Laboratorium Podstaw Elektroniki Wiaczesław Szamow Mirosław Maś Ćwiczenie E3a BADANIE REZONANSU W OBWODZIE RLC ZA POMOCĄ PROGRAMU PSpice Student opr. tech. Mirosław Maś Uniwersytet Przyrodniczo - Humanistyczny Siedlce 216
1. Wstęp Istnieje wiele układów izycznych, które posiadają tzw. stan równowagi trwałej. Układ wytrącony ze stanu równowagi trwałej wykonuje drgania, których częstotliwość o zależy od konstrukcji tego układu. Takie układy nazywa się oscylatorami a ich drgania oscylacjami. Wskutek tłumienia (i związanych z tym strat energetycznych) drgania zanikają. Układ można zmusić do drgań stosując zewnętrzne wymuszenie, ale wówczas układ drga z częstotliwością równą częstotliwości siły wymuszającej. Jeżeli częstotliwość odbiega od częstotliwości o drgań własnych układu, to amplituda drgań układu jest niewielka. Oczywiście amplituda drgań jest największa, gdy częstotliwość zmian siły wymuszającej pokrywa się z częstotliwością własną układu tj. gdy = o. Zjawisko to nazywa się rezonansem a częstotliwość, przy której ono zachodzi nazywa się częstotliwością rezonansową. W ćwiczeniu bada się zjawisko rezonansu zachodzącego w obwodzie RLC pod wpływem harmonicznie zmiennego napięcia wymuszającego. W skład zestawu pomiarowego wchodzą: komputer PC z programem PSpice Student Oprócz głównego celu ćwiczenia dodatkowym celem jest poznanie i ugruntowanie obsługi programu PSpice tj. jednej z wielu wirtualnych metod badania układów elektronicznych. UWAGA: Na zajęcia należy przynieść własny nośnik inormacji. Do ćwiczenia należy przygotować następujące zagadnienia teoretyczne: liczby zespolone oporność elektryczna, prawo Ohma kondensator, pojemność elektryczna cewka, indukcyjność cewki napięcie harmoniczne i jego postać wskazowa impedancja i zawada zjawisko rezonansu dobroć obwodu 3
2. Postać wskazowa napięcia harmonicznego Drgania w obwodzie elektrycznym polegają na okresowych zmianach napięcia i prądu płynącego w obwodzie. Najprostszym napięciem okresowym jest napięcie harmonicznie zmienne w czasie. Zmienia się ono w czasie jak unkcja gdzie: U m - amplituda napięcia ω - częstość kołowa (tzw. pulsacja) φ - kąt przesunięcia azowego ( t) = U ( ω t + ϕ) U m cos (1) Niech T oznacza okres powtarzania się tego napięcia. Odwrotność okresu = 1/T nazywa się częstotliwością napięcia. W układzie SI jednostką częstotliwości jest hertz: Hz = 1/s. Przykładowo, częstotliwość =1kHz posiada napięcie, którego zmiany powtarzają się 1 razy na sekundę. Ponieważ unkcja cos ma okres 2π radianów, to okres T, pulsacja ω i częstotliwość spełniają związki 2 π ωt = 2π, a stąd ω = = 2π T Przebieg napięcia harmonicznego ilustruje Rys. 1 Rys. 1 Na osi czasu napięcie (1) jest przesunięte w stosunku do unkcji cos ωt o odcinek czasu (φ/2π)t. Gdy zasilamy napięciem harmonicznym obwód elektryczny złożony z elementów liniowych, to wszystkie napięcia i prądy występujące w takim obwodzie są również harmonicznie zmienne w czasie. Mają one tę samą pulsację ω, lecz mogą być przesunięte w azie. Amplitudy i kąty przesunięć azowych napięć i prądów harmonicznych najwygodniej jest obliczać za pomocą liczb zespolonych. Stosując postać wykładniczą liczb zespolonych, napięcie harmoniczne da się wyrazić jako część rzeczywistą następującej unkcji zespolonej: U ( t) = ReU m e j( ωt+ ϕ ) = ReU m e jϕ e jωt 4
Liczbę zespoloną U ) = U e jϕ m (2) nazywa się wskazem lub amplitudą zespoloną napięcia harmonicznego. Jak widać, wskaz (2) zawiera jednocześnie inormację o amplitudzie U m i kącie przesunięcia azowego φ napięcia (1). Geometrycznie, wskaz interpretujemy jako wektor płaszczyznowy (patrz Rys. 2) o współrzędnych U m cosφ i U m sinφ. Rys. 2 ) j t Całemu napięciu zespolonemu Ue ω odpowiada wektor o długości U m, który obraca się wokół początku układu współrzędnych z prędkością kątową ω. Przy wyznaczaniu wskazów j t napięciowych i prądowych czynnik e ω jest na końcu obliczeń pomijany. 3. Opornik, kondensator i cewka Najprostszymi elementami elektronicznymi są opornik, kondensator i cewka. W teorii zakłada się, że są to elementy liniowe i że ich parametry nie zależą od wielkości przykładanych napięć i prądów. Na schematach opornik, kondensator i cewkę oznacza się odpowiednio symbolami: Idealny opornik spełnia prawo Ohma 1 I = U R 5
które twierdzi, że natężenie prądu przepływającego przez opornik jest proporcjonalne do napięcia przyłożonego do opornika. Współczynnik proporcjonalności G = 1/R nazywamy przewodnością, a wielkość R opornością opornika. Oporność w układzie SI mierzy się w omach: Ω = V / A. Zależność prądu od napięcia dla oporników rzeczywistych jest liniowa tylko dla dostatecznie małych napięć (duże napięcia mogą opornik nawet uszkodzić). W zapisie wskazowym prawo Ohma ma postać ) ) U I = (3) R Jak widać, opornik idealny nie wprowadza przesunięcia azowego pomiędzy prądem i napięciem, bo jego opór R wyraża się liczbą czysto rzeczywistą. Prąd płynący przez opornik wykonuje pracę kosztem energii źródła zasilającego. Praca ta zamienia się na ciepło rozpraszane w oporniku. Zatem opornik jest elementem stratnym. Kondensator, w najprostszym przypadku, to układ dwóch przewodników pomiędzy którymi umieszcza się najczęściej dielektryk. Przewodniki te nazywają się okładkami kondensatora. Kondensator posiada zdolność gromadzenia ładunku i energii elektrycznej. Przy tym ładunek q zgromadzony na okładkach jest proporcjonalny do napięcia U na kondensatorze: q = CU Stałą proporcjonalności C nazywa się pojemnością elektryczną kondensatora. Jednostką pojemności w układzie SI jest arad: F = A s / V = Ω -1 s. W teorii zakłada się, że pojemność idealnego kondensatora nie zależy od napięcia, a jedynie od konstrukcji samego kondensatora. Różniczkując jego ładunek q względem czasu otrzymujemy natężenie prądu płynącego przez kondensator du i = C dt Ponieważ prąd jest tu proporcjonalny do szybkości zmian napięcia, to kondensator dobrze przewodzi prądy szybkozmienne, a źle prądy wolnozmienne. Różniczkując zamiast U ) j t napięcie zespolone Ue ω, otrzymujemy związek jaki spełniają wskazy napięciowy i prądowy dla kondensatora ) ) I = jωcu (4) Wielkość 1 / jωc możemy traktować jako urojoną oporność kondensatora. Jej moduł 1 X c = ω C 6
nazywa się reaktancją kondensatora. Jak widać opór kondensatora maleje ze wzrostem częstotliwości przykładanego napięcia. Mnożenie przez jedynkę urojoną j oznacza, że zmiany prądu wyprzedzają w azie o kąt π/2 zmiany napięcia. Cewkę wykonuje się np. nawijając miedziany drut na rdzeń errytowy. Taki element ma, między innymi, zdolność magazynowania energii magnetycznej. Jeżeli przez cewkę płynie prąd zmienny, to wewnątrz niej powstaje zmienne pole magnetyczne. Zmienne pole magnetyczne, zgodnie z prawem Faraday a, indukuje w zwojach cewki napięcie elektryczne. Przy tym dla idealnej cewki di U = L dt Stałą proporcjonalności L nazywa się indukcyjnością własną cewki. W układzie SI indukcyjność mierzymy w henrach: H = V s/a =Ω s. Indukcyjność cewki idealnej nie j zależy od natężenia prądu, a jedynie od jej konstrukcji. Różniczkując prąd zespolony Ie ˆ otrzymujemy wskazową postać prawa Ohma dla cewki ωt ) U ) = jωli (5) Wielkość jωl można traktować jak opór urojony cewki dla napięć harmonicznych. Jego moduł X L = ωl nazywa się reaktancją cewki. Jak widać opór cewki rośnie z częstotliwością, a zmiany napięcia na cewce wyprzedzają w azie o kąt π/2 zmiany prądu. Zarówno idealny kondensator jak i idealna cewka są, w przeciwieństwie do opornika, elementami bezstratnymi. Oznacza to, że pobraną podczas zasilania energię te elementy oddają w całości podczas rozładowania. W kondensatorach i cewkach rzeczywistych występują straty energetyczne związane chociażby z opornością ich doprowadzeń. 4. Drgania wymuszone w obwodzie RLC Gdy dołączymy cewkę do naładowanego kondensatora, to zacznie on rozładowywać się przez cewkę. Energia elektryczna zmagazynowana w kondensatorze zamienia się w energię magnetyczną cewki. Z kolei tak naładowana cewka rozładowuje się przez kondensator i jej energia magnetyczna zamienia się w energię elektryczną kondensatora, lecz teraz będzie on przeciwnie spolaryzowany. Następnie kondensator znów rozładowuje się przez cewkę a cewka przez kondensator, na którym napięcie powraca do polaryzacji wyjściowej. Proces ten powtarza się periodycznie. Można pokazać, że napięcie elektryczne w takim obwodzie zmienia się harmonicznie w czasie z częstotliwością o 1 = (6) 2π LC 7
gdzie C i L oznaczają pojemność kondensatora i indukcyjność cewki. Częstotliwość o nazywa się częstotliwością własną obwodu LC. W obwodzie RLC (tj. złożonym z opornika, cewki i kondensatora) drgania napięcia będą zanikały z uwagi na straty energetyczne na oporności R obwodu. Aby uzupełnić straty energetyczne i otrzymać drgania o stałej amplitudzie, obwód RLC zasila się źródłem napięcia harmonicznego. W ogólności częstotliwość tego napięcia może być różna od częstotliwości własnej o obwodu. Jednak po upływie pewnego czasu napięcie zewnętrzne wymusi w obwodzie drgania harmoniczne o częstotliwości równej częstotliwości napięcia zasilającego. W zapisie wskazowym obwód RLC z wymuszeniem harmonicznym ilustruje Rys. 3 Rys. 3 gdzie kondensator i cewkę reprezentują opory urojone 1/jωC i jωl, a U jest amplitudą napięcia zasilającego. Traktując ten obwód jako dzielnik napięcia, prosto dostajemy wskaz U ) R odpowiadający napięciu na oporniku R. ) U R = R + R jωl + U 1 jωc = 1+ jq U o o Ostatnią równość otrzymuje się wykorzystując wzór (6), wzór ω = 2π i wprowadzając bezwymiarową wielkość zwaną dobrocią obwodu. L Q = 1 (7) R C ) iθ Wskaz U R = Ae jest liczbą zespoloną, której moduł A i argument Θ są odpowiednio amplitudą i kątem przesunięcia azowego napięcia na oporniku R. Obliczając te wielkości dla otrzymanego wyżej wyrażenia dostajemy A = U 2 1+ Q o 2 o, tg Θ = Q (8) o 8
5. Krzywa rezonansowa i dobroć obwodu Zgodnie z (8), jeżeli częstotliwość napięcia zasilającego znacznie odbiega od częstotliwości własnej o obwodu, to drgania w obwodzie mają niewielką amplitudę. Jeżeli częstotliwość zbliża się do częstotliwości o, to drgania wzrastają. Dla = o amplituda drgań jest maksymalna i w obwodzie RLC zachodzi zjawisko rezonansu. Częstotliwość o, przy której drgania są maksymalne nazywamy częstotliwością rezonansową. Przy rezonansie kąt przesunięcia azowego zeruje się: Θ = i drgania w obwodzie mają azę zgodną z azą napięcia zasilającego. Wykres amplitudy drgań w unkcji częstotliwości nazywa się krzywą rezonansową, a jej orientacyjny przebieg ilustruje Rys. 4 Rys. 4 Z elektronicznego punktu widzenia, obwód RLC jest iltrem środkowoprzepustowym o 3dB paśmie przenoszenia jak na Rys. 4. Im pasmo to jest węższe, tym bardziej selektywny jest obwód RLC, czyli tym bardziej taki obwód tłumi częstotliwości różne od częstotliwości rezonansowej o. Miarą selektywności obwodu jest stosunek 3dB pasmo przenoszenia obwodu dostajemy kładąc we wzorze (8) o Q' = (9) Q = ± 1 Jeżeli pasmo przenoszenia jest wąskie tj. gdy << o, to krzywa rezonansowa w otoczeniu częstotliwości jest symetryczna i można położyć = ± 2 9
gdzie znaki ± bierzemy dla górnej i dolnej częstotliwości granicznej pasma przenoszenia. Stąd dla tych częstotliwości mamy = 1± i = 1m 2 2 1 1± 2 Przybliżenie jest uzasadnione, bo z założenia stosunek / o <<1. Stąd dla 3dB pasma przenoszenia dostajemy Q 1 Oszacowanie to jest tym lepsze im większa jest dobroć układu. A zatem dobroć Q zdeiniowana wzorem (7) i selektywność Q zdeiniowana wzorem (9) pokrywają się dla obwodów wysokoselektywnych ( w praktyce dla Q > 1). Generalnie, dobroć oscylatorów elektrycznych jest mniejsza od dobroci oscylatorów mechanicznych. Dlatego np. częstotliwość generatorów wzorcowych stabilizuje się za pomocą tzw. kwarców, czyli odpowiednio oszliowanych kryształów kwarcu. Dobroć Q obwodu rezonansowego z kwarcem wielokrotnie przewyższa dobroć obwodów RLC. Jednak największą dobroć mają oscylatory atomowe i cząsteczkowe. Zostało to wykorzystane, między innymi, przy konstrukcji tzw. zegara amoniakalnego i zegara cezowego. Wysoka dobroć obwodu oznacza izycznie, że obwód ma małe straty energetyczne. Zgodnie z teorią, drgania obwodu RLC po odłączeniu napięcia zasilającego zanikają wykładniczo w czasie (patrz Rys. 5). Rys. 5 Dobroć obwodu jest tym większa im mniejsze są straty energetyczne. Nietrudno pokazać, że wyrażenie 1
energia calkowita w obwodzie Q = 2π energia tracona w okresie pokrywa się z deinicją (7). Dla napięć oscylujących naturalną jednostką czasu jest okres T oscylacji. Niech N oznacza ilość oscylacji, po których amplituda drgań w obwodzie zmniejsza się np. o 3dB, czyli e R NT 2L = 1 2 Dla małostratnego obwodu RLC można przyjąć, że okres drgań tłumionych wynosi T = 2π LC, stąd: R 2L NT R N = N 2π LC = π 2L Q Logarytmując poprzednią równość dostajemy w przybliżeniu 2 Q = π N 9N (1) ln 2 Jak widać, dobroć układu jest proporcjonalna do ilości oscylacji, które układ może wykonać bez zasilania zewnętrznego. Przykładowo, dla układów o dobroci Q 1 amplituda drgań maleje o 3dB po każdej oscylacji. Zatem obwód o takiej dobroci jest gorszy niż zwykła huśtawka. 11
5. Program PSpice Student PSpice Student jest programem dostępnym bezpłatnie komputerowym programem umożliwiających analizę wirtualną analogowych i cyrowych układów elektronicznych. Program ten jest uproszczoną wersją proesjonalnego symulatora SPICE przeznaczonego głównie do badania i projektowania złożonych układów scalonych. Litera P oznacza, że program jest obsługiwany przez komputery PC. Termin SPICE jest akronimem angielskich słów: Simulation Program with Integrated Circuit Emphasis. Program SPICE symuluje obwody elektryczne za pomocą układów równań różniczkowych (z reguły nieliniowych), które następnie rozwiązuje metodami numerycznymi. Możliwa jest między innymi: analiza częstotliwościowa analiza stałoprądowa analiza stanów nieustalonych analiza urierowska AC DC Transient FT W ćwiczeniu głównie będziemy wykorzystywać tylko analizę częstotliwościową AC Otrzymane wyniki pomiarów będą przedstawione w postaci wykresów. Program PSpice Student uruchamia się klikając na ikonę: Rys.6 Na monitorze widzimy okno PSpice Sschematics Rys. 7 w którym rysujemy badany układ elektroniczny. Po kliknięciu przycisku Get New Part ukazuje się okno Part Browser Basic, po naciśnięciu przycisku Advanced zobaczymy okno -patrz Rys. 8 12
Rys. 8 z którego wybieramy potrzebne do narysowania schematu pomiarowego elementy. Zaletą wykorzystania tak rozbudowanego okna jest to, że widzimy graiczny symbol wybranego elementu. Wybranie opcji: Place wkleja wybrany element do schematu pozostawiając aktywne okno. lub Place & Close wkleja wybrany element do schematu i zamyka okno. Połączenia (przewody) rysujemy za pomocą przycisku ołówek. Dwukrotne kliknięcie na wklejony element pozwala zmienić nazwę lub jego wartość liczbową. UWAGA: W każdym układzie muszą się znaleźć się punkty połączenia z masą (tzw. uziemienie). Aby wykonać analizę pracy układu klikamy przycisk Setup Analysis. Wówczas program wymusza na nas nadanie mu nazwy i wybranie miejsca zapisu - schemat zapisz sygnując go własnym nazwiskiem. W przypadku błędów pokaże się okno Message Viewer, które wyszczególnia popełnione błędy. Gdy schemat jest poprawny ukazuje się okno Analysis Setup, w którym należy wybrać rodzaj analizy i ustawić jej parametry. Rys. 9 13
Opcja Bias Point Detail jest uruchamiana przy każdej analizie umożliwia ona zbadanie rozkładu prądów i napięć w obwodzie. Symulację pracy uruchamiamy przyciskiem Simulate. Po chwili, zależnie od ustawień Analysis Setup, otrzymamy wykres lub okno w którym możemy wybrać edycję potrzebnych wykresów wybierając jeden z przycisków AC, DC lub Transient. Rys. 1 Aby wkleić potrzebny wykres do swojego pliku tekstowego należy wejść w opcję Window Rys.11 Z listy wybrać Copy to Clipboard.., a z otwartego podokienka kolorystystykę i zatwierdzić przyciskiem OK. Patrz Rys. 12 na następnej stronie. 14
Rys. 12 Wykresy do swojego pliku wkleja się przez Ctrl V. 6. Przebieg pomiarów a. uruchom program PSpice Schematics i edytor tekstowy. Narysuj schemat, zmień wartości elementów układu jak na Rys. 13 Rys. 13 i ustaw parametry źródła sygnału. Zgodnie z Rys. 14 15
Rys. 14 Uzyskany schemat wklej go do edytora tekstowego. W okienku Analysis Setup wybierz AC Sweep.. ustaw podane parametry i zatwierdź przyciskając OK Rys. 15 Uruchom Simulate i z otrzymanego wykresu odczytaj częstotliwość rezonansową wykorzystując unkcję Toggle kursor (znajdź max) zapisz jej wartość, a wykres wklej do swojego pliku. Patrz Rys. 16 16
5.V 4.V 3.V 2.V 1.V V 1KHz 2KHz 3KHz 4KHz 5KHz 6KHz 7KHz 8KHz 9KHz 1KHz 11KHz V(R1:2) V(R2:2) V(R3:2) Frequency Rys. 16 Współrzędna A1 to szukana częstotliwość rezonansowa i wartość napięcia. 17
b. Narysuj modyikując już istniejący schemat tak jak na Rys. 17 Rys. 17 Zmień parametry R i C obwodu zgodnie z rysunkiem. Uruchom Simulate i z otrzymanego wykresu odczytaj częstotliwości rezonansowe (dla każdej pojemności) wykorzystując unkcję Toggle kursor (znajdź max) zapisz jej wartości w tabeli, a wykres wklej do swojego pliku. 18
5.V 4.V 3.V 2.V 1.V V Hz 5KHz 1KHz 15KHz 2KHz 25KHz 3KHz V(L11:1) V(L1:1) V(L9:1) V(L8:1) V(L7:1) V(L6:1) V(L5:1) V(L4:1) V(L3:1) V(L2:1) V(L1:1) Frequency Rys. 18 C[pF] 7 95 14 19 27 36 48 65 86 111 147 cz. dośw. o [khz] cz. teor. o [khz] Tab. 1 7. Opracowanie wyników 1. oblicz częstotliwości rezonansowe dla L = 5mH i pojemności jak w Tab. 2. Oszacuj błąd w przypadku pojemności 147pF. 2. na wykresie w pkt. a wyznacz (korzystając z unkcji programu PSpice) 3dB pasma przenoszenia i selektywności Q 1, Q 2, Q 3 dla wszystkich oporności. 3. na jednym wykresie narysuj zależność teoretyczną i doświadczalną częstotliwości rezonansowej od pojemności. Porównaj obie krzywe i wyciągnij wnioski. 4. oblicz dobrocie Q 1, Q 2, Q 3 ze wzoru i oszacuj błędy. Porównaj selektywności z p.3 i dobrocie z p.4 w ormie tabeli. 5. wyciągnij wnioski z pomiarów i obliczeń. 19
Literatura [1] M. Rusek, J. Pasierbiński, Elementy i układy elektroniczne w pytaniach i odpowiedziach, WNT, Warszawa 26 [2] D.Halliday, R.Resnick, J.Walker, Kurs izyki, PWN, tom 3, Warszawa 23. [3] Wprowadzenie do Laboratorium Podstaw Elektroniki [4] Instrukcja do ćwiczenia nr 3 Laboratorium Podstaw Elektroniki [5] Instrukcja do ćwiczenia nr 8 Laboratorium Podstaw Elektroniki 2