Bartosz OSTAPKO Politechnika Koszaliska WYKORZYSTANIE ANALIZY CEPSTRALNEJ DO IDENTYFIKACJI SKADOWYCH WIDMA SYGNAU UYTECZNEGO 1. Wstp Analiza cepstralna wie si bezporednio z poszukiwaniem widma sygnau, oraz sam modyfikacj tego widma. Nazwa cepstrum powstaa poprzez przestawienie sylab angielskiego wyrazu spectrum, a pierwszy raz zostaa zastosowana w pracy [1] wydanej w roku 1963 w Nowym Jorku. Samemu cepstrum towarzysz równie pojcia majce sens fizyczny i s to: quefrency, rahmonics, gamnitude, saphe oraz lifter. Terminem najczciej towarzyszcym cepstrum jest quefrency, która wyraana w sekundach jest odwrotnoci odstpu czstotliwoci pomidzy harmonicznymi widma. Najprociej mona powiedzie, e istnieje zaleno pomidzy rahmonicznymi w cepstrum oraz harmonicznymi w widmie. Pierwsze zastosowania analizy cepstralnej suyo do badania ech sejsmicznych pochodzcych od trzsie ziemi oraz sygnaów radarowych, dzisiaj stosowane jest do analizy sygnaów akustycznych.. Pojcie cepstrum Cepstrum definiuje si jako odwrotne przeksztacenie Fouriera logarytmu widma mocy i mona wyrazi wzorem: C jπfτ 1 ( τ ) log S( f ) e df = F [log S( f )] (1) = gdzie S(f) jest widmem mocy analizowanego sygnau f(t). Inne cepstrum mona definiowa za pomoc poniszego wzoru () oraz zalenoci (3), która odpowiada definicyjnie funkcji autokorelacji. 1 C( ) = j πfτ τ log S( f ) e df = F [log S( f )] ()
60 Bartosz Ostapko jπfτ 1 C( τ ) = log S( f ) e df = F [log S( f )] = R( τ ) (3) Na podstawie zespolonego przeksztacenia Fouriera widma amplitudowego otrzymuje si równie cepstrum zespolone lub inaczej poczone (4). C jπfτ 1 ( τ ) = F( jf ) e df = F [ F( jf )] (4) Cepstrum zespolone jest reprezentacj uyteczn w sytuacji, w której sygna uwaany jest za splot funkcji pobudzenia i odpowiedzi impulsowej (dot. homorficznej teorii dwiku). We wszystkich wyraeniach opisujcych cepstrum zmienna niezalena τ jest zmienn rzeczywist i mona j porówna ze zmienn τ w funkcji autokorelacji, a jej warto odpowiada maksimom cepstrum. W przypadku wzorów definicyjnych logarytm dziesitny moe zosta zastpiony logarytmem naturalnym, a zamiast transformaty Fouriera stosowana równie moe by transformata kosinusowa. 3. Przykadowe zastosowanie cepstrum Dla lepszego zobrazowania wykorzystania analizy cepstralnej mona posuy si prostym przykadem do którego obliczenia uyto rodowiska MATLAB i dostpnych w nim funkcji. Rozpatrzony zosta sygna sinusoidalny o zaoonej z góry czstotliwoci ωs oraz amplitudzie a. Ca symulacj przeprowadzono dla skoczonego czasu t. Po upywie czasu t e dodano do badanego sygnau sinusoidalnego echo o amplitudzie równej poowy amplitudy sygnau badanego (rysunek 1). Otrzymany sygna poddano procesowi modulacji dwuwstgowej, równie za porednictwem gotowych funkcji z programu, wynik symulacji przedstawiono rysunku. Tak wic: a X ( t) = A a cosωst + cosωs ( t te) cosωot (5)
Wykorzystanie analizy cepstralnej do odentyfikacji skadowych 61 Rys. 1. Sygna z dodanym echem Rys.. Sygna zmodulowany
6 Bartosz Ostapko Rys. 3. Widmo sygnau zmodulowanego z dodanym echem Rys. 4. Cepstrum sygnau zmodulowanego z dodanym echem
Wykorzystanie analizy cepstralnej do odentyfikacji skadowych 63 Sygna zmodulowany poddano przeksztaceniu Fouriera (rysunek 3), a uzyskane widmo poddano analizie cepstralnej. Otrzymany wynik przedstawiono powyej (rysunek 4). Na podstawie otrzymanych wyników, mona zauway e rahmoniczna odpowiadajca wartoci 0,4 odpowiada równie wartoci czasowej miejsca dodanego echa. Reasumujc, powyej przedstawiono symulacj, w której najpierw obliczono transformat Fouriera splotu dwóch funkcji, a nastpnie widmo, które powstao, poddano operacji logarytmowania. W ten sposób uwypuklono wasno- ci addytywnoci echa, które zobrazowano w postaci impulsu przy okrelonej wartoci rahmonicznej. Powyszy przykad obrazuje w prosty i przejrzysty sposób wykorzystanie cepstrum i jest podstaw do rozpocztych rozwaa nad zastosowaniem go do analizy sygnaów EKG. 5. Podsumowanie Obecnie analiza cepstralna znalaza szerokie zastosowanie przy badaniu sygna- ów akustycznych. Dziki moliwoci eliminacji echa i zakóce z sygnau uytecznego nadaje si równie do zastosowania w przypadku zagadnie zwizanych z transmisj i identyfikacj sygnaów. Praktyczne zastosowanie cepstrum umoliwia lepsz i bardziej dokadn analiz widma dowolnego sygnau oraz wykrywanie periodycznoci w tym widmie. Operacja logarytmowania zastosowana w cepstrum sprawia, e jest ona niewraliwa na przykad na zmiany sygna- u obwiedni. Dziki zastosowaniu takiego zabiegu pojawia si moliwo dokadniejszego i bardziej szczegóowego analizowania przebiegu sygnau. Bibliografia: 1. Begerth P., Healy M,. Tukey J.: The quefrency analysis of time series for echoes Cepstrum, Pseudo-Autocovariance, Cros-Cepstrum and Saphe Cracking. Proc. of the Symposium on Time Series Analysis. Wiley N.Y. 1963.. Smyczek J.: Systemy transmisji informacji. Tom I. Koszalin 003. 3. Czyewski A.: Dwik cyfrowy. Akademicka Oficyna Wydawnicza EXIT, Warszawa 00. 4. Oppenheim A. V., Schafer R. W.: From Frequency to Quefrency: A History of the Cepstrum. IEEE Signal Processing Magazine 004. 5. Mrozek B., Mrozek Z.: MATLAB i Simulink. HELION, Gliwice 004. 6. Karu Z. Z.: Signal and Systems, ZiZi Press 001. 7. Vaseghi S. V.: Advanced Signal Processing and Digital Noise, Wiley 1997. 8. Soliman S. S., Srinath M. D.: Continuous and discrete signals and systems, Prentice-Hall New Jersey 1998.