zelene ekwencyjne zelene la dzelnej X (dvdend) dzelnka (dvor) lczby Q oraz R take, Ŝe X=Q R, R < nazywa ę lorazem Q (uotent) reztą R (remander) z dzelena X rzez. Równane dzelena moŝe meć rozwązana ełnające warunek R < R R =, <R, R < X R =Q X R> dzelene znakowane (gned dvon) (znak rezty = znak dzelnej) R> dzelene modularne (modulu dvon) (znak rezty dodatn) W naturalnym yteme ozycyjnym R jeśl oraz X = { xk,..., x, x,..., xm} = d,..., d, d,..., d }, to z dokładnoścą moŝna oblczyć { l k l k l k l,,...,,... } = = Q = {. Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV PrzyblŜena lorazu Perwzym rzyblŝenem lorazu jet zelene {,,...,} = Q, = take, Ŝe X < ( ), okładnejze rzyblŝene to R = X < {,,...,} = Q, = Q, take, Ŝe R = X Q < (,, ) R = R < Kolejnym rzyblŝenam lorazu ą zatem Q, = Q, take, Ŝe R = X Q, < ( ), R = R < co o kalowanu ( r = ) rowadz do nerównośc arametrycznej R r = r < Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV
Procedura dzelena ekwencyjnego w yteme naturalnym Parametryczne (X>, >) r = r, r <, r = X zelene Warunk zbeŝnośc rocedury r ( < ) : r < < r ( < ) : r a) b) r = = () ()...() () ()...() r = = (,) r Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 3 (,) Wykre dzelena ekwencyjnego w yteme dwójkowym a) wyznaczane cyfry lorazu () rezty częścowej (), b) kalowane rezty częścowej (3) (3) (3) r ZbeŜność dzelena w yteme naturalnym zelene r r = = r r (,) (,) r < < (zbeŝne) r? = rozbeŝne = = r r > r = Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 4
zelene w ytemach uzuełnenowych dzelna, dzelnk loraz mogą być lczbam ujemnym lczbę w yteme uzuełnenowym moŝna nterretować jako lczbę w yteme tałobazowym z netandardowym zborem cyfr na wodącej ozycj k k k k U = [ xk ϕ( xk )] ] x = dk x =m =m ϕ( ) k = ( gn(xk d ( ) { k = xk ϕ xk k =,...,,,,..., X, gdze x )) funkcja znaku lczby, } zelene WNIOSKI: jeśl X<, to wartość erwzej cyfry lorazu jet ujemna wzytke ozotałe cyfry lorazu mają wartośc dodatne aby ełnony był warunek zbeŝnośc dzelena R <, znak kaŝdej rezty mu być zgodny ze znakem dzelnka (R>) erwza welokrotność dzelnka mu być taka aby R < oraz R> (jeśl byłoby R<, odjęce kaŝdej dodatnej welokrotnośc rowadzłoby, wkutek kalowana, do naruzena warunku R < ) Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 5 Standaryzacja lorazu w ytemach uzuełnenowych zelene loraz moŝna łatwo kalować do wartośc ułamkowej m m X X m QF = < Q = = QF ułamek w yteme uzuełnenowym ma zawze otać ( ): {,,, 3,...} QF > Q F {,,, 3,...} QF < o tandaryzacj lorazu: jeśl X>, to = oraz r =X m =X m jeśl X<, to = oraz r =X m () =X m warunkem orawnośc jet r wzytke kolejne cyfry lorazu rerezentują wartośc dodatne, a natęną reztą jet r =r, r Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 6
zelene w yteme uzuełnenowym (rzykład U)!! tandaryzacja lorazu kalowane dzelnej tak, aby X m < zelene X = 7, 6 5 4 : 3, = X = 7 6 5, 4 : 6, 8 8 =, 3 6 6 : 3, 3 6, 6 : 3,,, 9, 4 8 X<, 7 5 X> 9 7 6. 5 4 : 3, = 9 7. 6 5 4 : 6, 8 8 = 3, 7 7 4 = 9 7 6 5 4 = 7 6 4 8 4 * 5 = 4 9 8 3 8 = 5 4 8 5 6 * 5 3 = 8 9 9 4 3 = 4 9 6 3 Q = 9, 4 8 Q =, 7 5 * ) zamat moŝna wykonać ( ) Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 7 zelene odtwarzające (retytucyjne) tandaryzacja lorazu kalowane dzelnej, tak aby X m < m X X > = r m X X < = zelene r r, r <, r >, =,,... =,, r r <,. metody dzelena retytucyjnego lub odtwarzającego (retorng dvon) odjęce dzelnka od tymczaowej rezty częścowej r jeśl ( r ) < korekcja rezty rzez dodane dzelnka orównane tymczaowej rezty częścowej r dzelnka jeśl ( r ) odjęce dzelnka Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 8
zelene neodtwarzające (neretytucyjne) W wynku odjęca dzelnka od rezty r =r moŝe owtać: rezta r orawna, jeŝel r > odowada jej cyfra lorazu o wartośc = rezta r neorawna, jeŝel r < odowada jej cyfra lorazu o wartośc = zelene jeśl rezta r jet neorawna, to właścwą kolejną reztą jet r =r odtawą wyznaczena wartośc kolejnej cyfry lorazu jet r =(r ) tę amą wartość otrzymamy w wynku oóźnonej korekcj, dodając r =(r ) Jeśl X< to X m jet neorawną reztą, węc m X X r, m X X < r < r > Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 9 zelene neodtwarzające (neretytucyjne) ZaleŜność kolejnej rezty od orzednej wyznaczonej z nej r r < = oraz r (r ) = r = = r r = oraz r (r ) = r = = Algorytm dzelena neodtwarzającego w kodze U ( X m < ) m X X Krok. r m X X < Krok. JeŜel: a) r odtaw = oblcz r = r, b) r < odtaw = oblcz r = r. r < r = r ( ), =,,,... r > Krok. Zwękz. Jeśl <, wróć do kroku. Krok 3. r < r r, Q Q ul zelene Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV
Procedura dzelena neodtwarzającego zelene r = () () = = (,) (3) r = Wykre dzelena neodtwarzającego w kodze U (>) chemat wyznaczana cyfry lorazu (), rezty częścowej () rzekalowanej rezty częścowej (3) Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV Schemat dzelena neodtwarzającego zelene ShL C X/R Q Σ R Schemat blokowy układu dzelącego lczby całkowte w kodze U: C X/R rzedłuŝony rejetr dzelnej rezt częścowych, Q rejetr lorazu, rejetr dzelnka Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV
zelene odtwarzające neodtwarzające (U) rzykład zelene X= = X > zbędne kalowane, X / < X (), X (), (), r = X (), r = r = X (), r < = r = X (), r (), (), 3 / 6 (), r = r (), r = r = r (), r = r (), r (), (), (), r = r (), r < = r = r (), < = r = r (), r (), (), (), r 3 = r (), r < 3 = r 3 = r (), < 3 = r 3 = r (), r 3 (), (), (), r 4 = r 3 (), r < 4 = r 4 = r 3 (), < 4 = R=r 3 (), R=r 4 (), Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 3 zelene neodtwarzające w kodze S oraz U loraz w kodze U wartość cyfry zaleŝy od znaku dzelnka loraz w ogranczonej rerezentacj S (bez zer), r, r = r, r <, dzelna dzelnk w kodze U, wynk w yteme S dzelna ujemna znak lorazu jet utalany automatyczne dzelnk ujemny odwrotne rzyane cyfr lorazu, zatem, r - > lub > & r - =,, r - < lub < & r - =. zelene gn, r <, albo gn= / gn, r. korekcja jeśl XR<: (X> R, Q ), (X< R, Q) korekcja r = w algorytme brak moŝlwośc wytworzena zera loraz Q =,...,,,,,...} zamat Q =,...,,,,,...}. (!! R = ) { { Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 4
Schemat dzelena neodtwarzającego w kodze S oraz U loraz w ogranczonej rerezentacj S (bez zer) r zelene = gn = gn r (,) Parametryczny wykre dzelena neodtwarzającego w kodze U loraz Q w kodze S rzekodowane na kod U: odtawene z. = (z ) = ( ) z = ( z) z = = = Q = z = ( ) {( z ), z, z..., z,} = {,,,..., } 3 n U 3 n S Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 5 zelene neodtwarzające (S) rzykład =, X=, U S NB r =X (), = (), r =r (), = r (), = (), r =r (), < = r (), < 3 = (), 3 = r 3 =r (), < 3 = r 3 (), < 4 = (), 3 4 = r 4 =r 3 (), < < 4 = Q=, korekcja (), 4 = Q=, R=r 4 (), Q=, zelene Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 IV 6
PrzyblŜena Oblczane Nech Q =,,...,,..., } Q =,,...,,,...,}. Mamy { m Q ( ) { ( ) = Q( ) Q( ) ( ) Q(... ) Q( )... Q Q( ) Q( ) ( ) Q () rzyblŝene Q z dokładnoścą ( Q Q( ) ) Q ( ) X z dokładnoścą jeśl ( Q ( ) ) X < ( Q( ) ) Jak znaleźć kolejną cyfrę n rozwnęca rzyblŝene Q () erwatka Q = X na odtawe wyznaczonego wcześnej rzyblŝena Q ( )? Mamy ( Q ( ) ) = ( Q( ) ) X < ( Q( ) ) jet taka, Ŝe rezta częścowa n R ( ) X [ Q( ) ] = jet najmnejza dodatna Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 SQRT Algorytm odręczny Oblczane R ( ) R = [ Q( ) ] [ Q( ) ] = n [Q( ) ( ) ] R ( ) n = R( ) [ Q( ) ] ( ) ( ) Po kalowanu r = R( )( ), kładąc Q = Q( ), otrzymamy: r = r [ Q ] algorytm n. r = X. rzekaluj orzedną reztę częścową r ( ) rzez. odwój rzekaluj rzez oblczone rzyblŝene erwatka ( ) 3. znajdź najwękzą, dla której kolejna rezta jet najmnejza dodatna 4. owtarzaj od. aŝ do uzykana wymaganej dokładnośc Perwza cyfrą rozwnęca ełna oczywśce nerówność ( ) ( ) X < ( ) Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 SQRT
Algorytm odręczny rzykład Oblczane 8 4 3, 3 5 4 4 = 843 = 9 9 4 Q = 4 4 3 (4 ) 443 =9 4 4 Q =9 9 3 5 (58 ) 35 = 3 5 4 4 Q 3 =9 9 3 6 (58 ) 3544 =4 4 = 843 = 9 Q = ( 3 ) 3 3 = Q = ( ) = Q 3 = ( ) = Q 4 = ( ) = Q 5 = 9 r 5 = Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 SQRT 3 Algorytm odręczny ekwencyjne generowane odwojena Oblczane 8 4 3, 3 5 4 4 = 4 Q = 4 4 3 (4) 443 =9 4 9 4 4 Q =9 9 9 3 5 (58) 35 = 5 8 3 5 4 4 Q 3 =9 9 = 3 6 (58) 3544 =4 5 8 4 4 = Q = () 3 = Q = () = Q 3 = () = Q 4 = () = Q 5 = r 5 = Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 SQRT 4
Oblczane erwatka kwadratowego w yteme NB R ( ) R Oblczane = [ Q( ) ] [ Q( ) ] = n [Q( ) n ], ( ) Po kalowanu ( ) ( ) = R( ), otrzymamy wzór odobny jak w dzelenu: r r ( ) n = r( ) [ Q( ) ] analoga do dzelena oblczane erwatka kwadratowego w układze dzelącym = W yteme dwójkowym reguła urazcza ę bo {, }. Po normalzacj X = X urozczenu ndeków ( n ) otrzymamy n ( r r Q ), =,,...,, r = X =,, r r < ( ( Q Q, Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 SQRT 5 ), ). Oblczane Oblczane erwatka kwadratowego w yteme NB rzykład Q r = X, =, r,, =, d = ( Q ), r = r d, r,, =, d = ( Q ), r = r d, r, <, 3 =, r 3 = r,, 4 =, d 4 = ( 4 Q 3 ), r 4 = r 3 d 4, r 4, <, 5 =, r 5 = r 4, <, 6 =, r 6 = r 5,, 7 =, d 7 = ( 7 Q 6 ), r 7 = r 6 d 7, r 7,, 8 =, Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 SQRT 6
Oblczane Oblczane erwatka kwadratowego metoda neretytucyjna algorytm oarty na regule ( r r Q ), =,,...,, r = X = moŝna zrealzować w werj neodtwarzającej rezty częścowe. Bezośredne zatoowane nemoŝlwe kolejna cyfra jet wyznaczana o określenu znaku natęnej rezty. W erwatkowana wartość tej rezty zaleŝałaby od wartośc cyfry wyznaczanej na jej odtawe! Problem znka, jeśl wynk wytwarzamy w kodze S, ( r = r d d = Q ), r = X, =,,...,,,, r r, <,! koneczna jet beŝąca korekcja o wytąenu cyfry ujemnej Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 SQRT 7 Oblczane Oblczane erwatka kwadratowego metoda neretytucyjna X= 49 / 56 Q (S) Q r =X, =, r,, = d = ( Q ),, r =r d, r, <, =, d =( Q ),,, r =r d, = r,, d 3 = ( 3 Q ), 3 =, r 3 =r d 3, r 3,, d 4 = ( 4 Q 3 ), 4 =, R=r 4 =r 3 d 4, Perwatek ma kończone rozwnęce Q =, ( 67 ). W drugm kroku dokonano zamany rzyblŝena erwatka z kodu S na U Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 SQRT 8
Oblczane Januz Bernat, zelene, 4 grudna 3 SQRT 9