BULETYN NFORMACYJNY NSTYTUTU TECHNK POLTECHNK WARSZAWSKEJ 57 CEPLNEJ 980 Janusz Lewandowski nstytut Techniki Cieplnej Politechniki Warszawskiej ZADADMENA OPSU WŁASNOŚC TERMODYNAMCZNYCH PARY WODNEJ PRZY MODELOWANU MATEMATYCZNYM DYNAMK TURBN,. f artykule omówiono zagadnienia związane z opisem własnoscx termodynamxcznych. paty wodnej, ze szczególnym uwzględnieniem metody wyznaczania pochodnych termodynamicznych. Rozpatrzono zależności, których znajomość jest konieczna przy modelowani.u matematycznym dynamiki turbin. Przedstawiono metodę wyznaczania wartości pochodnych oraz zasady budowy procedur oblxczenxowyćh pozwalających na obliczanie pochodnych w trakcxe obliczeń modelu turbiny. Podano analityczne zależnoscx mxędzy wybranymi pochodnymi termodynamicznymi a ciśrixenxem χ entalpią pary wodnej przegrzanej.. WSTĘP Jednym z podstawowych zagadnień przy modelowaniu matematycznym turbin parowych jest problem opisu własności termodynamicznych pary wodnej i wody znajdującej się w jej układzie przepływowym. Przegląd stosowanych obecnie konstrukcji turbin -skazuje, że poszukiwany opis własności czynnika roboczego pcwi nie η dotyczyć pary wodnej w zakresie ciśnień ρ = 20 -ř ' 0,0030 ь?а oraz entalpii i = 3600*2300 kjkg (rys.). "" kadzie przepływowym turbiny występować może także woda, praktycznie o parametrach, z linii nasycenia w zakresie ciś- ::ien ρ - 7,5 4 0,003 KPa. Górny zakres ciśnień dla wody dotycz;.- turbin na parę nasyconą dla elektrowni jądrowych.
38 J. Lewandowski Dla celów modelowania procesów nieustalonych w turbinach założyć można, że para wodna znajduje się w stanie równowagi 4000 та 3500 3000 TÄ' в L - ' ' -S, i-å. 800«С f * ' к 400'C. у. 200 e C J? 2500 ), Ρ > Rys.. Rozpatrywany obszar wykresu i - s, z zaznać ze nie m ρ ola pokrywanego w zakresie pochodnych. termodynamicznych przez tablice j^j z aokładnością zbyt małą (A) i wystarczającą { *) termodynamicznej [i], stąd opis jej własności termodynamiczni szeregu związków między jej nych ogranicza się d parataetra- mi termodynamicznymi-oraz zależności określających wartości wybranych pochodnych termodynamicznych^ funkcji parametrów W artykule omówiono zagadnienia związane z- formułowaniem 4 poniższych głównych zależności. Szczególną ir::age poświecono równaniom określającym wartości pochodnych termodynamicznych () 4 (4)«
zagadnienia opisu własności termodynamicznych pary wodnej... 39 Ϊ = f(p,i), () v = f(p,i), (2) s = f(p,i), (3) i = f(p,s), (4) i = f(p,s), (5) у = f(p,i), (6) i = f(p»y), (7) '= f(p), (8) i'=f(p), (9) i"= f(p), (0) (fp) Ł = (p,i), () (r) = f(p,i), (2) Ί? 9v' Эр» (3) P) V (4) Przyjęto następujące oznaczenia? ρ - ciśnienie, i - entalpia, Τ - temperatura, s - entropia, τ - objętość właściwa, у - stopień suchości, i"- entalpia pary na linii nasycenia, i',v' - odpowiednio entalpia i objętość właściwa wody na linii nasycenia. Rozpatrzono możliwości rozwiązania przedstawionego zadania przy wykorzystaniu modelu pary idealnej w sensie Bichel- И Ы, tablic parowych [4][5], oraz analitycz-
40 J. Lewandowski nych zależności opisujących własności rzeczywistej pary wodnej i wody [б], [7], [β]. 2. ZALEŻNOŚC DLA PARY WODNEJ DEALNEJ 7 przypadku pary wodnej przegrzanej, o parametrach oddalonych od stanu nasycenia, dobrą zgodność z wynikami doświadczeń daje model pary idealnej w sensie Sichelberga. Może on być zatem wykorzystany głównie w przypadku rozpatrywania turbin przeciwprężnych. Podstawową zależnością tego modelu jest równanie określające entalpię pary wodnej" "[2] l s l c + W p T gdzie i jest stałą dobraną do rozpatrywanego zakresu parametrów wraz z wykładnikiem izentropy k. Równanie to może być wykorzystane jako zależność (2). Zależności (3) i (4) są w przypadku modelowania matematycznego turbin wykorzystywane do obliczania izentropowego spadku entalpii* Posługując się modelem pary idealnej można je zastąpić zależnością [2] k-" H = A Pet Ъ (6? Φ gdzieś Η jest spadkiem izentropowym, indeks "a" odpowiada parametrom na początku procesu rozprężenia, indeks "ω" parametrom na końcu tego procesu. W modelu pary idealnej nie występuje temperatura, stąd nie można określić zależności () i (5), a tym samym rozpatrywać zagadnień, w których uwzględniane są procesy wymiany ciepła.
zagadnienia opisu własności termodynamicznych pary wodnej... 4 Model pary idealnej nie obejmuje także obszaru pary wilgotnej i wody, toteż nie mogą być w tym przypadku określone zależności (6), (7), (8), (9), (0), (3) i (4). Wartość pozostałych dwóch pochodnych termodynamicznych () i (2) określić można przez bezpośrednie różniczkowanie odpowiednio przekształconej zależności (5)» w wyniku czego otrzymuje się s ( ^. J L J ^ Ł J ł j,. ( p = j - w Zależności modelu pary. idealnej, dzięki swej bardzo prostej budowie, są niezwykle wygodne dla celów modelowania matematycznego turbin. Jednak, wobec braku możliwości wyznaczenia temperatury pary wodnej i wyłączenia z rozważań obszaru pary wilgotnej, możliwość wykorzystania przedstawionych równań jest bardzo ograniczona 3. ZALEŻNOŚC WYKORZYSTUJĄCE TABLCE PAROWE LUB ANALTYCZNE ZWĄZK MĘDZY PARAMETRAM Model matematyczny rzeczywistej pary wodnej zawierający wymagane zależności () * (0) oprzeć można na wykorzystaniu tablic parowych [4] lub analitycznych.zależności opisujących termodynamiczne własności pary wodnej. ^korzystanie tablic parowych [4], pozwalających prawie bezpośrednio obliczać zależności () -ř (0), wymaga wprowadzenia tych tablic do pamięci maszyny cyfrowej i opracowania odpowiedniego algorytmu interpolacyjnego. Sposób ten jest zatem bardzo pracochłonny i niewygodny, a przy potrzebnym zakresie zmian parametrów niezwykle obciąża pamięć maszyny, toteż w zagadnieniach modelowania matematycznego turbin jest on praktycznie niemożliwy do wykorzystania.
42 J. Lewandowski W rozważanym przypadku do opisu poszukiwanych zależności () * (0) wygodniej jest wykorzystać opracowane przez wielu autorów zależności analityczne pomiędzy parametrami. Zależności takie można spotkać w literaturze w formie gotowych procedur obliczeniowych, np. krajowe prace [?], [θ] oraz wykorzystywane w nstytucie Techniki Cieplnej Fif podprogramy PARAM [б]. Dużo większą trudność sprawia określenie zależności () - _ (4) do obliczania pochodnych termodynamicznych pary wodnej i wody. Opublikowane tablice pochodnych termodynamicznych L5J obejmują tylko zakres pary przegrzanej przy ciśnieniach ρ 0, MPa. Praktyczna możliwość wykorzystania tych tablic ograniczona jest jednak do p H MPa, gdyż dopiero przy takich ciśnieniach wartości pochodnych, liczone metodą interpolacji liniowej w obszarach pomiędzy punktami podanymi w tablicach, obarczone są błędem mniejszym, niż dopuszczalny dla rozpatrywanych zastosowań (kilka procent) [lj. Wymienione tablice pokrywają zatem tylko niewielki obszar parametrów pary wodnej występującej w turbinach parowych (rys.), toteż praktycznie nie ma możliwości ich wykorzystania w zagadnieniach modelowania matematycznego dynamiki turbin. Brak w literaturze informacji odnośnie postaci zależności () -ř (4) spowodował konieczność wyznaczenia wartości pochodnych termodynamicznych w wymaganym zakresie zmian parametrów, a następnie opracowania odpowiednich procedur obliczeniowych pozwalających na wykonywanie obliczeń przy wykorzystaniu elektronicznej maszyny cyfrowej (emc), w trakcie rozwiązywania modelu matematycznego turbiny. Wartości pochodnych termodynamicznych wyznaczyć można poprzez różniczkowanie tablic parowych albo funkcji analitycz- - nych opisujących związki między parametrami termodynamicznymi. Ponieważ, jak to wcześniej wskazano, do opisu związku między parametrami wygodniej jest wykorzystywać zależności analityczne, te same zależności wykorzystano do wyznaczenia wartości pochodnych. Część uzyskanych wyników obliczeń przedstawiono, na rys. 2*4.
zagadnienia opisu własności termodynamicznych pary wodnej... 43 i -. f Ú si # j. nj ^ - * 2800 i 3200 " si *t ; " J ι ι ^ τ- ι i!! 'i ' «-"" г t X х rør* S; f! ίί nł!ěi! ι, i! +4 ill r~7 '.'i ι A л i Ϊ T-H '» ι 'i!! ' * '' i' 'li li ;ίί, li..! > ił S τ! <н U, ««K' : luli ι \li\l., m VV\k w < iiv\ ' W - j w ','i ' ' iii ** il ' ', - l i f С У * f -MO ', V ' SAÍ 8 -> Ol л Л Д s CM > Τ* 4 7 W in М <o ř i t ψ s τ r г CO o>
44 J. Lewandowski m rys.2 przedstawiono przykładowe zależności ^øpj «_ f(p,i) oraz ( f) = f(p»i) dla pary wodnej przegrzanej. Charakterystyczną cechą tych zależności jest praktycznie liniowy związek między wartością pochodnej a entalpią w znacznym zakresie zmian entalpii. Właściwość tę potwierdza także analiza zależności (7) i (8), słusznych jak føws^zat^ dla znacznego obszaru pary przegrzanej. Wyrażenie ^ zależy bowiem praktycznie liniowo od entalpii, wobec niewielkich zmian i c = f(p,i) oraz к = (p,i) w znacznych obszarach zmian parametrów, prażenie ilj - J - zależy od entalpii jeszcze w mniejszym stopniu, toteż można zastosować tu przybliżenie liniowe. Rys.3 przedstawia podobne przykładowe zależności dla obszaru pary wilgotnej. Pochodna (fj ) zależy tutaj także liniowo od entalpii ř gdyż można wykazać, że dla obszaru pary wilgotnej pochodna ta jest równa -sr * ш - (9) Pochodna dla obszaru pary wilgotnej nie zależy od entalpii, gdyż (tř) p *- řr -«Ρ? (20) Przykładowe zależności jj ' = f(p) oraz Ц = f(p) przedstawiono na rys#4. Porównanie wartości pochodech wyznaczonych przedstawioną metodą z wartościami podanymi w tablicach [5] wykazało, że błędy obliczeń nie przekraczają % a tylko w pobliżu linii nasycenia wzrastają do kilku procent. Porównanie takie można było oczywiście przeprowadzić tylko dla obszaru objętego tablicami.
zagadnienia opisu własności termodynamicznych pary wodnej... 45 Ш o έι ( 4l Э ι pi u?l i «P tn О l o, Jí \k f\ ρ f W* 4 «i -.»oły i СЧ o Í i V ^N r xi ОТ i jeb JÉ JC
zagadnienia opisu własności termodynamicznych pary wodnej... 47 4. BUDOWA PROCEDUR OBLCZENOWYCH DO WYZNACZANA POCHODNYCH W TRAKCE OBLCZEŃ MODELU TURBNY Wyznaczanie wartości pochodnych przez różniczkowanie zależności między parametrami w trakcie rozwiązywania modelu całej turbiny bardzo wydłuża czas obliczeá. Aby tego uniknąć w oparciu o wyznaczone wcześniej wartości pochodnych, opracowano odpowiednie procedury obliczeniowe wykorzystujące bezpośrednie związki między wartością pochodnej a-ciśnieniem i entalpią. Przygotowano dwa warianty procedur. W wariancie pierwszym wartości pochodnych zestawiono w tablicach. Dla zależności () i (2) w obszarze pary przegrzanej są to dwuwymiarowe tablice TA(5imj) gdzie w pięciu kolumnach zestawiono ciśnienia i odpowiadające im wartości pochodnych w poniższy sposób: TA (,m) = Ρ t TA (2,m) = ( ) dla wartości entalpii i, TA (3,m) = (p^ dla wartości entalpii i 2, TA (4,m) = dla wartości entalpii i^» TA (5,m)» (w? ) dla wartości entalpii io ч ŁV p Tablice zawierają V takich zestawów. Wykorzystano tu liniową zależność pochodnej od entalpii w.zakresie i do i 2. entalpii Tablice uzupełniono odpowiednim algorytmem przeszukującym tablice TA oraz pozwalającym dla ciśnienia ρ mającego wartość w zakresie TA (,k - ) < ρ < TA (,k) oraz entalpii i znaleźć wartość pochodnych poprzez liniową interpolację między wartościami: TA (2,k-l), TA (2, k), TA(3,k - ), 2A. (3,k) dla pochodnej (f* ) oraz TA (4, к - ), TA (4,k), 2A(5,k-)t TA(5»k) dla pochodnej ( ). " Ρ
48 J. Lewandowski W przypadku obszaru pary wilgotnej odpowiednie tablice TB (4,m) posiadają 4 kolumny, gdyż jak to wcześniej stwierdzono dla tego obszaru pochodna, jest funke ją tylko ciśnienia» Podobnie dla pochodnych ~ oraz odpowiednie tablice TC(3,m) posiadają tylko ; trzy kolumny zawierające kolejno wartość p, oraz. W wariancie drugim opracowano analityczne zależności określające wartość pochodnych oraz (f?) <3a obszaru pary przegrzanej. Na podstawie zależności (7l i (8) poszukiwano funkcji o postačil fr) = W(i,p), (2D i Ρ (li) p. (22) gdzieś W = Í > P 3, (23) j = 0 a współczynniki A^ wyrażają się wielomianami m A, = Σ В., i. (24) 3 = 0 3 Wartości współczynników wyznaczono według zasady najmniejszej suny kwadratów., poszukując tak stopni wielomianów oraz m, aby maksymalny względny błąd aproksymacji był mniejszy od zadanej wartości. W wyniku obliczeń otrzymano następujące zależności» dla obszaru 0, ζ ρ «20, 3250 < i < 3600 η Λ ΣΛ [(4,439 0" 7-2,20554. 0" 0.i) + (-,099* 0~ 0 + 0304»0~ 3.i) ρ H^-» J P (25)
zagadnienia opisu własności termodynamicznych pary wodnej... 49 δ = 0,0085, (fi) = [(3,4236-0~ 7-3,5797*0~.i) + + (-5,39472.0~ 0 + 3,454.0~ 3.i)p (26) + (-2,5607 0" 2 -,00925*0~ 5 *> Ρ 2 ] J. 5 s 0,0058, dla obszaru 0, ž p í 20, 3050 < i é 3250 (lp) = [í 4» ^00,0 " 7-2,2576.0~ 0.i) + + (9,30572 0~ 9-2,92242.0~ 2 *i) ρ (27) + (-5,6425 0~ 0 +,82769*0~ 5 j.i) ρ 2 ] \» Ρ δ = 0,007, ( = [(3,0658.0~ 7-2,495 ΊΟ".i) + + (-,84858.0' 8 + 5»99037.0~? 'i)p + (28) + (9,28047*0~ 0-2 r 9572.0~ 3.i) ρ 2 ] j, δ = 0,0093, dla obszaru 0, «ρ < 20, 2850 $ i ζ 3050 (lp) = [(4,3460*0~ 7-2,27448«θ" 0 t) +
50 j. "Lewandowski + 3,75336. _ f2294.0-2.i)p (29) + -3,0722 ΙΟ" 0 +,04644. ΙΟ" 5 Dp 2 ] \ ' δ = o,oi6, (ir) s О» 545 ' 0 " 7 + 2,65025 * 0 " ' i} + (30) (5,34376-0- 9-2,0762-0- 2.i)P + + (-,0066. Ю- 9 + 3,5234. 0-5 ^ ' δ = 0,036, ^ Q c i < 3600, ρ < dla obszaru s 4 9,?» - J ' ^» (dv) = (4,4475 0" 7-2,29998 Ю -0 D p. V Эр δ = 0,08, < 5) (g) = (3,32662. 0" 7-3,30962. ΙΟ" ~ P -0 л (32) - 4,03492.0 Ρ) ρ» 6= 0,037, w y k o r z y s t a n i u podanych funkcji a., zależnościach ^ - *?? Г J? " '
zagadnienia opisu własności termodynamicznych pary wodnej... 5 5. UWAG KOŃCOWE Przedstawione zagadnienie opisu własności termodynamicznych pary wodnej rozpatrywano z punktu widzenia jego zastosowania przy modelowaniu matematycznym dynamiki turbin, stąd zajmowano się tylko takimi zależnościami, których znajomość jest konieczna dla sformułowania modelu turbiny. Wydaje się jednak, że opisana metodyka postępowania, szczególnie w zakresie pochodnych termodynamicznych, może znaleźć zastosowanie przy poszukiwaniu innych zależności. Podany sposób opisu własności termodynamicznych pary wodnej był wielokrotnie wykorzystywany w obliczeniach modeli matematycznych dynamiki turbin na parę nasyconą, np. [ίο], [li]. BBLOGRAFA [i] L e w a n d o w s k i J. t Metoda wyznaczania charakterystyk dynamicznych turbin na parę nasyconą dla elektrowni jądrowych. Praca doktorska, Politechnika Warszawska 978. Γ2Ι Τ r a u ρ e W. s Thermische Turbomachinen. Springer L J Verlag, Berlin, Bd 977. Γ3Ι Η o r о с к J.H. s Axial Flow Turbines, Butterworths L J Londyn 966. [4] W u k a ł o w i c z Μ.P. Tablicy teplofiziczeskich swoistw wody i wodianowo para, Jzd. Standartow, Moskwa 969. Γ5Ι R i w k i n S.L., A l e k s a n d r ó w A.A. К r e- l J me new s k a j a F«A.: Termodinamiczeski je proizwodnyje dla wody i wodianowo para, Energia, Moskwa 977. [6] В e d η а г к i e w i с z Μ. Obliczanie parametrów i funkcji termodynamicznych własności wody i pary wodnej przy użyciu elektronicznej maszyny cyfrowej. Biuletyn nformacyjny TC pw 2997. [7] К u i g Μ.: Podprogramy dla obliczeń fizycznych i termodynamiczfiych własności wody i pary wodnej na maszynie cyfrowej. Raport BJ lír 384XR, Warszawa 973. [δ] Μ a t a R.s Metody obliczeń izentropowych spadków entalpii przy zastosowaniu ETO. Gospodarka Paliwami i Energią 597.
52 J. Lewandowski Го] Demi d o w i e z B.P. i inni.«metody numeryczne. L J POT, Warszawa 965. MT P w n n d o w s k i J. i Metoda wyznaczania charakterystyk dynamicznych turbin dla elektrowni jądrowych. Archiwum Energetyki 980 Μ Sl ϊ Г l l! e V i ϊ i ^«'Model^temafezny turni nasyconą do badania dynamiki turbozespołu elektrowni jądrowej. Biuletyn nformacyjny TC PW (w druku). ВОПРОСЫ ОПИСАНИЯ ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИХ СВОЙСТВ водяного ПАРА ПРИ МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ Д ДИНАМИКИ ТУРБИН К р а т к о е с о д е р ж а н и е S S» ' * «Π Ρ = Γ = SSJSSLSE" дилйием S?и«ьпией перегретого водяного пара. PROBLEMS OF WATER VAPOUR OF THERMODYNAMC PROPERTES DESCRPTON N MATHEMATCAL MODELLNG OF TURBNE DYNAMCS Summary t has been presented some problems of thermodynamic properties of water vapour description, especially of method of thermodynamic derivatives calculation. Formulas needed for mathematical modelling of turbine dynamics have been shown. be method of thermodynamic derivatives determining and base of structure of procedures for derivatives computation, in the time of turbine model calculation, have been discussed. n-
zagadnienia opisu własności termodynamicznych pary wodnej... 53 terdepence s between some thermodynamic derivatives pressure and enthalpy for superheated steam in analytical form have been presented. Rękopis dostarczono w październiku 98O г.