki 1. Organizacja. Istnienie kolejki 4. Rozmiary kolejki 5. Organizacja kolejki Organizacja kolejki FIFO (first in first out), czyli kolejność według przybycia; SIRO (selection in random order) czyli kolejność losowa; LIFO (last in first out), czyli ostatnie zgłoszenie jest najpierw obsłużone; priorytet dla niektórych obsług, np. bezwzględny priorytet oznacza, że zostaje przerwane aktualnie wykonywana obsługa obiektu, a na jego miejsce wchodzi obiekt z priorytetem. 5
Notacja Kendalla System kolejkowy opisany jest lub 4 parametrami: X/Y/s/N czas przybycia /czas /liczba stanowisk/liczba miejsc w systemie Parametr 1 rozkład zgłoszeń M = Markowski (rozkład Poissona) czas przybycia D = Deterministyczny czas przybycia Parametr 2 rozkład czasu M = Markowski (wykładniczy) czas G = Dowolny rozkład czasu D = Deterministyczny czas (jednopunktowy) Parametr Liczba stanowisk Parametr 4 liczba miejsc w systemie (łącznie stanowiska + kolejka) Jeśli jest nieskończona jest pomijana w zapisie System z jednym stanowiskiem Nieograniczona liczba zgłoszeń oczekujących na obsługę SMO-1 M/M/1/ System tworzą: jeden aparat o wykładniczym czasie trwania zgłoszeń i o intensywności μ, prosty strumień zgłoszeń o intensywności l λ, Intensywność ruchu warunek stabilności systemu: 0 ρ < 1 Charakterystyki procent czasu zajętości wszystkich stanowisk prawdopodobieństwo, że system nie jest pusty średnia liczba klientów czekających średnia liczba klientów czekających i wanych średni czas czekania średni czas czekania i prawdopodobieństwo, że przybywający klient czeka prawdopodobieństwo, że n klientów jest w systemie Przykład: Na poczcie obok innych stanowisk jedno jest przeznaczone do wpłat i wypłat gotówkowych osób fizycznych. Ruch w godzinach 14-18 jest tak duży, że rozważa się możliwość uruchomienia dodatkowego stanowiska. Sprawdzić, czy jest to słuszna decyzja. Poniżej podano obserwacje poczynione w czasie jednej z godzin szczytowych. Numer Czas przyjścia liczony Czas Numer klienta Czas przyjścia Czas klienta od przybycia klienta liczony od klienta poprzedniego klienta (w min) przybycia (w min) (w min) poprzedniego klienta (w min) 1 0 1,5 11 1 5,5 2 0,5 2,5 12 1,5 4,5 1 1 1 2 4 4 1,5 2 14 1,5 5 1 15 1 2 6 2,5 5 16 2,5 1,5 7 0,5 0,5 17 8 6 1,5 18,5 4 9 2 2,5 19 4 4 10 1,5 6 20,5 Razem 40 60 Proces zgłoszeń Proces Intensywność ruchu Rozwiązanie 20 1 l 40 2 20 1 60 1 l 2 1,5 1 2 Zachodzi nierówność 1, czyli liczba zgłoszeń przewyższa możliwości takiej liczby zgłoszeń. SYSTEM NIESTABILNY Oznacza to, że prawdopodobieństwo długiej kolejki się zwiększa. Osiągnięcie stanu równowagi jest tylko możliwe dzięki podjęciu radykalnych działań: skróceniu czasu klienta zainstalowaniu dodatkowego stanowiska. 6