Matematyka i filozofia Matematykę uważa się często za opis idealnego świata, harmonii porządkującej i nadającej znaczenie doświadczeniu. Idea ta pochodzi ze starożytności w ujęciu platońskim matematyka próbuje opisać świat bytów absolutnych i relacji zachodzących pomiędzy nimi. Matematyk-platonik wierzy, że znajduje równania odzwierciedlające związki pomiędzy pewnymi absolutnymi obiektami, które są esencją, czy strukturą obserwowalnych faktów i zależności. To, że zauważamy te zależności i potwierdzamy doświadczeniem ich powtarzalność, ma świadczyć o trafności formułowanych hipotez. Moc oddziaływania matematyki od początku jej rozwoju była bardzo duża i dotykała wielu aspektów ludzkiego życia. Pierwotnie miała służyć celom pragmatycznym i obecnie również często tak traktowana jest jej rola (głównie przez laików). Warto jednak zwrócić uwagę na jej wpływ na życie społeczne i kulturę. W czasach Pitagorasa stanowiła wzór harmonii, określała cele sztuki i wyznaczała kanony piękna, a także miała nadawać mistyczny sens ludzkiemu życiu. Liczbom i proporcjom przypisywano atrybut boskości, nadawano im moc organizacji świata. Wtedy termin filozof był bliski, czy wręcz tożsamy z mianem matematyk. Celem pracy myślicieli było odkrywanie, odgadywanie zamysłów boskich i wyrażenie ich w uniwersalnym języku liczb i geometrii. Harmonia dźwięków w muzyce, czy proporcje geometryczne w architekturze i w sztukach plastycznych miały przybliżać nas do absolutnego piękna wyrażanego przez liczby. Liczbom przypisywano dziedziny ludzkiego życia i nadawano im hierarchię zgodną z odpowiadającym im relacjom, porządkiem arytmetyki. Celem życia, sztuki, filozofii nauki miało być przybliżenie do nieosiągalnej boskiej harmonii, odkrycie istoty dobra, piękna i prawdy. Szukano obiektów jak najbardziej doskonałych, stałych, nie podlegających kaprysom człowieka czy natury. Wartość ówczesnej nauki nie polegała na jej doraźnej użyteczności. Podejmowano studia nad ruchem ciał niebieskich, gdyż ta dziedzina wydawała się być najbliższą ideałowi stałości i niezależności. Mimo że badania astronomiczne nie wpływały bezpośrednio na jakość życia ludzkiego, przez wiele wieków stanowiły motywację w rozwoju matematyki. W matematyce już w starożytności określano dozwolone środki i metody wyprowadzania nowych twierdzeń. Budowano podstawy aparatu logicznego oparte na sylogizmach i dedukcji. Nie dopuszczano sprzeczności, a pojawienie się trudności czy paradoksów mogło być powodem załamania się wypracowanego systemu. I tak, odkrycie liczb 1
niewymiernych w czasach Pitagorasa początkowo starano się ukryć, bagatelizować, aby zachować pozory spójności opisu świata opartego na liczbach naturalnych. Jednak marginalizowanie, czy traktowanie uzyskanych wyników jako anomalii nie mogło trwać bez końca. Wymusiło rewizję paradygmatów i przejście do geometrycznego opisu świata. Teraz obiektami podstawowymi, pierwotnymi pojęciami stały się punkty, odcinki, figury na płaszczyźnie i w przestrzeni. Kontemplacja figur, symetrii, szukanie brył foremnych odpowiadało mistycznemu wręcz poszukiwaniu i odnajdowaniu boskiego pierwiastka wśród konstruowanych obiektów. Boskość utożsamiano z uniwersalną regułą budującą świat. To co nie do końca wyjaśnione, nie dla wszystkich dostępne czy zrozumiałe wymagało szacunku i czci, pokory wobec tajemniczego absolutu. Osiągnięcia matematyki nie były upubliczniane, co sprzyjało tworzeniu mitu wyższości wtajemniczonych, który wykorzystywano do manipulowania nieoświeconymi masami. Przekonanie, że świat jest zorganizowany na wzór i podobieństwo boskiej idei wywodzi się z filozofii platońskiej. Symetria, powtarzalność motywów obserwowana w naturze miały odzwierciedlać wręcz magiczną, mistyczną strukturę absolutnego bytu. Używanie doskonałych motywów geometrycznych w sztuce miało przywoływać i zjednywać boskie moce. Poza motywacją religijną starano się określić bardziej formalne ramy nauki. Stworzono system aksjomatyczny będący niewzruszonym przez wieki fundamentem wiedzy matematycznej. Arystoteles określił ogólne cechy nauki - w szczególności matematyki. Jako pierwszy wprowadził podział na matematykę stosowaną i matematykę czystą. Matematyka stosowana miała zajmować się ilościowym opisem wyabstrahowanych własności oraz wzajemnego położenia obiektów empirycznych, zaś matematyka czysta badała związki logiczne pomiędzy zdaniami twierdzenia, wyrażone za pomocą pewnych warunków. Ponadto filozof ten wyznaczył ramy teorii naukowych, wyróżniając w nich definicje, aksjomaty, postulaty i hipotezy egzystencjalne. Zgodnie z taką metodologią zostały napisane Elementy Euklidesa, które przez ponad dwa tysiąclecia służyły za podstawowy podręcznik geometrii. Wywody tam przedstawione stanowiły wzór naukowego ścisłego rozumowania, a aksjomaty i postulaty traktowano jak dogmaty i dopiero w XIX wieku odważono się poddać je rewizji. W czasach nowożytnych nauka zwróciła się ku bliższemu otoczeniu człowieka, czego wyrazem był rozwój fizyki. Do dokładniejszego opisu zjawisk fizycznych potrzebne były nowe, wygodniejsze narzędzia, których dostarczała matematyka stosowana. Przedmiotem badań tej nauki nie była już idea absolutnego porządku, lecz wyniki doświadczeń i pomiarów, które stanowiły podstawę do formułowania hipotez dotyczących prawideł rządzących 2
materialnym światem. Matematyka powinna dostarczać języka do opisu percepcji zmysłowej. Jej równania miały porządkować fizyczny świat za pomocą pojęć przestrzeni i czasu. Szukano związków pomiędzy wielkościami mierzonymi, wierząc, że takie związki istnieją i że dadzą się ująć w języku liczb i symboli. Galileusz uważał matematykę za efektywne narzędzie opisu świata, co wyraził pisząc: Filozofia przyrody jest napisana w wielkiej księdze stale otwartej przed naszymi oczami mówię o wszechświecie ale pojąć ją może tylko ten, kto najpierw opanuje język i znaki, którymi jest ona napisana. A napisana jest ta księga w języku matematyki, a jej znaki to trójkąty, okręgi i inne figury geometryczne 1 Również współcześnie żywotne jest przeświadczenie o adekwatności języka matematyki do wyrażania prawidłowości przyrody. Jednak obecnie bardziej jesteśmy świadomi aproksymacyjnego charakteru tego opisu. Wielu naukowców uważa, że struktura wszechświata jest przedziwnie podobna do tych struktur, których studiowaniem zajmuje się matematyka i aby to podkreślić posługują się określeniem matematyczności przyrody. W czasach nowożytnych szukano racjonalnych, a nie mistycznych podstaw nauki. Matematyka stanowiła wzór nauki jasnej, ścisłej i niezaprzeczalnej. Według Kartezjusza: arytmetyka i geometria są znacznie pewniejsze niż inne nauki: one bowiem jedynie zajmują się tak czystym i prostym przedmiotem, iż niczego zupełnie nie zakładają, co by doświadczenie czyniło niepewnym, ale podlegają całkowicie na rozumowym wyprowadzaniu wniosków. 2 Jednocześnie próbowano ugruntować zasady poprawności stosowanych metod. Kartezjusz za dopuszczalne uważał jedynie użycie intuicji i dedukcji, przy czym intuicja to według niego: nie zmienne świadectwo zmysłów lub zwodniczy sąd źle tworzącej wyobraźni, lecz tak łatwe i wyraźne pojęcie umysłu czystego i uważnego, że o tym, co poznajemy zgoła już wątpić nie możemy 3 1 Galileusz, Il Saggiatore, 1623 2 Rene Descartes, Prawidła kierowania umysłem, PWN, Warszawa 1958; s. 8-9 3 Rene Descartes, Prawidła kierowania umysłem, PWN, Warszawa 1958; s. 12-14 3
Ważną cechą nowożytnej matematyki było podkreślenie abstrakcyjnego, niezależnego od przedmiotów charakteru badanych obiektów. ściśle do matematyki odnosi się to wszystko, w czym bada się porządek i miarę, bez względu na to, czy owej miary szukać należy w liczbach czy figurach, gwiazdach, dźwiękach, czy w jakimkolwiek innym przedmiocie 4 Optymistycznie wierzono w moc ludzkiego rozumu, w to, że wszelkie prawdy nauki mogą być w sposób racjonalny wyprowadzone z oczywistych przesłanek. Później to przekonanie posłużyło za podstawę programu Hilberta. Kartezjusz wyraził ten pogląd następująco: Owe długie łańcuchy uzasadnień, zupełnie proste i łatwe, którymi zazwyczaj posługują się geometrzy, by dotrzeć do swych najtrudniejszych dowodzeń, dały mi sposobność do wyobrażenia sobie, że wszystkie rzeczy dostępne poznaniu ludzkiemu wynikają w taki sam sposób wzajemnie z siebie, a także, że nie mogą istnieć tak odległe, do których byśmy wreszcie nie dotarli, i tak ukryte, których byśmy nie wykryli, bylebyśmy tylko nie przyjmowali za prawdziwą żadnej rzeczy, która by prawdziwą nie była, i zachowywali zawsze należyty porządek w wyprowadzaniu jednych z drugich. 5 Matematyka miała ponadto kształtować naukowy, krytyczny sposób myślenia. Matematyka zaś przyzwyczaja do poznawania prawdy, ponieważ w matematyce występują trafne rozumowania, jakich nigdzie poza tym nie znajdziesz. I dlatego ten, kto raz nagiął umysł do rozumowań matematycznych, będzie miał również [umysł] zdolny do poszukiwania innych prawd, skoro rozumowanie wszędzie jest jedno i to samo.[ ] Ponadto matematyka przyzwyczaja nasz umysł do odróżniania rozumowań prawdziwych od prawdopodobnych tylko i fałszywych. 6 Istotnym założeniem matematyki było istnienie uniwersalnej geometrii, w jednakowy sposób przejawiającej się w doświadczeniu zmysłowym. Według Kanta sądy matematyki są kategoryczne i uniwersalne, a nauka ta odnosi się do apriorycznych form myślenia i spostrzegania, staje się w pewnym sensie teorią umysłu. Czas i przestrzeń są sposobami, w jaki dany jest nam świat. Geometria jest teorią spostrzegania i pojmowania przestrzeni, a 4 Rene Descartes, Prawidła kierowania umysłem, PWN, Warszawa 1958; s. 18-23 5 Rene Descartes,(1637) Rozprawa o metodzie.., PWN, Warszawa 1970; część II 6 Rene Descartes,(1648) Rozmowa z Burmanem, w Medytacje o pierwszej filozofii, PWN, Warszawa 1958; t. II, s. 295-297 4
arytmetyka jest teorią doświadczenia sekwencyjnego, którego formą jest czas. To dzięki wrodzonym cechom umysłu posiadamy czystą intuicję pozwalającą uprawiać matematykę. XIX wiek to czas przełomu w matematyce. Rewizja postulatów Euklidesa doprowadziła do odkrycia geometrii nieeuklidesowych, zaś krytyka aksjomatu część jest mniejsza od całości pozwoliła na efektywne badanie nieskończoności aktualnej. Przed matematykami ukazał się ocean nowych możliwości. Cantor odważnie podjął się badania zbiorów nieskończonych, pomimo oporów skostniałego środowiska, narażając się wręcz na szykany wpływowych naukowców. Imponujący jest rozmach jego dzieła, kierowanego przekonaniem o mistycznym charakterze i dalekosiężnymi implikacjami badań. Cantor traktował swoją pracę jak misję religijną i nawet szukał wsparcia i aprobaty u hierarchów kościoła. Źródłem jego natchnienia była nieskrępowana intuicja, co przy braku ścisłości i należytej poprawności doprowadziło do pojawienia się antynomii, gdy tymczasem praca innych matematyków podlegała coraz ostrzejszym regułom formalnym. Wiele wysiłku poświęcano badaniom nad logicznymi podstawami nauki i antynomie wykryte w teorii mnogości spowodowały kryzys, i wymusiły rewizję filozoficznych fundamentów matematyki. Szukano możliwości wyjścia z impasu np. zaostrzając ograniczenia dopuszczalnych metod lub próbując zmniejszyć obszar zainteresowań matematyki. Jednak możliwości ukazane przez Cantora były tak nowe i kuszące, że nie można było ich zaprzepaścić, dlatego Hilbert ogłosił program naprawczy. sytuacja, w jakiej się dziś znajdujemy, jeśli chodzi o paradoksy nieskończoności, jest na dłuższą metę nie do zniesienia. [ ] w matematyce, tym wzorze pewności i prawdy, istnieją definicje i metody wnioskowania, których każdy się uczy, których się naucza i które się stosuje, a które prowadzą do niedorzeczności. Gdzież więc należy szukać pewności i prawdy, jeśli nawet matematyka zawodzi? [ ] Gdzie tylko są jakieś widoki powodzenia, tam chcemy dokładnie badać owocne definicje i metody dedukcji. Chcemy je pielęgnować, wzmocnić i uczynić użytecznymi. Z raju, który stworzył nam Cantor, nikomu nie wolno nas wypędzić. 7 Szukano dowodu niesprzeczności matematyki infinitystycznej i postulowano, by był on przeprowadzony środkami finitystycznymi. Pierwszym etapem nowych badań miała być formalizacja matematyki, a z ideą tą związany jest pogląd filozoficzny zwany formalizmem. Wywodzi się z niego koncepcja logicyzmu mówiąca, że matematykę można zredukować do logiki. 7 Dawid Hilbert, O nieskończoności, wykład wygłoszony 4 VI 1925 r. na zebraniu Westfalskiego Towarzystwa Matematycznego w Monasterze 5
Istnieją obecnie różne konkurencyjne poglądy dotyczące charakteru matematycznego świata i tego czym mają zajmować się matematycy. Rozbieżności dotyczą również przyznawania istnienia obiektom matematycznym oraz traktowania pracy matematyka jako ich tworzenia konstruowania czy odkrywania i opisywania. Najbardziej znane są te koncepcje, które podzieliły społeczność matematyków na początku XX wieku: formalizm, intuicjonizm i realizm platoński. Koncepcja formalizmu głosi, że matematycy powinni dokonać rekonstrukcji złożonych pojęć matematyki, używając prostego języka symboli (odżywa tu idea Leibnitza stworzenia uniwersalnego języka - filozoficznej gramatyki ). Możliwe będzie następnie manipulowanie tymi symbolami zgodnie z uniwersalnie przyjętymi regułami (na zasadzie wyboru i zgody ogólnej). W takiej sytuacji w bardziej świadomy sposób dokonuje się wyboru podstawowych założeń aksjomatów. Wszystkie otrzymane prawomocnie wyniki będą logiczną konsekwencją pierwotnych wyborów. Przy zmianie systemu aksjomatów otrzymamy inną teorię. Celem pracy zwolenników formalizmu była rekonstrukcja matematyki jako systemu formuł dowodliwych w ramach ustalonej sformalizowanej teorii aksjomatycznej. Istotnym warunkiem było wykazanie niesprzeczności i zupełności teorii obejmującej arytmetykę liczb naturalnych. Twórca tego programu Hilbert optymistycznie sądził, że dowód, iż założenie rozwiązalności każdego problemu matematycznego jest niesprzeczne, mieści się w zakresie teorii 8. Jednak to przekonanie okazało się nieuzasadnione, gdyż Gödel wykazał, że każda sformalizowana teoria obejmująca arytmetykę liczb naturalnych jest albo niezupełna, czyli istnieją w niej zdania nierozstrzygalne, albo sprzeczna, poza tym nie można udowodnić niesprzeczności aksjomatów danej teorii w ramach tej teorii. Program Hilberta w swojej pierwotnej postaci załamał się, jednak częściowo pewne idee były dalej rozwijane, np. teoria dowodu. Nie zrezygnowano również z poszukiwania systemu aksjomatów, w ramach którego możliwe byłoby rozwiązanie nierozstrzygniętych dotąd problemów. Jednak wyniki Gödla w oczywisty sposób pozbawiły matematyków złudzeń co do możliwości uzyskania absolutnej pewności w ich nauce. Jeszcze w okresie optymistycznego rozwoju koncepcja formalizmu była krytykowana za pozbawienie pojęć matematyki ich pierwotnego znaczenia i zastąpienie ich symbolami. Stosowalność tak pojmowanej matematyki do objaśniania świata wydawała się mało uprawniona. W opozycji do poglądów głoszonych przez formalistów wykrystalizowała 8 Dawid Hilbert, O nieskończoności, wykład wygłoszony 4 VI 1925 r. na zebraniu Westfalskiego Towarzystwa Matematycznego w Monasterze 6
koncepcja intuicjonizmu, a jej głównymi orędownikami byli Henri Poincare i Luitzen Brouwer. Intuicjoniści uważają, że to matematycy wymyślają (tworzą mocą własnego intelektu) obiekty swoich badań. Odrzucają możliwość istnienia idei niezależnych od aktywności umysłowej twórców. Podobnie jak Kant podkreślają rolę czystej intuicji pojęcia czasu i z niej, za pomocą finitystycznych metod arytmetyki, chcą wyprowadzić wszystkie (prawomocne w sensie ich teorii) twierdzenia matematyki. Nie uznają jednak za oczywistą intuicji przestrzeni. Narzucone zostają silne ograniczenia dotyczące uprawnionych metod w praktyce matematycznej. Podstawowe ograniczenie dotyczy przyznawania istnienia jedynie konstruowalnym obiektom, co powoduje dotkliwe zubożenie obszaru badań. Konsekwencją jest między innymi zakwestionowanie istnienia zbiorów nieprzeliczalnych. W wyniku rezygnacji z pewnych tautologii logicznych, odrzucenia pewnika wyboru oraz ograniczenia używania metody dowodzenia nie wprost uprawianie matematyki staje się kłopotliwe. Okazuje się, że możliwe jest jednak uzyskanie taką drogą wielu rezultatów klasycznych teorii. Obecnie owocnie wykorzystuje się te idee (ściślej - metody konstruktywistyczne) w naukach informacyjnych. W koncepcji matematycznego platonizmu światu nadaje się sens jako uniwersum realnych, idealnych obiektów, niezmiennych i niezależnych od aktywności umysłowej ludzi (Platon, Gödel), a uprawianie matematyki polega na odkrywaniu znaczenia i zależności między obiektami. Działalność matematyka można porównać do pracy geografa odkrywającego i opisującego nowe lądy i zjawiska na nich zachodzące. Odżywa alegoria jaskini: widzimy jedynie cienie prawdziwego świata, nieskończoność przefiltrowaną przez zmysły. Formy postrzegania zmysłowego nie wystarczą, by w pełni zrozumieć zjawiska. Obiekty rzeczywiste należy rozpatrywać w nieskończeniewymiarowych przestrzeniach, ich rzuty na czasoprzestrzeń są tylko częściowym opisem. Świat obserwowany jest incydentalny i tymczasowy, gdy świat matematyki jest uniwersalny i niezmienny. Aktywne badania matematyczne wymuszają uznanie obiektywności prawd matematycznych. Platonizm aktywnego matematyka nie jest naprawdę wiarą w platoński mit; jest on świadomością stałości natury, uporczywości matematycznych faktów. One są tym, czym są, a nie tym, czym chcemy, żeby były. 9 9 P.J. Davis, R. Hersh, E. A. Marchisotto, Świat matematyki, PWN, Warszawa 2001 7
Przy założeniu, że obiekty matematyki tworzą idealny, niezależny świat, który jest w zasięgu naszego pojmowania, można by pokusić się o hipotezę, że jest on jednym z aspektów świata jako ogółu zjawisk, z których tylko pewne obserwujemy (zjawiska fizyczne), a wiele jego emanacji nie jest dostępnych naszym zmysłom. Jako usprawiedliwienie takiego poglądu może służyć fakt, że nasze zmysły mają ograniczony zasięg - np. słyszymy i widzimy jedynie w wąskim zakresie zjawisk, ale potrafimy je mierzyć w inny sposób. Nie możemy wykluczyć, że zachodzą zjawiska, których nie jesteśmy w stanie odebrać naszymi zmysłami i nie spodziewamy się ich istnienia, a nawet jeśli podejrzewamy, że one zachodzą, nie mamy wyobrażenia, jaki jest ich charakter. Przyjęcie jako potencjalnie możliwych takich nieobserwowalnych zjawisk, może stanowić zachętę do tworzenia zupełnie nowych struktur matematycznych i traktowania ich jako obiektów do eksploracji z nadzieją, że może opiszą one nieznane nam na razie aspekty rzeczywistości. W badaniach swoich matematyk definiuje nowe struktury i zasiedla je obiektami. Powstaje w ten sposób świat potencjalnych możliwości realizujących się w przykładach. Do uprawiania takiej matematyki potrzeba wyobraźni, śmiałości i rozmachu. Nie ucieka ona przed pojęciem nieskończoności, używa nieograniczonej wielowymiarowości i tworzy czasami pojęcia sprzeczne z intuicją pochodzącą z obserwacji świata fizycznego. Wymaga jednak dużej uważności i dyscypliny, by nie wypaść z ram poprawności, co mogłoby doprowadzić w skrajnych przypadkach do sprzeczności. To jak traktujemy obiekty matematyczne zależy również od indywidualnych predyspozycji umysłu. Jedni z łatwością operują pojęciami czysto abstrakcyjnymi, symbolami, gdy inni potrzebują egzemplifikacji idei, pewnej wizualizacji i ożywienia teorii i jej obiektów, traktując czyste symbole jako zwieszone w próżni, potencjalnie mogące przyjmować różnorakie znaczenia. Przyjęcie koncepcji formalizmu czy też intuicjonizmu lub realizmu w matematyce jest wyrazem pewnych przekonań i zależy od sposobu (indywidualnej praktyki) uprawiania tej nauki. To w jaki sposób widzimy, pojmujemy pojęcia matematyki, jest uwarunkowane własnościami naszego umysłu. Pewien rdzeń sposobu rozumowania jest prawdopodobnie wspólny dla całego gatunku ludzkiego (np. reguły wnioskowania) i dlatego możemy uprawiać matematykę. Istotna jest również nasza skłonność do szukania sensu obserwowanych zjawisk, do nadawania im ukrytego znaczenia, do doszukiwania się zależności pomiędzy zjawiskami, co prowadzi do prób opisania ich w jakościowy, czy ilościowy sposób. Te próby okazywały się nadzwyczaj efektywne i dlatego skłonni jesteśmy mówić o zadziwiającej matematyczności przyrody. 8
Głoszenie określonego poglądu na sens matematyki zależy od celu, jaki jej stawiamy, ale także od indywidualnego sposobu rozumowania i praktyki badawczej, gdzie możemy przejawiać różne skłonności od potrzeby ustalenia i przestrzegania ścisłych reguł do szerokiego wykorzystania wyobraźni. Na to jak widzimy świat matematyczny ma wpływ również sposób, w jaki odbieramy i przetwarzamy wrażenia zmysłowe. Na przykład tzw. myślenie wzrokowe będzie sprzyjać tworzeniu wizualizacji obiektów matematycznych, co może przejawiać się w częstym wspomaganiu się w pracy rysunkami. Szczególnym rodzajem wizualizacji, egzemplifikacji matematycznych idei może być tworzenie wyobrażonego wirtualnego świata. Myśląc o konkretnej strukturze matematycznej, budujemy taki wirtualny świat, w którym umieszczamy badane obiekty i tam nimi manipulujemy. Kreowany w ten sposób obraz ma indywidualny charakter, zwiedzamy go samotnie nawet, gdy pracujemy w grupie nad tym samym problemem. Czasem spory matematyków dotyczą właśnie różnego sposobu interpretacji rozważanych pojęć, co wynika z odmiennych wyobrażeń. Definicja pojęcia może być na tyle abstrakcyjna i ogólna, że dopuszcza wiele interpretacji i przykładów bez wskazania kanonu. Światy wirtualne różnych matematyków są osobne, jednak poprawne rozumienie ogólnego sensu pojęć powinno prowadzić do jednakowych wniosków. Ważne jest poszukiwanie różnorodnych przykładów modeli dla danej teorii, jeśli chcemy formułować ścisłe, wartościowe twierdzenia uwzględniające wszystkie przypadki. Początkowo rozważane pojęcia mogą wydawać się jasne i proste, gdy ograniczymy się do znanych intuicyjnych przykładów, jednak może się okazać, że nie uwzględnimy pewnych szczególnych sytuacji niewykluczonych przez teorię. Możemy próbować doprecyzować te pojęcia, np. ograniczając zakres definicji lub dopisując nowe założenia do twierdzeń. Przykładem niech będą kłopoty, jakie sprawiało zdefiniowanie wielościanu i poprawne sformułowanie twierdzenia określającego zależność liczby jego ścian, krawędzi i wierzchołków (zagadnienie to opisał Imre Lakatos w książce Dowody i refutacje ). Przyjęcie intuicyjnej, nieprecyzyjnej definicji pozwalało na obalenie twierdzenia poprzez wskazanie kontrprzykładów mieszczących się w szerokim pojęciu wielościanu. Próby uściślenia definicji, tak by uzyskać twierdzenie poprawne dla jak najszerszej klasy figur, zapoczątkowały utworzenie nowej dziedziny topologii algebraicznej. Lakatos zwrócił uwagę na sam proces uprawiania matematyki: stawiania problemu, formułowania hipotez, prób ich dowodzenia, które prowadzą często do obalenia pierwotnej hipotezy, by poprzez konieczne uściślenie pojęć doprowadzić do ostatecznej wersji twierdzenia opisującego w sposób optymalny badane obiekty (minimalne założenia, aby uzyskać mocną, wartościową tezę). Uważał, że matematyka jest nauką quasi-empiryczną, to 9
znaczy, że tak jak nauki przyrodnicze, jest omylna i rozwija się poprzez krytykę (próby obalenia) i korektę starych teorii. Kolejnym ważnym aspektem praktyki matematycznej jest sposób prezentacji osiągnięć. Lakatos postulował, by ukazywać proces tworzenia pojęć i uzyskiwania twierdzeń, a nie by przedstawiać jedynie gotowe, wygładzone teorie, gdzie często trudno się domyślić pochodzenia przyjętych w twierdzeniach założeń. Powszechnie przyjętej sprawozdawczej formie przedstawiania wyników badań przeciwstawił mniej popularną formę kształcącą. Przedstawienie drogi dojścia do uzyskanych wyników ma sprzyjać głębszemu zrozumieniu badanych problemów. Zauważalną cechą współczesnej filozofii matematyki jest pluralizm, przyznający częściowo rację różnym klasycznym koncepcjom. W praktyce matematycznej możliwe jest pogodzenie pewnych idei intuicjonizmu i platońskiego realizmu, i jednocześnie wykorzystywanie wyników uzyskanych przez zwolenników formalizmu. Pojawiają się ciągle i rozwijają nowe koncepcje zwracające uwagę na przykład na związek matematyki z kulturą, czy psychologią. Nie ustają także próby uchwycenia powiązań tej nauki z religią, teologowie szukają w abstrakcyjnej matematyce inspiracji i czasem jej zadziwiająca owocność jest interpretowana jako potwierdzenie wiary. Za inspirację posłużyły mi następujące książki: Roman Murawski, Filozofia matematyki - Zarys dziejów, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2008; Roman Murawski, Filozofia matematyki Antologia tekstów klasycznych, Wydawnictwo Naukowe UAM, Poznań 2003; Marek Kordos, Wykłady z historii matematyki, SCRIPT, Warszawa 2010; Imre Lakatos, Dowody i refutacje, TIKKUN, Warszawa 2005; Roger Penrose, Nowy umysł cesarza, O komputerach, umyśle i prawach fizyki, Warszawa 1995. Józef Życiński, Świat matematyki i jej materialnych cieni, Copernicus Center PRESS, Kraków 2011. 10