p q p= q p q p q p q p q (p q) p q ( p) ( q)

Ï ØÔ ½ ÄÓ ÖÝØÑ ØÝ Þ ÓÖ Û ½º½ ÄÓ Â Ø ØÓ Þ Ò ÞÓ ÔÓÛØ Ö Þ Þ º Ö Ò Ý ÑÓ Þ Ò Ø ÖÝÑ ÖÞ Þ Ñ ÒÓÛÝÑ º ÍÛ Þ ØÓ ÓÛÙ ÐÓ Ò Þ Ö Þ ÞÒ Þ Ò Ò Ø ÑÙ Ó ÞÝÑ Þ ÔÓÒ ÒÔº Ñ Û ÐÓ ÞÒ ÑÝ Ð Ò Û Ò ÛÝ Ò ÛÒ Ó Û ØÔº ÌÙ ÓÛÓ ÐÓ ÓÞÒ Þ ÓÖÑ ÐÒ Ö Ù Ý ÓØÝÞ ÔÖ Û Þ ÛÓ Þ º º Ò Ñ Û Ò ÐÓ Þ Ò Ñ ÐÓ ÞÒÝѵ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÛÝÖ Ò Ø Ö ÑÙ ÑÓ ÑÝ ÒÓÞÒ ÞÒ ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ Ò Þ Û Û ÖØÓ ÐÓ ÞÒÝ ÔÖ Û ½µ ÐÙ Þ ¼µº ÍÛ Ï Ò ÐÓ Þ Ò Ñ Ò Þ Ò ÔÝØ ÖÓÞ ÞÙ º ÈÖÞÝ Ï Ö Þ Û Ø ØÓÐ ÈÓÐ Ø Þ Ò Ñ ÔÖ Û Þ ÛÝѵ È Ñ Ø ØÓÐ ÈÓÐ Ø Þ Ò Ñ ÞÝÛÝѵ Ò Ò Þ Û ØÝ ØÓ Ñ ÐÛÝ Ò Ø Þ ¹ Ò Ñº Ò Þ Ó ÓÒ º Ò Ó ÐÙ Ð Ùµ Þ ÑÓ ÑÝ ÙØÛÓÖÞÝ ÒÓÛ Þ Ò Þ Ò Þ Ó ÓÒ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÓÔ Ö ØÓÖ Û ÐÓ ÞÒÝ ÞÛº Þ Ñ Ø Ô Ò Ñ Þ Ò ÓÛÝÑ ÙÒ ØÓÖ Ñ Þ Ò ÓØÛ ÖÞÝÑ µº ÈÓ Ø ÛÓÛ ÓÔ Ö ØÓÖÝ ÐÓ ÞÒ ØÓ ½º ÔÖÞ Þ Ò Ò µ Þ Ò º Ð Þ Ò pþýø ÑÝ Ò ÔÖ Û p º p p ÇÔ Ö ÒÓ Ö ÙÑ ÒØÓÛ ½ ¼ ¼ ½ ¾º ÃÓÒ ÙÒ Þ p,q º ÅÒÓ Ò ÐÓ ÞÒ µº Ï ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÓÒ ÙÒ Þ ØÓ ÓÞÒ Þ Æ µº ÇÔ Ö ÛÙ Ö ÙÑ ÒØÓÛ ÞÝØ ÑÝ p q º ÃÓÒ ÙÒ Û Þ Ø ÔÖ Û Þ Û ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ó ÔÖ Û Þ Û p q p q ½ ½ ½ Ó ÐÙ ØÖÙ ÑÝ ÔÖÞÝ ÔÓÑÓÝ Ø Ð ÐÓ ÞÒ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ º ÐØ ÖÒ ØÝÛ Þ p,q º Ó Û Ò ÐÓ ÞÒ µº Ï ÞÝ ÔÖÓ Ö ÑÓÛ Ò ÐØ ÖÒ ØÝÛ Þ ØÓ ÓÞÒ Þ Çʵº ÇÔ Ö ÛÙ Ö ÙÑ ÒØÓÛ ÞÝØ ÑÝ p ÐÙ q º ÐØ ÖÒ ØÝÛ Û Þ Ø ÔÖ Û Þ Û ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ó Ò ÑÒ ÒÓ p q p q ½ ½ ½ Þ Ò Ø ÔÖ Û Þ Û º Ô Ù ÑÝ ØÓ ÔÖÞÝ Ù Ý Ù Ø Ð ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½

º ÁÑÔÐ Þ p,q = º ÇÔ Ö ÛÙ Ö ÙÑ ÒØÓÛ ÞÝØ ÑÝ Ð pøóq º p q p= q ½ ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ½ º Ê ÛÒÓÛ ÒÓ Þ p,q º ÇÔ Ö ÛÙ Ö ÙÑ ÒØÓÛ ÞÝØ ÑÝ p ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ýq º Û Þ Ò Ö ÛÒÓÛ Ò Ý Ó ÒÓÞ Ò ÔÖ Û Þ Û p q p q ½ ½ ½ ÐÙ ÒÓÞ Ò ÞÝÛ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ º ÐØ ÖÒ ØÝÛ ÛÝ ÐÙÞ Þ p,q º ÇÔ Ö ÛÙ Ö ÙÑ ÒØÓÛ º Â Ø ØÓ ÓÔ Ö Þ Ó ÛÖÓØÒ Ò Ö ÛÒÓÛ ÒÓ ÏÝÒ Þ Þ Ò ÐØ ÖÒ ØÝÛÝ ÛÝ ÐÙÞ Ø ÔÖ Û Þ ÛÝ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý ÒÓ Þ Þ Ø ÞÝÛ p q p q ½ ½ ¼ ÖÙ ÔÖ Û Þ Û ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ¼ ¼ º Ì ÙØÓÐÓ Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Ò Þ Ó ÓÒ Ø Ö Ø ÔÖ Û Þ Û Ò Þ Ð Ò Ó Û Ö¹ ØÓ ÐÓ ÞÒÝ Þ Þ Ø ÖÝ Ø Þ Ó ÓÒ º Ï ÞÝ Ù ÔÓØÓÞÒÝÑ Ø ÙØÓÐÓ Ò ÞÝÛ ÛÝÖ Ò Û ØÝÐÙ Ñ Ó Ñ Ð Ò ÞÝÐ ÔÓÛØ ÖÞ Ò Ø Ó Ñ Ó ÑÓ ÒÒÝÑ Ò Ó ÓÛ Ñ ØÙ ¹ Ò Ø Ò Ó Þ Ö Þ Ý ÓØÝÞÝ Þ Þ Ó ÓÒÝ º µ Æ Ø Ö ÔÖ Û Ö ÙÒ Ù Þ ½º ÈÖ ÛÓ ÔÓ Û Ò Ó ÔÖÞ Þ Ò p pº ¾º ÈÖ ÛÓ ÛÝ ÞÓÒ Ó ÖÓ Ò p p Ø Þ Û Þ ÔÖ Û Þ Û º Æ p Þ Þ Ò Ñ Ä ÛÝ Ö ÛØ Ý p ØÓ Ä ÔÖÞ Ö ÐÙ ÞÖ Ñ ÓÛ º º ÈÖ Û ÅÓÖ Ò µ ÈÖ ÛÓ Þ ÔÖÞ Þ Ò ÓÒ ÙÒ p q p qº Ó ØÝÑ ÑÓ Ò ÔÖÞ ÓÒ ÞÔÓ Ö Ò Ñ Ö ÙÒ Ñ Û Ø Û ÑÓ Ð Û Û ÖØÓ ÐÓ ÞÒ Þ Ô ØÖÞ ÞÝ ÔÓ Ð Û ÔÖ Û ØÖÓÒ Ó Ø Ò ØÓ ÑÓº Â Ø ØÓ ÙÒ Û Ö ÐÒ Ñ ØÓ ÔÖ Û Þ Ò ÞÝ Û Þ Ò Þ Ó ÓÒ Ö ÛÒÓÛ Ò ºµ p q p q p q p q p q ½ ½ ½ ¼ ¼ ¼ ¼ ½ ¼ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ½ ½ ¼ ½ ¼ ¼ ¼ ½ ½ ½ ½ µ ÈÖ ÛÓ Þ ÔÖÞ Þ Ò ÐØ ÖÒ ØÝÛÝ p q p qº ¾

º ÈÖ ÛÓ Þ ÔÖÞ Þ Ò ÑÔÐ p= q p qº º ÈÖ ÛÓ ØÖ Ò ÔÓÞÝ p= q q= pº º ÈÖ Û ÞÒÓ µ ÞÒÓ ÓÒ ÙÒ [p q r] [p q r] µ ÞÒÓ ÐØ ÖÒ ØÝÛÝ [p q r] [p q r] º ÈÖ Û ÖÓÞ Þ ÐÒÓ µ ÓÒ ÙÒ ÛÞ Ð Ñ ÐØ ÖÒ ØÝÛÝ p q r p r q r µ ÐØ ÖÒ ØÝÛÝ ÛÞ Ð Ñ ÓÒ ÙÒ p q r p r q r ÃÛ ÒØÝ ØÓÖݺ ÓØÝÞ ÓÖÑ Þ Ò ÓÛÝ Ð ÓxÞ Ó Þ φx x φx Á ØÒ Ø x Þ Ó Þ ψx x ψx ÈÖ Û ÅÓÖ Ò Ð Û ÒØÝ ØÓÖ Û ½º¾ x X φx x X φx ÈÖÞÝ º ÈÓÛ Þ Ò ÔÖ Û Û ÞÝ Ø Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ Ô ÖÞÝ Ø Ø ØÝÑ ÑÝÑ Ó ÔÓÛ Þ ØÒ Ø Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ Ø Ö Ø Ò Ô ÖÞݹ Ø º x ψx x X ψx ÓÖÝ Ö Ø ÔÓ Ñ Ô ÖÛÓØÒÝÑ Ò Ò ÓÛ ÐÒÝѺ Ý Ò Ò ØÝÑ Ò ÔÓÔÖÞ Ø ÔÓÛ Þ Ó Ó ØÙ Ó Þ ØÓ Ø Ô Ù Ó Ò ÑÓ Ó Ý Ý Ó Ó Þ Û Ö Ð Ñ Ò¹ ØÝ º º ÓÖ Ñ ÔÙ ØÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Ö Ø ÖÝ Ò Þ Û Ö Ò Ó Ð Ñ ÒØÙº ÇÞÒ ¹ Þ Ó º º ÓÖ Ñ Ó ÞÓÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Ö ÔÓ Ý Ó ÞÓÒ ÐÓ Ð Ñ ÒØ Ûº ÁÐÓ Ð Ñ ÒØ Û Þ ÓÖÙ Ó ÞÓÒ ÓAÓÞÒ Þ ÑÝ Ó A Þ Ñ Ø #Aº º Å Û ÑÝ Þ ÓÖÝA B Ö ÛÒ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ý Ð Ñ ÒØ Þ ÓÖÙ A Ò Ð Ý Ó Þ ÓÖÙB Ý Ð Ñ ÒØ Þ ÓÖÙB Ò Ð Ý Ó Þ ÓÖÙAº Ô Ù ÑÝ ØÓ Ø A=B x x A x B. º ÖAÞ Û Ö Û Þ ÓÖÞ B ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ý Ð Ñ ÒØ Þ ÓÖÙA Ø ÒÓÞ Ò Ð Ñ ÒØ Ñ Þ ÓÖÙBº ËÝØÙ Ø ÓÞÒ Þ ÑÝA B Ó Þ ÓÖÞ A Ñ Û ÑÝ Ø ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙBº Ô Ù ÑÝ ØÓ Ø A B a A= a Bº º ÊÝ ÙÒ ÈÖÞÝ º Ö Ð Þ Ô ÖÞÝ ØÝ Ø ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º Æ Ø Ö ÔÖÓ Ø Û ÒÓ Ò ÐÙÞ Þ Û Ö Ò µ Þ ÓÖ Û A B

A : A Þ Ö ÔÙ ØÝ Ø ÔÓ Þ ÓÖ Ñ ÓÛÓÐÒ Ó Þ ÓÖÙAµ A :A A Ý Þ Ö Ø ÛÓ Ñ ÔÓ Þ ÓÖ Ñµº º  РA B A B ØÓ Ñ Û ÑÝ A Ø ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Û ÛÝÑ Þ ÓÖÙBº ÈÝØ Ò ÁÐ ÔÓ Þ ÓÖ Û Ñ Þ Ö Ó ÞÓÒÝ Þ Û Ö Ý Ð Ñ ÒØ Û Ç Ôº º º ËÙÑ Þ ÓÖ ÛA B Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Ö ØÝ Ð Ñ ÒØ Û Ø Ö Ò Ð Ó Ó Ò ÑÒ Ò Ó Þ ØÝ Þ ÓÖ Ûº Ô Ù ÑÝ ØÓ Ó A B={x:x A x B}. º ÊÝ ÙÒ A B º ÈÖÞ Ñ ÐÓÞÝÒ Ñµ Þ ÓÖ ÛA B Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Ö ØÝ Ð Ñ ÒØ Û Ø Ö Ò Ð Ó Ó Ù Þ ÓÖ Ûº ÈÖÞ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ø Þ Û Ô ÐÒ µº Ô Ù ÑÝ ØÓ Ó A B={x:x A x B}. º ÊÝ ÙÒ A B º Ê Ò Þ ÓÖ ÛA B Þ Ô Þ ÑÝ Ù ØÝÐ Ó ÛÞÓÖ Ñ Þ ÐÙ ØÖÙ ÑÝ A\B={x:x A x B}. º ÊÝ ÙÒ A\B º Å Û ÑÝ Þ ÓÖÝA B ÖÓÞ ÞÒ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ò Ñ Û Ô ÐÒÝ Ð Ñ ÒØ Û ØÞÒº ÝA B= º A B= ÓÔ Ò Ò Þ ÓÖÙ Ã Ý Þ ÖAÑÓ ÑÝ ÙÛ Þ ÔÓ Þ Ö Ó Û Þ Ó Þ ÓÖÙΩ ÛØ ÝΩÒ ÞÝÛ ÑÝ Ò Þ ÓÖ Ñ Þ ÓÖÙAµº º ÓÔ Ò Ò Ñ Þ ÓÖÙA Ó Þ ÓÖÙΩÒ ÞÝÛ ÑÝ Þ ÖA =Ω\Aº Þ Ñ ÓÔ Ò Ò AÓÞÒ Þ Ø A C Ó ÓÑÔÐ Ñ ÒØ µº ÈÖÞÝ ÔÓÑÓÝ ÔÓ ÓÔ Ò Ò ÑÓ Ò ÒÔº ÛÝÖ Þ Ö Ò ÑÒÓ Ó ÓÛ ÔÓÔÖÞ Þ ÒÒ ÓÔ Ö A\B=A B º ÈÖÞÝ Í ÓÛÓ Ò ÑÝ ØÓ A B A\B B A B º ÁÐÓÞÝÒ Ñ ÖØ Þ Ñ Þ ÓÖ ÛA B Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Ö Ô Ö ÙÔÓÖÞ ÓÛ ¹ ÒÝ a,b Þ a A,b B A B:={a,b:a A,b B} ÈÖÞÝ º Æ x,y A=Rº ÏØ Ýx,y Ô Ö Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ÑÓ Ò ÒØ ÖÔÖ ØÓÛ Ó Û Ô ÖÞ Ò ÔÙÒ ØÙ Ò Ô ÞÞÝõÒ º Ì Û R R ØÓ Ô ÞÞÝÞÒ º ÈÖÞÝ º Æ A Þ Ö Ø B Þ Ö Ñ Ò Ñ ÛØ ÝA B={data,miejsce} Þ Ö Þ ÖÞ ØÓÖÝÞÒÝ º º Ò ÐÓ ÞÒ Ò Ù ÑÝ ÐÓÞÝÒ ÖØ Þ Þ ÓÖ ÛA,A,...,A Ó Þ Ö¹ ÙÔÓÖÞ ÓÛ ÒÝ A A A :={a,a,...,a :a A,...,a A } ÈÖÞÝ º Æ Þ ÔÖÞ ØÖÞ Û Ø Ö Ý ÑÝ ØÓR 3 º

½º ½º ½º º½ ÈÓ Ø ÛÓÛ Þ ÓÖÝ Ð Þ ÓÛ ÓÞÒ Þ Ò ½º N={,,...} Þ Ö Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ º Ò ØÙÖ Ð µ ¾º Z={...,,,,,,...} Þ Ö Ð Þ ÓÛ ØÝ º Ð Ò µ º Q={x:x= p,p Z,q Z\{},p,q ÛÞ Ð Ò Ô ÖÛ Þ } Þ Ö Ð Þ q ÛÝÑ ÖÒÝ º ÕÙÓØ ÒØ µ º R Þ Ö Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ö Ð µº ÈÖÞ Þ Ý Ð Þ ÓÛ ÓÞÒ Þ Ò ÈÖÞ Þ Ý Ó Ö Ò ÞÓÒ Æ a,b R a<bº ½º º¾ ½º]a,b[={x R:a<x<b} ÔÖÞ Þ Ó Ù ØÖÓÒÒ ÓØÛ ÖØݵ ¾º[a,b[={x R:a x<b} º]a,b]={x R:a<x b} º[a,b]={x R:a x b} ÔÖÞ Þ Ó Ù ØÖÓÒÒ ÓÑ Ò Øݵ Æ a Rº ÈÖÞ Þ Ý Ò Ó Ö Ò ÞÓÒ ½º]a, [={x R:a<x} ¾º[a, [={x R:a x} º],a]={x R:x<a} º],a]={x R:x a} ¾ ÙÒ º ÙÒ ØÓ Ù Ø Ò ÞÛ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò µ Ó Ö ÐÓÒ Ò Þ ÓÖÞ X Ó Û ÖØÓ Û Þ ÓÖÞ Y Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ Ò ÑÙ Ð Ñ ÒØÓÛ x X Ó Ò Ò Ó Ð Ñ ÒØÙy Y ºxÒ ÞÝÛ ÑÝ Ö ÙÑ ÒØ Ñ Þ y Û ÖØÓ ÙÒ º ÖX Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ Þ Ò ÙÒ º Ô Ù ÑÝ y=fxº Ð ÒÓÞ Ò Ó ÔÓ Ò ÙÒ ÔÓ Ó Ù ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ Ò µ ÓÖ Þ Þ ÓÖ ÛX Y Ô Þ ÑÝ f:x Y º ÍÛ º Ó Ò ÙÒ ØÖÞ ÔÓ ØÖÞÝ ÖÞ ÞÝ f X Y º Û ÙÒ f : X Y ÓÖ Þf:X Y Ð Ø ÖÝ ÔÓ ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ Ò f Ø Ø Ñ Ð X X ÐÙ Y Y ÙÛ ÑÝ Þ Ö Ò ÆÔºf : R R:fx=x+ ÓÖ Þ f: N N:fx=x+ ÙÛ ÑÝ Þ Ö Ò Ñ ÑÓ Ö ÔØ ÔÖÞÝÔÓÖÞ ÓÛ Ò Ø Ø Ñ º ÁÒ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó Û ÒÓ fx =fx = x =x º ÒÒÝÑ ÓÛÝ Ø ØÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ö ÒÓÛ ÖØÓ ÓÛ µ

ÈÖÞÝ º ÈÖÞÝ º º ËÙÖ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ø Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ýy Y Ø Ó Ö Þ Ñ Ô ÛÒ Ó x Xº Ô ÞÑÝ ØÓ Ù ÝÛ Û ÒØÝ ØÓÖ Û :y=fxº Ï ØÝÑ ÔÖÞÝÔ Ù y Yx X Ñ Û ÑÝ Ø f Ø Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ Ò º ÈÖÞÝ º º Ò ÞÝÛ ÑÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ø Ö Ø ÒÓÞ Ò Ò ÙÖ º ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ ØÖÞÝ ÙÒ f,f,f 3 f : R R,f x:=x f : R R + {},f x:=x f 3 : R + {} R + {},f 3 x:=x ºf Ò Ø Ò Ò ÙÖ f Ò Ø Ò Ð Ø ÙÖ ÛÖ Þ f 3 Ø Þ Ö ÛÒÓ Ò ÙÖ º ÈÖÞÝ Ø Ò ÔÓ ÞÙ Û Ù ÝÑ Ý Ù ÝÑ µ ØÓÔÒ Ù Û ÒÓ ÙÒ Ò ØÝÛÒÓ ÙÖ ØÝÛÒÓ ØÔºµ Þ Ð Ó Þ ÓÖÙ Ò Ø ÖÝÑ Ó Ö ÐÓÒ º Û Ò Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Ý ÑÓ Ò Ð Ò Ó Ö Ð Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ó ¹ ÛÖÓØÒ º º  Рf:x Y Ø ØÓ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ñ Ó ÛÖÓØÒÝÑ Óf ÓÞÒ Þ ÒÝÑ Óf Ø Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò f :Y X Ò ÓÛ Ò Ø Â Ð y=fx ØÓf y=xº ÈÖÞÝ º Ï õñýf 3 Þ ÔÓÛÝ Þ Ó ÔÖÞÝ Ùº Å ÑÝ ØÙy=fx=x Û x= + y=f yº º Ç Ö Þ Ñ Þ ÓÖÙA X ÔÖÞÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ùf Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ ÖB Y ÓÞÒ Þ ÒÝ ÓB=fA Ó Ö ÐÓÒÝ Ó B:= x A fx º ÈÖÞ ÛÓ Ö Þ Ñ Þ ÓÖÙC Y ÔÖÞÝ Ó ÛÞÓÖÓÛ Ò Ùf Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ ÖE X ÓÞÒ Þ ÒÝ ÓE=f C Ó Ö ÐÓÒÝ Ó E={x X:fx C} ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ f Þ ÔÓÛÝ Þ Ó ÔÖÞÝ Ù f : R R,f x:=x º Å ÑÝ f [,]= [,4] Þ f [,4]=[,] [, ]º º ÈÓÞ ÓÑ ÔÙÒ ØÙc Y Ò ÞÝÛ ÑÝ ÔÖÞ ÛÓ Ö Þ ÔÙÒ ØÙc Y º ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÙÒ g:r R Ó Ö ÐÓÒ Ó gx,y=x +y º ÏØ Ý Ð c> ÔÓÞ ÓÑ ØÓ Þ Ö ÔÙÒ Ø Û Ô ÞÞÝÞÒÝ Ô Ò Ý Ö ÛÒ Ò x +y =c Û ÞÝÑ ÖÓÞÔÓÞÒ ÑÝ Ö ÛÒ Ò Ó Ö Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ù cº Ð c= ÔÓÞ ÓÑ Ø ÔÙÒ Ø, Ð c< Þ Ö ÔÙ Øݺ Â Ó ÞÑÝ Ñ Þ ÓÛ Ó Ö ÝÑ Þ Ý ÓÛ Ò Û ÞÓ Ó õ Û Ø ÛÞÖÓ Ò Þ ÛÒ Ó ØÛ Ó ØÖÞ ÑÝ Ö Ò Ô ØÝ ÙÒ Ô ØÖÞ Ò ÛÝ Ö º º ÏÝ Ö Ñ ÙÒ f :X Y Ò ÞÝÛ ÑÝ Ò ØÔÙ Ý ÔÓ Þ ÖG ÐÓÞÝÒÙ ÖØ Þ ÓX Y G={x,fx X Y}º Ï ÝØÙ Þ Ø ÖÝÑ Ø Ö Þ Þ ÑÝ Ñ Ó ÞÝÒ Ò ØÞÒº ÛÝ Ö Ñ ÙÒ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ Ó Ö ÙÑ ÒØ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ µ ÛÝ Ö Ø ÔÓ Þ ÓÖ Ñ Ô ÞÞÝÞÒÝ ØÞÒº Þ ÓÖ Ñ Ô Öx,yº Æ Ó ÔÓÞ ÓÑ Þ ÞÒ Þ ÑÝ Ö ÙÑ ÒØÝx Ò Ó Ô ÓÒÓÛ Û ÖØÓ ÙÒ y=fxº º Å Ñ Þ ÖÓÛÝÑx ÙÒ f Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö ÙÑ ÒØ Ø fx ¼º ÍÛ º Í ÝÛ ÓÔ ÖÓ Ó ÛÔÖÓÛ ÞÓÒ Ø ÖÑ ÒÓÐÓ Ñ Û ÑÝ Þ ÓÖ Ñ Ñ Þ ÖÓÛÝ ÙÒ f Ø ÔÓÞ ÓÑ f º Æ ØÔÙ Û ÛÓ ÙÒ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ØÞÒºf:X Y Þ X,Y ÔÓ ¹ Þ ÓÖ Ñ Rµ Þ ØÓ Û Ò Û Þ ØÓ ÓÛ Ò º º ÅÓÒÓØÓÒ ÞÒÓ ÙÒ ÙÒ f:x Y Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÓ Ò Ò Þ ÓÖÞ A X x,x A:x < x = fx <fx

,5-4 - 4 6 x -,5 - ÊÝ ÙÒ ½ ÏÝ Ö Ý ÙÒ six Þ ÖÛºµ cosx Ò ºµº ÙÒ f:x Y Ò ÞÝÛ ÑÝ Ñ Ð Ò Þ ÓÖÞ A X x,x A:x < x = fx >fx ÙÒ f:x Y Ò ÞÝÛ ÑÝ Ø Ò Þ ÓÖÞ A X x,x A:fx = fx º ÙÒ f:x Y Ò ÞÝÛ ÑÝ Ô ÖÞÝ Ø x D:fx=f xº ÍÛ º ÏÝ Ö ÙÒ Ô ÖÞÝ Ø Ø ÝÑ ØÖÝÞÒÝ ÛÞ Ð Ñ Ó OY º ÈÖÞÝ º ÙÒ cosx Ø Ô ÖÞÝ Ø Ò R. º ÙÒ f:x Y Ò ÞÝÛ ÑÝ Ò Ô ÖÞÝ Ø x D:fx= f xº ÍÛ º ÏÝ Ö ÙÒ Ô ÖÞÝ Ø Ø ÝÑ ØÖÝÞÒÝ ÛÞ Ð Ñ Ó yº ÈÖÞÝ º ÙÒ six Ø Ò Ô ÖÞÝ Ø Ò R. º ÙÒ f Ò ÞÝÛ ÑÝ Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ Ó Ù m R : x D :fx m º ÙÒ f Ò ÞÝÛ ÑÝ Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ ÖÝ M R : x D :fx M º ÙÒ f Ò ÞÝÛ ÑÝ Ó Ö Ò ÞÓÒ Ð Ø ÒÓÞ Ò Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ ÖÝ Þ Ó Ùº ÈÖÞÝ º ÙÒ F : R + x F x:= R Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ Ó Ù F x :R x F x:= R Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ Þ ÖÝ F x 3: R\{} x F 3 x:= R Ò Ø x Ó Ö Ò ÞÓÒ ÙÒ F 4 : R x F 4 x:=si x R Ø Ó Ö Ò ÞÓÒ º

6 4 - - x - ÊÝ ÙÒ ¾ ÏÝ Ö Ý ÙÒ fx Þ ÖÛºµ fx Þ Ðºµº º ÙÒ f:x Y ÔÖÞÝ ÑÙ Ò Û Þ Û ÖØÓ y max Y Ð x X fx =y max ÓÖ Þ x X :fx fx º Ò ÐÓ ÞÒ º ÙÒ f:x Y ÔÖÞÝ ÑÙ Ò ÑÒ Þ Û ÖØÓ y mi Y Ð x X fx =y mi ÓÖ Þ x X :fx fx º ÈÖÞ ÞØ Ò ÛÝ Ö Ù ÙÒ º ËÝÑ ØÖ ÛÞ Ð Ñ Ó OX ÈÖÞ ÞØ ÛÝ Ö ÙÒ y=fx ÔÖÞ Þ ÝÑ ØÖ ÛÞ Ð Ñ Ó OX ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ÛÝ Ö ÙÒ y= fxº ËÝÑ ØÖ ÛÞ Ð Ñ Ó OY ÈÖÞ ÞØ ÛÝ Ö ÙÒ y=fx ÔÖÞ Þ ÝÑ ØÖ ÛÞ Ð Ñ Ó OY ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ÛÝ Ö ÙÒ y=f xº ËÝÑ ØÖ ÛÞ Ð Ñ ÔÙÒ ØÙ, ÈÖÞ ÞØ ÛÝ Ö ÙÒ y=fx ÔÖÞ Þ ÝÑ ØÖ ÛÞ Ð Ñ ÔÙÒ ØÙ, ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ÛÝ Ö ÙÒ y= f xº ÈÖÞ ÙÒ Ö ÛÒÓÐ ÛÝ Ö Ù Ó Û ØÓÖ[a,b] Ï ÛÝÒ Ù ÔÖÞ ÙÒ Ö ÛÒÓÐ Ó ÛÝ Ö Ù ÙÒ y=fx Ó Û ØÓÖ[a,b] ÓØÖÞÝÑÙ ÑÝ ÛÝ Ö ÙÒ y=fx a+bº Ë ÐÓÛ Ò ÛÝ Ö Ù ÙÒ ÛÝ Ö Ýy=fx ÓÖ Þy=Afxº ÈÖÞÝ º ÈÖÞÝ Ò ¹ Ð Þ ÖÙ Ù Ö Ó Þ ØÓ Ù ÝÛ ÔÓ Þ ØÓ ÑÔÐ ØÙ Þ ÑÔÐ ØÙ Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó Ö Ò Ý ÔÓÑ ÞÝ Ñ ÝÑ ÐÒÝÑ ÛÝ ÝÐ Ò Ñ ÞÝÒÒ Aµ Þ ØÓ Ø ÔÖÓÔÓÖ ÓÒ ÐÒ Ó ÐÓ Ö Ò ÒÓ Ø Þ Ù ÞÝÒÒ ωµ ÛÖ Þ Þ φøó ³ÛÝ ÝÐ Ò ÔÓÞ Ø ÓÛ ³ x=asiωt+φ. ËÝÑ ØÖ ÛÞ Ð Ñ ÔÖÓ Ø y =x ÈÖÞ ÞØ Û Ø Ò ÔÓ ÛÝ Ö ÙÒ y=fx ÓØÖÞÝÑ ÑÝ ÛÝ Ö ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ y=f xº

y 5 - - x -5 - ÊÝ ÙÒ ÏÝ Ö Ý ÙÒ fx Þ ÖÛºµ f.5 x Þ Ðºµº,5-4 - 4 x -,5 - ÊÝ ÙÒ Ò Þ Ò Þ ØÓ ÑÔÐ ØÙ Ý ÞÝ Û ÖÙ Ù Ö ÝÑ ÛÝ Ö Ý ÙÒ six Þ ÖÛÓÒݵ ÓÖ Þ.5six+ Þ ÐÓÒݵ

,5 y,5,5,5 x ÊÝ ÙÒ ÏÝ Ö ÙÒ y=fx=x ÓÖ Þ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ò y=f x= xº ÙÒ Ð Ò ÓÛ Û Ö ØÓÛ Û ÐÓÑ ÒÝ º ÛÝÑ Ö¹ Ò º½ ÙÒ Ð Ò ÓÛ º ÙÒ Ð Ò ÓÛ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ f: R RÓ Ö ÐÓÒ ÛÞÓÖ Ñfx=ax+b Þ a,b Rº ËØÛº ÏÝ Ö Ñ ÙÒ Ð Ò ÓÛ fx=ax+b Ø ÔÖÓ Ø Ó Ö ÛÒ Ò Ùy=ax+b Ò ÝÐÓÒ Ó Ó OX ÔÓ Ø ÑαØ Ñ a=tgαº ËØÛº ÙÒ Ð Ò ÓÛ Ø ÖÝ º ÖÓ Ò a> Ñ Ð a< Ø a=º  ÔÓÛ Þ ÒÓ ÛÝ Ö Ñ ÙÒ Ð Ò ÓÛ Ø ÔÖÓ Ø º È ØÖÞ Ò Û ÞÝ Ø ÑÓ Ð Û ÔÖÓ Ø Ò Ô ÞÞÝõÒ Û Þ ÑÝ ÔÓ Ø y=ax+b Ó ÑÙ ÔÖ Û Û ÞÝ Ø ÔÖÞݹ Ô Þ ÛÝ Ø Ñ Ò Ð Ý ÔÖÓ ØÝ Ô ÓÒÓÛÝ º Ý ÙÛÞ Ð Ò Ø Ø ÝØÙ Ó Ó Ò Ø ÔÖÞÝ Ó ÐÒ Þ ÔÓ Ø Ö ÛÒ ÔÖÓ Ø Ñ ÒÓÛ Ax+By+C=, A lubb Ï ÖÙÒ Ö ÛÒÓÐ Ó ÛÝ Ö Û ÙÒ Ð Ò ÓÛÝ ÈÖÓ Ø Þ Ò Ó ÛÝ Ö Ý ÙÒ y=a x+b ÓÖ Þy=a x+b Ö ÛÒÓÐ a =a º ÈÖÓ Ø Þ Ò Û ÔÓ Ø Ó ÐÒ A x+b y+c = ÓÖ ÞA x+b y+c = Ö ÛÒÓÐ A B A B =º ½¼

º½º½ Ê ÛÒ Ò Ð Ò ÓÛ Þ Ò Ò Û ÓÑ º Ê ÛÒ Ò Ñ Ð Ò ÓÛÝÑ Þ Ò Ò Û ÓÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ Ö ÛÒ Ò ÔÓ Ø ax+b= Þ a,b Rº ÅÓ Þ Ó Þ Ò ØÔÙ ÝØÙ ÓØÝÞ ÖÓÞÛ Þ ÐÒÓ Ø Ó Ö ÛÒ Ò ÖÝ º º¾  Рa ØÓ Ö ÛÒ Ò Ñ Ó Ò ÒÓ ÖÓÞÛ Þ Ò x= b a º  Рa= b= ØÓ ÖÓÞÛ Þ Ò Ñ Ö ÛÒ Ò Ø ÓÛÓÐÒ Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø º  Рa= b ØÓ Ö ÛÒ Ò Ò ÔÓ ÖÓÞÛ Þ ÙÒ Û Ö ØÓÛ º ÙÒ Û Ö ØÓÛ ØÖ Ñ Ò Ñ Û Ö ØÓÛÝѵ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ fx=ax + bx+c Þ a,b,c R a x Rº ÏÝ Ö Ñ ÙÒ Û Ö ØÓÛ fx=ax +bx+c Ø Ô Ö ÓÐ Ó Û ÖÞ Ó Ù Û ÔÙÒ p= b a, 4a Þ :=b 4ac Ò ÞÝÛ ÑÝ ÛÝÖ Ò Ñ ØÖ Ñ ÒÙ Û Ö ¹ ØÓÛ Óº Å Þ ÖÓÛ ÙÒ Û Ö ØÓÛ º ÙÒ Û Ö ØÓÛ fx=ax +bx+c ÖÝ º Ñ Û Ö Ò Ñ Þ ÖÓÛ Ô ÖÛ Ø µ x = b a x = b+ a Ý > Ñ ÒÓ Ñ Þ ÖÓÛ x = b a Ý = Ò Ñ Ñ Þ ÖÓÛÝ Ý <º ÈÖÞÝ º ÊÞÙØ Ô ÓÒÓÛݺ Ñ ÞÒ Ù Ó ¾ Ñ Ò ÔÓ Ó ÖÞÙ ÑÝ Û Ö Ô Þ ÔÖ Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ 3m/sº ÈÓ Ñ Þ Ô ÙÔ Ò Ò ÔÓ Ó Ó Ý Û ÖØÓ ÔÖÞÝ Ô Þ Ò Þ Ñ Óm/s º ÊÓÞÛº ÖÓ Û ÖÙ Ù ÒÓ Ø Ò ÔÖÞÝ Ô ÞÓÒÝÑ Ó Ö ÐÓÒ Ø ÛÞÓÖ Ñ st=at /+v t+s Þ a ÔÖÞÝ Ô Þ Ò v ÔÖ Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ s ÖÓ Û Û Ð t=º ÈÝØ ÑÝ Þ Ø Ñ Û Ð Þ Ùt Þ Ó ÔÓÛ ÛÝ Ó Ó st =º Å ÑÝ Û Ö ÛÒ Ò =49, st= 5t +3t+=, =7, t =[s], t =.4[s]º Ì Û Ô ÙÔ Ò Ò ÔÓ Ó ÔÓ ÙÔ ÝÛ ½ ÙÒ Ýº Þ ÑÙ Ó ÔÓÛ ÖÙ Ô ÖÛ Ø t µ ÈÓ ÝØ ÞÒ ÈÓ Ø ÙÒ Û Ö ØÓÛ ÈÓ Ø ÒÓÒ ÞÒ y=ax p +q Þ p= b a q= 4a º ÈÓ Ø ÐÓÞÝÒÓÛ Á ØÒ º Â Ð Ø Ø ØÓ y=ax x Ý = y=ax x x x Ý >º ÏÞÓÖÝ Î Ø ³ Ý Ö ÛÒ Ò Û Ö ØÓÛ ax +bx+c= Ñ Ô ÖÛ Ø x,x ØÓ Þ Ó Þ ÛÞÓÖÝ Î Ø ³ µ x +x = b a, x x = c a ½½

º ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ ÓÑÓ Ö º ÙÒ ÔÓ Ø fx= ax+b cx+d Þ c ÓÖ Þad bc Ò ÞÝÛ ÑÝ ÓÑÓ Ö º Þ Þ Ò ÓÑÓ Ö Ø R\{ d}º c ÏÝ Ö Ñ ÙÒ ÓÑÓ Ö ÞÒ Ø Ô Ö ÓÐ ÛÝ Ö ÙÒ y= Ó ÔÓÛ Ò Ó x ÔÓÔÖÞ ÙÛ ÒÝ Æ Ô ÞÑÝ Ö ÛÒ Ò ÙÒ ÓÑÓ Ö ÞÒ fx= a cx+ b a x+ d c =...= a c +bc ad c x+ d c Ï Ó ÐÒ ÓÑÓ Ö fx= ax+b ÔÓÛ Ø Þ ³ Ø Ò Ö ÓÛ ³y= ÔÖÞ Þ µ cx+d x ÔÖÞ ÙÒ Ô ÓÒÓÛ Óy = a µ ÔÖÞ ÙÒ ÔÓÞ ÓÑ Óx c = d µ ÔÖÞ ÐÓÛ Ò Ó c ÞÝÒÒ bc ad º c ÈÖÓ Ø ÔÓÞ ÓÑ µ Ó Ö ÛÒ Ò Ùy= a Ò ÞÝÛ ÑÝ ÝÑÔØÓØ ÔÓÞ ÓÑ ÔÖÓ Ø Ô ÓÒÓÛ µ c Ó Ö ÛÒ Ò Ùx= d Ò ÞÝÛ ÑÝ ÝÑÔØÓØ ÔÓÞ ÓÑ º c ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ º½ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Û ØÖ ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ ÊÝ ÌÖÓ Ø º Ë ÒÙ Ñ Ø Ó ØÖ Ó Û ØÖ ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÓ ÙÒ ÔÖÞÝÔÖÓ ØÓ Ø¹ Ò ÔÖÞ ÛÐ Ò ÑÙ ØÓÛ Ó ÔÖÞ ÛÔÖÓ ØÓ ØÒ siα= a c º Ó ÒÙ Ñ Ø Ó ØÖ Ó Û ØÖ ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÓ ÙÒ ÔÖÞÝÔÖÓ ØÓ¹ ØÒ ÔÖÞÝÐ Ó Ò Ó Ø Ó ÔÖÞ ÛÔÖÓ ØÓ ØÒ siα= b c º Ì Ò Ò Ñ Ø Ó ØÖ Ó Û ØÖ ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÓ ÙÒ ÔÖÞÝÔÖÓ ØÓ¹ ØÒ ÔÖÞ ÛÐ Ò ÑÙ ØÓÛ Ó ÔÖÞÝÔÖÓ ØÓ ØÒ ÔÖÞÝÐ Ó Ò Ó Ø tgα= a b º ÓØ Ò Ò Ñ Ø Ó ØÖ Ó Û ØÖ ÔÖÓ ØÓ ØÒÝÑ Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÓ ÙÒ ÔÖÞÝÔÖÓ¹ ØÓ ØÒ ÔÖÞÝÐ Ó Ò Ó Ø Ó ÔÖÞÝÔÖÓ ØÓ ØÒ ÔÖÞ ÛÐ Ò ÑÙ ØÓÛ ctgα= b a = tgx ÍÛ º Þ Ñ Ó ÖÞ Ó Ù ÝÛ Ø ÙÒ Ò Ó Ò º Ë ÓÒ Ò ÓÛ Ò Ó secα= siα cosecα= º cosα º¾ Å Ö Ù ÓÛ Ø º ½ Ö Ò ½ Ö µ Ø ØÓ Ñ Ö Ø ÓÔ ÖØ Ó Ò Ù Ù Ø Ö Ó Ù Ó Ø Ö ÛÒ Ù Ó ÔÖÓÑ Ò Ó Ö Ùº ½¾

Å ÑÝ Û ÔÖÓ Ø ÛÞÓÖÝ Ò Þ Ñ Ò Ñ ÖÝ Ø Û ØÓÔÒ α s Ò Ñ Ö Ù ÓÛ α r α r = πα s 8, α s= 8α r π Ï ÞÞ ÐÒÓ 8 o =π Ö µ 9 o = π 6o = π 3 3o = π ÔÓ Ø Û Ñ ÖÞ 6 Ù ÓÛ Þ ØÓ Ù Ò ÔÓ Ø ÓÒ Ñ ÖÞÓÒÝ Û Ö Ò µº º ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ ÓÛÓÐÒ Ó Ø Å Þ Ò ÓÛ Ò ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ð ÓÛÓÐÒ Ó Ø α [, π [ ØÛÓ ÖÓÞ Þ ¹ ÖÞÝ Ø Ò Ò ÓÛÓÐÒÝ ÒÒÝ Øº ÊÓ ØÓ Ø Æ α Þ Ø Ñ ÖÓÛ ÒÝÑ ºØÖÝ º ÓÛ ÙÑ ÞÞÓÒÝÑ Û Ù Û Ôº Ø Ó ÔÓÞ Ø ÓÛ Ö Ñ ÔÓ ÖÝÛ Þ Ó ØÒ Ô Ó OX Ó ÓÛÝÑ Ö Ñ Ò Ñ Ø Ô ÔÖÓ Ø Ó ÔÓÞ Ø Ù Û ÔÙÒ,º Æ Ó ÓÛÝÑ Ö Ñ Ò Ù ÛÝ Ö ÑÝ ÓÛÓÐÒÝ ÔÙÒ ØP=x,y Ö ÒÝ Ó ÔÙÒ ØÙ,º ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ø α Ò Ù ÑÝ Û ÔÓ Ò ØÔÙ Ý siα= y r, cosα=x r, Þ r Ø Ó Ð Ó ÔÙÒ ØÙP Ó ÔÙÒ ØÙ, Þ r= x +y º º º½ tgα= x y, x,więcα π +kπ,k Z ctgα= y x, x,więcα kπ,k Z Ò ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ Û ÔÓ ÞÞ ÐÒÝ Û ÖØ Ù ¹ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ Ï Ô ÖÛ Þ Û ÞÝ Ø Ó ØÒ Ï ÖÙ ØÝÐ Ó ÒÙ Ï ØÖÞ Ø Ò Ò ÓØ Ò Ò Û ÞÛ ÖØ Ó ÒÙ º º º¾ Ï ÖØÓ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ð Ò Ø ÖÝ Û ÖØÓ Ø Û α o 3 o 45 o 6 o 9 o siα ¼ cosα ½ tgα ¼ ctgα ÆÁ º º 3 ½ 3 ¼ 3 ½ 3 ÆÁ 3 ½ 3 ¼ È ÖÞÝ ØÓ Ò Ô ÖÞÝ ØÓ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÌÙ Ûݹ Ö ¹ Ý ÙÒ ¹ ØÖݹ ÓÒº ÙÒ fx=cosx Ø Ô ÖÞÝ Ø cos x=cosx x R ÙÒ fx=six Ø Ò Ô ÖÞÝ Ø si x=six x R ÙÒ fx=tgx Ø Ò Ô ÖÞÝ Ø tg x= tgx x Df ÙÒ fx=ctgx Ø Ô ÖÞÝ Ø ctg x=ctgx x Df ½

º º Ç Ö ÓÛÓ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ç Ö Ñ ÔÓ Ø ÛÓÛÝÑ ÙÒ y=six ÓÖ Þy=cosx Øπ Ó Þ six+ kπ=six ÓÖ Þcosx+kπ=cosx x R, k Z º Ç Ö Ñ ÔÓ Ø ÛÓÛÝÑ ÙÒ y=tgx ÓÖ Þy=ctgx Øπ Ó Þ tgx+kπ= tgx ÓÖ Þctgx+kπ=ctgx x Df, k Z º º º Þ ØÓ ÑÔÐ ØÙ Û Þ ÔÓÑ ÞÝ ÙÒ Ñ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝÑ Ø Ó Ñ Ó Ø ØÞÒº ØÓ ÑÓ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ si α+cos α= α R Ø ØÓ ØÞÛº ÝÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ tgα= siα cosα, α π +kπ,k Z ctgα= cosα siα, α kπ,k Z tgαctgα=, α kπ,k Z ÈÖÞÝ Ù Ý Ù ØÝ ØÓ ÑÓ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÑÓ Ò Ù ÓÛÓ Ò Û Ð ÒÒÝ Þ Ð ¹ Ò Ó ÔÓØÖÞ Ýº º º Û Þ ÔÓÑ ÞÝ ÙÒ Ñ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝÑ Ö ÒÝ Ø Û Ð ÓÛÓÐÒÝ Ø Ûα,β Þ Ó Þ ÞÛ Þ siα+β=siαcosβ+cosαsiβ cosα+β=cosαcosβ siαsiβ ÓÛº ÏÝÒ Þ Ò ÔÓ ÔÖÞÝ Ùα=β ÞÛ Þ Ò ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ ÔÓ ÛÓ Ó¹ Ò Ó Ø siα=siαcosα, cosα=cos α si α ½µ ÓÖ Þ ÔÓ Û ÓÛ Ó Ø si α cosα =, cos α +cosα = ¾µ º º ÏÞÓÖÝ Ö Ù Ý Ò Ò ÔÖÓÛ Þ Ò Ø Ó Ô ÖÛ Þ Û ÖØ Ç Ö ÓÛÓ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÓÖ Þ ÛÞÓÖÝ Ò ÙÑ Ø Û ÔÓÞÛ Ð ÔÖÓÛ Þ ÓÛÓÐÒÝ Ö ÙÑ ÒØ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒ Ó Áº Û ÖØ º ÈÖÞÝ º si7 o +α=si7 o cosα+cos7 o siα= cosα; cos8 o α=cos8 o cos al si8 o si α= cos α= cosα ½

,5,5 -,5 - -,5 -,5,5 x,5 - -,5 ÊÝ ÙÒ ÏÝ Ö ÙÒ y =fx=six Þ ÖÛºµ ÓÖ Þ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ò y = f x= Ö Òx Þ Ðºµº º ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Ó ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÙÛ Ò Ó Ö ÓÛÓ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ Ò ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ ÙÒ Ó ¹ ÛÖÓØÒÝ Ó Ò Ð Û ÞÝ Ø Ö ÙÑ ÒØ Ûº ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Óf ÑÓ Ò Þ Ò ÓÛ Ð ØÝ Ö ÙÑ ÒØ Û Ð Ø ÖÝ f Ø ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒ º Ï õñý ÙÒ fx=six Þ ÓÖÝ ÔÓÑ ÞÝ Ø ÖÝÑ f Þ µº È ØÖÞ Ò ÛÝ Ö y=fx=six Û f:x Y Ø ÙÒ ÛÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒ Ð Þ Þ Ö Ö ÙÑ ÒØ Û Û õñ ÑÝX=[ π,π ] Þ Þ Þ Ö Û ÖØÓ Y=[,]º ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ si Ó ÙÒ si Ò ÞÝÛ ÑÝarcsi Ò Ù ÑÝ Þ Ó Ò Þ Ò ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Ó Â Ð y=six ØÓx=si y=arcsiyº ÍÛ ÏÞ ÑÒ ÒÓÞÒ ÞÒÓ si:x Y Ñ Ñ Ø Û ÒÒÝ ÝØÙ¹ ÒÔºX s =[ π,3π] Y =[,] Þ Ò ÓÛ ÙÒ arcsi s:[,] [ π,3π]º ËØ Ò Ö ÓÛ ÙÑÓÛ Ñ Û Þ X ÖÞ X=[ π,π]º Ç Ø Ø ÞÒ Ý Ó ÛÓ Þ Ö ÒÝÑ ÒÓØ Ñ µ º Ð ÙÒ si [ π,π ]si [,] Ò Ù ÑÝ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ò ÙÒ arcsi [ π,π ] Ó Â Ð y=six ØÓx=arcsiyº Û ÒÔºarcsi= π,arcsi= π Ø ºµº ÏÝ Ö ÙÒ arcsi Þ Ó Ò Þ Ó ÐÒ 6 Ö Ù ÙÞÝ Û Ò ÛÝ Ö Û ÙÒ Ó ÛÖÓØÒÝ ÓØÖÞÝÑÙ Þ ÛÝ Ö Ùsi ÔÖÞ Þ Þ Ñ Ò Ó ÐÙ Ö ÛÒÓÛ Ò ÔÖÞ Þ ÝÑ ØÖ ÛÞ Ð Ñ Ó y=xº Ð ÒÒÝ ÙÒ ØÖÝ ÓÒÓÑ ØÖÝÞÒÝ ÙÒ Ó ÛÖÓØÒ Ò Ù Ó cos º Ð ÙÒ cos [ [,π] [,] Ò Ù ÑÝ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ò ÙÒ arccos [,] arcsi [,π] Ó Â Ð y=cosx ØÓx=arccosyº º Ð ÙÒ tg ] π,π [tg ], [ Ò Ù ÑÝ Ó ÛÖÓØÒ Ó Ò ÙÒ arctg ], [ arctg ] π,π [ Ó Â Ð y=tgx ØÓx=arctgyº [,] arcsi º º½ ÙÒÓÛÝ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ ÈÙÒ Ø Ò Ô ÞÞÝõÒ ÑÓ Ò Þ ÞÒ ÞÝ Þ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ Ô Þ Û Ô ÖÞ ¹ Ò ÔÙÒ ØÙpÛØÝÑ Ù Þ ØÓ Ø ÓÛ Û ØÓÖ OP Ó ÛÝÞÒ Þ Ò ÔÓ Ó Ò ÊÝ º ½ ÏÝ Öº si arcsi

4 y -,5 - -,5,5,5 x - -4 ÊÝ ÙÒ ÏÝ Ö ÙÒ y=fx=tgxº,5-4 - 4 x -,5 - ÊÝ ÙÒ ÏÝ Ö ÙÒ y=fx= ÖØ xº ½

ÔÙÒ ØÙ Ò Ô ÞÞÝõÒ ÑÓ Ò Ò Ù Ý ÒÒ Ó Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ º Â Ð Þ Ñ Ø x,y ÛÔÖÓÛ Þ ÑÝr,φ ÔÖÞ Þ x=cosφ, y=siφ ÐÙ Ò Ó ÛÖ Ø r= x +y,φ=arctg y µ ØÓ Ø ØÓ Ö ÛÒ Ó ÖÝ Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ x Óx,y à ÑÙ ÔÙÒ ØÓÛ Ô ÞÞÝÞÒÝ Ó ÔÓÛ Ó Ò Ò Ô Ö Ð Þ r,φ ÓÖ Þ Ò Ó ÛÖ Ø Ã Ô ÖÞ r,φ Ó ÔÓÛ Ó Ò Ò ÔÙÒ Ø Ô ÞÞÝÞÒݺ Ø Ò Ï Â Ì Ã ÔÙÒ Ø, Þ ØφÒ Ø Ó Ö ÐÓÒݵº Â Ò Þ Û ÞÝ ÞØÙ Û Ñ Ø Ñ ØÝ ÞÝ µ Ø Ó Ö Ó ÔÓÛ Ò Ó Ù Ù Û Ô ÖÞ ÒÝ º Ý Ó Ó ÔÓÛ Ò Ó Ó Þ Ò Ò µ Ó ÖÞ ØÓ ÔÖÓ Ð Ñ Þ ØÓ ÞÒ ÞÒ ÙÔÖ ÞÞ ÐÙ Ò Û Ø ØÖÝÛ Ð ÞÙ º ÈÖÞÝ º Ê ÛÒ Ò Ó Ö Ù Ó ÖÓ Ù Û, ÔÖÓÑ Ò ÙRµ Ñ Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖØ Þ ÔÓ Ø x +y =R Þ Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÙÒÓÛÝ ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÖÞÝÛ Ö Ó µ r=r, φ dowole. x +y ax =a x +y, a> µ Ò Ð Þ Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖØ Þ Þ ÓÐÛ ÑÓ Ð Û Ø Ó Ù Ð Û º ÈÖÞ õ¹ ÑÝ Ò Ó Û Ô ÖÞ ÒÝ ÙÒÓÛÝ ØÞÒº r arcosφ =a r = r arcosφ=ar r=a+cosφ Ï Û Ô ÖÞ ÒÝ ÙÒÓÛÝ Ò Ø Ó Û Ð ØÛ Þ ÖÞÝÛ ÑÓ Ò Ò ÖÝ ÓÛ Ó Ö º ÈÖÞÝ º ÊÓÞÛ ÑÝ ÖÞÝÛ Ð ÑÒ Ø ÖÒÓÙÐÐ Óµ x +y =a x y, a> µ ÅÓ Ò ÛÝ Ö Ð Û Û Ô ÖÞ ÒÝ ÖØ Þ Þ ÓÐÛ Ø ØÓ Ó ÔÖ Ó ÓÒ¹ Ò º Ï Û Ô ÖÞ ÒÝ ÙÒÓÛÝ Ñ ÓÒ Ó Û Ð Ó Ó Ò Þ Ó Ò Ð ÞÝ ÔÓ Ø º Å ÑÝ ÓÛ Ñ r 4 =a r cos φ si φ=a r cosφ ÞÝÐ r =a cosφ µ µ ½

,5,5,5 -,5 - ÊÝ ÙÒ ÏÝ Ö Ö Ó Ý µ ÐÙ µ Ð a=º,4, - -,5,5 -, -,4 ÊÝ ÙÒ ½¼ ÏÝ Ö Ð ÑÒ ØÝ µ ÐÙ µ Ð a=º ½

ÊÝ ÙÒ ½½ Ó ØÛ Ö Þ Ò Ó ÒÙ Û º º¾ ÌÛ Ö Þ Ò Ó ÒÙ Û ÊÓÞÔ ØÖÞÑÝ ØÖ Ø Ó Ó Ù Ó a,b,c Þ Ø Ñ ÞÝ Ó Ñ a bûýòó αº Å ÊÝ º Ñ Ò ØÔÙ ÙÓ ÐÒ Ò ØÛ Ö Þ Ò È Ø ÓÖ ÞÛ Ò ØÛ Ö Þ Ò Ñ Ó ÒÙ Ûº ÌÛº Ó ÒÙ Ûµº Ó Þ c =a +b abcosα. µ ÓÛº Å ÑÝ ØÛº È Ø ÓÖ Ï õñý Ö Ò ØÝ ÛÝÖ Ø Ñ b a =cosα = b =acosα. b +h =a, b +h =c c a =b +h b h =b b =b +b b b ØÓ Ø Ó Ò µ Ø Þ ØÛº Ó ÒÙ Ûº =bb +b b =bb acosα =b abcosα c a =b abcosα, ½

Ï ÐÓÑ ÒÝ Ï ÐÓÑ Ò Ñ Ò ÞÑ ÒÒ ØÙ ÖÞ ÞÝÛ Ø µ Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ Wx=a x +a x + +a +a, gdziea,a,...,a,a R,x R Ä Þ Ýa,a,...,a,a Ò ÞÝÛ ÑÝ Û Ô ÞÝÒÒ Ñ Û ÐÓÑ ÒÙº  Рa ØÓ Ð Þ Ò ÞÝÛ ÑÝ ØÓÔÒ Ñ Û ÐÓÑ ÒÙ W=º Ö µ  Рx R Wx= ØÓ Û ÐÓÑ Ò Ò ÞÝÛ ÑÝ Þ ÖÓÛÝѺ Å ÓÒ Û ÞÝ Ø Û Ô ÞÝÒÒ Ö ÛÒ Þ ÖÙº Ì ÑÙ Û ÐÓÑ ÒÓÛ Ò ÔÖÞÝÔ Ù ÑÝ Ò Ó ØÓÔÒ º ÅÓ Ò ÑÙ Ø ÔÖÞÝÔ ØÓÔ µº º Å Û ÑÝ Û Û ÐÓÑ ÒÝfx gx ÞÑ ÒÒ ÖÞ ÞÝÛ Ø Ö ÛÒ Ý ÔÖÞÝ ÑÙ Ø Ñ Û ÖØÓ Ð Û ÖØÓ ÞÑ ÒÒ x f=g x R fx=gxº Å ÑÝ ÔÖÓ Ø ÌÛº Û Û ÐÓÑ ÒÝfx gx ÞÑ ÒÒ ÖÞ ÞÝÛ Ø Ö ÛÒ Þ Ô Ù ÑÝ ØÓ f gµ ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Ñ Ö ÛÒ Û Ô ÞÝÒÒ ÔÖÞÝ ØÝ ÑÝ ÔÓØ ÞÑ ÒÒ xº ÌÛº Ó Þ Ð Ò Ù Û ÐÓÑ Ò Ûµ  Рfx gx Û ÐÓÑ Ò Ñ gx Ò Ø Û ÐÓ¹ Ñ Ò Ñ Þ ÖÓÛÝÑ ØÓ ØÒ Ø Û ÐÓÑ ÒÝqx rx fx=qxgx+rx ÔÖÞÝ ÞÝÑdegr<deggº Ï ÐÓÑ Òqx Ò ÞÝÛ ÑÝ ÐÓÖ Þ Ñ Û ÐÓÑ Ò Ûf g Þ Û ÐÓÑ Ò r Ö ÞØ Þ Þ Ð Ò f ÔÖÞ Þgº º  Рrx ØÓ Ñ Û ÑÝ Û ÐÓÑ Òf Ø ÔÓ Þ ÐÒÝ ÔÖÞ Þ Û ÐÓÑ Ògº º È ÖÛ Ø Ñ Û ÐÓÑ ÒÙf Ò ÞÝÛ ÑÝ Ø Ð Þ ÖÞ ÞÝÛ Ø x Wx =º ÌÛº Ê ÞØ Þ Þ Ð Ò Û ÐÓÑ ÒÙWx ÔÖÞ Þ ÛÙÑ Òx a Ø Ö ÛÒ Waº ÏÒ Ó ÌÛº ÞÓÙصº Ä Þ a Ø Ô ÖÛ Ø Ñ Û ÐÓÑ ÒÙWx ÛØ Ý ØÝÐ Ó ÛØ Ý Ý Û ÐÓÑ ÒWx Ø ÔÓ Þ ÐÒÝ ÔÖÞ Þx aº ÁÒÒ ÔÓ Ø Þ Ô Ùº  Рa Ø Ô ÖÛ Ø Ñ Û ÐÓÑ ÒÙWx ØÓ ÑÓ Ò Ó Þ Ô Û ÔÓ Ø Wx=pxx a Þ px Ø Û ÐÓÑ Ò Ñ ØÓÔÒ Ó ½ Ò Þ Ó Ò Wxº ÌÛºÃ Ý Û ÐÓÑ Ò Ó Û Ô ÞÝÒÒ ÖÞ ÞÝÛ ØÝ ÑÓ Ò ÔÖÞ Ø Û Û ÔÓ Ø ÐÓÞÝÒÙ Û ÐÓÑ Ò Û ØÓÔÒ Ó Ò ÛÝ ÖÙ Óº ÌÛºÃ Ý Û ÐÓÑ Ò Ø Ó ØÓÔÒ Ñ Ó Ò ÛÝ Ô ÖÛ Ø Ûº ÌÛºÃ Ý Û ÐÓÑ Ò ØÓÔÒ Ò Ô ÖÞÝ Ø Ó Ñ Ó Ò ÑÒ Ò Ô ÖÛ Ø º º Ä Þ aò ÞÝÛ ÑÝk ÖÓØÒÝÑ Þ k Nµ Ô ÖÛ Ø Ñ Û ÐÓÑ ÒÙWx Wx Ø ÔÓ Þ ÐÒÝ ÔÖÞ Þx a k Ð Ò Ø ÔÓ Þ ÐÒÝ ÔÖÞ Þx a k+ º Ä Þ k Ò ÞÝÛ ÑÝ ÖÓØÒÓ Ô ÖÛ Ø º ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ º ÙÒ fx= Qx Px Þ Px,Qx Û ÐÓÑ Ò Ñ Qx Ò ÞÝÛ ÑÝ ÙÒ ÛÝÑ ÖÒ º Þ Þ Ò D f Ø ÙÒ Ø Þ ÖD f ={x R:Qx }º ¾¼

ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ º½ ÙÒ ÛÝ Ò Þ ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ò Ù Ò ÑÔ ÖÛ Ð ÛÝ Ò Û Ò ØÙÖ ÐÒÝ º Ð ÓÛÓй Ò Óa R ÓÖ Þ Ndb ÑÓ Ò Þ Ô a =a a...a Ö ÞÝ µ ËØ Ó Ö ÞÙ ÛÝÒ ÓÖ Þ a a m =a +m µ a m =a m ½¼µ ÈÖÞÝ ÑÙ ÑÝ a =º Í ÑÒ ÔÓØ Ò Ù ÑÝ ÖÓÞ Þ ÖÞ Þ µ ÔÖÞ Þ ÓÔÙ ÞÞ Ò Ý,m Ý Ý ÓÛÓÐÒÝÑ Ð Þ Ñ ÓÛ ØÝÑ º Ï õñý a a =a + =a = a = a ½½µ Þ ÑÝ ØÙ a µº ËØ Ó Ö ÞÙ Ñ ÑÝ a b = a b ½¾µ Ò Ù ÑÝ Ò ØÔÒ ÔÓØ Ù Ñ ÓÛ º ÌÙ Þ ÑÝ a> Þ Ö Þ Ó Ð Þ ¹ Óµº ÇÞÒ ÞÑÝ b=a º Å ÑÝ b = a =a =a =a Ó ÞÒ ÞÝ b= a ÞÝÐ a = a. ÓÛÓÐÒ ÔÓØ ÛÝÑ ÖÒ Ð Þ Ýa Ò Ù ÑÝ Ø Ö Þ Ó a p = a p ½ µ ½ µ Þ N,p Zdbº Å ÑÝ Ø Â Ð a> b> ØÓa b > Û ÓÒ Û Ò Ð c >c ØÓa c >a c º Ð a< ÞÒ ØÖÞ Ó ÛÖ µº ÌÓ ÔÓÞÛ Ð ÔÖÞ Þ Ó Þ Ò ÓÛ a b Ð ÓÛÓÐÒÝ a> b Rº Ï Ø ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ø ÑÓÒÓØÓÒ ÞÒ ÖÓ Ò Ð a> Ñ Ð Ð a<µº ÏÝ Ö Ý ÙÒ ÛÝ Ò Þ Ð a> a< ÛÝ Ð Ø Â Ó ÙÒ ÛÝ Ò Þ fx=a x Ø ÖÓ Ò Û õñý Ð Ù Ø Ð Ò ÙÛ a>µ Û ÛÓ Þ Þ Ò Þ Þ Ò Ø R Þ ÓÖ Ñ Û ÖØÓ R + µ ØÓ ØÒ ÙÒ Ó Ò Ó ÛÖÓØÒ º Û ÑÝ ÐÓ ÖÝØÑ Ñº ÊÝ º ¾½

º¾ ÙÒ ÐÓ ÖÝØÑ ÞÒ ÑÝ a> a º º Ð ÒÝ aóö Þy Ð x Ø Ø a x =y ØÓxÒ ÞÝÛ ÑÝ ÐÓ ÖÝØÑ Ñ Ó ÔÓ Ø Û aþy ÓÞÒ Þ ÑÝ x=log a yº Þ Þ Ò ÐÓ ÖÝØÑÙ Ø R + Þ ÓÖ Ñ Û ÖØÓ Rº Å ÑÝ Û Ð ÓÛÓÐÒ Óa log a a= ÔÓÒ Û a =aµ ÓÖ Þlog a = ÔÓÒ Û a =µº Ï ÒÓ µ Ó ÔÓÛ log a b c=log a b+log a c ÓÖ Þ log a b c =log a b log a c ½ µ Û ÒÓ ½¼µ Ï ÞÞ ÐÒÓ log a b c =clog a b log a b= log ab ½ µ ½ µ Þ ØÓ Þ ÖÞ ØÖÞ ÔÖÞ Ð Þ ÐÓ ÖÝØÑÝ Ó Ö ÒÝ ÔÓ Ø Û º Æ Ö Þ Ý ÖÓÞÔÓÛ Þ Ò ÓÒ ÐÓ ÖÝØÑÝ Þ ØÒ ØÞÒº Ó ÔÓ Ø Û ½¼µ Ò ØÙÖ ÐÒ Ó ÔÓ ¹ Ø Û e,78... Ó Ð Þ eôóû ÑÝ Û Þ Ð ÛÝ Ûµº  ÔÖÞ Ð Þ Ò Ò ÖÙ ÊÓÞÛ ÑÝ Ó ÐÒ Þ ÝØÙ ÐÓ ÖÝØÑ Û Ó Û ÔÓ Ø Û aóö Þbº ÏÝÖ õñý Ø Ö Þlog a x ÔÖÞ Þlog b xº ÏÝÖ õñý Ò ÑÔ ÖÛa Ó Ô ÛÒ ÔÓØ bº Æ Ô ÞÑÝ a=b A Ó Ù ØÖÓÒÒ ÞÐÓ ¹ ÖÝØÑÙ Ñݺ Å ÑÝ log a a==log a b A =Alog a b A= log a b Ï õñý Ø Ö Þ y=a x Ñ ÑÝ Û x=log a yº ÖÙ ØÖÓÒÝ log b y=log b b Ax =Ax= log a b x ÞÝÐ log a blog b y=log a y ½ µ ÈÖÞÝ º ÓÖ a=e b= Ñ ÑÝ ly=llog y,33log yº Ò Ù Ñ Ø Ñ ØÝÞÒ Ö Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ ÔÓ Ö ÞÓ Û Ò Û ÒÓ Ø Ö Þ ØÓ Ù ÝÛ Û ÓÛÓ¹ º Å Û ÓÒ Æ Þ Ò Û ÒÓ Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒÝ Ò ÞÛ ÑÝ Ø Þ Ò Ù Ý Ò T Ø Ö Ô Ò Ò ØÔÙ Û ÖÙÒ ½º Ä Þ ½ ÔÓ Ø Û ÒÓ ØÞÒº Ø Þ T Ø ÔÖ Û Þ Û µ ¾º Â Ð Ð Þ ÔÓ Ø Û ÒÓ ØÓ ÔÓ Ö ÛÒ Ð Þ + ØÞÒº ÔÖ Û Þ Û Ø ÑÔÐ T = T + µº ¾¾

Ò Ù ÓÞÒ Þ ÔÖÞÝ ÔÓÛÝ ÞÝ Þ Ó Ò Ð Þ Ò ØÙÖ ÐÒ ÔÓ¹ Ø Û ÒÓ ØÞÒº Ø Þ T Ø ÔÖ Û Þ Û Ð Nµº Ò Ù Ó ÔÓÛ Ò ØÔÙ ÒØÙ Â Ð ÔÖ Û Þ Û Ø Ø Þ T ØÓ Ò ÑÓÝ ¾µ ÔÖ Û Þ Û Ø Ö ÛÒ Ø Þ T º Ë ÓÖÓ Ø ØÓ Þ ¾µ ÔÖ Û Þ Û Ø Ö ÛÒ Ø Þ T 3 ÞÒ Û Ù ÝÛ ¾µ ÔÖ Û Þ Û Ø Ø Þ T 4 Ø º ÈÖÞÝ º Æ Ö ÛÒÓ ÖÒÓÙÐÐ Ó Å Û ÓÒ ÌÛº Ð Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ Ð Þ Ý ÖÞ ÞÝÛ Ø a Þ Ó Þ ÛÞ Ö +a +a ½ µ ÓÛº ½º ËÔÖ Û Þ ÑÝ ÔÖ Û Þ ÛÓ Ø ÞÝT ØÞÒº ÞÝ Ò Ö ÛÒÓ Ø ÔÖ Û Þ Û Ð =º Å ÑÝ +a +a ÞÝÐ Ó º ¾º ËÔÖ Û Þ ÑÝ ÔÖ Û Þ ÛÓ ÑÔÐ T = T + º Ô ÞÑÝ ÔÖ Û ØÖÓÒT + +a + =+a +a ÓÖÞÝ Ø ÑÝ Þ Þ Ó Ò Ó ÔÖ Û Þ ÛÓ T... ººº ÓÖ Þ +a +a+a=++a+a ++a ÞÝÐ Þ ÔÖ Û Þ Û Ø ÞÝT ÓØÖÞÝÑ Ð ÑÝ ÔÖ Û Þ ÛÓ Ø ÞÝT + º Þ ¹ Ý Ò Ù ÛÝÒ Û Ø Þ T Ø ÔÖ Û Þ Û Ð N ØÞÒº Ò Ö ÛÒÓ ½ µ Ø ÔÖ Û Þ Û N ÈÖÞÝ º ÛÙÑ Ò Æ ÛØÓÒ º Æ ÑÔ ÖÛ Ò Þ Ò Ù ÑÝ Ð ØÝ Ó ÞÒ ÔÖÞÝÔÓÑÒ Ñݵ ÝÑ ÓÐ ÐÒ!= 3... ÔÖÞÝ ÑÙ ÑÝ Ø!=µ Ò ØÔÒ Û Ô ÞÝÒÒ Æ ÛØÓÒ k =... k+ 3 k! = k! k! Þ ÑÝ k ØÓ Ð Þ Ý Ò ØÙÖ ÐÒ ÓÖ Þ kº Å ÑÝ =, =. ¾¼µ ¾½µ ÈÓ ÑÝ Ø Ö Þ,k N k Þ Ó Þ k + k = + k. Ä ÞÝÑÝ ÞÔÓ Ö Ò Ó k + k =... k+ 3 k =... k+ k++k 3 k ¾ +... k+ k 3 k k = + k.

Ì Ö Þ ÔÖÞÝ ØÔÙ ÑÝ Ó Ù ÓÛÓ Ò Ò ÛÞÓÖÙ ÛÙÑ ÒÒ Ó Æ ÛØÓÒ ÌÛº a,b R N Þ Ó Þ a+b =a + a b+ a b + + k a k b k + + b. ¾¾µ ÍÛ º Ð =ÛÞ Ö ¾¾µ Ø ÓÞÝÛ Øݺ Ð = =3 ÛÞ Ö ÛÞ Ö ¾¾µ ÔÓÛ Ò Ò Ý ÞÒ ÒÝ Þ Þ Ó Ý Ö Ò Ð Ò Ø Ò ÞÝØ ÐÒ ÔÖ Û Þ a+b =a +ab+b a+b 3 =a 3 +3a b+3ab +b 3 º Ì Û Þ Ó Ò Þ Ñ Ø Ñ ÓÛÓ Ù Ò Ù Ý Ò Ó ½º Ø Þ T Ø ÔÖ Û Þ Û º ¾º Ý ÔÓ Þ ÛÝÒ Ò T = T + Û õñý ÔÖ Û ØÖÓÒ Ö ÛÒÓ ¾¾µ Ð +º Å ÑÝ a+b + =a+b a+b=a+b a+a+b b, ÓÖÞÝ Ø Ø Ö Þ Þ Þ Ó Ò Ó ÔÖ Û Þ ÛÓ T Ñ ÑÝ a+b + = =a + + a b+ a b + + a k+ b k + + ab + k + +a b+ a b + + a k+ b k + + ab +b + = k + + + =a + + a b+ + a k+ b k + + ab +b +, k Ø ØÓ Û Ò Ð Û ØÖÓÒ Ö ÛÒÓ ¾¾µ Ð +º Ø Ñ ÑÓ ÑÝ Þ Ó ÞÝ ÓÛ Ñ Û º Ê ÛÒÓ ¾¾µ Ø ÔÖ Û Þ Û Ð Ó Nº ÍÛ º ÏÞ Ö Ò ÛÙÑ Ò Æ ÛØÓÒ Þ Ô Ó Û Ð Ö Ù ÝÛ ÝÑ ÓÐÙ ÙÑÝ a+b = a k b k ¾ µ k k= ÌÙ ÝÑ ÓÐ k= A k ÓÞÒ Þ Ò Ð Ý ÙØÛÓÖÞÝ ÙÑ+ Ò Û Ø Ö ÔÓÛ Ø Þ ÛÝÖ Ò A k ÔÖÞ Þ ÔÓ Ø Û Ò Ò Ñ k ÓÐ ÒÓ Ð Þ,,,...,º ÈÖÞÝ º Ø ÖØÙ Ó >µ ÈÓ Þ >4 Þ Ó Þ > º ÈÖÞÝ º Ù ÝÛ Ø ÞÝ Ò ØÝÐ ÓT Ð Ø T Ý ÔÓ Þ ÔÖ Û Þ ÛÓ T + µ ÓÒ Óº Ç Ö ÐÓÒÝ Ø ÓÒ Ö ÙÖ ÒÝ Ò F =F =,F =F +F º ÈÓ Þ Ð ÓÛÓÐÒ Ó N Þ Ó Þ [ F = + 5 5 5 ] ¾