Metoda elementów skończonych dr inż. Michał Michna
Wstęp Programy stosowane w KEiME Vector Fields - Opera 3D Cedrat (INPG)- Flux2D, Flux3D Ansoft Maxwell SV 2D ENSEEIHT Tuluza - EFCad Ansys dr inż. Michał Michna 3
Wstęp Metoda Elementów Skończonych (MES) Finite Element Method (FEM) Metoda numeryczna przeznaczona do rozwiązywania równań różniczkowych (znajdowania rozwiązań szczególnych) Metoda modelowania w obszarach: o skomplikowanej geometrii niejednorodnych anizotropowych dr inż. Michał Michna 4
Wstęp Lata 50te zastosowanie MES w mechanice konstrukcji Lata 60te rozszerzenie obszarów zastosowań na problemy nieliniowe, zmienne w czasie itp. Lata 70te matematyczna teoria MES Lata 80te adaptacyjna MES Lata 90te MES w zagadnieniach wielkiej skali dr inż. Michał Michna 5
Rozwiązanie problemu MES (1) Analizowany obszar dzieli się na pewną skończoną liczbę geometrycznie prostych elementów, tzw. elementów skończonych. Zakłada się, że są one połączone ze sobą w skończonej liczbie punktów znajdujących się na obwodach węzłach. dr inż. Michał Michna 6
Rozwiązanie problemu MES (2) Obiera się pewne funkcje jednoznacznie określające rozkład analizowanej wielkości fizycznej wewnątrz elementów skończonych, zależne od wartości tych wielkości fizycznych w węzłach funkcje kształtu. Równania różniczkowe opisujące badane zjawisko przekształca się, przy pomocy tzw. funkcji wagowych, do równań metody elementów skończonych. Są to równania algebraiczne. dr inż. Michał Michna 7
Rozwiązanie problemu MES (3) Na podstawie równań metody elementów skończonych przeprowadza się asemblację układu równań, tzn. oblicza się wartości współczynników stojących przy niewiadomych oraz odpowiadające im wartości prawych stron. Liczba równań w układzie jest równa liczbie węzłów przemnożonych przez liczbę stopni swobody węzłów, tzn. liczbę niewiadomych występujących w pojedynczym węźle. dr inż. Michał Michna 8
Rozwiązanie problemu MES (4) Do układu równań wprowadza się warunki brzegowe przez wykonanie odpowiednich modyfikacji macierzy współczynników układu równań oraz wektora prawych stron. Rozwiązuje się układ równań otrzymując wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach dr inż. Michał Michna 9
Rozwiązanie problemu MES (5) W zależności od typu rozwiązywanego problemu, lub potrzeb, oblicza się dodatkowe wielkości (energię, siły, impedancje itp.). dr inż. Michał Michna 10
Metoda Elementów skończonych Element skończony jest prostą figurą geometryczną (płaską lub przestrzenną), dla której określone zostały wyróżnione punkty zwane węzłami, oraz pewne funkcje interpolacyjne służące do opisu rozkładu analizowanej wielkości w jego wnętrzu i na jego bokach. Węzły znajdują się w wierzchołkach elementu skończonego, ale mogą być również umieszczone na jego bokach i w jego wnętrzu. Jeżeli węzły znajdują się tylko w wierzchołkach, to element skończony jest nazywany elementem liniowym dr inż. Michał Michna 11
Metoda Elementów Skończonych dr inż. Michał Michna 12
MES Jeżeli region jest niejednorodny to dzieli się go na elementy tak (rysunek) by każdy element skończony był jednorodny. dr inż. Michał Michna 13
Metoda Elementów Skończonych Rozwiązywanie równań różniczkowych cząstkowych MES wymaga rozwiązywania układów równań liniowych z macierzami rzadkimi. Metody rozwiązywania tych układów dzielą się na: metody bezpośrednie - dają rozwiązanie po skończonej liczbie kroków; wykorzystują dekompozycję Gaussa, Choleskiego itd. Podstawowa niedogodność stosowania metod bezpośrednich dla macierzy rzadkich to pojawianie się nowych niezerowych elementów w macierzy w trakcie obliczeń (ang. fill-in); metody iteracyjne - polegają na iteracyjnym ulepszaniu przybliżonego rozwiązania do momentu osiągnięcia zadawalającej dokładności. dr inż. Michał Michna 14
Obliczenia elektromagnetyczne METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH dr inż. Michał Michna 15
Model numeryczny w programie Flux2D MODUŁY OBLICZENIOWE Otwracie projektu statyka electrostatic, magnetostatic, electric conduction, thermics moduły harmoniczne magnetodynamics, electrodynamics, dielectrics moduły stanów nieustalonych transient magnetics, transient thermics moduły pól sprzężonych magnetothermics, electrothermics, circuit equations, kinematics-rotation, kinematics-translation Preprocesor Postprocesor Solver Import modelu Flux Definicja obwodu elektrycznego Model geometryczny model.tra Genracja siatki Właściwości fizyczne Obliczenia Analiza wyników obliczeń Import modelu CAD materi.dat Definicja materiałów Zakończenie dr inż. Michał Michna 16
MAXWELL SV MODUŁY OBLICZENIOWE Electrostatic Magnetostatic Eddy Current DC Conduction AC Conduction Eddy Axial dr inż. Michał Michna 17
OBIEKT BADAŃ dr inż. Michał Michna 18
Model fizyczny Model fizyczny Założenia upraszczające y oś Oz układu współrzędnych pokrywa się z osią symetrii obrotowej silnika, m q as cs' z O x d pole magnetyczne jest niezmienne wzdłuż osi obrotowej silnika, każdy element dyskretyzowanego obszaru uważa się za wykonany z materiału 1 as jednorodnego o stałej przenikalności magnetycznej wewnątrz elementu, pomija się zjawisko histerezy, n 2 3 4 B r s bs' materiał magnetyczny, z którego wykonano magnes jest jednorodny i izotropowy, pomija się obszary połączeń czołowych dr inż. Michał Michna 19
Model numeryczny nabiegunnik szczelina Mocowanie zagłębione magnesów trwałych dr inż. Michał Michna 20
Model numeryczny Parametry Układy współrzędnych Transformacje Punkty Linie Powierzchnie dr inż. Michał Michna 21
B [T] Baza materiałów 1 B 0,8 B r 0,6 H 0 c Br r 0,4 0,2 0-1 -0,8-0,6-0,4-0,2 0 0 H 2,0 1,8 1,6 1,4 1,2 1,0 0,8 ` 0,6 0,4 0,2 0,0 10 100 1000 10000 H [A/m] dr inż. Michał Michna 22
Dyskretyzacja modelu i warunki brzegowe C D A B dr inż. Michał Michna 23
Dyskretyzacja modelu i warunki brzegowe dr inż. Michał Michna 24
Obliczenia dr inż. Michał Michna 25
Analiza wyników (postprocesor) kolorowe cieniowanie, izolinie, wektory, krzywe w funkcji położenia lub czasu, analiza widmowa, analiza w funkcji zdefiniowanych parametrów dr inż. Michał Michna 26
Analiza wyników (postprocesor) dr inż. Michał Michna 27
Przykłady analizy dr inż. Michał Michna 28
Przykłady analizy Silnik z mocowaniem zagłębionym MT Rozkład przestrzenny modułu wektora indukcji konfiguracja n1-d1 dr inż. Michał Michna 29
B[T] 0,45 Przykłady analizy Silnik z mocowaniem zagłębionym MT n1d1 n2d1 n3d1 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 rząd harmonicznej dr inż. Michał Michna 30
Przykłady analizy 0 0 90 180 Lasbs [H] n1d1 n2d1 n3d1-0,016 m [ ] dr inż. Michał Michna 31
Przykłady analizy dr inż. Michał Michna 32
L max [H] Przykłady analizy 0,045 n1d1 n2d1 n3d1 wpływ nasycenia na wartości indukcyjności 0 0 1 2 3 4 5 I as /I max dr inż. Michał Michna 33
T z [Nm] T z [Nm] T [Nm] T [Nm] Przykłady analizy 12 n1d1 n2d1 n3d1 15 n1d1 n2d1 n3d1 0 0 90 180 0 0 90 180-12 m -15 m [ ] 0.15 n1d1 n1d2 1 n1d1 n1d2 n2d1 0 0 10 0 0 10-0.15 m [ ] -1 m [ ] dr inż. Michał Michna 34
Zagadnienia dodatkowe Polowe modele numeryczne 2D i 3D Metody uwzględnienia ruchu przetwornika Modele sprzężone polowo-obwodowe Dokładność wyznaczania parametrów całkowych (moment em) inne metody modelowania: metody doświadczalne metody analityczne metody numeryczne dr inż. Michał Michna 35
Obliczenia mechaniczne METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH dr inż. Michał Michna 36
Inventor Design Accelerator Projekt Wału: Uruchomienie Kreatora komponentów wału. Dodanie i usuwanie sekcji projektowanego wału. Określenie parametrów sekcji wału. Dodanie elementów wału. Określenie podpór, sił oraz momentów. Edycja wału przy użyciu Design Accelerator dr inż. Michał Michna 37
Inventor Design Accelerator dr inż. Michał Michna 38
Inventor Design Accelerator dr inż. Michał Michna 39
Inventor Design Accelerator Nazewnictwo pliku dr inż. Michał Michna 40
Inventor Design Accelerator Ustawienia podglądu W sekcji Podgląd 2D wybierz opcję Zawsze pokazuj, a następnie kliknij OK. Utworzony zostanie podgląd dynamiczny wału na karcie Projekt dr inż. Michał Michna 41
Inventor Design Accelerator Ustawienia podglądu Podgląd 2D zawiera wyłącznie przekroje i wyświetlany jest domyślnie na karcie Obliczenia dr inż. Michał Michna 42
Inventor Design Accelerator Kliknij przycisk Wstaw walec znajdujący się na pasku narzędzi. Program doda plan przekroju wału po prawej stronie zaznaczonego elementu dr inż. Michał Michna 43
Inventor Design Accelerator W oknie programu Autodesk Inventor kliknij dwukrotnie przekrój wału. W oknie dialogowym Walec pozostaw wartość Średnica główna 50 mm bez zmian, lecz zmień wartość Długość przekroju na 50 mm dr inż. Michał Michna 44
Inventor Design Accelerator Rozwinąć listę dostępnych elementów dla przekroju wału, a następnie wybrać polecenie Dodaj pierścień zabezpieczający dr inż. Michał Michna 45
Inventor Design Accelerator Trzeci walec Dodaj otwór przelotowy Średnica otworu 12mm dr inż. Michał Michna 46
Inventor Design Accelerator Pierwszy walec W oknie dialogowym Walec zmień wartość Średnica główna na 40 mm, a wartość Długość przekroju na 50 mm. dr inż. Michał Michna 47
Inventor Design Accelerator Trzeci walec Wprowadź długości równą 50mm Wprowadź średnicę równą 65 mm dr inż. Michał Michna 48
Inventor Design Accelerator Trzeci walec Otwór przelotowy dr inż. Michał Michna 49
Inventor Design Accelerator Stożek Średnica stożka 80mm Ostatni wałek Długość 40mm dr inż. Michał Michna 50
Inventor Design Accelerator Ostatni wałek Rowek podkładki zabezpieczającej dr inż. Michał Michna 51
Inventor Design Accelerator Wstaw walec Zmień wartość w polu Główna średnica na 40 mm Dodaj pierścień zabezpieczający dr inż. Michał Michna 52
Inventor Design Accelerator Wstawianie otworu walcowego dr inż. Michał Michna 53
Inventor Design Accelerator Dodawanie wałów do Biblioteki szablonów dr inż. Michał Michna 54
Inventor Design Accelerator Obliczenia,: Podgląd 2D wału oparty na konfiguracji wybranej w karcie Projekt. Graficzne wskaźniki obciążeń i podpór. Pasek narzędzi umożliwiający wprowadzanie obciążeń i podpór. Obszary umożliwiające ustawienie parametrów materiału, z którego wykonany jest wał, oraz dodatkowych obliczeń. dr inż. Michał Michna 55
Inventor Design Accelerator Obliczenia,: Podgląd 2D wału oparty na konfiguracji wybranej w karcie Projekt. Graficzne wskaźniki obciążeń i podpór. Pasek narzędzi umożliwiający wprowadzanie obciążeń i podpór. Obszary umożliwiające ustawienie parametrów materiału, z którego wykonany jest wał, oraz dodatkowych obliczeń. dr inż. Michał Michna 56
Inventor Design Accelerator Wolna Podpora - zmień wartość w polu Odległość od środka przekroju na 1.5 mm dr inż. Michał Michna 57
Inventor Design Accelerator Określanie obciążeń i przeprowadzanie obliczeń Momenty obrotowe 200 N m oraz -200 N m Suma wszystkich momentów musi być równa 0 dr inż. Michał Michna 58
Inventor Design Accelerator Określanie obciążeń i przeprowadzanie obliczeń Obliczenia dr inż. Michał Michna 59
Inventor Design Accelerator dr inż. Michał Michna 60
Inventor Design Accelerator dr inż. Michał Michna 61
Inventor Design Accelerator dr inż. Michał Michna 62
Inventor Design Accelerator Analiza naprężeń Kliknij polecenie Analiza naprężeń. Kliknij polecenie Utwórz symulację. Pojawia się okno dialogowe Utwórz nową symulację. Podaj nazwę: Analiza modalna. Na karcie Typ symulacji wybierz Analiza modalna. dr inż. Michał Michna 63
Inventor Design Accelerator Analiza naprężeń Na panelu Materiał wstążki kliknij Przypisz materiały. Kliknij w kolumnie Nadpisz materiał, aby aktywować listę rozwijaną. Wybierz Stal nierdzewna, 440C. dr inż. Michał Michna 64
Inventor Design Accelerator Analiza naprężeń Dodawanie wiązań Na panelu Wiązania na wstążce kliknij polecenie Wiązanie sworznia dr inż. Michał Michna 65
Inventor Design Accelerator Analiza naprężeń Widok siatki Na panelu Przygotuj na wstążce kliknij Widok siatki. Aby powrócić do modelu, kliknij ponownie Widok siatki. dr inż. Michał Michna 66
Inventor Design Accelerator Analiza naprężeń Wyniki symulacji dr inż. Michał Michna 67
Inventor Design Accelerator dr inż. Michał Michna 68
Literatura Chari M. V. K., Salon S. J.: Numerical methods in electromagnetism. Academic Press 2000. Hammeyer K., Belmans R.: Numerical modelling and design of electrical machines and devices. WIT Press 1999. Reece A. B. J., Preston T. W.: Finite element methods in electrical power engineering. Oxford University Press 2000. Salon S. J.: Finite element analysis of electrical machines. Kluwer 2000. Ansoft. Corp.:Maxwell 2D Manual. dr inż. Michał Michna 69
Literatura Gieras J. F., Wing M.: Permanent magnet motor technology. Design and applications. Marcel Dekker, Inc. New York 1997 Glinka T.: Maszyny elektryczne wzbudzane magnesami trwałymi. Wyd. Politechniki Śląskiej, Gliwice 2002 Łukaniszyn M., Wróbel R., Jagieła M.: Komputerowe modelowanie bezszczotkowych silników tarczowych wzbudzanych magnesami trwałymi. Oficyna Wyd. Politechniki Opolskiej, Opole 2002 Szeląg W.: Analiza stanów pracy i synteza silników synchronicznych magnetoelektrycznych. Wyd. Politechniki Poznańskiej, Poznań 1998 Boboń A., Kudła J., Żywiec A.: Parametry elektromagnetyczne maszyny synchronicznej. Wykorzystanie metody elementów skończonych. Wyd. Politechniki Śląskiej, Gliwice 1998. dr inż. Michał Michna 70