UZUPEŁNIENIE
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi U.1 Elementy szzególnej teorii względnośi Mehanika klasyzna oparta na zasadah dynamiki Newtona poprawnie opisuje zjawiska, w któryh prędkośi iał są małe w porównaniu z prędkośią światła. Jednak w zjawiskah atomowyh, jądrowyh i w astrofizye spotykamy się z prędkośiami zbliżonymi do prędkośi światła i wtedy zamiast mehaniki klasyznej musimy stosować mehanikę relatywistyzną opartą na szzególnej teorii względnośi opraowanej przez Einsteina. Mehanika klasyzna nie jest sprzezna z mehaniką relatywistyzną, a stanowi jej szzególny przypadek (dla małyh prędkośi). U.1.1 Transformaja Galileusza Spróbujemy teraz opisać zjawiska widziane z dwóh różnyh inerjalnyh układów odniesienia, poruszająyh się względem siebie (rysunek U.1). W tym elu wyobraźmy sobie, obserwatora na Ziemi, który rejestruje dwa zdarzenia (na przykład dwie eksplozje) zahodząe na pewnej, jednakowej wysokośi. Rys. U1.1. Obserwaja zjawisk z dwóh poruszająyh się względem siebie układów odniesienia Odległość między miejsami wybuhów wynosi, (według ziemskiego obserwatora) Δ, natomiast zas między wybuhami. Te same dwa zdarzenia obserwowane są przez pasażera samolotu leąego z prędkośią V po linii prostej łąząej miejsa wybuhów. Względem lokalnego układu odniesienia związanego z leąym samolotem różnia położeń wybuhów wynosi Δ, a różnia zasu. Porównajmy teraz spostrzeżenia obserwatorów na ziemi i w samoloie. Zróbmy to na przykład z pozyji obserwatora na ziemi, który próbuje opisać to o widzą pasażerowie samolotu. Jeżeli, pierwszy wybuh nastąpił w punkie 1 (wg samolotu), a drugi po zasie, to w tym zasie samolot przeleiał drogę V (względem obserwatora na Ziemi) i drugi wybuh został zaobserwowany w punkie zyli ' 1 '+Δ Vt (U1.1) Δ ' ' 1 ' Δ Vt (U1.) 494
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi Jednoześnie, ponieważ samolot lei wzdłuż linii łąząej wybuhy, to Δy Δz 0. Ozywistym wydaje się też, że. Otrzymaliśmy wię wzory przekładająe wyniki obserwaji jednego obserwatora na spostrzeżenia drugiego ' Vt y ' y z ' z t ' t (U1.3) Te równania noszą nazwę transformaji Galileusza. Sprawdźmy, zy stosują powyższe wzory do opisu doświadzeń, otrzymamy takie same wyniki, niezależnie od układu w którym to doświadzenie opisujemy. Jako przykład wybierzmy iało poruszająe wzdłuż osi ruhem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a. W układzie nieruhomym prędkość hwilowa iała wynosi Δ u (U1.4) Jego przyspieszenie jest stałe i równe a. Natomiast obserwator w pojeździe poruszająym się wzdłuż osi ze stałą prędkośią V rejestruje, że w zasie iało przebywa odległość Δ. Zatem prędkość hwilowa iała zmierzonego przez tego obserwatora wynosi Δ' u' (U1.5) ' Zgodnie z transformają Galileusza Δ' Δ - V, oraz ', wię Δ' Δ V u' u V (U1.6) ' Otrzymaliśmy prędkość względną jednego obiektu względem drugiego o jest wynikiem intuiyjnie ozywistym. Natomiast przyśpieszenie w układzie poruszająym się wynosi Δu' Δ( u V ) Δu a ' a (U1.7) ' Widać, że w tym przypadku zastosowanie wzorów transformaji Galileusza daje wynik zgodny z doświadzeniem. Jednak nie jest to prawdą w każdym przypadku. Miedzy innymi stwierdzono, że ta transformaja zastosowana do równań Mawella nie daje tyh samyh wyników dla omawianyh układów inerjalnyh. W szzególnośi z praw Mawella wynika, że prędkość światła jest podstawową stałą przyrody i powinna być sama w każdym układzie odniesienia. Oznaza to na przykład, że gdy impuls światła rozhodząy się w próżni w kierunku jest obserwowany przez dwóh obserwatorów pokazanyh na rysunku U.1.1 to zarówno obserwator nieruhomy jak poruszająy się 495
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi z prędkośią V (względem pierwszego) zmierzą identyzną prędkość impulsu.998 10 8 m/s. Tymzasem zgodnie z transformają Galileusza i ze zdrowym rozsądkiem powinniśmy otrzymać wartość V. Wykonano szereg doświadzeń, w któryh próbowano podważyć równania Mawella, a w szzególnośi próbowano pokazać, że prędkość światła, tak jak prędkość dźwięku zależy od układu odniesienia (stosuje się do transformaji Galileusza). Najsławniejsze z nih, to doświadzenie Mihelsona-Morleya mająe na elu wykryie wpływu ruhu orbitalnego Ziemi na prędkość światła poprzez pomiar prędkośi światła w kierunku prostopadłym i równoległym do ruhu Ziemi. Wszystkie te doświadzenia dały wynik negatywny i musimy uznać, że Prawo, zasada, twierdzenie Prędkość światła w próżni.998 10 8 inerjalnyh układah odniesienia. m/s jest jednakowa we wszystkih Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikająe ze stałośi prędkośi światła. U.1. Dylataja zasu Rozpatrzmy rakietę, w której znajduje się przyrząd wysyłająy impuls światła z punktu A, który następnie odbity przez zwieriadło Z, odległe o d, powraa do tego punktu A, gdzie jest rejestrowany (rysunek U.1.). Rys. U1.. Pomiar zasu przebiegu impulsu świetlnego w dwóh układah odniesienia Czas ' jaki upływa między wysłaniem światła, a jego zarejestrowaniem przez obserwatora będąego w rakieie (rysunek a) jest ozywiśie równy ' d/. Teraz to samo zjawisko opisujemy z układu nieruhomego obserwatora (rysunek b), względem którego rakieta porusza się w prawo z prędkośią V. Chemy, w tym układzie, znaleźć zas przelotu światła z punktu A do zwieriadła i z powrotem do A. Jak widać na rysunku U1. (b) światło przehodzą od punktu A do zwieriadła Z porusza się po linii o długośi S 496
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi V d (U1.8) S + Zatem zas potrzebny na przebyie drogi AZA (to jest dwóh odinków o długośi S) wynosi Δ t V + d (U1.9) Przekształają to równanie otrzymujemy ostateznie d ' Δ t (U1.10) V V Widzimy, że warunek stałośi prędkośi światła w różnyh układah odniesienia może być spełniony tylko wtedy gdy, zas pomiędzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi i mierzonymi z różnyh układów odniesienia jest różny. W konsekwenji Prawo, zasada, twierdzenie Każdy obserwator stwierdza, że poruszająy się zegar idzie wolniej niż identyzny zegar w spozynku. To zjawisko dylataji zasu jest własnośią samego zasu i dlatego spowolnieniu ulegają wszystkie proesy fizyzne gdy są w ruhu. Dotyzy to również reakji hemiznyh, wię i biologiznego starzenia się. Dylataję zasu zaobserwowano doświadzalnie między innymi za pomoą nietrwałyh ząstek. Cząstki takie przyspieszano do prędkośi bliskiej prędkośi światła i mierzono zmianę ih zasu połowiznego zaniku. Ćwizenie U.1 Spróbuj oblizyć ile razy wzrośnie zas połowiznego zaniku ząstki poruszająej się z prędkośią V 0.99. Żeby sprawdzić zy można zarejestrować taką ząstkę obliz jaką drogę s przebędzie ona w tym zasie, jeżeli zas połowiznego zaniku nieruhomej ząstki wynosi 10-8 s. Wynik zapisz poniżej. t Rozwiązanie możesz sprawdzić na końu modułu. 497
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi U.1.3 Transformaja Lorentza Szukamy ponownie (jak przy transformaji Galileusza) wzorów przekładająyh spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwaje drugiego. Chemy znaleźć transformaję współrzędnyh ale taką, w której obiekt poruszająy się z prędkośią równą w układzie nieruhomym (, y, z, t), również w układzie (', y', z', t') poruszająym się z prędkośią V wzdłuż osi będzie poruszać się z prędkośią. Transformaja współrzędnyh, która uwzględnia niezależność prędkośi światła od układu odniesienia ma postać Vt Vt ', V β y ' y z ' z V V t t t ', V β (U1.11) gdzie β V/. Te równania noszą nazwę transformaji Lorentza. Omówimy teraz niektóre wnioski wynikająe z transformaji Lorentza. U.1.3.1 Jednozesność Przyjmijmy, że według obserwatora w rakieie poruszająej się wzdłuż osi ' (zyli także wzdłuż osi, bo zakładamy, że te osie są równoległe) pewne dwa zdarzenia zahodzą równoześnie ' t ' t 1 ' 0, ale w rożnyh miejsah ' 1 ' Δ' 0. Sprawdźmy, zy te same zdarzanie są również jednozesne dla obserwatora w spozynku. Z transformaji Lorentza wynika, że V Δ ' (U1.1) β oraz Łązą te równania otrzymujemy związek Δ Δ' β + V (U1.13) V ' β Δ' (U1.14) Jeżeli teraz uwzględnimy fakt, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą są jednozesne ' 0 to otrzymamy ostateznie 498
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi V β Δ' (U1.15) Widzimy, że równozesność zdarzeń nie jest bezwzględna, w układzie nieruhomym te dwa zdarzenia nie są jednozesne. U.1.3. Skróenie długośi Teraz rozpatrzmy inny przykład. W rakieie poruszająej się z prędkośią V, wzdłuż osi ' leży pręt o długośi L'. Sprawdźmy jaką długość tego pręta zaobserwuje obserwator w układzie nieruhomym. Pomiar długośi pręta polega na zarejestrowaniu dwóh zjawisk zahodząyh równoześnie na końah pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się na końah pręta to Δ' L'. Ponadto żarówki zapalają się w tym samym zasie (dla obserwatora w układzie spozywająym ) to dodatkowo 0. Uwzględniają te warunki otrzymujemy na podstawie transformaji Lorentza 1 L' Δ β (U1.16) gdzie Δ jest długośią pręta L w układzie nieruhomym. Stąd Δ L L' β (U1.17) Okazuje się, że pręt ma mniejszą długość, jest krótszy. U.1.3.3 Dodawanie prędkośi W poprzednim punkie rozważaliśmy obiekt spozywająy w rakieie. Teraz zajmiemy się przypadkiem gdy obiekt ma już pewną prędkość U ' w ruhomym układzie odniesienia (to jest względem rakiety). Sprawdzimy jaką prędkość U zarejestruje nieruhomy obserwator, w układzie którego rakieta porusza się z prędkośią V wzdłuż osi. Z transformaji Lorentza wynika, że Δ V Δ ' (U1.18) β oraz V Δ ' (U1.19) β 499
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi Dzielą te równania przez siebie otrzymujemy Δ' ' Δ V V Δ 1 Δ V V Δ (U1.0) a po podstawieniu U Δ' ' oraz ' U Δ U U V ' VU (U1.1) Powyższe równanie można rozwiązać ze względu na U U U ' + V VU ' 1+ (U1.) Ćwizenie U. Rozpatrzmy dwa samoloty naddźwiękowe, które leą ku sobie po linii prostej. Prędkośi samolotów względem Ziemi wynoszą odpowiednio: pierwszego 1500 km/h, a drugiego 3000km/h. Obliz jaką prędkość pierwszego samolotu zmierzy obserwator w samoloie drugim. Zauważ, że ponieważ samolot drugi jest układem, względem którego prowadzimy oblizenia to zgodnie z naszymi oznazeniami U 1500 km/h, a V -3000 km/h. Ujemny znak prędkośi V wynika z przeiwnego kierunku ruhu. Wynik zapisz poniżej. U Rozwiązanie możesz sprawdzić na końu modułu. U.1.3.4 Zależność masy od prędkośi Dotyhzas zajmowaliśmy się kinematyką ruhu iała obserwowanego z dwóh układów odniesienia poruszająyh się względem siebie ze stałą prędkośią. Teraz hemy odpowiedzieć na pytanie jak można opisać zahowanie iała pod wpływem sił w sytuaji, gdy transformaja Lorentza, (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to, zy druga zasada dynamiki Newtona F dp/dt może być stosowana i zy zasada zahowania pędu ma taką samą postać we wszystkih układah inerjalnyh. 500
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi Okazuje się, że warunkiem zahowania pędu przy transformaji z jednego układu odniesienia do innego jest uwzględnienie zależność masy iała m od jego prędkośi V, danej następująym wyrażeniem m( V ) m 0 V (U1.3) w którym m 0 oznaza masę spozynkową, zyli masę nieruhomego iała. Zauważmy ponadto, że masa ząstki rośnie wraz z prędkośią i zmierza do nieskońzonośi gdy V. Rozpatrzmy teraz ruh iała pod wpływem stałej siły F działająej równolegle do kierunku ruhu. Zależność prędkośi iała od zasu oblizamy na podstawie drugiej zasad dynamiki Newtona. Uwzględniają zależność masy od prędkośi (U1.3) otrzymujemy V ( t) Ft m 0 1+ Ft m0 (U1.4) Porównanie zależność prędkośi iała od zasu działania siły w mehanie klasyznej i relatywistyznej jest pokazane na rysunku U1.3. W przeiwieństwie do opisu klasyznego, z powyższej zależnośi wynika, że ząstki nie da się przyspieszać w nieskońzoność działają stałą siłą. Rys. U.1.3. Zależność prędkośi iała od zasu działania stałej siły w mehanie klasyznej i relatywistyznej Zmiana masy z prędkośią została potwierdzona wieloma doświadzeniami przeprowadzonymi dla ząstek elementarnyh. 501
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi U.1.3.5 Równoważność masy i energii Einstein pokazał, że zasada zahowania energii jest spełniona w mehanie relatywistyznej pod warunkiem, że pomiędzy masą i ałkowitą energią iała zahodzi związek E m (U1.5) gdzie m zależy od prędkośi iała V zgodnie z równaniem (U1.3). To znane powszehnie równanie Einsteina opisuje równoważność masy i energii. Wynika z niego, że iało w spozynku ma zawsze pewną energię związaną z jego masa spozynkową E (U1.6) 0 m0 Energię kinetyzną iała poruszająego się z prędkośią V oblizamy odejmują od energii ałkowitej energię spozynkową (nie związaną z ruhem) E k E E0 m m0 ( m m0 ) (U1.7) Widzimy, że mehanika relatywistyzna wiąże energię kinetyzną z przyrostem masy iała. Ćwizenie U.3 Spróbuj teraz oblizyć prędkość ząstki, której energia kinetyzna jest równa jej energii spozynkowej. O ile wzrosła masa tej ząstki w stosunku do masy spozynkowej? Wynik zapisz poniżej. m m 0 Rozwiązanie możesz sprawdzić na końu modułu. Na zakońzenie zobazmy jaką wartość przyjmuje energia ałkowita, jeśli prędkość V jest mała. Dla małego V równanie (U1.3) można przybliżyć (rozwijają w szereg) do postai m0 V m ( V ) m 0 1 + V (U1.8) Podstawiają tę wartość do wyrażenia na energię ałkowitą otrzymujemy 50
Uzupełnienie Elementy szzególnej teorii względnośi m0 E m( V ) V m0 + (U1.9) Pierwszy wyraz jest energią związaną z istnieniem samej masy (energia spozynkowa) natomiast drugi jest klasyzną energią kinetyzną związaną z ruhem iała. Otrzymaliśmy rozwiązanie klasyzne jako granizny przypadek (dla małyh prędkośi) rozwiązania relatywistyznego. 503
Uzupełnienie Uniwersalne stałe fizyzne Uniwersalne stałe fizyzne Wielkość Symbol Wartość Prędkość światła w próżni.9979 10 8 m s 1 Przenikalność magnetyzna próżni μ 0 4π 10 7 H m 1 Przenikalność elektryzna próżni ε 0 8.854 10 1 F m 1 Stała Planka h 6.66 10 34 J s Elektryzny ładunek elementarny e 1.6019 10 19 C Masa spozynkowa elektronu m e 9.1095 10 31 kg Masa spozynkowa protonu m p 1.676485 10 7 kg Masa spozynkowa neutronu m n 1.6749 10 7 kg Stała Rydberga R 1.0974 10 7 m 1 Lizba Avogadro N Av 6.00 10 3 mol 1 Jednostka masy atomowej u 1.6606 10 7 kg Stała Boltzmanna k 1.3807 10 3 J K 1 Stała Stefana-Boltzmanna σ 5.67031 10 8 4 W m K 1 Stała gazowa R 8.3144 J mol 1 K Stała grawitayjna G 6.670 10 11 N m kg 504
Uzupełnienie Użytezne wzory matematyzne Użytezne wzory matematyzne Pole okręgu Pole kuli Objętość kuli Geometria π r 4π r 4 π r 3 3 Trygonometria sin sin θ y r os θ r y tg θ θ + os θ 1 sin θ sinθ osθ α ± β α m β sin( α ± β ) sin os Niektóre pohodne d d d f ( ) a 0 ( af ( )) a d d d d n n 1 d 1 ( ) n (ln ) d d d d (sin( a)) a os a (os( a)) asin a d d d d f d g d d g d f ( f + g) + ( f g) f + g d d d d d d Niektóre ałki (C onst.) d + n+ 1 n C d + C n + 1 d 1 ln + C a a + C sin d os a 1 a d sin a + C ( f ( ) + g( ))d f ( )d + g( ) d a os 1 f ( )d F( ) F( ) F( 1 ) 1 505
Grupa IA Litowe VIIIA Helowe 1 H 1.008 Wodór IIA Berylowe IIIA Borowe IVA Węglowe VA Azotowe VIA Tlenowe VIIA He 4.006 Fluorowe Hel 3 Li 6.941 Lit 4 Be 9.01 Beryl 5 B 10.81 Bor 6 C 1.011 Węgiel 7 N 14.006 Azot 8 O 15.999 Tlen 9 F 18.998 Fluor 10 Ne 0.179 Neon 11 Na.989 Sód 1 Mg 4.305 Magnez IIIB Skandowe IVB Tytanowe VB Wanadowe VIB Chromowe VIIB Manganowe VIIIB Żelazowe i Platynowe IB Miedziowe IIB Cynkowe 13 Al 6.981 Glin 14 Si 8.085 Krzem 15 P 30.974 Fosfor 16 S 3.06 Siarka 17 Cl 35.453 Chlor 18 Ne 39.948 Argon 19 K 39.089 Potas 0 Ca 40.08 Wapń 1 K 44.956 Skand Ti 47.90 Tytan 3 V 50.95 Wanad 4 Cr 51.996 Chrom 5 Mn 54.938 Mangan 6 Fe 55.847 Żelazo 7 Co 58.933 Kobalt 8 Ni 58.70 Nikiel 9 Cu 63.546 Miedź 30 Zn 65.38 Cynk 31 Ga 69.7 Gal 3 Ge 7.59 German 33 As 74.91 Arsen 34 Se 78.96 Selen 35 Br 79.904 Brom 36 Kr 83.80 Krypton 37 Rb 85.467 Rubid 38 Sr 87.6 Stront 39 Y 88.906 Itr 40 Zr 91. Cyrkon 41 Nb 9.906 Niob 4 Mb 95.94 Molibden 43 T 98.906 Tehnet 44 Ru 101.07 Ruten 45 Rh 10.905 Rod 46 Pd 106.4 Pallad 47 Ag 107.868 Srebro 48 Cd 11.41 Kadm 49 In 114.8 Ind 50 Sn 118.69 Cyna 51 Sb 11.75 Antymon 5 Te 17.60 Tellur 53 I 16.904 Jod 54 Xe 131.30 Ksenon 55 Cs 13.905 Cez 56 Ba 137.33 Bar 57 La 138.905 Lantan 7 Hf 178.49 Hafn 73 Ta 180.948 Tantal 74 W 183.85 Wolfram 75 Re 186.0 Ren 76 Os 190. Osm 77 Ir 19. Iryd 78 Pt 195.09 Platyna 79 Au 196.966 Złoto 80 Hg 00.59 Rtęć 81 Tl 04.37 Tal 8 Pb 07. Ołów 83 Bi 08.980 Bizmut 84 Po 08.98 Polon 85 At 09.987 Astat 86 Rn 0.017 Radon 87 Fr 3.0 Frans 88 Ra 6.05 Rad 89 A 7.08 Aktyn Lantanowe 58 Ce 140.1 Cer 59 Pr 140.907 Prazeodym 60 Nd 144.4 Neodym 61 Pm 145 Promet 6 Sm 150.35 Samar 63 Eu 151.96 Europ 64 Gd 157.5 Gadolin 65 Tb 158.95 Terb 66 Dy 16.50 Dysproz 67 Ho 164.930 Holm 68 Er 167.6 Erb 69 Tu 168.934 Tul 70 Yb 173.04 Iterb 71 Lu 174.967 Lutet Aktynowe 90 Th 3.038 Tor 91 Pa 31.036 Protaktyn 9 U 38.09 Uran 93 Np 37.048 Neptun 94 Pu 44 Pluton 95 Am 43.061 Ameryk 96 Cm 47 Kiur 97 Bk 47.07 Berkel 98 Cm 51 Kaliforn 99 Es 54.088 Einstein 100 Fm 53 101 Md 55 Mendelew 10 No 54 Nobel 103 Lr 57 Lorens symbol masa atomowa nazwa Układ okresowy pierwiastków Uzupełnienie Układ okresowy pierwiastków lizba atomowa 506