Wrocław, 16 marca 2016
Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny
Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce
Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce Księgi XI XIII geometrii brył
Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce Księgi XI XIII geometrii brył Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25% (Księga X)
Podstawowe dane Euklides pracował w Aleksandrii, około roku -300 zebrał najważniejsze fragmenty znanej Grekom matematyki i stworzył z tego nową jakość. Elementy to monografia i podręcznik. Składają się z 13 ksiąg, z których Księgi I VI poświęcone są geometrii płaszczyzny Księgi VII X arytmetyce Księgi XI XIII geometrii brył Rozmiar ksiąg: od około 2,5% całości (Księga II) do 25% (Księga X) Każda z pozostałych to około 5 8% całości dzieła.
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos)
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos)
Księgi Elementów Kolejne księgi poświęcone są I: podstawy geometrii płaszczyzny II: geometria prostokątów III: geometria okręgów IV: wielokąty wpisane i opisane na okręgu V: proporcje między wielkościami (Eudoksos) VI: figury podobne na płaszczyźnie VII: podstawy arytmetyki w tym NWD VIII: proporcje liczbowe IX: proporcje c.d., liczby parzyste, nieparzyste, doskonałe X: wielkości wymierne i niewymierne XI: podstawy geometrii brył XII: pola i objętości, metoda wyczerpywania (Eudoksos) XIII: bryły platońskie
Źródła naszej wiedzy O matematyce przed Euklidesem wiemy z książki Eudemosa z Rodos (ok. -350 do -300), ucznia Arystotelesa. Napisał książkę o historii matematyki, książka zaginęła, ale pewne jej fragmenty przepisał w Komentarzach do Euklidesa Proklos, zyjący w latach 410 485 (czyli 700 lat po Euklidesie). Najstarsze egzemplarze Elementów jakie znamy, pochodzą z około 880 roku, od czasów Euklidesa minęło do ich napisania więcej czasu, niż od ich napisania do chwili obecnej!
Co napisał Eudemos Poczatki wiedzy geometrycznej pochodzą z Egiptu, bo tam wylewy Nilu zmusiły ludzi od mierzenia np. pól powierzchni (czyli powierzchni pól). Arytmetykę rozwinęli Fenicjanie, gdyż potrzebna była do handlu i obrotu pieniężnego (wynaleźli też pieniądze i alfabet). Pitagoras przekształcił matematykę w jedną ze sztuk wyzwolonych, badając jej twierdzenia w sposób intelektualny i niematerialny. Hipokrates z Chios badał księżyce i napisał pierwsze. Platon wielce przyczynił się do rozwoju matematyki, bo uważał studiowanie jej za sprawę pierwszej wagi (napis na wejściu do akademii). Bardzo też dbał o ścisłość definicji, wprowadził pewne postulaty itp. Teajtet, Eudoksos,... (uczniowie Platona)
Artes liberales Siedem sztuk wyzwolonych (łac. septem artes liberales, właściwie siedem umiejętności godnych człowieka wolnego) to podstawa wykształcenia w okresie późnej starożytności oraz średniowiecza. Siedem sztuk dzielone było na dwie mniejsze grupy: trivium i quadrivium. Trivium obejmowało gramatykę, co w owym czasie oznaczało biegłość w łacinie, dialektykę, czyli logikę oraz retorykę, czyli sztukę układania mów. Trivium było na ogół wstępem do kolejnego etapu nauki. Na średniowiecznych uniwersytetach quadrivium uważane było za przygotowanie do studiów filozofii i teologii. Obejmowało ono geometrię, arytmetykę, astronomię i muzykę. T.H. Huxley: Try to learn something about everything and everything about something.
Matematyka Greckie słowo mathema = µαθηµα oznaczało kiedyś to, czego się uczymy, wiedza i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków. Greckie manthanein oznacza uczyć się. Inne języki: angielski mind
Matematyka Greckie słowo mathema = µαθηµα oznaczało kiedyś to, czego się uczymy, wiedza i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków. Greckie manthanein oznacza uczyć się. Inne języki: angielski mind sanskryt man = myśleć
Matematyka Greckie słowo mathema = µαθηµα oznaczało kiedyś to, czego się uczymy, wiedza i zostało użyte w tym sensie po raz pierwszy przez Platona i pitagorejczyków. Greckie manthanein oznacza uczyć się. Inne języki: angielski mind sanskryt man = myśleć łacina mens = dusza (mens sana in corpore sano)
Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje
Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje 5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii)
Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje 5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii) 5 pojęć ogólnych - aksjomatów dotyczących nie tylko wielkości geometrycznych
Budowa Księgi I Euklides stworzył modelowy tekst matematyczny: Zaczynamy od jawnie sformułowanych definicji i aksjomatów, a następnie przechodzimy do twierdzeń i podajemy ich (w miarę formalne) dowody. Popatrzmy na tekst Księgi I: 23 definicje 5 postulatów (aksjomatów dotyczących geometrii) 5 pojęć ogólnych - aksjomatów dotyczących nie tylko wielkości geometrycznych 48 twierdzeń
Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części.
Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części. 2. Linia to długość bez szerokości.
Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części. 2. Linia to długość bez szerokości. 3. Końcami linii są punkty.
Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części. 2. Linia to długość bez szerokości. 3. Końcami linii są punkty....
Definicje Kilka początowych definicji z Księgi I: 1. Punkt to wielkość, która nie ma części. 2. Linia to długość bez szerokości. 3. Końcami linii są punkty.... 19. Figury trójkątne to te, ograniczone trzema liniami prostymi.
Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego.
Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego. 2. Przez ciągłe przedłużanie odcinka powstaje prosta.
Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego. 2. Przez ciągłe przedłużanie odcinka powstaje prosta. 3. Okrąg można zakreślić, przyjmując dowolny środek i promień.
Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego. 2. Przez ciągłe przedłużanie odcinka powstaje prosta. 3. Okrąg można zakreślić, przyjmując dowolny środek i promień. 4. Wszystkie kąty proste są równe.
Postulaty (aksjomaty) Oto pięć postulatów geometrii płaszczyzny: 1. Prostą można poprowadzić z dowolnego punktu do dowolnego innego. 2. Przez ciągłe przedłużanie odcinka powstaje prosta. 3. Okrąg można zakreślić, przyjmując dowolny środek i promień. 4. Wszystkie kąty proste są równe. 5. Jeśli prosta przecina dwie inne proste tak, że dwa kąty wewnętrzne po jednej jej stronie są łącznie mniejsze od dwóch kątów prostych, to te dwie proste, przedłużane w nieskończoność, przetną się po tej stronie, po której suma kątów jest mniejsza od dwóch kątów prostych.
Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe.
Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe. 2. Jeśli równe są dodane do równych, całości są równe.
Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe. 2. Jeśli równe są dodane do równych, całości są równe. 3. Jeśli równe są odjęte od równych, pozostałości są równe.
Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe. 2. Jeśli równe są dodane do równych, całości są równe. 3. Jeśli równe są odjęte od równych, pozostałości są równe. 4. Wielkości przystające są równe.
Pojęcia ogólne Oto pięć pojęć ogólnych, prawdziwych nie tylko dla wielkości geometrycznych: 1. Dwie wielkości równe trzeciej, są równe. 2. Jeśli równe są dodane do równych, całości są równe. 3. Jeśli równe są odjęte od równych, pozostałości są równe. 4. Wielkości przystające są równe. 5. Całość jest większa od części.
Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB
Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta
Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach...
Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach... Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie.
Kilka twierdzeń Przykładowe twierdzenia z Księgi I: Tw. 4 to cecha przystawania BKB Tw. 20 to nierówność trójkąta Proklos twierdzi, że epikurejczycy wyśmiewali Euklidesa za ten dowód, gdyż twierdzili, że każdy osioł to wie, wybierając najkrótszą ścieżkę. Dziś widać to na wielu trawnikach... Twierdzenia o równoległych omówimy oddzielnie. Tw. 47. W trójkącie prostokątnym kwadrat boku leżącego naprzeciw kąta prostego jest równy kwadratom opartym na bokach zawierających kąt prosty.
Księga II Księga ta dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4
Księga II Księga ta dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab
Księga II Księga ta dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklides w języku geometrii.
Księga II Księga ta dotyczy prostokątów. Popatrzmy uważniej na jedno twierdzenie: Twierdzenie 4 (a + b) 2 = a 2 + b 2 + 2ab Uwaga: Wiele takich twierdzeń algebraicznych podał Euklides w języku geometrii. Twierdzenie 14 mówi, że dla każdego czworokąta da się skonstruować kwadrat o takim samym polu (a co z kołem!?).
Księga III Księgia III poświęcona jest okręgom: kąty w okręgach, dwusieczne, cięciwy, styczne do okręgów itp.
Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny
Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne.
Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r-kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r, s)=1, to umiemy skonstruować r s-kąt foremny.
Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r-kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r, s)=1, to umiemy skonstruować r s-kąt foremny. Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, to umiemy skonstruować k-kąt foremny.
Księga IV Wpisywanie wielokątów w okrąg, opisywanie, konstrukcje pięcio- i sześciokątów foremnych. Co mógł wiedzieć Euklides o konstruowalności wielokątów foremnych? Dla n > 1 można skonstruować 2 n -kąt foremny Trójkąt równoboczny i pięciokąt foremny są konstruowalne. Jeśli umiemy skonstruować r-kąt foremny i s-kąt foremny przy czym NWD(r, s)=1, to umiemy skonstruować r s-kąt foremny. Jeśli umiemy skonstruować n-kąt foremny i k dzieli n, to umiemy skonstruować k-kąt foremny. Stąd konstrukcje wystarczy przeprowadzić dla wielokątów foremnych o p bokach, gdzie p > 2 jest liczbą pierwszą.
Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że:
Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1.
Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną (?)).
Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną (?)). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537.
Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną (?)). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537. Podobno konstrucja 257-kąta to 194 strony druku.
Gauss Minęło 2100 lat i 19-letni Gauss w roku 1796 udowodnił konstruowalność 17-kąta foremnego i wykazał, że: wielokąty foremne o p n bokach są konstruowalne wtedy i tylko wtedy, gdy n = 1, a p jest liczbą pierwszą Fermata, tzn. jest postaci p = 2 2k + 1. Gauss zażyczył sobie wykucia siedemnastokąta foremnego na swoim grobie (wykuto gwiazdę siedemnastoramienną (?)). Następną taką liczbą po 17 jest 257, a kolejną 65 537. Podobno konstrucja 257-kąta to 194 strony druku. W Getyndze w skrzyni przechowywana jest praca, opisująca konstrukcję 65 537-kąta foremnego...
Kolejne księgi W V mamy proporcje między wielkościami abstrakcyjnymi (porównaj: Arystoteles Etyka nikomachejska, str. 172). W tym figury podobne. W VI proporcje i pola. W VII użycie proporcji do mierzenia liczb. Algorytm Euklidesa (Twierdzenie VII.1), NWD i liczby pierwsze. Twierdzenie VII.31 Dowód używa faktu: każdy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych ma element najmniejszy.
Dowód z Księgi W księdze IX Elementów znajduje się poniższe twierdzenie (tw. 20): Jest wiecej liczb pierwszych niż jakakolwiek ustalona ilość liczb pierwszych.
Dowód z Księgi Jest też dowód: Niech a, b, c będą liczbami pierwszymi. Twierdzę, że istnieje więcej liczb pierwszych niż a, b, c. W tym celu rozważmy liczbę d = abc + 1. Albo jest ona pierwsza albo ma czynnik pierwszy (Tw. VII.32). Jeśli jest pierwsza, to znaleźliśmy liczby pierwsze a, b, c, d, których jest więcej niż a, b, c. Jeśli nie jest pierwsza, ale ma czynnik pierwszy g, to twierdzę, iż g nie jest równa żadnej spośród a, b, c. Przypuśćmy, że jest przeciwnie (tzn. g jest jedną spośród a, b, c). Wtedy g dzieli abc, ale g dzieli abc + 1. Stąd g powinna dzielić liczbę 1, co jest absurdem. Zatem g nie jest równa żadnej spośród a, b, c, więc a, b, c, g są pierwsze.
Erdös i dowody z Księgi Węgierski, podróżujący całe życie matematyk Paul Erdös (1913 1996) twierdził, że Bóg ma Księgę, w której zapisane są idealne dowody wszystkich twierdzeń. Przykładem takiego dowodu jest właśnie dowód Euklidesa o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych.
Piąty aksjomat Księga I Elementów jest wyjątkowa. Wszystkie pozostałe mają co najwyżej definicje, po których następują twierdzenia. Dlaczego? Może pozostałe aksjomaty (dla liczb) uważano za oczywiste? Można tylko spekulować.
Geometria absolutna Twierdzenia geometrii płaszczyzny, które można wyprowadzić bez piątego postulatu tworzą geometrię absolutną. Oto przykład takiego twierdzenia: Twierdzenie I. 27 Jeśli prosta przecina dwie proste tak, że kąty odpowiadające są równe, to te dwie proste są równoległe. Wariantem powyższego jest kolejne Twierdzenie I. 28 Jeśli kąty G i H są równe, to proste AB i CD są równoległe. Jeśli suma kątów H oraz przyległego do G ma 180, to AB i CD są równoległe.
Odwracamy Twierdzenie I.27 Twierdzenie I.29. Jeśli proste AB i CD są równoległe, to kąty α i β są równe. Wspaniałe twierdzenie: aby sprawdzić równoległość prostych, należałoby sprawdzić, czy się przecinają, więc trzeba przedłużyć je w nieskończoność! Twierdzenie mówi, że wystarczy sprawdzić lokalnie: zmierzyć kąty. Do dowodu KONIECZNY jest Piąty Postulat (o równoległych).
Inne konsekwencje Piątego Postulatu Suma wewnetrznych kątów trójkąta jest równa dwóm kątom prostym. (Twierdzenie I.32). Ta własność charakteryzuje trójkąt w klasie wielokątów. Immanuel Kant podał ją w Krytyce czystego rozumu jako przykład syntetycznego sądu apriori to znaczy absolutnie pewnej wiedzy, niewynikającej z naszego doświadczenia. Z tego twierdzenia wynika, że suma kątów w n-kącie jest równa (n 2)π. Jakob Steiner wyprowadził z tego ostatniego faktu wzór Eulera dla wielościanów wypukłych: W + S K = 2.
Próby poprawienia Piątego Postulatu G. Saccheri opublikował w 1733 roku ksiażkę Euklides od wszelkich defektów uwolniony. Badał tam czworokąt o trzech kątach prostych. Wówczas czwarty kąt może być albo ostry albo prosty albo rozwarty. Kąt prosty równoważny jest Piątemu Postulatowi. Kąt rozwarty przeczy istnieniu linii o nieskończonej długości. Z założenia, że kąt jest ostry wyprowadził wiele wniosków, o których wierzył, że przeczą innym (absolutnym) twierdzeniom Euklidesa. Ale się mylił. Starożytni próbowali zastąpić go prostszym - próby nie powiodły się. W roku 1663 John Wallis wykazał, że zdanie istnieją trójkąty podobne o różnych polach implikuje Piąty Postulat.
Geometria na sferze Do zrozumienia innych rodzajów geometrii potrzebne jest pojecie linii geodezyjnej: to najkrótsza linia łącząca dwa punkty. Na przykład na sferze jest to łuk koła wielkiego, wyznaczonego przez te punkty. W takiej geometrii, gdy za proste przyjmiemy koła wielkie, to dostajemy inną geometrię: w niej nie ma w ogóle prostych równoległych, bo każde dwie proste przecinają się.
Geometria na sferze Trójkąt w tej geometrii to figura wyznaczona przez trzy punkty i łuki kół wielkich, wyznaczonych przez pary punktów. Zauważmy, że suma kątów każdego trójkąta ma ponad 180. Jak wykazał J. H. Lambert, pole takiego trójkąta (na sferze o promieniu 1) jest równe nadmiarowi tego trójkąta tzn. sumie kątów minus π.
Bolyai, Łobaczewski i Gauss Około roku 1830 J. Bolyai, N. Łobaczewski i K. Gauss niezależnie zbudowali geometrie oparte na zaprzeczeniu Piątego Postulatu. Założyli, że przez dany punkt można poprowadzić więcej niż jedną prostą równoległą do zadanej. I otrzymali inną geometrię. W niej pewne twierdzenia, ale nie było zgody co do tego, czy ta teoria nie jest wewnętrznie sprzeczna. Gauss wyników nie opublikował (nie chciał krzyku Beotów ).
Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej),
Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej), prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x 2 + y 2 = 1);
Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej), prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x 2 + y 2 = 1); izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względem średnic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu dysku;
Geometria hiperboliczna Model Poincarego: otwarty dysk jednostkowy na płaszczyźnie (najlepiej: zespolonej), prostymi są średnice oraz łuki okręgów ortogonalnych do brzegu dysku (czyli okręgu x 2 + y 2 = 1); izometriami są obroty wokół punktu (0,0), symetrie względem średnic oraz inwersje względem okręgów ortogonalnych do brzegu dysku; inwersje zadane są wzorem: dla a < 1 określamy I a (z) = a z 1 āz. Zauważmy, że I a(a) = 0 oraz I a (I a (z)) = z.
Geometria hiperboliczna Zadanie. Dane są: prosta L i punkt A. Poprowadzić przez A więcej niż jedną prostą równoległą do L. Ile jest prostych, które nie mają punktów wspólnych z L? Model Poincarego jest konforemny, to znaczy hiperboliczne kąty między prostymi są takie same jak kąty euklidesowe (liczone dla stycznych w punkcie przecięcia łuków). Łatwo obliczać odległość od (0,0): punkt leżący w euklidesowej odległości r [0, 1) od (0, 0) znajduje się w hiperbolicznej odległości 1 1+r 2 ln 1 r od (0,0). Odległości innych par punktów łatwo obliczyć, przesuwając jeden z nich do (0, 0) za pomocą izometrii. Dwie proste są równoległe, jeśli ich jedynym punktem wspólnym jest punkt graniczny (na okręgu). Dwie proste, które w ogóle nie mają punktów wspólnych (nawet granicznego) to nadrównoległe.