Spis treści. Spis treści

Spis treści 3 Spis treści I. Liczby rzeczywiste 1. Liczby naturalne, całkowite, wymierne... 5 2. Potęga o wykładniku naturalnym, całkowitym, wymiernym... 9 3. Pierwiastki, liczby niewymierne... 13 4. Wyrażenia arytmetyczne... 16 5. Przedziały liczbowe... 20 6. Logarytmy... 23 7. Wartość bezwzględna... 27 8. Przybliżenia... 31 9. Obliczenia procentowe... 33 Sprawdzian po dziale I... 37 II. Wyrażenia algebraiczne 10. Wzory skróconego mnożenia... 40 11. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie wielomianów... 47 12. Rozkładanie wielomianu na czynniki... 51 13. Dzielenie wielomianu przez dwumian ax + b... 55 14. Wyrażenia wymierne... 59 15. Działania na wyrażeniach wymiernych... 63 Sprawdzian po dziale II... 67 III. Równania i nierówności 16. Równania i nierówności liniowe... 70 17. Układy równań liniowych... 75 18. Równania i nierówności kwadratowe... 81 19. Wzory Viète a... 86 20. Zastosowanie równań i nierówności liniowych i kwadratowych oraz układów równań... 89 21. Równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem... 93 22. Układy równań prowadzące do równań kwadratowych... 97 23. Równania wielomianowe... 100 24. Nierówności wielomianowe... 106 25. Równania i nierówności wymierne... 110 26. Zastosowanie równań wielomianowych i wymiernych... 115 27. Równania i nierówności z wartością bezwzględną... 118 Sprawdzian po dziale III... 124 IV. Funkcje 28. Sposoby określania funkcji... 127 29. Własności funkcji... 132 30. Funkcja liniowa... 139 31. Przesunięcia wykresów funkcji... 143 32. Odbicia symetryczne oraz inne przekształcenia wykresów funkcji... 148 33. Funkcja kwadratowa wzór i wykres... 155 34. Własności funkcji kwadratowej... 159 35. Zastosowanie funkcji liniowej i kwadratowej... 163 36. Funkcja wymierna... 167 37. Funkcja wykładnicza... 174 38. Zastosowanie funkcji wykładniczej... 178 39. Funkcja logarytmiczna... 182 40. Zastosowanie funkcji logarytmicznej... 187 41. Funkcje określone przedziałami... 192 Sprawdzian po dziale IV... 197 V. Ciągi 42. Sposoby opisywania ciągów... 201 43. Ciąg arytmetyczny... 206 44. Ciąg geometryczny... 210 45. Zastosowanie ciągów arytmetycznego i geometrycznego... 214 46. Granica ciągu... 218 47. Szereg geometryczny... 224 Sprawdzian po dziale V... 228 VI. Trygonometria 48. Funkcje trygonometryczne kąta ostrego w trójkącie prostokątnym... 230 49. Tożsamości trygonometryczne dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym... 235 50. Funkcje trygonometryczne dowolnego kąta... 240 51. Wykresy funkcji trygonometrycznych... 247 52. Sinus i cosinus sumy oraz różnicy kątów... 253 53. Suma i różnica sinusów oraz cosinusów... 257 54. Zastosowanie tożsamości trygonometrycznych... 260 55. Równania i nierówności trygonometryczne... 263 Sprawdzian po dziale VI... 270 VII. Planimetria 56. Kąt środkowy i kąt wpisany... 273 57. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów... 277 58. Podobieństwo trójkątów... 282 59. Okrąg opisany na czworokącie, okrąg wpisany w czworokąt... 285 60. Twierdzenie Talesa (proste i odwrotne)... 288 61. Obrazy figur płaskich w jednokładności... 293 62. Zastosowanie własności figur podobnych i jednokładnych... 297 63. Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów... 301 64. Zastosowanie trygonometrii w rozwiązywaniu problemów geometrycznych... 305 Sprawdzian po dziale VII... 310

4 SPIS TREŚCI VIII. Geometria na płaszczyźnie kartezjańskiej 65. Wektory w układzie współrzędnych. Działania na wektorach... 312 66. Opis przesunięcia wykresu funkcji za pomocą wektora... 318 67. Równanie kierunkowe i ogólne prostej. Równoległość i prostopadłość prostych... 322 68. Odległość na płaszczyźnie kartezjańskiej... 327 69. Interpretacja graficzna układu równań i nierówności liniowych... 330 70. Obrazy figur płaskich w symetrii osiowej i środkowej... 338 71. Równanie okręgu i opis koła za pomocą nierówności... 342 72. Wzajemne położenie prostej i okręgu... 347 Sprawdzian po dziale VIII... 351 IX. Stereometria 73. Proste i płaszczyzny w przestrzeni... 353 74. Graniastosłupy... 358 75. Ostrosłupy... 363 76. Kąt dwuścienny... 367 77. Przekrój graniastosłupa i ostrosłupa płaszczyzną... 370 78. Walce i stożki... 374 79. Kula i sfera oraz ich przekroje... 380 80. Zastosowanie trygonometrii do obliczania długości, miar kątów, pól i objętości... 383 Sprawdzian po dziale IX... 388 X. Elementy statystyki opisowej. Teoria prawdopodobieństwa i kombinatoryka 81. Analiza danych statystycznych... 390 82. Liczba obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych... 397 83. Liczba permutacji, kombinacji, wariacji i wariacji z powtórzeniami... 400 84. Prawdopodobieństwo zdarzenia... 405 85. Prawdopodobieństwo warunkowe... 411 86. Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym... 414 Sprawdzian po dziale X... 419 XI. Rachunek różniczkowy 87. Granica funkcji... 421 88. Pochodna funkcji wielomianowych i wymiernych... 431 89. Geometryczna i fizyczna interpretacja pochodnej... 436 90. Zastosowanie pochodnej do badania własności funkcji... 441 91. Zastosowanie pochodnej w zagadnieniach optymalizacyjnych... 449 Sprawdzian po dziale XI... 452 Zadania z rozwiązaniem krok po kroku... 455 Arkusz maturalny przykładowy zestaw zadań... 467 Odpowiedzi i wskazówki do zadań... 481 Indeks... 501 Wartości funkcji trygonometrycznych... 503 Oznaczenie stopnia trudności zadań: łatwe średnio trudne trudne Więcej na WWW.ZDASZ.TO Arkusze maturalne z kluczem odpowiedzi Zadania do wszystkich tematów i działów Zadania z gwiazdką Test na wejście Wiedza a także: Podpowiedzi do zadań Rozwiązania wszystkich zadań Aktualne postępy w nauce Słownik pojęć

VII. Planimetria 56. Kąt środkowy i kąt wpisany Kąt środkowy i kąt wpisany O r. AB AOB ACB oparte na Przykład 1. a) b) - Odpowiedź: a) b) Przykład 2. A i B AB AOB Odpowiedź:

274 VII. PLANIMETRIA - Przykład 3. - Odpowiedź: Przykład 4. < C A, B O D COB ΔABC CAB COB = CDO CDO 90 2 Odpowiedź: OCD 90 2 Przykład 5. O A, B C AB AC BAC ABC ABC ABC ACB BAC + + 3 = = = Odpowiedź: ABC

56. Kąt środkowy i kąt wpisany 275 Przypomnienie własności kątów + = + = + = + = = = = = = = = = = = Zadania Zadanie 1. ABC O AOB = 100, BOC = 170 A BOC AOC =, ABC =, ACB =, CAB = Zadanie 2. A, B, C AB, BC CA ABC

276 VII. PLANIMETRIA Zadanie 3. A, B, C, D - ABCD Zadanie 4. A, B P Q a) APB AQB = b) APB + AQB P, Q Zadanie 5. AB CD (O, r P O ACD CAD CPB = 60, COB = 30 Zadanie 6. A, P, B (O, r APB AOB = APB A. B. C. D. Zadanie 7. AB X A B - I. AXB X II. AXB X III. AXB X o AB o AB o AB Zadanie 8. A B (O, r A C A OC D BAC AOB A, D, B a) b) c) d) Zadanie 9. a) b) c) d) Zadanie 10. P AB ABC AP AC BC D E AE BD H CH AB

57. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów 277 57. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów Styczna do okręgu i sieczna okręgu - O r O r O r O r O r O r Przykład 1. O r O a) b) 4, c) a) b) c)

278 VII. PLANIMETRIA Przykład 2. k A O AB k AB AOB = 180 AOB OAB = = 90 2 2 AOB k ( ) = AB 90 90 2 2 Odpowiedź: - Twierdzenie o odcinkach stycznych P A B PA PB - Przykład 3. A B C D - AB C D K DK DL CD AC BC - DC DK DC DL DK DL

57. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów 279 Okręgi rozłączne, przecinające się i styczne O1, O2 r1, r2 Z O, O r, r ( r r ) 1 2 1 2 1 2 OO > r + r 1 2 1 2 OO 1 2 = r1+ r2 r r < OO < r + r 1 2 1 2 1 2 OO 1 2 = r1 r2 r1> r2 OO 1 2 < r1 r2 r > r 1 2 OO 1 2 = 0

280 VII. PLANIMETRIA Przykład 4. A A, B, C r B r C BC = r1+ r2 - AB = 3 r1, AC = 3 r 2 ABC AB + BC + AC = 3 r + r + r + 3 r = 6 Odpowiedź: ABC 1 1 2 2 Zadania Zadanie 1. AP, BP DE A, B, C PED AP = a Zadanie 2. k k R + A. k + 1 2k + 1 180 B. k + 1 3k 1 180 C. k 1 k + 1 180 D. k 1 2k 1 180 Zadanie 3. I. r k A / B / C / D II. r S - 1 r A / B / C / D 2 III. r S - r A / B / C / D A. S 3 2 r B. S 1 2 r C. k k o r D. S r

57. Wzajemne położenie prostej i okręgu oraz dwóch okręgów 281 Zadanie 4. P F I. AB = 3m + 1, r1 = m 2, r 2 = 2 m+ 3, o dla > (A, r (B, r 1 3 1 II. AB = m 3, r1 = m+1, r2 = m+1, o dla 2 4 4 (A, r (B, r III. AB = 5m 4, r1 = 2m+ 1, r2 = m 3, o dla > 3 (A, r (B, r P / F P / F P / F Zadanie 5. (A, r (B r R A. R > r B. R 3r C. R 4r D. R < r Zadanie 6. (A, r (B, r (C, r 3 A ABC Zadanie 7. Zadanie 8. A, B C, D AB CD Zadanie 9. k I. k A / B / C / D II. k A / B / C / D III. k A / B / C / D A. k B. k C. k D. k Zadanie 10. r -

310 VII. PLANIMETRIA Sprawdzian po dziale VII Zadanie 1. A, B, C AB, BC AC ABC A. B. C. D. Zadanie 2. K, L, M O KML = 100 MKL = 24 KMLO Zadanie 3. M, N MN A. B. M, N C. MN D. MN Zadanie 4. Zadanie 5. a) b) Zadanie 6. a) b) Zadanie 7. ABC AB = BC = CA = D, E, AC, BC DE AB, DE Zadanie 8. 4 A. B. C. D. sin Zadanie 9. a) b)

Sprawdzian po dziale VII 311 Zadanie 10. - A. 3 1 2 B. 3 1 C. 3 + 1 2 D. 3+ 1 Zadanie 11. AD ABCD - O AB, BC CD ABCD Zadanie 12. A. B. C. D. Zadanie 13. - Zadanie 14. 7 6 A. 5 3 2 B. 5 6 2 C. 5 3 2 D. 5 6 2 18 18 9 9 Zadanie 15. ABCD AB CD - AD AD BC O AO A. 4 B. C. D. Zadanie 16. 6 3 P F I. P / F II. 18 66 Zadanie 17. ABC AB AC D BC E AD AC = BC = EC A. 4 B. C. D. P / F

436 XI. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY 89. Geometryczna i fizyczna interpretacja pochodnej Geometryczna interpretacja pochodnej f P = (x f (x Q = (x + x f (x + x PQ f P Q PQ PQM - PM QM x Δ y Δx MPQ PQM PQ x Δ y f( x0+ Δx) f( x0) = r Δx Δx PQ x P i Q x x M P PQ l P Δ y l x Δx Δy tg = lim = f ( x0) Δx Δx 0

89. Geometryczna i fizyczna interpretacja pochodnej 437 y = f( x) x l x f ( x0) l l P = (x y y = f ( x )( x x ) 0 0 0 J f x P = x 0 y 0 y y = f ( x )( x x ) 0 0 0 Przykład 1. f (x) = x f ( x) = 2x f ( 2) = 4 f = P = - 4 = 4(x 4 = 4x 8 = 4x 4 Odpowiedź: = 4x 4 Przykład 2. f( x)= x 3 r f = f ( x) = 3x 2 f () 1 = 3 P = x = x - 3 3 x = 3x 2 x 3x+ 2= 0 Odpowiedź: = x f

438 XI. RACHUNEK RÓŻNICZKOWY Przykład 3. f( x)= x 2 i g( x)= 1 x f i g 2 1 f (x) = g(x) x = x x (x x 3 = 1 x = f = g = f i g P = 1 f ( x) = 2x g ( x) = 2 f () 1 = 2 g () 1 = 1 - x f g P = = x - = - P x + ) + = = Odpowiedź: P = P Fizyczna interpretacja pochodnej P OS S = s( st ( 0+ Δt) st ( 0) vt ( 0) = lim = s ( t0) Δt 0 Δt J vt ( 0 + Δt) vt ( 0) v( ) i v( + Δt vt ( 0+ Δt) vt ( 0) at ( 0) = lim = v ( t0) Δt Δt 0

89. Geometryczna i fizyczna interpretacja pochodnej 439 Przykład 4. s()= t 1 gt 2 g 2 v( a( v s - 1 v() t = s () t = g 2t = gt 2 a( ) = v ( ) = g Odpowiedź: v( ) = a( ) = g Zadania Zadanie 1. f A a) f( x)= x 2 A = 2 A = ( ) b) f( x)= 1+ 1 x 1, 3 2 2 c) f( x)= 1 x 3 A = 3 d) f( x)= 1 2 3 A =, x 3 2 ( ) Zadanie 2. f I. f( x)= x + x 1 2 1 2 II. f( x)= + x x 3 2 III. f( x)= x + x x+ 3 2 1 IV. f( x)= x + x + 1 x A. = x + B. = 4x C. = x D. = 4x E. = 4 F. = x Zadanie 3. f( x)= 2x 3 x x z x f

Zadania z rozwiązaniem krok po kroku ZADANIA Z ROZWIĄZANIEM KROK PO KROKU 455 Zadanie 1. 2 2 ( ) + ( + ) = Prosta o równaniu x y+ 3= 0 x+ 3 y 2 4w punktach A i B. C A i B CD ABC AB C. Krok 1. S = ( 3, kierunkowym y = x + 3 oraz punkty A, B D i prowa- AB w punktach C 1 i C 2. Krok 2. A i B 2 2 ( ) + ( + ) = Punkty A i B x y+ 3= 0 x+ 3 y 2 4, ich w - x y+ 3= 0. 2 2 ( x+ 3) + ( y+ 2) = 4 y (y = x + 2 2 ( ) + ( + + ) = x+ 3 x 3 2 4 2 2 x + 6x+ 9 + x + 10x+ 25 4= 0 2 2x + 16x+ 30= 0 2 x + 8x+ 15= 0

470 Arkusz maturalny Zadanie 7. (0 2) 2 2 1 f ( x)= x x+ c ma dwa miejsca zerowe x 3 3 1 x 2 2 5 c. - Zadanie 8. (0 2) f zmiennej x a R + jest dana wzorem f ( x)= a sin x+ 7, 21 a f