Polithi G Wyził Eltrothii i Automtyi Ktr Iyirii Sytmów Strowi Potwy Automtyi Stilo ytmu trowi rytri lgriz Hurwitz i Routh Mtriły pomoiz o wiz trmi T Oprowi: Kzimirz Duziiwiz, r h. i. Mihł Grohowi, r i. Rort Piotrowi, r i. Tomz Rutowi, r i. G, pziri 9
Wprowzi Stilo ułu jt jym z główyh poj toowyh przy lizi ziłi ułu ymizgo. Zpwii tilgo ziłi jt potwowym wymgim, ji twimy ułowi utomtyzj rgulji. Potwowymi rytrimi lgrizymi i tiloi : rytrium Hurwit z i rytrium Routh. Krytri lgriz otyz i tiloi zmityh ułów trowi. W lzj zi mtriłu i w wzlih zih, jli i zi to pryzyji wz lu i zi wyiło z hmtu ułu rgulji, przz uł rgulji zimy rozumili zmity uł rgulji. Krytrium tiloi Hurwitz Rówi hrtrytyz momy zwz prztwi w poti wilomiu: M ( ) () Krytrium Hurwitz mówi: Uł utomtyzj rgulji jt tily, wty i tylo wty, gy płio tpuj w wrui: wru oizy: wzyti wpółzyii rówi hrtrytyzgo wiz o zr: > i,,, () i wru ottzy: wzyti powyzzii wyzzi Hurwitz wiz o zr: i > i,,, () Ay mo yło orzyt z tgo rytrium ly jzz wyji, o to jt wyzzi i powyzzii Hurwitz. Wyzzi i powyzzii Hurwitz mj tpuj pot: - () gzi:,,,, - opowiio powyzzi pirwzgo, rugigo, - rzu orz wyzzi Hurwitz.
Zi Korzytj z rytrium Hurwitz z tilo ułu, tórgo rówi hrtrytyz jt poti: h ( w T ) A ( T ) UW () Rozwizi Zi Ozzmy l uprozzi zpiu: h UW zt () Ztm rówi hrtrytyz jt poti: ( w T ) A ( T ) zt () Po przztłiu mmy: ( w T ) A ( T ) zt A ( T ) ( w T ) A ( T ) zt () Ułm jt rówy zru, jli lizi jt rówy zru - pozuiwi pirwitów rówi hrtrytyzgo jt rówow pozuiwiu pirwitów rówi: Rozwijj to rówi otrzymmy: ( T ) ( T ) A (9) w zt ( T ) ( T ) AT A T A () W rówiu tym: w zt zt w zt AT, A, T zt, w zt () Z wruu oizgo wyi, powiy y płio tpuj irówoi: AT A >, T w >, zt zt >, > ()
Wrui t w poó turly płio. Z poti rówi hrtrytyzgo wi, uł jt rzu trzigo. Npizmy, ztm wyzzi Hurwitz : () Z poti wyzzi i powyzziów wi, : wru >, prowzjy i o poti >, poryw i z jym z wruów oizyh, jli >, to l płii wruu, potrz, y. Wytrzy prwzi wru > : > > () > Potwij prmtry ułu otrzymmy: A T zt AT w zt > () Bior po uwg, y z wytpujyh w tj irówoi zyiów jt oti, momy pi: lu p: T T w > () T > T w () W t poó otrzymlimy wrui gwrtuj tilo ziłi ułu rgulji. Mo j formułow w tpujy poó: wzyti wzmoii w ułzi powiy y oti orz powii y płioy wru: T > T w () Krytrium tiloi Routh Krytrium tiloi Routh jt moyfij rytrium Hurwitz poprzz wprowzi tliy Routh w mij wyzziów Hurwitz. Uł utomtyzj rgulji jt tily, wty i tylo wty, gy płio tpuj w wrui: wru oizy (logizy j w rytrium Hurwitz ): wzyti wpółzyii rówi hrtrytyzgo () itij i wiz o zr, wru ottzy: polg utworziu i ziu tliy Routh.
Pirwzym tpm w rytrium Routh jt umizzi wpółzyiów rówi hrtrytyzgo () w wóh wirzh. Pirwzy wirz ł i z iprzytyh wpółzyiów, z rugi wirz ł i z przytyh wpółzyiów liz o jwyzj potgi wilomiu hrtrytyzgo. Dl rówi hrtrytyzgo () pirwz w wirz tliy Routh poti: () Koljym tpm jt wypłii tpyh wirzy tliy Routh, miowii: f (9) gzi: f () Po oliziu wpółzyiów,, f, i zuowiu tliy Routh toujmy wru wytrzjy rytrium tiloi Routh : Uł utomtyzj rgulji jt tily, gy wzyti wpółzyii lwj rjj olumy tliy Routh oti.
Jli uł utomtyzj rgulji jt itily, to wpółzyii tj olumy zmiij z, liz zmi ih zu rów jt lizi pirwitów lyh w prwj półpłzzyi płzzyzy pirwitów. Czmi olizi oljyh lmtów tliy Routh mo y utruio. Przypmi timi mog y: Pirwzy lmt w pwym wirzu tliy Routh jt zrowy, lz i wzyti wpółzyii rów zro. Jli zro pojwi i w pirwzym lmi wirz, to wzyti lmty w tpym wirzu rów i imoliw jt lz wypłii tliy Routh. W tij ytuji moymy rówi hrtrytyz przz lmt ( α ), gzi α liz rzzywit oti i pirwitim rówi hrtrytyzgo. Wzyti lmty pwgo wirz tliy Routh zrow. Sytuj t ozz j z tpujyh przypów: ). rówi m przyjmij j pr pirwitów o prziwyh zh, ). rówi m j lu wij pr pirwitów przoyh oi urojoj, ). rówi m pry pirwitów tworzyh ymtri woół poztu ułu wpółrzyh. Powyz ytuj rozwizuj i tworz wilomi pomoizy p ( ), tóry uuj i z wpółzyiów wirz zjujgo i powyj wirz zrowgo w tliy Routh. Rozwizuj to rówi uzyuj i rówi pirwiti rówi orygilgo. Kroi potpowi tpuj:. Utworzi wilomiu pomoizgo p ( ) z wpółzyiów wirz zjujgo i powyj wirz zrowgo w tliy Routh. p( ). Wyzzi pohoj wilomiu pomoizgo wzglm :. p ( ). Ztpii wirz zrowgo wpółzyimi wilomiu. Kotyuj wypłii tliy Routh z wyorzytim owo utworzogo wirz.. Itrprtj w zwyły poó zmiy zów wpółzyiów w pirwzj olumi tliy Routh. Zi D jt tpuj rówi hrtrytyz ułu rgulji: () Korzytj z rytrium Routh zj tilo tgo ułu.
Rozwizi Zi Wru oizy jt płioy, poiw wzyti wpółzyii rówi hrtrytyzgo itij i wiz o zr:,,,, () Nly trz zuow tli Routh : () Wypłimy olj lmty tliy Routh olizj opowii wyzzii:, () Ztm ł tli Routh jt poti:, () Mmy wi zmiy zów w lwj rjj olumi, o ozz, rówi hrtrytyz m w pirwiti w prwj półpłzzyi, ztm uł jt itily. Zi D jt tpuj rówi hrtrytyz ułu rgulji: () Korzytj z rytrium Routh zj tilo tgo ułu.
Rozwizi Zi Tli Routh jt poti: () Tli Routh zwir w trzim wirzu w pirwzj olumi wyrz zrowy. Jt to przyp zzgóly ztoowi rytrium tiloi Routh. Moymy rówi hrtrytyz przz lmt ( ) α, gzi α liz rzzywit oti i pirwitim rówi hrtrytyzgo. Nih α. Now rówi hrtrytyz jt poti: ( )( ) () Nly trz zuow ow tli Routh : (9) Wypłimy olj lmty tliy Routh olizj opowii wyzzii:,,,,,,, () Ztm ł tli Routh jt poti:,,, () Mmy wi zmiy zów w lwj rjj olumi, o ozz, rówi hrtrytyz m w pirwiti w prwj półpłzzyi, ztm uł jt itily.
Zi D jt tpuj rówi hrtrytyz ułu rgulji: () Korzytj z rytrium Routh, zj tilo tgo ułu. Rozwizi Zi Tli Routh jt poti: () Tli Routh zwir zwrty wirz zrowy. Jt to przyp zzgóly ztoowi rytrium tiloi Routh. p, tórgo wpółzyimi wpółzyii Tworzymy wilomi pomoizy ( ) ottigo izrowgo wirz tliy Routh i ztpujmy zrowy wirz wpółzyimi pohoj tgo wilomiu wzglm. Wilomi pomoizy jt poti: Poho wilomiu pomoizgo wzglm jt poti:. p ( ) () p Nly trz zuow ow tli Routh : ( ) () () W przottim wirzu pojwiło i zro, poiw jt to wirz jolmtowy toujmy poowi prour prztwio wzij i wirz t ztpujmy wpółzyiim pohoj wyri go poprzzjgo:, zyli liz. Ni mmy zmi zu w lwj rjj olumi, o ozz, rówi hrtrytyz i m pirwitów w prwj półpłzzyi, ztm uł jt tily. 9