1.4. Stożek W tym temacie dowiesz się: jak obliczać pole powierzchni bocznej i pole powierzchni całkowitej stożka, jak obliczać objętość stożka, jak wykorzystywać własności stożków w zadaniach praktycznych. Stożkiem nazywamy bryłę obrotową, która powstała przez obrót trójkąta prostokątnego wokół jednej z jego przyprostokątnych. promień podstawy stożka tworząca stożka wysokość stożka Objętość stożka wyznaczamy analogicznie do objętości ostrosłupa:, gdzie pole podstawy stożka, wysokość stożka. Wzór na objętość stożka może mieć też postać: Objętość stożka stanowi objętości walca o takiej samej podstawie i wysokości.
Przykład 1. Obliczmy objętość stożka, którego wysokość jest równa, a tworząca ma długość. Przyjmijmy, że, a wynik podajmy po zaokrągleniu do. Rozwiązanie Wykonajmy rysunek. Aby wyznaczyć pole podstawy, musimy obliczyć jej promień. Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa i otrzymujemy:, zatem. Podstawa jest kołem, zatem [ ]., stąd Wobec tego:, czyli. Odpowiedź: Objętość stożka wynosi. Ćwiczenie 1. Oblicz objętość stożka, którego średnica podstawy jest równa długość. Przyjmij, że, a wynik podaj po zaokrągleniu do. Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego obracającego się wokół jednej, a tworząca ma z przyprostokątnych zakreśla powierzchnię zwaną powierzchnią boczną stożka. Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem kołowym o promieniu równym długości tej przeciwprostokątnej. Zauważmy, że jeśli powierzchnia boczna stożka, czyli wycinek kołowy, wyznacza kąt o mierze, to długość łuku jest równa.
Z drugiej strony długość łuku jest równa obwodowi koła będącego podstawą stożka, a zatem. Wobec tego otrzymujemy równość:, a stąd. Stosunek długości promienia podstawy stożka taki sam jak stosunek miary kąta środkowego powierzchnię boczną stożka do miary kąta pełnego. do długości jego tworzącej jest wycinka kołowego stanowiącego Gdy przekształcimy zależność, otrzymamy wzór na kąt środkowy powierzchni bocznej stożka. Przykład 2. Wyznaczmy miarę kąta αα stożka, którego siatka jest przedstawiona na rysunku. Rozwiązanie Wiemy, że i. Na podstawie zależności otrzymujemy:, a stąd. Odpowiedź: W stożku o promieniu podstawy cm i tworzącej długości cm miara kąta wycinka kołowego wyznaczającego powierzchnię boczną wynosi. Ćwiczenie 2. Oblicz długość tworzącej stożka, którego siatka jest przedstawiona na rysunku. Pole wycinka kołowego o promieniu wyznaczonego przez kąt środkowy o mierze wyraża się wzorem:.
Jeśli znamy promień podstawy stożka wyznaczyć pole powierzchni bocznej stożka. oraz długość tworzącej, możemy Ze wzoru na pole wycinka kołowego oraz z zależność otrzymujemy: Pole powierzchni bocznej stożka o promieniu podstawy wzorem: i tworzącej wyraża się Aby obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka, wystarczy obliczyć pole jego siatki, to znaczy obliczyć sumę pola koła w jego podstawie oraz pola powierzchni bocznej. pole podstawy stożka pole powierzchni bocznej stożka pole powierzchni całkowitej stożka Powyższy wzór można zapisać także w postaci:
Przykład 3. Obliczmy pole powierzchni bocznej klosza nocnej lampki przedstawionego na rysunku. Wynik podajmy po zaokrągleniu do. Przyjmijmy, że. Rozwiązanie Zauważmy, że,. Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta o bokach długości (patrz: rysunek). Otrzymujemy: Wobec tego:. Do wzoru podstawiamy dane i otrzymujemy: Odpowiedź: Pole powierzchni bocznej klosza wynosi.. Ćwiczenie 3. Wafelek do lodów ma kształt stożka o wysokości i średnicy podstawy. Oblicz pole powierzchni bocznej takiego wafelka. Wynik podaj po zaokrągleniu do. Przyjmij, że.
Przykład 4. Obliczmy objętość i pole powierzchni całkowitej bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu trapezu prostokątnego wokół prostej zawierającej jego dłuższą podstawę (patrz: rysunek). Rozwiązanie Wykonajmy szkic otrzymanej bryły obrotowej. Zauważmy, że powstałą bryłę tworzą: walec o promieniu podstawy i wysokości, stożek o promieniu podstawy i wysokości (z własności trójkąta pitagorejskiego o bokach ). Objętość walca to, a objętość stożka to, zatem objętość naszej bryły to:. Pole powierzchni całkowitej bryły obrotowej tworzą: pole podstawy walca:, pole powierzchni bocznej walca:, pole powierzchni bocznej stożka:. Pole powierzchni całkowitej bryły jest zatem równe:. Odpowiedź: Objętość bryły wynosi równe., a pole powierzchni całkowitej jest
Ćwiczenie 4. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły obrotowej powstałej w wyniku obrotu figury przedstawionej na rysunku wokół prostej. Przekrojem osiowym stożka nazywamy część wspólną stożka i płaszczyzny zawierającej oś jego obrotu. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równoramiennym, a kąt przy wierzchołku tego trójkąta to kąt rozwarcia stożka. Przekrój osiowy stożka kąt rozwarcia stożka Przekrojem poprzecznym stożka nazywamy część wspólną stożka i płaszczyzny równoległej do jego podstawy. Przekrój poprzeczny stożka jest kołem. Przekrój poprzeczny stożka
ZADANIA 1. Objętość stożka powstałego z obrotu trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych i wokół krótszej przyprostokątnej wynosi: A.. B. C. D. 2. Na rysunku przedstawiono powierzchnię boczną stożka. Promień podstawy tego stożka wynosi: A.. B. C. D. 3. Pole powierzchni bocznej stożka przedstawionego na rysunku jest równe: A.. B. C. D. 4. Oblicz objętość stożka przedstawionego na rysunku.
5. Oblicz objętości stożków pokazanych na rysunku, a następnie oblicz stosunek objętości tych stożków 6. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka: a) o promieniu podstawy i wysokości, b) o średnicy podstawy i wysokości 3. 7. Jaką część koła stanowi pole powierzchni bocznej stożka, którego tworząca ma długość, a promień podstawy jest równy? 8. Oblicz objętość stożka, którego powierzchnia boczna jest pokazana na rysunku. 9. Oblicz pole powierzchni całkowitej stożka o wysokości i tworzącej długości. 10. Oblicz pole powierzchni bocznej stożka, którego wysokość wynosi, a pole podstawy jest równe. 11. Objętość stożka o wysokości jest równa. Oblicz długość tworzącej tego stożka. 12. Uzasadnij, że pole powierzchni bocznej każdego stożka jest większe od pola jego podstawy. 13. Oblicz objętość stożka o średnicy podstawy długości oraz tworzącej długości. Przyjmij, że. Wynik podaj po zaokrągleniu do. 14. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka pokazanego na rysunku.
15. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka o wymiarach pokazanych na rysunku. Przyjmij, że. Wyniki podaj po zaokrągleniu odpowiednio do i. 16. Oblicz objętość stożka pokazanego na rysunku, jeśli wiadomo, że pole jego powierzchni bocznej wynosi. 17. Najaktywniejszym wulkanem Filipin jest Mayon. Przyjmij, że ma on kształt stożka o wysokości i średnicy podstawy. Oblicz objętość tego wulkanu. Przyjmij, że. Podaj wynik po zaokrągleniu do. 18. Kieliszek w kształcie stożka o wymiarach podanych na rysunku wypełniono sokiem malinowym w. Ile mililitrów soku jest w kieliszku? Przyjmij, że. Wynik podaj po zaokrągleniu do. Czy lustro soku znajduje się w połowie wysokości stożka?
19. Oblicz stosunek objętości i pól powierzchni całkowitych stożków pokazanych na rysun 20. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej stożka, którego przekrojem osiowym jest trójkąt równoramienny o bokach,,. 21. Tworząca stożka ma długość 6, a kąt rozwarcia stożka ma miarę. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego stożka. 22. Uzasadnij, że jeśli powierzchnią boczną stożka jest półkole, to przekrojem osiowym tego stożka jest trójkąt równoboczny. 23. Porównaj objętości i pola powierzchni całkowitych walca i stożka pokazanych na rysunku.
24. Paweł wykonał model rakiety (patrz: rysunek). Oblicz jej objętość i pole powierzchni całkowitej. 25. Mama rozcięła tekturowe koło wzdłuż dwóch promieni. Powstały dwa wycinki: większy i mniejszy. Zrobiła z nich dwie czapki. Z której części koła wykonała czapkę typu skrzat, a z której czapkę typu Wietnamka? 26. Z jakiej części koła należy wykonać czapeczkę w kształcie stożka o średnicy podstawy i wysokości? Ile wynosi miara kąta środkowego tego wycinka kołowego? 27. Trapez równoramienny o ramionach długości i podstawach długości i obrócono względem krótszej podstawy. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły. 28. Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy w połowie wysokości (patrz: rysunek). Oblicz stosunek objętości dwóch powstałych brył obrotowych: stożka i stożka ściętego.
29. Bryła obrotowa pokazana na rysunku składa się z dwóch stożków o wspólnej podstawie. Łączna wysokość stożków wynosi, a średnica wspólnej podstawy ma długość. Wyraź objętość tej bryły w zależności od i. 30. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej z obrotu rombu o przekątnych długości i wokół krótszej przekątnej. 31. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej bryły powstałej z obrotu trójkąta prostokątnego wokół przeciwprostokątnej (patrz: rysunek). Czy już potrafisz? 1. Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Pole powierzchni bocznej stożka przedstawionego na rysunku jest równe A.. B. C. D. 2. Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe. Objętość stożka o średnicy podstawy 88 cm i wysokości wynosi A.. B. C. D.
3. Oblicz pole podstawy stożka, którego powierzchnia boczna jest przedstawiona na rysunku. 4. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku równym. Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej tego stożka. 5. Oblicz objętość i pole powierzchni bryły obrotowej powstałej przez obrót kwadratu o boku 6 wokół przekątnej kwadratu.