Fraktale wokół nas Leszek Rudak Uniwersytet Warszawski informatyka + 1
Podobieństwo figur informatyka + 2
Figury podobne Figury są podobne gdy proporcjonalnie zwiększając lub zmniejszając jedną z nich możemy otrzymać tę drugą. informatyka + 3
Figury podobne informatyka + 4
Figury podobne informatyka + 5
Figury podobne - zastosowanie Trójkąty mające proporcjonalne boki są podobne Czworokąty mające proporcjonalne boki NIE muszą być podobne informatyka + 6
Samopodobieństwo informatyka + 7
Odcinek informatyka + 8
Trójkąt prostokątny równoramienny informatyka + 9
Krzywa Kocha informatyka + 10
Trójkąt Sierpińskiego informatyka + 11
Zbiór Cantora informatyka + 12
Gąbka Megera informatyka + 13
Fraktale informatyka + 14
Benoit Mandelbrot matematyk urodził się Warszawie pracował we Francji i USA pierwszy badał fraktale wprowadził nazwę informatyka + 15
Żuk Mandelbrota informatyka + 16
Żuk Mandelbrota (powiększenie) informatyka + 17
Wymiar informatyka + 18
Jeden wymiar informatyka + 19
Dwa wymiary informatyka + 20
Trzy wymiary informatyka + 21
Pudełka figury płaskie bryły informatyka + 22
Wymiar pudełkowy odcinka informatyka + 23
Wymiar pudełkowy odcinka Rozmiar pudełka Liczba pudełek Zależność 1 1 1 = 1 ½ 2 2 = 2 ¼ 4 4 = 4 informatyka + 24
Wymiar pudełkowy kwadratu informatyka + 25
Wymiar pudełkowy kwadratu Rozmiar pudełka Liczba pudełek Zależność 1 1 1 = 1 2 ½ 4 4 = 2 2 ¼ 16 16 = 4 2 informatyka + 26
Wymiar pudełkowy odcinka Rozmiar pudełka Liczba pudełek WYMIAR ODCINKA 1 1 1 = 1 1 ½ 2 2 = 2 1 ¼ 4 4 = 4 1 informatyka + 27
Wymiar pudełkowy sześcianu informatyka + 28
Trójkąt Sierpińskiego informatyka + 29
Trójkąt Sierpińskiego Rozmiar pudełka Liczba pudełek WYMIAR TR. SIERP. 1 1 1 = 1? ½ 3 3 = 2? ¼ 9 9 = 4? informatyka + 30
Dygresja: logarytm Logarytm ma podstawę: a Logarytm obliczamy z jakiejś liczby: b Logarytm to wykładnik potęgi do jakiej trzeba podnieść a aby otrzymać b Oznaczenie: log a b informatyka + 31
Dygresja: logarytm (przykłady) log 3 9=2 bo 3 2 =9 log 5 125=3 bo 5 3 =125 log 10 0,1=-1 bo 10-1 =1/10=0,1 log 2 256=8 bo 2 8 =256 informatyka + 32
Szukamy log 2 3 =? log 4 9 =? informatyka + 33
Obliczenia 2 2 2 1,41 = 2,82 1 0,5 2 2 = 2 2 = 2 1,5 1,5 2 2,82 < 3 < 2 2 informatyka + 34
Trójkąt Sierpińskiego Rozmiar pudełka Liczba pudełek WYMIAR TR. SIERP. 1 1 1 = 1 1,585 ½ 3 3 2 1,585 ¼ 9 9 4 1,585 informatyka + 35
Zbiór Cantora informatyka + 36
Rozmiar pudełka Zbiór Cantora Liczba pudełek WYMIAR TR. SIERP. 1 1 1 = 1 0,6309 1 / 3 2 2 3 0,6309 1 / 9 4 4 9 0,6309 informatyka + 37
Jeż (nieskończony) informatyka + 38
Fraktale w przyrodzie informatyka + 39
Kryształki lodu informatyka + 40
Śnieżynki informatyka + 41
Śnieżynki informatyka + 42
Brokuły informatyka + 43
Brokuły informatyka + 44
Muszle informatyka + 45
Kolonie pleśni informatyka + 46
Rzeki informatyka + 47
Rzeki Missisipi wymiar pudełkowy 1,2 informatyka + 48
Gałęzie drzew informatyka + 49
Rośliny informatyka + 50
Paprotka (Barnsleya) informatyka + 51
Fraktale w technice informatyka + 52
U.S. Patent No. 5,354,460 1994 informatyka + 53
U.S. Patent No. 5,354,460 1994 informatyka + 54
Fraktale w kartografii informatyka + 55
Płatek Kocha informatyka + 56
Linia brzegowa informatyka + 57
Fraktale i komputery informatyka + 58
4 wymiarowy zbiór Julia informatyka + 59
Narysujmy sobie fraktal informatyka + 60
Drzewo informatyka + 61
Drzewo (binarne) informatyka + 62
Drzewo (binarne) informatyka + 63
Drzewo (binarne) algorytm oto drzewobin :b jeżeli :b < 4 [ stop ] naprzód :b lewo 43 drzewobin 0,75 * :b prawo 69 drzewobin 0,75 * :b lewo 26 wstecz :b już informatyka + 64
Drzewo Pitagorasa informatyka + 65
Drzewo Pitagorasa informatyka + 66
Zróbmy sobie fraktala informatyka + 67
informatyka + 68
Smok informatyka + 69
Smoki informatyka + 70
Smoki w komputerze Poziom 1. L Poziom 2. LLP informatyka + 71
Smoki w komputerze Poziom 3. Poziom 4. LLPLLPP LLPLLPPLLLPPLPP informatyka + 72
Smoki w komputerze L LLP LLPLLPP LLPLLPPLLLPPLPP LLPLLPPLLLPPLPPLLLPLLPPPLLPPLPP informatyka + 73
Wykorzystane materiały I. Białynicki-Birula, I. Białynicka-Birula, Modelowanie rzeczywistości, WNT, Warszawa 2007 II. Ilustracje pochodzą ze stron internetowych: www.ozdabianiepotraw.pl commons.wikimedia.org www.fractalism.com/fractal-art.htm www.fbmn.fh-darmstadt.de/home/sandau/biofractals/abstract_sfi.html cs.unm.edu/~joel/paperfoldingfractal/paper.html www.fhu-wektor.pl www.miqel.com/fractals_math_patterns/visual-math-natural-fractals.html webecoist.com/2008/09/07/17-amazing-examples-of-fractals-in-nature classes.yale.edu/fractals informatyka + 74