Fizyka dla nformatyki Stosowanej Jacek Golak Semestr zimowy 06/07 Wykład nr
Najważniejsze elementy ostatniego wykładu to Dipol elektryczny i jego potencjał elektryczny Polaryzacja i dielektryk w polu elektrycznym Ładunki związane Dielektryki liniowe i przenikalność elektryczna Wektor indukcji elektrycznej Prawo Gaussa dla wektora indukcji elektrycznej Natężenie pola elektrycznego w dielektrykach liniowych Gęstość energii pola elektrycznego w materii Wektor gęstości prądu elektrycznego Natężenie prądu elektrycznego Prawo Ohma a definicja oporu elektrycznego Część rysunków zapożyczyłem z wykładu profesora einharda Kulessy.
Mechanizm przewodnictwa elektrycznego jest skomplikowany i należy go rozpatrywać osobno dla metali, gazów i roztworów (kwasów, zasad i soli). Pełny opis przewodnictwa elektronowego w metalach wymagałby uwzględnienia falowej natury elektronów (mechanika kwantowa). Klasyczny obraz jest następujący: prąd przewodzenia przenoszony jest przez niezwiązane elektrony, tworzące gaz elektronowy w metalu i polega na powolnym, systematycznym przesuwaniu się nośników prądu, nałożonym na ich bardziej gwałtowny i chaotyczny ruch termiczny. Zderzenia elektronów z siecią krystaliczną powodują proporcjonalność ich średniej prędkości do natężenia pola elektrycznego. Ta tzw. prędkość dryfu elektronów w czasie przepływu prądu jest bardzo niewielka (rzędu 0 - m/s ) i znacznie mniejsza od prędkości ruchów cieplnych.
E jądro atomowe
Prawo Joule a - Lenza Jeżeli ładunek dq jest przenoszony przez różnicę potencjałów, to wykonana zostaje praca dw = dq. Jeżeli w przewodniku płynie prąd, to w czasie dt przepłynie w nim ładunek dq = dt. Zatem praca wykonana przez źródło pola elektrycznego wynosi: dw dq dt dt Nośniki ładunku ulegają w przewodniku ciągłym zderzeniom, w których energia uzyskiwana przez nie od pola elektrycznego zamienia się na energię ruchu cieplnego. Moc wydzielana na oporniku wynosi: P dw dt
Łączenie oporników Łączenie szeregowe: z z z N i z i W ogólnym przypadku, dla N oporników połączonych szeregowo
N i i z z z z Łączenie oporników Łączenie równoległe W ogólnym przypadku, dla N oporników połączonych równolegle
Przykład układu oporników, który może zostać zbudowany z kilku połączeń szeregowych i równoległych
z z Pełna informacja wymaga także policzenia wszystkich natężeń prądów i! z
Dalej mamy dla dolnej gałęzi:
Albo prościej, odejmując spadek napięcia na oporniku : W ten sposób mamy policzone już wszystkie natężenia prądu! Teraz możemy policzyć też moc wydzielaną na każdym oporniku: i i P Jeśli pojęcie oporu zastępczego ma sens, musi zachodzić: i z i i i i tot P P całkowita moc wydzielana w obwodzie
Nie wszystkie układy można sprowadzić do połączeń szeregowych i równoległych. Klasycznym przykładem jest tzw. mostek. W tym przypadku a priori nie wiadomo, w którą stronę płynie prąd przez opornik 5! Dla takich układów potrzebne są prawa Kirchhoffa, które podamy nieco dalej! 5
Siła elektromotoryczna (SEM) Dlaczego możliwy jest w ogóle prąd o stałym natężeniu?! Przy omawianiu prawa Ohma zakładaliśmy, że między końcami rozważanego przewodnika istnieje stała różnica potencjałów. Siły elektrostatyczne zawsze będą dążyły do wyrównania się potencjałów w przewodniku, likwidując tę różnicę. (Przypominam doświadczenie z dwoma elektroskopami!) trzymanie różnicy potencjału wymaga istnienia dodatkowych sił zewnętrznych. Muszą one wykonywać pracę związaną z przenoszeniem ładunków. Te siły zewnętrzne mogą mieć różne przyczyny. Na przykład: Procesy chemiczne w bateriach Ciśnienie mechaniczne w kryształach piezoelektrycznych óżnice temperatur w termoelemencie Światło w komórce fotoelektrycznej Zmiana strumienia pola magnetycznego
ozważmy prosty obwód elektryczny : bateria + opornik + - W tym obwodzie elektrycznym działają dwie siły podtrzymujące prąd elektryczny: siła źródła fizycznie związana z fragmentem obwodu, gdzie znajduje się bateria oraz siła elektrostatyczna, która wygładza przepływ ładunku i przenosi wpływ źródła do wszystkich części obwodu. E E zew E stat
Całka po konturze zamkniętym Γ wynosi W Q E stat dl Q E zew dl Pierwsza całka znika, więc całka po konturze zamkniętym siły całkowitej albo zewnętrznej, przypadająca na jednostkę ładunku (siła elektromotoryczna) wynosi W Q E dl W przypadku zlokalizowanego źródła, można siłę elektromotoryczną interpretować jako pracę wykonaną przez źródło nad jednostkowym ładunkiem. zew
Podstawowy obwód elektryczny i jego grawitacyjny odpowiednik. (ysunki z wcześniejszych wydań podręcznika D. Hallidaya i. esnicka) Po prawej stronie kule spadają w gęstej, lepkiej cieczy i tracą energię
ozważmy fragment obwodu, w którym dane jest źródło siły elektromotorycznej. j ( E stat Ezew) Pomnóżmy obydwie strony powyższego równania skalarnie przez element długości dl. Otrzymamy wtedy: j dl E stat dl E zew dl
Scałkujmy to równanie pomiędzy punktami i przewodnika o stałym przekroju poprzecznym, gdy zachodzi Otrzymamy wtedy: dl A j E dl kul A dl dl E zewn dl Całka po lewej stronie reprezentuje opór odcinka przewodu pomiędzy punktami i. Wynik jest następujący: V V Wprowadzona tu definicja napięcia jest inna niż w elektrostatyce. Nie jest to tylko różnica potencjałów V V! Jest to definicja ogólniejsza, która uwzględnia działanie sił innych niż elektrostatyczne.
Z wzoru: V V wynika w szczególności, że dla obwodu zamkniętego, gdy V =V,mamy, + - Spadek napięcia na oporze zewnętrznym wynosi: z w Tylko, gdy obwód jest otwarty (=0), mamy: gdzie jest oporem całkowitym w obwodzie. Jeśli w obwodzie mamy opory zewnętrzne z oraz opór wewnętrzny źródła, w, wtedy z w z w
Wykres potencjału dla punktów obwodu zawierającego opór zewnętrzny oraz źródło o oporze wewnętrznym r. Podstawowy obwód elektryczny i jego grawitacyjny odpowiednik. (ysunki z wcześniejszych wydań podręcznika D. Hallidaya i. esnicka)
Jeżeli w obwód byłoby włączonych więcej oporów i sił elektromotorycznych, n n wtedy zamiast używamy, z w co stanowi treść prawa Kirchhoffa dla oczek sieci: w dowolnym oczku suma spadków napięć jest równa sumie sił elektromotorycznych występujących w tym oczku. Wybieramy kierunek obchodzenia oczka i uważamy na znaki! i i i i i,
prawo Kirchhoffa dotyczy węzłów sieci wyraża prawo zachowania ładunku: suma natężeń prądów wpływających do dowolnego węzła jest równa sumie natężeń prądów z niego wypływających.
Przykład zastosowania praw Kirchhoffa: Liczymy opór zastępczy dla mostka 5 5 0 0 0 5 5 5 5 5 5 W układzie mamy węzły i oczka, ale nie wszystkie równania są niezależne! Ostatecznie dostajemy układ 5 równań na 5 niewiadomych i
Możemy wykorzystać fakt, że 5 znika dla nieznanego oporu mostek Wheatstone a do pomiaru
Mostek Wheatstone a C 0 G =0 x A D B Opór, który chcemy zmierzyć, wpinamy między punkty C i B. 0 jest znanym oporem. Suwak na oporze AB przesuwamy tak długo, aż w gałęzi CD nie popłynie prąd. Oznacza to : x 0 x 0
Po znalezieniu wszystkich natężeń możemy napisać wzór na spadek napięcia przez mostek, wybierając dowolną drogę. Na przykład: Wynik jest niezależny od, bo wszystkie natężenia prądu są proporcjonalne do. 5 5 5 5 5 z z z Polecam notebooki, które zawierają szczegółowe wyniki: http://users.uj.edu.pl/~golak/f6-7/prosty_uklad_opornikow.nb http://users.uj.edu.pl/~golak/f6-7/prawa_kirchhoffa_opor_mostka.nb
Mieliśmy już jeden przykład obwodu, w którym działają wyłącznie siły elektrostatyczne. ozładowanie elektroskopów rozważyliśmy czysto jakościowo. +q -q V V V 0 < t < t k Teraz, kiedy znamy już pojęcie natężenia prądu elektrycznego, rozważymy inny prosty układ bez zewnętrznej siły elektromotorycznej, który możemy opisać ilościowo. Wpinamy opornik między okładki naładowanego kondensatora o pojemności C i ładunku początkowym Q 0. + - C K
Jeśli zamkniemy obwód kluczem K, to przez opornik popłynie prąd o natężeniu Napięcie na kondensatorze C zależy od ładunku Q na okładkach kondensatora, a natężenie prądu wynika z ubytku ładunku na okładkach kondensatora Dostajemy więc proste równanie różniczkowe na ładunek kondensatora: które ma rozwiązanie w postaci gdzie Q 0 =Q(t=0). C Q, C C dq dt dq dt Q C Q( t) Q0 e, t C, loczyn C ma wymiar czasu i jest nazywany czasem relaksacji.
Q0 C e t C Ładunek na kondensatorze zanika eksponencjalnie, a natężenie prądu jest do niego proporcjonalne. (t) Jaki jest czas rozładowania kondensatora? t Przyjmując = Ω oraz C= μf, widzimy, że /C jest równe 0 6 s -. Wynika z tego, że natężenie prądu zanika w ułamku sekundy.
Pole magnetyczne Pole elektryczne: na ładunek elektryczny spoczywający w punkcie P(x,y,z) działa siła proporcjonalna do ładunku. loraz siły i ładunku daje wektor natężenia pola elektrycznego E F( x, y, z) E( x, y, z) F( x, y, z) qe( x, y, z) q Oprócz pola elektrycznego może istnieć także pole magnetyczne scharakteryzowane wektorem indukcji magnetycznej B o tej własności, że na ładunek elektryczny poruszający się z prędkością v działa w punkcie P(x,y,z) siła dana wzorem F( x, y, z) q v B( x, y, z) Jednostką indukcji magnetycznej w układzie S jest tesla (T) N s Cm B T V s m siła Lorentza
Fakty doświadczalne Pole magnetyczne wytwarzane jest przez magnesy stałe oraz przewodniki z prądem. Do badania pola magnetycznego można użyć kompasu lub opiłków żelaza, przyjmując, że igła magnetyczna i opiłki ustawiają się zgodnie z lokalnym kierunkiem pola magnetycznego.
Linie pola magnetycznego są zamknięte! Nie tylko magnesy stałe, ale także sama Ziemia i przewodniki z prądem są źródłami pola magnetycznego.
Sama Ziemia wytwarza pole magnetyczne! Pole magnetyczne Ziemi przypomina pole magnesu sztabkowego, ale biegun magnetyczny północny jest w pobliżu bieguna południowego i odwrotnie. Linia łącząca bieguny magnetyczne nie pokrywa się z osią obrotu Ziemi (między nimi jest kąt około 0 stopni). Wartość ziemskiego pola magnetycznego przy powierzchni Ziemi to kilkadziesiąt (0-60) mikrotesli. obrazek z Wikipedii Pole magnetyczne Ziemi zmienia się w czasie!
Konsekwencje wzoru na siłę Lorentza: F q v B () Siła magnetyczna nie wykonuje pracy; nie można użyć siły Lorentza do przyspieszania cząstek. Pole magnetyczne zmienia kierunek wektora prędkości. W szczególności, jeśli cząstka porusza się w płaszczyźnie prostopadłej do wektora B, to siła magnetyczna pełni rolę siły dośrodkowej, przy czym promień dany jest wzorem B r mv qb p qb r v F Detektory cząstek: Jeśli znamy ładunek cząstki i promień r, to możemy wyznaczyć pęd cząstki p!
Konsekwencje wzoru na siłę Lorentza: () Można z wzoru Lorentza wyprowadzić wzór na siłę działającą na odcinek przewodnika z prądem B v q F B dl B dt dl dt B v dq F l d B
Ponieważ zaczęliśmy od elektrostatyki, najpierw wprowadziliśmy jednostkę ładunku (C), a potem jednostkę natężenia prądu (A=C/s). W układzie S to amper jest jednostką podstawową, zdefiniowaną w oparciu o siłę magnetyczną! Amper jest natężeniem stałego prądu płynącego przez dwa równoległe nieskończenie długie przewodniki z prądem o znikomo małym przekroju kołowym, które są w odległości jednego metra i powodującym, że na każdy metr przewodnika działa siła x 0-7 N. Kulomb to w istocie A s. obrazek z Wikipedii