Podstawowe pojęcia dotyczące drzew Podstawowe pojęcia dotyczące grafów Przykłady drzew i grafów
Drzewa: Drzewo (ang. tree) jest strukturą danych zbudowaną z elementów, które nazywamy węzłami (ang. node). Dane przechowuje się w węzłach drzewa. Węzły są ze sobą powiązane w sposób hierarchiczny za pomocą krawędzi (ang. edge), które zwykle przedstawia się za pomocą strzałki określającej hierarchię. Pierwszy węzeł drzewa nazywa się korzeniem (ang. root node). Od niego "wyrastają" pozostałe węzły, które będziemy nazywać synami (ang. child node). Synowie są węzłami podrzędnymi w strukturze hierarchicznej. Synowie tego samego ojca są nazywani braćmi (ang. sibling node). Węzeł nadrzędny w stosunku do syna nazwiemy ojcem (ang. parent node). Ojcowie są węzłami nadrzędnymi w strukturze hierarchicznej. Jeśli węzeł nie posiada synów, to nazywa się liściem (ang. leaf node), w przeciwnym razie nazywa się węzłem wewnętrznym (ang. internal node, inner node, branch node).
Za wyjątkiem korzenia wszystkie pozostałe węzły w drzewie posiadają swojego ojca. W normalnym drzewie liczba synów dla dowolnego węzła nie jest ograniczona. Istnieje jednakże bardzo ważna klasa drzew, w których dany węzeł może posiadać co najwyżej dwóch synów. Noszą one nazwę drzew binarnych (ang. binary tree).
Ciąg węzłów połączonych krawędziami nazwiemy ścieżką (ang. path). Od korzenia do określonego węzła w drzewie wiedzie zawsze dokładnie jedna ścieżka prosta, tzn. taka, iż zawarte w niej węzły pojawiają się tylko jeden raz. Długością ścieżki (ang. path length) nazwiemy liczbę krawędzi łączących węzły w ścieżce. Dla naszego drzewa mamy następujące ścieżki proste od korzenia do kolejnych węzłów: Długość ścieżki prostej od korzenia do danego węzła nazywa się poziomem węzła (ang. node level). Korzeń drzewa ma zawsze poziom 0. W naszym drzewie węzły B, C i D mają poziom 1, a E, F, G i H mają poziom 2.Wysokość drzewa (ang. tree height) jest równa największemu poziomowi węzłów (lub najdłuższej ścieżce rozpoczynającej się w korzeniu).
Dla naszego drzewa wysokość jest równa 2. Wysokość węzła (ang. node height), to długość najdłuższej ścieżki od tego węzła do liścia. Dla korzenia wysokość węzła jest równa wysokości drzewa:
Poziom drzewa (ang. tree level, the level of a tree) dla danego węzła to długość ścieżki prostej od korzenia do danego węzła.
Liczba krawędzi powiązanych z danym węzłem nosi nazwę stopnia węzła (ang. node degree). Krawędzie drzewa są krawędziami skierowanymi (ang. directed edge) i oznaczamy je za pomocą strzałek. Kierunek strzałki jednoznacznie określa pozycję w hierarchii strzałka wychodzi od ojca i kończy się na synu. Z tego powodu stopień węzła rozbija się na dwa stopnie: stopień wejściowy (ang. node in-degree) liczba krawędzi wchodzących do węzła, dla drzewa nigdy nie przekracza 1, a jest równy 0 tylko dla korzenia. stopień wyjściowy (ang. node out-degree) liczba krawędzi wychodzących z węzła, określa liczbę synów.
Stopień węzła jest sumą stopnia wejściowego i wyjściowego. Zwróć uwagę, że liście nie będące korzeniem (jeśli korzeń jest liściem, to jego stopień wynosi 0) mają zawsze stopień równy 1.
Drzewo binarne: Drzewo, w którym węzły mogą posiadać co najwyżej dwóch synów, nazywa się drzewem binarnym (ang. binary tree, B-tree). Węzły potomne nazywamy odpowiednio synem lewym(ang. left child node) i synem prawym (ang. right child node). Drzewa binarne mają ogromne znaczenie w informatyce, ponieważ za ich pomocą można odwzorować również drzewa, których węzły posiadają dowolną liczbę synów sposób takiego odwzorowania podamy w dalszej części rozdziału.
Regularne drzewo binarne (ang. regular binary tree, proper binary tree) zawiera wyłącznie węzły, których stopień wyjściowy jest albo równy 2 (węzeł posiada dwóch synów jest węzłem wewnętrznym), albo 0 (węzeł nie posiada synów jest liściem).
Dla regularnego drzewa binarnego liczba węzłów na poziomie k-tym jest zawsze równa 2k. Liczba wszystkich węzłów, czyli rozmiar drzewa (ang. binary tree size) jest równa 2p - 1, gdzie p oznacza liczbę poziomów. Dla n węzłów liczba poziomów jest równa log 2 (n+1).
Ponumerujmy poziomami kolejne węzły, idąc od strony lewej do prawej:
Otrzymane numery węzłów są powiązane ze strukturą hierarchii drzewa prostymi zależnościami:
Węzeł o numerze k znajduje się na poziomie o numerze [log 2 (k+1)]. Węzeł o numerze k jest wewnętrzny, jeśli 2k+2 < n. W przeciwnym razie węzeł jest liściem. Własności te pozwalają odwzorowywać regularne drzewo binarne w ciąg elementów i na odwrót
Kompletne drzewo binarne (ang. complete binary tree) posiada zapełnione węzłami wszystkie poziomy z wyjątkiem ostatniego, jednakże na ostatnim poziomie węzły są zapełnione począwszy od lewej strony.
Kompletne drzewo binarne również da się odwzorować w ciąg węzłów. W takim drzewie liczba elementów n może być mniejsza od maksymalnej liczby węzłów, ponieważ ostatni poziom nie musi posiadać kompletu węzłów. Jednakże w przeciwieństwie do drzewa regularnego węzeł wewnętrzny może posiadać tylko jednego, lewego syna (u nas węzłem takim jest węzeł 4). Dlatego w kompletnym drzewie binarnym o rozmiarze n dla węzła o numerze k zachodzi: 2k + 2 > n węzeł jest liściem 2k + 2 = n węzeł jest ostatnim węzłem wewnętrznym i posiada tylko lewego syna 2k + 2 < n węzeł jest węzłem wewnętrznym i posiada obu synów.
Poddrzewo (ang. subtree) jest drzewem zawartym w drzewie, gdy jako korzeń przyjmiemy jeden z węzłów. Dla danego węzła drzewa binarnego mogą istnieć dwa poddrzewa: lewe poddrzewo (ang. left subtree) korzeniem jest lewy syn i analogicznie prawe poddrzewo (ang. right subtree) korzeniem jest prawy syn:
Reprezentacja drzew binarnych w programie: Istnieje wiele różnych rozwiązań dla reprezentacji drzew binarnych w pamięci komputera. Tutaj podamy te najprostsze.
Kompletne drzewo binarne: W tym przypadku drzewo możemy odwzorować w tablicy n-elementowej. Każdy element tablicy jest węzłem. Hierarchię drzewa przedstawiamy przy pomocy indeksów i ich własności dla kompletnych drzew binarnych. Korzeniem drzewa jest element o indeksie 0. Jego dwoma synami są kolejno elementy o indeksach 1(lewy syn) i 2 (prawy syn). Postępując podobnie z pozostałymi węzłami otrzymamy całe drzewo binarne:
Niekompletne drzewo binarne Drzewo odwzorowujemy podobnie jak listę. Każdy element jest strukturą, która oprócz danych zawiera dwa lub trzy wskaźniki:
Gdzie: up wskazuje ojca danego węzła. Dla korzenia pole to zawiera wskazanie puste left wskazuje lewego syna right wskazuje prawego syna data dane dowolnego typu przechowywane przez węzeł Wskaźniki pozwalają na przemieszczanie się po węzłach w strukturze drzewa. Wskaźniki left i right umożliwiają przechodzenie w dół drzewa. Wskaźnik upprowadzi w górę do ojca danego węzła. Jeśli ten kierunek nie jest istotny, to wskaźnik może zostać pominięty (wersja uproszczona).
Reprezentacja drzew dowolnych: Drzewo dowolne może posiadać węzły o dowolnej liczbie synów. Jeśli liczba możliwych węzłów potomnych nie jest duża, to do reprezentacji takiego drzewa można wykorzystać metodę z drzewa binarnego, zwiększając odpowiednio liczbę wskaźników. Na przykład dla drzew czwórkowych (ang. quadtree) możemy zaimplementować następującą strukturę danych:
Gdy liczba synów jest duża, to rezerwowanie w każdym węźle pól na wskaźniki przestaje być efektywne. Zamiast prostych pól możemy umieścić w każdym węźle tablicę dynamiczną o wymaganym rozmiarze, której każdy element jest wskaźnikiem do syna danego węzła. Do obsługi takiej struktury będzie potrzebna jeszcze informacja o liczbie elementów w tablicy. Dodatkowo musimy pamiętać o zwolnieniu tablic dynamicznych, gdy drzewo jest usuwane z pamięci.
Alternatywnym rozwiązaniem jest zastosowanie listy jednokierunkowej, której elementy przechowują wskazania synów danego węzła. Wymaga to dołączenia do programu metod obsługi takiej listy, a najlepiej zastosowanie odpowiedniego obiektu. Zwróć uwagę, że w powyższym rozwiązaniu występują tzw. odwołania krzyżowe. Polegają one na tym, iż element jednej struktury odwołuje się do innej struktury, która z kolei odwołuje sie do tej pierwszej. Elementy listy zawierają wskazania węzłów drzewa w polu node. Z kolei węzły drzewa w polu child wskazują listę. Obie struktury odwołują się do siebie nawzajem. Konieczne jest utworzenie pomocniczego typu danych PAnyTreeNode i użycie go w definicji listy. Nie można tutaj zastosować typu AnyTreeNode, ponieważ nie jest on w tym miejscu jeszcze zdefiniowany. Natomiast typ pomocniczy PAnyTreeNode informuje kompilator, że właściwa definicja zostanie podane później w programie.
Grafy: Graf (ang. graph) jest strukturą danych składającą się z dwóch zbiorów: zbioru wierzchołków (ang. vertices) i zbioru krawędzi (ang. edges), co matematycznie zapisujemy w postaci uporządkowanej pary (tzn. takiej, gdzie istotna jest kolejność elementów tworzących tę parę): G = (V, E) V = { v 1, v 2,...,v n } zbiór n ponumerowanych wierzchołków (ang. V = Vertex) E = { e 1, e 2,... e m } zbiór m ponumerowanych krawędzi (ang. E = Edge). Każda krawędź jest parą (w grafie skierowanym parą uporządkowaną) wierzchołków grafu połączonych tą krawędzią: E = {(u,v): u,v V}
Rząd grafu (ang. graph order) to liczba wierzchołków w grafie. Rozmiar grafu (ang. graph size) to liczba krawędzi w grafie. Wierzchołki grafu przechowują informację, natomiast krawędzie określają sposób poruszania się po grafie: z wierzchołka u można przejść do wierzchołka v tylko wtedy, gdy istnieje ścieżka (ciąg krawędzi), która prowadzi w grafie od wierzchołka u do v. Grafem zerowym (ang. null graph) jest graf, który posiada wierzchołki, lecz nie posiada żadnych krawędzi:
Wierzchołek nie połączony krawędzią z żadnym innym wierzchołkiem grafu nazywamy wierzchołkiem izolowanym (ang. isolated vertex):
Dane dwa wierzchołki mogą być połączone ze sobą za pomocą więcej niż jednej krawędzi, które nazywamy krawędzią wielokrotną (ang. multi-edge). Również wierzchołek może łączyć się krawędzią z samym sobą. Otrzymujemy wtedy tzw. pętlę (ang. loop). Graf zawierający pętle lub krawędzie wielokrotne nazywamy multigrafem (ang. multigraph).
Graf nie posiadający pętli oraz krawędzi podwójnych nazywamy grafem prostym (ang. simple graph lub strict graph). Krawędź, którą można przebywać tylko w określoną stronę, nazywa się krawędzią skierowaną (ang. directed edge). Na rysunku krawędzie skierowane oznaczamy strzałkami. Graf zawierający krawędzie skierowane nazywamy grafem skierowanym (ang. directed graph) lub w skrócie digrafem (ang. digraph). Graf nie posiadający krawędzi skierowanych nazywamy grafem nieskierowanym (ang. not directed graph). W definicji digrafu zbiór krawędzi tworzą uporządkowane pary wierzchołków (u,v), z których u oznacza wierzchołek początkowy krawędzi, a v wierzchołek końcowy. Krawędź nieskierowana może być przedstawiona jako dwie krawędzie skierowane w przeciwnych kierunkach.
Zwróć uwagę, że w grafie skierowanym mogą istnieć wierzchołki, pomiędzy którymi nie da się przejść, pomimo istnienia łączących je krawędzi. Oto najprostszy przykład: W grafie tym istnieje droga od wierzchołka v 1 do v 2, jednakże nie ma drogi powrotnej od v 2 do v 1, ponieważ łącząca te wierzchołki krawędź może być przebyta tylko w jednym kierunku.
Z krawędziami grafu mogą być związane dodatkowe wartości (np. w świecie rzeczywistym pokonanie drogi z jednego miasta do drugiego może wymagać określonej ilości czasu lub energii). Wartości te nazywamy wagami (ang. weight), a graf posiadający takie krawędzie nazywamy grafem ważonym (ang. weighted graph). Graf ważony posiada zbiór krawędzi zbudowany z uporządkowanych trójek, gdzie dwa pierwsze elementy określają wierzchołki połączone daną krawędzią (w grafie skierowanym wierzchołki te są parą uporządkowaną), a trzeci element określa wagę tej krawędzi.
Stopniem wierzchołka (ang. degree) nazywamy liczbę krawędzi, które łączą się z danym wierzchołkiem. Jeśli graf posiada pętle, to liczymy je za 2. W poniższym grafie wierzchołki posiadają następujące stopnie: W grafie skierowanym rozróżniamy stopień wchodzący (ang. indegree) liczba krawędzi wchodzących do wierzchołka oraz stopień wychodzący (ang. outdegree) liczba krawędzi wychodzących z wierzchołka. Wierzchołek izolowany posiada zawsze stopień 0.
Ścieżka lub droga (ang. path) jest uporządkowanym ciągiem kolejnych krawędzi, po których należy przejść, aby dotrzeć z wierzchołka startowego (ang. start vertex) do wierzchołka końcowego (ang. end vertex). W grafie może istnieć wiele różnych ścieżek pomiędzy dwoma wybranymi wierzchołkami.
Ścieżki można również definiować za pomocą ciągu kolejno mijanych wierzchołków (oczywistym jest, iż każde dwa kolejne wierzchołki muszą być połączone krawędzią). Najkrótsza ścieżka (ang. shortest path) to ta, która zawiera najmniej krawędzi/wierzchołków. Długość ścieżki (ang. path length) to liczba zawartych w niej krawędzi/wierzchołków. Mówimy, że ścieżka jest prosta (ang. strait path lub simple path), jeśli każdą krawędź/wierzchołek przechodzimy tylko jeden raz.
Cykl (ang. cycle) to ścieżka, która rozpoczyna się i kończy w tym samym wierzchołku. Uwaga: nie myl cyklu z pętlą pętla to pojedyncza krawędź.
Cykl nazywamy prostym (ang. simple cycle), jeśli każda jego krawędź/wierzchołek jest przechodzona dokładnie jeden raz. Nie odnosi się to oczywiście do wierzchołka startowego i końcowego, które w cyklu muszą być tym samym wierzchołkiem, innymi słowy ścieżka musi być zamknięta. Ścieżka prosta zawierająca wszystkie wierzchołki grafu nosi nazwę ścieżki Hamiltona (ang. Hamiltonian path). Cykl prosty zawierający wszystkie wierzchołki grafu nazywa się cyklem Hamiltona (ang. Hamiltonian cycle). Ścieżka prosta, która przechodzi przez wszystkie krawędzie grafu nazywa się ścieżką Eulera (ang. Eulerian path). Cykl Eulera (ang. Eulerian cycle) to cykl prosty, który przechodzi przez wszystkie krawędzie grafu. Zwróć uwagę, że cykl Eulera i cykl Hamiltona to nie to samo! W cyklu Hamiltona ważne jest przejście przez wszystkie wierzchołki dokładnie jeden raz (niektóre krawędzie grafu mogą być w ogóle nie przechodzone). W cyklu Eulera z kolei musimy przejść przez każdą krawędź, zatem niektóre wierzchołki mogą zostać kilkakrotnie odwiedzone, jeśli łączą się z kilkoma krawędziami. Graf nazywamy acyklicznym (ang. acyclic graph), jeśli nie posiada żadnych cykli.
Graf nazywamy planarnym (ang. planar graph), jeśli da się go narysować na płaszczyźnie tak, aby żadne jego krawędzie się nie przecinały.