Dobór materiałów konstrukcyjnych cz. 15 dr inż. Hanna Smoleńska Katedra Inżynierii Materiałowej i Spajania Wydział Mechaniczny, Politechnika Gdańska Materiały edukacyjne
Współczynnik kształtu przekroju
Kiedy kształt przekroju jest ważny? Istotne pole przekroju A, nie kształt Istotne pole przekroju A oraz kształt przekroju wyrażony przez momenty bezwładności I XX, I YY Istotne pole przekroju A i moment biegunowy J (kształt przekroju) Istotne pole przekroju A i moment I XX (kształt przekroju)
Do podstawowych zagadnień doboru dla elementów typu belka potrzebne są 4 wskaźniki kształtu przekroju: Zginanie w zakresie odkształceń sprężystych Skręcanie w zakresie odkształceń sprężystych Wytrzymałość na zginanie Wytrzymałość na skręcanie
Jak powstaje wskaźnik kształtu przekroju dla zginania w zakresie odkształceń sprężystych? S sztywność przy zginaniu ukształtowanego elementu S 0 - sztywność przy zginaniu nie ukształtowanego elementu (przekrój kołowy) S = E I
Wskaźnik kształtu przekroju jest niezależny od wielkości a jedynie od kształtu Dla wszystkich współczynników pełen przekrój okrągły ma wartość współczynnika 1 Każdy z tych przekrojów ma sztywność 10 razy większą niż pełen przekrój okrągły.
Zginanie w zakresie sprężystym jak określić współczynnik kształtu dla przekroju dwuteownika bazą odniesienia jest przekrój pełny kwadratowy o takiej samej powierzchni przekroju. t=0,125; h=3 b=1 I 0 b 0 =1, A 0 = b 02 =1 4 b 12 2 A 0b 12 2 2 A 12 0 I A= 2t(h+b)= 1= A 0 1 b h 3 t1 3 1,125 6 h
e B S S 0 EI EI 0 EI 2 A E 12 12I 2 A e B 121,125 13,5
Współczynniki kształtu Ashby M.F.: Dobór materiałów w projektowaniu inżynierskim. WNT. Warszawa 1998
Dane doświadczalne dotyczące maksymalnych wartości współczynników kształtu Materiał max max max max Stal konstrukcyjna Stopy aluminium 65 25 13 7 44 31 18 8 GFRP i CFRP 39 26 9 7 Polimery (np. nylony) Drewno (pełen przekrój) 12 8 5 4 5 1 3 1 Elastomery <6 3 - -
Wpływ ukształtowania na własności materiału http://www.grantadesign.com
Dobór najlepszego materiału i kształtu na lekką i sztywna belkę Masa jest minimalna gdy minimalna jest wartość stosunku E 1 2
http://www.grantadesign.com
Materiał ρ [Mg/m 3 ] E [GPa] φ e, max ρ/e 1/2 ρ/(φ e, max E) 1/2 stal 7,85 205 65 0,55 0,068 stopy Al 2,70 70 44 0,32 0,049 GFRP 1,75 28 39 0,35 0,053 Drewno (dąb) 0,9 13 8 0,25 0,088 Jak zmienia się kolejność doboru po ukształtowaniu przekroju?
Przykłady wskaźników uwzględniających kształt przekroju Ashby M.F.: Dobór materiałów w projektowaniu inżynierskim. WNT. Warszawa 1998
Wskaźnik ukształtowania mikrostruktury Dlaczego materiały naturalne mają tak dobre właściwości?
Przykłady Źdźbło trawy puste międzywęźla i pełne węzły budowa segmentowa. Ściana źdźbła dwa pierścienie wiązek przewodzących i tkanka mechaniczna (sklerenchyma) tworzą zwarty walec zewnętrzny - w efekcie źdźbła mają dużą elastyczność oraz wytrzymałość mechaniczną, co umożliwia im osiąganie znacznych wysokości przy stosunkowo niewielkiej średnicy.
Euplectella - cylindryczne gąbki zbudowane z włókien naturalnego szkłao grubości ludzkiego włosa. Każde włókno otacza wiele warstw szkła połączonych organicznym klejem, są niezwykle odporne na pęknięcia i uszkodzenia. Włókna składające się na szkielet gąbki krzyżują się, tworząc sieć przestrzenną, wzmocnioną przez włókna biegnące po przekątnej w obu kierunkach wewnątrz naprzemiennych kwadratów sieci. Dodatkowo na zewnątrz pojawiają się spiralnie ułożone występy stabilna struktura trudna do zgniecenie lub skręcenia
Natura wytworzyła mikrostruktury optymalne dla określonych celów: zmian gęstości w zależności od odległości od centrum zginania - struktura spieniona zamiast litej Zwiększenie średnicy elementu, zmniejszenie gęstości
Materiał Mikro-kształt Mikro-kształt materiału, ψ Materiał traktowany jako jednolita struktura o określonej gęstości + = Makro ukształtowanie materiału o odpowiednim mikrokształcie, ψφ = Makro-kształt, φ + Mikro-kształt materiału, ψ
Dla lekkiej, sztywnej belki zginanej wskaźnik funkcjonalności nie uwzględniający kształtu: M=E 1/2 / Uwzględniając kształt M=(E ) 1/2 / Współczynnik kształtu musi uwzględniać dla przypadku zginania moment geometryczny bezwładności (dla belki prostokątnej Ixx= bh 3/12 ) Współczynnik kształtu dla przekroju ukształtowanego wewnętrznie (np. drewno): - gęstość drewna mierzona makroskopowo s gęstość ścian komórek drewna I xx = (/ s ) (bh 3 /12)
Wynikowy współczynnik kształtu dla drewnianej belki o przekroju prostokątnym: h 3b e s B calk e e e B calk B B Mikrostrukturalny współczynnik kształtu
Materiały ukształtowane również mogą być dobierane w oparciu o wykresy np. sprężyste zginanie: M E 1/ 2 e 1/ 2 E E B e B 1/ 2 Materiał po ukształtowaniu zachowuje się jak materiał o module i gęstości: E E / / e B e B
Belka stropowa Ashby M.F.: Dobór materiałów w projektowaniu inżynierskim. WNT. Warszawa 1998
2 e B 25 e B Najczęściej stosowane materiały drewno lub stal. Drewniana belka o przekroju prostokątnym ma wskaźnik ukształtowania przekroju Ф B e równy 2, podczas gdy dwuteownik stalowy aż 25. Dlaczego?
Wymagania: WYTRZYMAŁOŚĆ SZTYWNOŚĆ Przy zadanej sztywności najlżejsza będzie belka o maksymalnej wartości wskaźnika M 1 : M 1 1 E E2 B najlżejsza będzie belka o maksymalnej wartości wskaźnika M 3 : M 2 1 e 2 3 B f
Ashby M.F.: Dobór materiałów w projektowaniu inżynierskim. WNT. Warszawa 1998
Ashby M.F.: Dobór materiałów w projektowaniu inżynierskim. WNT. Warszawa 1998
Materiały na belki stropowe Materiał Drewno (sosna) Stal ( miękka) Gęstość [Mg/m 3 ] 0,7 7,9 Moduł E [GPa] 15 210 Wytrzymałość f [MPa] 80 310 Współczynnik kształtu e B 2,1 1525 Współczynnik kształtu f B 2,8 20 35 M 1 [GPa 1/2 /(Mg/m 3 )] 8,0 79 M 2 [MPa2/3 /(Mg/m 3 )] 34 1619 Czy należy budować z drewna?