Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu



Podobne dokumenty
W1. Wprowadzenie. Statystyka opisowa

Tablica Wzorów Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyki

STATYSTYKA - PRZYKŁADOWE ZADANIA EGZAMINACYJNE

Podstawowe pojęcia statystyczne

Populacja generalna (zbiorowość generalna) zbiór obejmujący wszystkie elementy będące przedmiotem badań Próba (podzbiór zbiorowości generalnej) część

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

Wykład 1. Podstawowe pojęcia Metody opisowe w analizie rozkładu cechy

Szczegółowy program kursu Statystyka z programem Excel (30 godzin lekcyjnych zajęć)

W2. Zmienne losowe i ich rozkłady. Wnioskowanie statystyczne.

Teoria błędów. Wszystkie wartości wielkości fizycznych obarczone są pewnym błędem.

Elementy statystyki opisowej, podstawowe pojęcia statystyki matematycznej

Metody Statystyczne. Metody Statystyczne.

X Y 4,0 3,3 8,0 6,8 12,0 11,0 16,0 15,2 20,0 18,9

Odchudzamy serię danych, czyli jak wykryć i usunąć wyniki obarczone błędami grubymi

Statystyka i opracowanie danych Podstawy wnioskowania statystycznego. Prawo wielkich liczb. Centralne twierdzenie graniczne. Estymacja i estymatory

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Zad. 4 Należy określić rodzaj testu (jedno czy dwustronny) oraz wartości krytyczne z lub t dla określonych hipotez i ich poziomów istotności:

Statystyka matematyczna i ekonometria

Spis treści 3 SPIS TREŚCI

Spis treści. Przedmowa... XI. Rozdział 1. Pomiar: jednostki miar Rozdział 2. Pomiar: liczby i obliczenia liczbowe... 16

Statystyka opisowa PROWADZĄCY: DR LUDMIŁA ZA JĄC -LAMPARSKA

1 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa

Z poprzedniego wykładu

1. Opis tabelaryczny. 2. Graficzna prezentacja wyników. Do technik statystyki opisowej można zaliczyć:

Statystyczna analiza danych w programie STATISTICA 7.1 PL (wykład 1) Dariusz Gozdowski

Statystyka od podstaw Janina Jóźwiak, Jarosław Podgórski

Próba własności i parametry

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku akademickim 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 3. Dr hab. Tadeusz Sozański

STATYSTYKA OPISOWA. LICZBOWE CHARAKTERYSTYKI(MIARY)

Plan wykładu. Statystyka opisowa. Statystyka matematyczna. Dane statystyczne miary położenia miary rozproszenia miary asymetrii

STATYSTYKA OPISOWA Przykłady problemów statystycznych: - badanie opinii publicznej na temat preferencji wyborczych;

Podstawowe pojęcia. Własności próby. Cechy statystyczne dzielimy na

Spis treści. Księgarnia PWN: Bruce M. King, Edward W. Minium - Statystyka dla psychologów i pedagogów. Wstęp Wprowadzenie...

-> Średnia arytmetyczna (5) (4) ->Kwartyl dolny, mediana, kwartyl górny, moda - analogicznie jak

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka i opracowanie danych W5: Wprowadzenie do statystycznej analizy danych. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl

Statystyka opisowa. Wykład I. Elementy statystyki opisowej

Inżynieria Środowiska. II stopień ogólnoakademicki. przedmiot podstawowy obowiązkowy polski drugi. semestr zimowy

zbieranie porządkowanie i prezentacja (tabele, wykresy) analiza interpretacja (wnioskowanie statystyczne)

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO

Zagadnienia: wprowadzenie podstawowe pojęcia. Doświadczalnictwo. Anna Rajfura

Statystyka hydrologiczna i prawdopodobieństwo zjawisk hydrologicznych.

Księgarnia PWN: George A. Ferguson, Yoshio Takane - Analiza statystyczna w psychologii i pedagogice

Transport II stopień (I stopień / II stopień) Ogólnoakademicki (ogólno akademicki / praktyczny) Studia stacjonarne (stacjonarne / niestacjonarne)

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Statystyka i analiza danych Wstępne opracowanie danych Statystyka opisowa. Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok 407 adan@agh.edu.pl

Wydział Inżynierii Produkcji. I Logistyki. Statystyka opisowa. Wykład 3. Dr inż. Adam Deptuła

Statystyka matematyczna. dr Katarzyna Góral-Radziszewska Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Estymacja punktowa i przedziałowa

Wnioskowanie statystyczne. Statystyka w 5

KARTA KURSU. (do zastosowania w roku ak. 2015/16) Kod Punktacja ECTS* 4

Statystyki: miary opisujące rozkład! np. : średnia, frakcja (procent), odchylenie standardowe, wariancja, mediana itd.

Wykład ze statystyki. Maciej Wolny

MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ

Wprowadzenie Pojęcia podstawowe Szeregi rozdzielcze STATYSTYKA OPISOWA. Dr Alina Gleska. Instytut Matematyki WE PP.

STATYSTYKA MATEMATYCZNA WYKŁAD 4. Testowanie hipotez Estymacja parametrów

Statystyka w pracy badawczej nauczyciela

Testowanie hipotez statystycznych. Wnioskowanie statystyczne

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 1 i 2

Wprowadzenie do analizy korelacji i regresji

laboratoria 24 zaliczenie z oceną

Statystyka. Podstawowe pojęcia: populacja (zbiorowość statystyczna), jednostka statystyczna, próba. Cechy: ilościowe (mierzalne),

Statystyka. Wykład 2. Magdalena Alama-Bućko. 27 lutego Magdalena Alama-Bućko Statystyka 27 lutego / 39

INFORMATYKA W CHEMII Dr Piotr Szczepański

Liczba godzin Punkty ECTS Sposób zaliczenia. ćwiczenia 16 zaliczenie z oceną

WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE

PDF created with FinePrint pdffactory Pro trial version

WYKŁADY ZE STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ wykład 3 - model statystyczny, podstawowe zadania statystyki matematycznej

Rozkład zmiennej losowej Polega na przyporządkowaniu każdej wartości zmiennej losowej prawdopodobieństwo jej wystąpienia.

Statystyka opisowa. Literatura STATYSTYKA OPISOWA. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Wprowadzenie. Plan. Tomasz Łukaszewski

Testowanie hipotez dla dwóch zmiennych zależnych. Moc testu. Minimalna liczność próby; Regresja prosta; Korelacja Pearsona;

RÓWNOWAŻNOŚĆ METOD BADAWCZYCH

Analiza niepewności pomiarów

Pytanie: Kiedy do testowania hipotezy stosujemy rozkład normalny?

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

Testy nieparametryczne

Statystyka matematyczna dla leśników

Grupowanie materiału statystycznego

Analiza i monitoring środowiska

Zadania ze statystyki, cz.6

Sposoby prezentacji problemów w statystyce

METODY STATYSTYCZNE W BIOLOGII

STATYSTYKA MATEMATYCZNA

Opis zakładanych efektów kształcenia na studiach podyplomowych WIEDZA

Test dwustronny: H 0 : p= 1 2

Wnioskowanie statystyczne Weryfikacja hipotez. Statystyka

Miary statystyczne w badaniach pedagogicznych

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 6

STATYSTYKA I DOŚWIADCZALNICTWO Wykład 4

BADANIE POWTARZALNOŚCI PRZYRZĄDU POMIAROWEGO

Graficzna prezentacja danych statystycznych

Z-LOGN1-006 Statystyka Statistics

LISTA 4. 7.Przy sporządzaniu skali magnetometru dokonano 10 niezależnych pomiarów

Statystyczne metody analizy danych

Weryfikacja hipotez statystycznych

Rozkłady statystyk z próby

STATYSTYKA OPISOWA. LICZBOWE CHARAKTERYSTYKI(MIARY)

Transkrypt:

Statystyka w analizie i planowaniu eksperymentu Wprowadzenie Prowadzący zajęcia: dr Janusz Piechota Zakład Biofizyki Kierownik zajęć: dr Paweł Błażej Zakład Genomiki Na zajęciach przydają się: dobre chęci, myślenie, zdrowy rozsądek, kalkulatory, tablice statystyczne.

Program zajęć 1. Kryteria oceny metod analitycznych. 1.1. Rzetelność metody 1.2. Dokładność metody 1.3. Powtarzalność metody 2. Ocena błędów popełnianych podczas pomiarów. 2.1. Rodzaje popełnianych błędów: 2.1.1. błędy przypadkowe (losowe) 2.1.2. błędy systematyczne 2.1.3. błędy grube 2.2. Błąd pomiaru (błąd bezwzględny), błąd względny, błąd procentowy. 2.3. Ocena rzetelności pojedynczego wyniku z próby 2.4. Test Q Dixona 2.5. Test Grubbsa

Program zajęć 3. Pomiary w biologii i graficzne przedstawienie danych. 3.1. Rodzaje skal: 3.1.1. nominalna 3.1.2. porządkowa 3.1.3. interwałowa 3.2. Procenty, stosunki, proporcje 3.3. Dokładność pomiarów i zaokrąglanie liczb 3.4. Kodowanie danych 3.5. Graficzne przedstawienie danych 3.5.1. ogiwa 3.5.2. wielobok liczebności 3.5.3. histogramy itp.

Program zajęć 4. Miary tendencji centralnej 4.1. Średnie: 4.1.1. arytmetyczna 4.1.2. ważona 4.1.3. geometryczna 4.1.4. harmoniczna 4.2. Mediana 4.3. Moda 5. Miary zmienności. Idea graficznego przedstawiania zmienności. 5.1. zakres 5.2. odchylenie standardowe 5.3. wariancja 5.4. odchylenie standardowe średnie arytmetycznej 5.5. współczynnik zmienności (wskaźnik Pearsona)

Program zajęć 6. Kurtoza 7. Skośność 8. Wiarygodność wyników pomiarowych: rozkład normalny. 8.1. standaryzacja pomiarów 8.2 skala Z 8.3. skala centylowa 8.4. przedział normy 8.5. przedział krytyczny 9. Rozkład t. Zastosowanie testu t-studenta. 9.1. poziom istotności 9.2. poziom ufności 9.3. ocena istotności różnic dwóch wartości średnich (test t dla grup zależnych, test t dla grup niezależnych, test t dla jednej próby) 9.4. istotność współczynnika korelacji liniowej 9.5. test C Cochrana-Coxa

Program zajęć 10. Rozkład F. Podstawy analizy wariancji. 10.1. porównanie jednorodności wariancji dwóch szeregów statystycznych 10.2. test F 11. Współzależność zmiennych korelacja Pearsonowska. 11.1. korelacja, współczynnik korelacji, współczynnik determinacji 11.2. regresja liniowa, współczynnik regresji 11.3. odchylenie standardowe resztkowe zmiennej zależnej 12. Analiza frekwencji. 12.1. test istotności różnicy frakcji 12.2. test zgodności (test χ2)

Literatura: A. Zgirski, R. Gondko, Obliczenia biochemiczne ; A. Łomnicki, Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników ; K. Doerffel, Statystyka dla biochemików ; R. Gondko, A. Zgirski, M. Adamska, Biostatystyka w zadaniach.

Statystyka Statystyka dzieli się na statystykę opisową oraz statystykę matematyczną (wnioskowanie statystyczne). Statystyka opisowa umożliwia opis, uporządkowanie, zestawienie danych liczbowych i ich reprezentację w postaci szeregów, tabel i wykresów. Statystyka matematyczna - zbiór recept do opracowania danych doświadczalnych. Również pewien sposób myślenia w których oceniamy wpływ czynników losowych. Statystyka matematyczna dostarcza narzędzi do odpowiedniego zaplanowania, analizy i interpretacji wszelkiego rodzaju eksperymentów empirycznych.

Populacja Przedmiotem badań statystycznych jest zbiorowość statystyczna określana mianem populacji. Populacja może być: skończona zbiorowość o ustalonej lub możliwej do ustalenia liczbie elementów. nieskończona zbiór elementów zbiorowości jest nieograniczony lub niemożliwy do ustalenia. Badania obejmujące całą populację (wszystkie jej jednostki) są badaniami kompletnymi. Badania, które obejmują tylko część populacji zwanej próbą są badaniami częściowymi. Aby badania częściowe były wiarygodne próba musi być losowa (tzn. każdy element populacji będzie miał takie samo prawdopodobieństwo dostania się do próby) i reprezentatywna (tzn. tj. jej struktura musi być jak najbardziej zbliżona do struktury całej zbiorowości statystycznej).

Przykład: Sondaż przedwyborczy poparcia dwóch kandydatów na prezydenta wskazywał, że kandydat X cieszy się poparciem 54%, zaś kandydata Y popiera 46% respondentów. Badania przeprowadzono na próbie 1000 osób w badaniu telefonicznym przeprowadzonym w dniu... w godzinach 8-15. Dopuszczalny błąd badania wynosi 3%. Kilka dni później w wyborach kandydat X dostaje 46%, zaś kandydat Y 54% poparcia. Dlaczego? Czy potrafisz wskazać możliwe źródła błędów w przeprowadzonym sondażu?

Przykład: Dwóch studentów dostało tackę z 40 roślinami. Każdy z nich miał wybrać 10 roślin, zważyć je i policzyć średnią masę rośliny. Wyniki uzyskane przez każdego ze studentów znacząco się od siebie różniły. Dlaczego? Student 1 Student 2

Jak należałoby postąpić w sposób prawidłowy? Przykład prawidłowego rozwiązania

Przykład: Testowano dwie odmiany pszenicy pod względem plonowania. W tym celu określony areał podzielono na dwa poletka, na których wysiano testowane odmiany. Plon zebrany z odmiany 2 był prawie dwukrotnie wyższy od plonu uzyskanego z odmiany 1. Czy uzyskany wynik jest wiarygodny? LAS Odmiana 1 Odmiana 2 JEZIORO

Czy taki układ jest lepszy? LAS Odmiana 1 JEZIORO Odmiana 2

A taki? LAS Odmiana 1 Odmiana 2 JEZIORO Odmiana 2 Odmiana 1

Statystyka matematyczna: Dyscyplina dostarczająca informacji niezbędnych do: planowania doświadczeń; sposobu zbierania danych; sposobu analizy uzyskanych danych liczbowych; sposobu wnioskowania na podstawie danych liczbowych. Zadaniem wnioskowania statystycznego jest: estymacja nieznanych parametrów np. średniej badanej wartości w danej populacji; testowanie istotności hipotez; wysnuwanie właściwych wniosków z obserwacji poczynionych na próbie i przenoszenie ich na badane populacje.

CECHY 1) Mierzalne (skalarne, ciągłe) wyrażone w liczbach rzeczywistych, mogące przyjąć dowolną wartość, np. Wzrost, masa ciała, stężenie związku itp. 2) Policzalne (skokowe, dyskretne) wyrażone w liczbach naturalnych, przyjmujące tylko określone wartości, np. liczba dzieci w rodzinie. 3) Niemierzalne (jakościowe) zaliczane do wcześniej ustalonych kategorii, np. kolor oczu.

SKALA INTERWAŁOWA W tej skali zmienność jest ciągła. Przykłady: 1) Pomierzono długości nóg 10-ciu wróbli. Pomiar wykonano z dokładnością do 0,1 cm: 2,8; 2,8; 3,0; 3,2; 3,6; 3,6; 4,0; 4,5; 5,1; 5,4. Zakres 2,8 5,4. 2) Oznaczono zawartość chlorofilu w 7-miu preparatach chloroplastów wyizolowanych z 1 g liści groszku hodowanego w warunkach hydroponicznych. (Każdy 1 g liści pochodził z odrębnej rośliny). Pomiar wykonano z dokładnością do 0,001 mg: 0,132; 0,140; 0,195; 0,195; 0,280; 0,353; 0,378. Zakres 0,132 0,378. 3) Badano wpływ metali ciężkich na rozwój roślin. W pewnym doświadczeniu analizowano zawartość białka w 5-ciu preparatach mitochondriów izolowanych z 1 g liści roślin uprawianych na pożywce zawierającej metale ciężkie oraz w 6-ciu preparatach mitochondriów izolowanych z 1 g liści kontrolnych. Pomiar wykonano z dokładnością do 0,001 mg. Grupa badana: 0,440; 0,476; 0,485; 0,604; 0,505 (zakres: 0,440 0,505). Grupa kontrolna: 0,485; 0,485: 0,516; 0,520; 0,522 (zakres: 0,485-0,522).

SKALA PORZĄDKOWA W tej skali nadajemy poszczególnym obiektom badanym rangi. SKALA NOMINALNA W tej skali przydzielamy poszczególne obiekty do określonych kategorii. Skalę interwałową można zamienić na skalę porządkową, zaś skalę porządkową na skalę nominalną. Nie można tego uczynić w drugą stronę.

Szeregi Szereg prosty (statystyczny): rosnący lub malejący uzyskuje się porządkując uzyskane wyniki rosnąco lub malejąco. Przy dużej liczbie pomiarów dane grupuje się w klasy (przedziały) tworząc szereg rozdzielczy (zgrupowany). Liczba klas nie powinna być mniejsza od 6 ani większa od 30. Z szeregu rozdzielczego łatwo tworzy się szereg skumulowany, który wskazuje ogólną liczbę pomiarów wartości cechy, poniżej określonej wartości górnej granicy danej klasy.

Graficzna reprezentacja wyników

Graficzna reprezentacja wyników

Graficzna reprezentacja wyników

Szereg rozdzielczy zgrupowany wielostopniowy Szereg taki otrzymujemy przez podział wartości cechy ciągłej na klasy oraz przyporządkowanie poszczególnym klasom odpowiednich liczebności wartości zmiennej. Postępowanie: 1) ustalenie liczby klas (k) gdzie N to liczba pomiarów. k=od N /2 do N 2) ustalenie szerokości klas (h) h=r: k gdzie R to rozstęp. 3) określenie granic przedziałów. Dolna granica pierwszej klasy to wartość: X min. /2 Górna granica pierwszej klasy to wartość: X min. /2 h Górna granica jednej klasy jest jednocześnie dolną granicą klasy następnej. X min. - najmniejsza wartość pomiaru α - niedokładność pomiaru.

Zadanie Z populacji mężczyzn, celem określenia ich masy, wybrano losowo próbę złożoną z 58 osób. Ich masę określono z dokładnością do 0.1 kg. Otrzymano następujące dane liczbowe: 49,1 60,7 65,0 70,0 74,4 78,2 53,2 60,9 65,6 70,4 74,9 78,7 54,0 61,0 66,7 70,9 75,0 79,0 54,1 61,5 66,8 71,6 75,0 79,4 54,5 62,2 67,0 71,9 75,2 82,1 55,4 62,8 67,4 72,6 75,6 83,8 56,3 63,0 68,3 72,7 75,9 85,5 57,7 63,4 68,9 73,1 76,2 87,1 58,4 64,0 69,0 73,3 76,5 59,0 64,6 69,5 74,0 78,1 Uporządkować otrzymane dane tworząc: a) szereg rozdzielczy zgrupowany, b) szereg skumulowany. Przedstawić otrzymane dane w postaci wykresu: c) histogramu liczności (wartości bezwględne); histogramu częstości procentowych; e) histogramu gęstości; f) diagramu; g) histogramu wartości skumulowanych bezwględnych; h) histogramu skumulowanych częstości względnych; i) dystrybuanty empirycznej.

Ustalamy ilość klas i ich szerokość: k= 58=7,61 8 h= R k =87,1 49,1 8 = 38 8 =4,75 5

Szereg rozdzielczy i skumulowany:zastawienie zbiorcze. Nr klasy Granice klas Liczność klas n i Frakcja W i (%) (n i /N)*100% Gęstość częstości n i /h Szereg skumulowany Częstości Σn i Frakcji (%)ΣW i -1- -2- -3- -4- -5- -6- -7-1 2 3 4 5 6 7 8

Trochę o prawdopodobieństwach Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia orła/reszki w jednym rzucie monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia dwóch orłów przy dwukrotnym rzuceniu monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia przynajmniej dwóch reszek przy trzech rzutach monetą? Jakie jest prawdopodobieństwo wyrzucenia 2 orłów w 10 rzutach monetą?

Rozkład dwumianowy Bernouliego P r,n, p = n r pr q n r p prawdopodobieństwo sukcesu q prawdopodobieństwo porażki (q = 1 - p) n liczba powtórzeń (wielkość próby) r liczba sukcesów n r = n! n r!r! - dwumian Newtona

Wartość dwumianu Newtona można określić z trójkąta Pascala P r, n, p = n r pr q n r P 2;10;0,5 = n r pr q n r = 10 1 2 2 r 2 10 r =45 1 1 1 2 r 1 2 10 r =45 1 = 2 10 45 1024

Należy obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania r sukcesów dla r 0, 10 P (r=0) = P (r=1) = P (r=2) = P (r=3) = P (r=4) = P (r=5) = P (r=6) = P (r=7) = P (r=8) = P (r=9) = P (r=10) =

Należy obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania r sukcesów dla r 0, 10 P (r=0) = 1/1024 P (r=1) = 10/1024 P (r=2) = 45/1024 P (r=3) = 120/1024 P (r=4) = 210/1024 P (r=5) = 252/1024 P (r=6) = 210/1024 P (r=7) = 120/1024 P (r=8) = 45/1024 P (r=9) = 10/1024 P (r=10) = 1/1024 P(r) 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r

Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania mniej niż 7 reszek w 10 rzutach monetą? P (r=0) = 1/1024 P (r=1) = 10/1024 P (r=2) = 45/1024 P (r=3) = 120/1024 P (r=4) = 210/1024 P (r=5) = 252/1024 P (r=6) = 210/1024 P (r=7) = 120/1024 P (r=8) = 45/1024 P (r=9) = 10/1024 P (r=10) = 1/1024

Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania mniej niż 7 reszek w 10 rzutach monetą? P (r=0) = 1/1024 P (r<=1) = 11/1024 P (r<=2) = 56/1024 P (r<=3) = 176/1024 P (r<=4) = 386/1024 P (r<=5) = 638/1024 P (r<=6) = 848/1024 P (r<=7) = 968/1024 P (r<=8) = 1013/1024 P (r<=9) = 1023/1024 P (r<=10) = 1024/1024 ΣP(r) 1,2 1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0,0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P (r<7) = 848/1024 = 0,83 r

Zadanie: W 10 rzutach monetą uzyskano 2 reszki i 8 orłów. Czy na tej podstawie można powiedzieć, że moneta jest krzywa?

Rozwiązanie: Sposób 1: Obliczenie prawdopodobieństwa otrzymania wyniku takiego takiego, jaki został uzyskany lub bardziej skrajnego. P (r=0) = 1/1024 P (r=1) = 10/1024 P (r=2) = 45/1024 P (r=3) = 120/1024 P (r=4) = 210/1024 P (r=5) = 252/1024 P (r=6) = 210/1024 P (r=7) = 120/1024 P (r=8) = 45/1024 P (r=9) = 10/1024 P (r=10) = 1/1024 p = 112/1024 = 10,9%

Rozwiązanie: Sposób 2: Wyznaczenie przedziału ufności i obszaru krytycznego. P (r=0) = 1/1024 P (r=1) = 10/1024 P (r=2) = 45/1024 P (r=3) = 120/1024 P (r=4) = 210/1024 P (r=5) = 252/1024 P (r=6) = 210/1024 P (r=7) = 120/1024 P (r=8) = 45/1024 P (r=9) = 10/1024 P (r=10) = 1/1024 P(r) 0,300 0,250 0,200 0,150 0,100 0,050 0,000 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 r α/2 Przedział ufności α/2 p = 22/1024 = 2,1% Obszar krytyczny dla α = 0,05