PROCENTY WOKÓŁ NAS REFERAT WSTĘP Bardzo wielu dorosłych ma problemy z procentami. Słaba znajomość procentów nie tylko przez uczniów, ale i osoby dorosłe nasuwa pytanie jak uczyć o procentach tak, by były one przydatne w praktyce, by dorosła osoba mogła bezpiecznie po nie sięgać przy rozwiązywaniu rożnych sytuacji problemowych a związanych z tym zagadnieniem. Czy to zagadnienie jest naprawdę trudne, czy należałoby szukać rozwiązania w zmianach metod nauczania.? Praca seminaryjna składa się z trzech rozdziałów. Rozdział pierwszy zawiera polemikę na temat procentów starając się odpowiedzieć na pytanie: czy procent to ułamek? Drugi rozdział poświęcony jest sytuacjom z życia codziennego, w których spotykamy się z obliczeniami procentowymi. W rozdziale trzecim zapisane zostały wnioski dotyczące zagadnienia procentów.
2 ROZDZIAŁ I CZY PROCENT TO UŁAMEK? Pojęcie procentu i jego nazwa, wywodząca się zjęzyka łacińskiego są bardzo szacowne. Wyraz procent znaczy od stu lub za sto. Wyprzedziło ono bowiem pojecie ułamka i wciąż daje dogodny sposób określania konkretnej części rozważanej wielkości. Zatem 1 % to zawsze 1/100 danej wielkości. Rozważyć można analogię zpojęciem ułamka, które to w nauczaniu pojawia się kolejno w dwóch postaciach. Najpierw ułamek przedstawia się jako operator, który od każdej całości oddziela określoną jej część,np.1/2 jest interpretowana jako pół jabłka, połowa klasy, pół metra, pół litra, czy półkole. Dopiero później następuje wyabstrahowanie odpowiedniej liczby i przyporządkowanie jej miejsca na osi liczbowej. W czasopiśmie dla nauczycieli Matematyka 2 z roku 1997, w artykule Czy 1% równa się 0,01? pani Wiesława Wawrzyniak-Kosz kategorycznie sprzeciwia się równości 1% i liczbie 0,01. Wskazuje przede wszystkim na fakt, iż tak określony procent daje niepoprawne skojarzenia. Po analizie podręczników, ćwiczeń i zbiorów zadań można stwierdzić, że w wielu przypadkach pojęcie procentu utożsamiane jest z ułamkiem. Według autorki wyżej wymienionego artykułu można wnioskować, że uczeń tę właśnie informację najlepiej przyswoi sobie i w konsekwencji będzie popełniał błędy podczas rozwiązywania zadań. Uczniowie utożsamiają procent z konkretnym ułamkiem, liczbą rzeczywistą i utrwalają to przekonanie na samym początku rozwiązując zadania typu: zamień procent na ułamek lub zamień ułamek na procent. Autorka sugeruje, iż dobrze byłoby, gdyby pojęcie procentu ograniczało się tylko do postaci operatora, a wówczas procent funkcjonowałby wyłącznie w odniesieniu do konkretnej wielkości. Szersze spojrzenie na temat procentów zaprezentowali Helena Siwek i Eugeniusz Wachnicki w artykule Procenty jako szczególne ułanki
3 zamieszczonym w Matematyce 2 z 1998 roku. Autorzy pozytywnie ustosunkowali się do pytania Czy procent to ułamek? Przyjmując w podręcznikach szkolnych równość 1%=0,01, podkreśla się między innymi równość rachunków na procentach i ułamkach. Równość ta wynika z faktu, iż zbiór funkcji liniowych postaci x mx jest izomorficzny w sensie algebraicznym ze zbiorem liczb rzeczywistych. Przyswojenie sobie zasad rachunku na procentach nie jest wówczas osobnym problemem dla ucznia. Takie ujęcie jest powszechnie stosowane współcześnie w nauczaniu szkolnym. Z punktu widzenia dydaktyki matematyki odpowiedź jest twierdząca. Stefan Straszewicz, autorytet w dziedzinie matematyki i dydaktyki, wspólnie z A. Białasem w podręczniku do Matematyki dla klasy 6 pisali: W różnych obliczeniach szczególnie często korzysta się z ułamków o mianowniku 100, które od dawna przyjęto zapisywać w postaci tak zwanych procentów. Pisze się tylko licznik tego ułamka, a po nim znak %. Znak ten zastępuje wyraz procent. Pojęcie procentu jako szczególnego ułamka kształtuje się uucznióww rozmaitych aspektach, między innymi w aspekcie miarowym oraz operatorowym (funkcyjnym). Wieloaspektowość ułanka ( i procentu) powoduje, że jest on w nauczaniu pojęciem trudnym. Inną trudnością przy pojęciu ułamka jest brak rozróżnienia konkretnych czynności będących punktem wyjścia do pojęcia ułamka, od abstrakcyjnego pojęcia, które kształtuje w umyśle ucznia w oparciu o rozmaite czynności. We współczesnych podręcznikach i materiałach pomocniczych powszechnie zaczyna się naukę o procentach od stwierdzenia, że 1% równa się 0,01. Stawiając pozytywną odpowiedź na pytanie: czy procent to ułamek, pojawia się inny problem do rozwiązania: po co wprowadzać procenty, skoro 1% = 0,01?
4 W świetle metodyki nauki o ułamkach i procentach jest to pytanie o bardzo mały, początkowy fragment nauki o procentach. Nie można ograniczyć się do tego, aby nauczyć tylko operowania procentami. Wykorzystując sformułowanie Zofii Krygowskiej można by odpowiedzieć: Procenty są potrzebne jako: 1. Środek warunkujący aktywność w życiu osobistym; rozwiązywanie zadań z procentami będzie potrzebne np.: przy zakupie ze zniżką, rachunku podatków i dochodów z inwestycji, korzyści wynikających z planowania emerytury i innych ubezpieczeń. 2. Narzędzie działania w dziedzinie technologii; znajomość procentów będzie potrzebna w badaniach, w technice w planowaniu, przy konstrukcji wykresów, interpretacji informacji, przewidywaniu rezultatów. 3. Automatyczny, abstrakcyjny dział matematyki ukazujący piękno i zastosowanie analogii między ułamkami i procentami.
5 ROZDZIAŁ II PROCENTY WOKÓŁ NAS Zastosowanie obliczeń procentowych jest ogromne. O praktycznej ważności znajomości procentu nie trzeba już nikogo przekonywać.wżyciu codziennym spotykamy procenty na każdym kroku. Są one dosyć dogodną i powszechnie stosowaną miarą do określania części z danej wielkości. Uczniowie Gimnazjum Nr 3 w Raciborzu w ramach długoterminowego zadania domowego otrzymali polecenie, odszukać w jakich sytuacjach życia codziennego można spotkać się zprocentami? Uczniowie bardzo rzetelnie wyszukiwali sytuacje życiowe, w których obliczenia procentowe są niezbędne. Bez większych problemów umieli je wymienić segregując na dwie grupy według własnego pomysłu: I. Z życia naszej klasy i szkoły Jaki procent naszej klasy stanowi 1 uczeń? Jaki procent liczby uczniów naszej klasy stanowią chłopcy? Jaki procent liczby uczniów naszej szkoły stanowią dziewczęta z długimi włosami? Jaki procent liczby uczniów naszej szkoły stanowi nasza klasa?
6 Dane zostały przedstawione w tabeli: Pytanie Liczba Ułamek Procent Jaki procent naszej klasy 1 1/25 1/25*100%=4% stanowi 1 uczeń? Jaki procent liczby uczniów 14 14/25 14/25*100%=56% naszej szkoły stanowią chłopcy? Jaki procent liczby uczniów 43 43/150 43/150*100%=28,7% naszej szkoły stanowią dziewczętazdługimiwłosami? Jaki procent liczby uczniów 25 25/150 25/150*100%=16,6% szkoły stanowi nasza klasa? Jak przedstawia się w procentach frekwencja w naszej klasie? Jaki procent uczniów spędzi wakacje nad morzem, a jaki w górach Sprawdzian z matematyki pisało 24 uczniów. Wyniki przedstawione zostały w postaci diagramu kołowego: Procentowy diagram wyników sprawdzianu z matematyki 13% 8% 4% 17% 1 2 3 4 33% 25% 5 6
7 II. Z życia naszych rodziców Płacenie rachunków z opóźnieniem (opłata za zwłokę) Płacenie czynszu i jego składników po podwyżce Zakupy towarów na raty Wzrosty i obniżki cen towarów (rabaty w sklepach czy hurtowniach) Podatki od wynagrodzeń Wpłaty zaliczek na wkład budowlany Działalność gospodarcza, podatek VAT Produkcja w zakładzie-spadek lub wzrost w procentach Wzrost cen biletów, paliwa, energii elektrycznej Banki: - odsetki za wkłady oszczędnościowe awista, terminowe lokaty oraz obligacje skarbowe; - kredyty bankowe Skład parlamentu i procentowy udział poszczególnych partii politycznych w parlamencie Napisy z procentami spotykane są również na witrynach sklepowych, gdzie sprzedawcy w formie reklamy wywieszają kartki: 30% taniej,25% obniżki czy też taniej o 25% Oto kilka przykładów zadań, z którymi spotykają się uczniowie na lekcji matematyki:
8 1. Plan działki użytkowanej przez Pana Maksymiliana. Zapisz w procentach jaka część działki zajmuje: a) basen, b) domek, c) trawnik, d) klomb?
9 2. Podatki Wynagrodzenie brutto Pana Klimaszki składa się z następujących składników: pensja podstawowa - 2000,00 dodatek za wysługę lat-15% - 300,00 dodatek funkcyjny - 500,00 Razem - 2800,00 Podatek od wynagrodzenia wynosi 19% wynagrodzenia brutto. Ile zarabia Pan Klimaszka netto? Do poprawnego wyniku można dojść różnymi sposobami. Można obliczyć po 19% od każdego składnika wynagrodzenia, a otrzymana różnica będzie kwotą zarobku netto. Możemy również obliczyć 81% wynagrodzenia brutto, albo po 81 % od każdego składnika wynagrodzenia. Dobrze, jeśli uczeń sprawdzi, czy każdy z tych sposobów daje mu ten sam wynik. Uczeń nie posługuje się wówczas jednym schematem, ale dostrzega szersze możliwości, by dojść do poprawnego rozwiązania zadania. Samodzielnie poprzez obliczenia matematyczne przekonuje się, iż nie potrzebuje uczyć się sztywnego algorytmu do tego zadania. Ważne jest, by na tablicy pojawił się schemat w postaci: Płaca brutto Podatek Płaca netto
10 3. Obniżki cen towarów w sklepie. Sklep Elegant oferuje 10%, a sklep Junior 15% obniżkę cen od zakupionego towaru. Kurtka w Elegancie kosztuje 980 złotych, a taka sama w Juniorze 1020 złotych. W którym ze sklepów bardziej opłaca się kupić kurtkę? Rozwiązanie zadania przejrzyście wygląda w tabelce Sklep Cena kurtki Posezonowa obniżka cen Kurtka po obniżce ceny Cena kurtki po obniżce (w procentach) (w procentach) Elegant 980 zł 10% 90% 90%*980zł =882 zł Junior 1020 zł 15% 85% 85% * 1020 zł =867zł Lub inny zapis: Sklep Cena kurtki Posezonowa obniżka cen Kwota obniżki (w złotych) Cena kurtki po obniżce (w procentach) Elegant 980 zł 10% 98zł 980-98=882 zł Junior 1020zł 15% 153zł 1020-153 = 867 zł po obniżce. W tabelkach widać wyraźnie, w którym sklepie opłaca się kupić kurtkę
11 Uczeń szybko zapamiętuje algorytm obliczania procentu danej liczby: a% z b = a/100 * b i chce z niego zawsze skorzystać, alenależy zwrócić uwagę na umiejętność porównań typu: 20% pewnej liczby to dwa razy więcej niż 10% tej samej liczby jeżeli 10% z x wynosi 16, to 15 % z x wynosi 16+8 450% z danej liczby to cztery i pół razy wzięta ta liczba( lub cztery razy wzięta ta liczba i jeszcze jej połowa) Ważną umiejętność,którą powinniśmy kształtować jest szacowanie: ile to mniej więcej jest 41% z 231? Jakim w przybliżeniu procentem ze 120 jest 38? Co który mniej więcej wyborca głosował na kandydaturę pana X, jeśli na pana X głosowało 49% wszystkich wyborców? Czy jestem w stanie kupić bilet kolejowy kosztujący normalnie 9,50 zł, jeśli mam 75% zniżki i tylko 2,50 zł? Dosyć często zdarza się w klasie sytuacja, kiedy uczniowie zaskakują nas błędnymi rozwiązaniami. Nie zawsze dowodzi to ich bezmyślności, ale przeciwnie, często oni właśnie myślą, tylko inaczej niż my; odczytują dosłownie tekst, nie zdając sobiesprawyzpewnych konwencji, które są wnim automatycznie przyjęte. My zaś jesteśmy tak przyzwyczajeni do tych właśnie konwencji, żeczasemnieuświadamiamy sobie, że są one tylko konwencjami, a nie czymś absolutnym rozumianym samo przez się. Dla przykładu posłużę się zadaniem ułożonym przez ucznia klasy VI: 4.. Podział pieniędzy Krzyśka i Tomka. Krzysiek i Tomek mają 90 zł. Krzysiek ma mniej od Tomka o 20%. Ile pieniędzy ma Krzysiek a ile Tomek?
12 W zadaniu nie jest wyraźnie powiedziane od jakiej kwoty pochodzi owe 20%. Stąd też możliwe są różne interpretacje treści zadania. Najczęściej zdanie: Krzysiek ma mniej od Tomka o 20%, rozumiemy jako skrót zdania: Krzysiek ma mniej od Tomka o 20% tego, co ma Tomek. W tej wersji zadanie jest znacznie łatwiejsze. W poprzedniej wersji mamy do czynienia z 20% z kwoty nieznanej, więc x - kwota pieniędzy Tomka x+x 20%*x=90 1,80 x =90 x= 90/1,80 x=50 Stąd wynika,iż Tomek ma 50 złotych, a jego kolega Krzysiek 90 50 = 40 złotych.
13 ROZDZIAŁ III WNIOSKI Operowanie pojęciem procentu dla ucznia jest zadaniem trudnym i trzeba poświęcić wiele czasu, by uczeń nabył odpowiednich umiejętności. Musimy mieć ciągłąświadomość, co wynika z przytoczonych przykładów, że umiejętność rozumienia, obliczania i szacowania procentów jest potrzebna człowiekowi na co dzień, a szczególnie w dzisiejszych niestabilnych finansowo czasach. Uczniowie bardzo wcześnie stykają się z procentami przeglądając gazety, słuchając wiadomości telewizyjnych, czy widząc reklamy na witrynach sklepowych o obniżkach cen towarów. Ważne jest, by procent był dla ucznia częścią całości, aby w szczególności 40% oznaczało nieco mniej niż ½, 30% nieco mniej niż 1/3, 10% było równe 1/10, a 200% oznaczało podwojenie. Dla ucznia, który umie nawet wyszukać sytuacje z życia o procentach, zadania matematyczne z obliczeniami procentowymi stanowią poważny problem i sieją grozę wśród uczniów. Dla ucznia to nie są łatwe treści. Nie wystarczy kilka lekcji, by mieć orientację w procentach. Trzeba nawiązywać do tego pojęcia przy każdej okazji, w różnych kontekstach, także w miarę możliwości na lekcjach poświęconych innym tematom. Zadaniem nauczyciela jest nie tylko nauczyć sprawnego obliczania procentu danej wielkości, ale i wyczucia w operowania procentami. Zadania na procenty stanowią żelazny punkt każdego programu nauczania matematyki w szkole gimnazjalnej. Prawie wszystkie zadania można sprowadzić do trzech podstawowych typów (schematów): 1. policzyć dane procenty z danej wielkości 2. znamy dwie liczby, ile procent jednej stanowi druga
14 3. wiemy, ile procent pewnej liczby stanowi znana liczba, znaleźć wyjściową liczbę Najlepiej opanowane są zadania typu 1. Może warto byłoby na początku ograniczyć się do zadań tego schematu, a dopiero później, gdy znane będą dobrze proporcje - wprowadzane po procentach zająć się zadaniami typu 2 i3. Innym powodem niechęci uczniów do procentów jest fakt, iż w znacznej większości zadań pojawiają się problemy wymagające wiedzy z innych dziedzin niż matematyka. Nie zawsze treść jednoznacznie tłumaczy sytuację, w której należy wykorzystać procenty. Czasem treść jest formalnie w porządku ale bez dodatkowych wyjaśnień zadanie dla ucznia możebyć niezrozumiałe. Sądzę, iż uczniowie z jednej strony potrafią zrozumieć i wykorzystać rozmaite proste życiowe informacje, takie jak ogłoszenia o obniżce lub podwyżce cen, z drugiej zaś jest bardzo charakterystyczne, że na ogół nie lubią procentów i nie potrafią się nimi posługiwać wbardziejzłożonych sytuacjach. Także wielu dorosłych nie używa procentów z obawy przed popełnieniem błędów lub bojącsię nieporozumień. Zanim uczniowie zapoznają się w należyty sposób z odpowiednimi definicjami matematycznymi potrzebują zadań wykorzystujących ich wiedzę na temat łatwych procentów, a następnie zadań zawierających podstawowe trudności pokonania.
15 ZAKOŃCZENIE Realistyczne podejście przy nauczaniu procentów daje lepsze efekty niż tradycyjne nauczanie, oparte głównie na ćwiczeniach rachunkowych umiejętności i ścisłych przepisów rozwiązywania typowych zadań. Uczniowie skierowani do sklepów i urzędów zakładów pracy rodziców, jubilerów i kantorów wymiany walut miasta Raciborza, przynieśli obszerne notatki z rozmów przeprowadzonych z osobami dorosłymi na temat procentów iichprzydatności w życiu codziennym. Większość osób pytanych, czy procenty są im potrzebne odpowiadała twierdząco. Tylko nieliczna grupa, chyba z obawy przed dalszymi pytaniami udzielała negatywnych odpowiedzi. Uczniowie w sposób bardzo praktyczny przekonali się o potrzebie uczenia się tego zagadnienia w szkole. Z wielkim entuzjazmem i zaangażowaniem opowiadali szczegóły rozmów z różnymi osobami na opisywany wyżej temat procentów. Dużo czasu dydaktycznego zostało poświęconego właśnie wprowadzeniu tego pojęcia. Dlatego też chciałabym powiedzieć za Zofią Krygowską: Można wyuczać szybko wiadomości i ćwiczyć szybko sprawności, ale nie można kształcić wpośpiechu masy uczniów, wśród których olbrzymia większość to słabi użytkownicy wiadomości i sprawności matematycznych w ich przyszłych zawodach, trzeba przede wszystkim przez matematykę kształcić.natotrzebamieć czas. Autor referatu: Izabela Kubita