STATYSTYKA zadania do ćwiczeń Weryfikacja hipotez część I Zad 1 W pewnej firmie postanowiono zbadać staż pracy pracowników W tym celu wylosowano prostą próbę losową z populacji pracowników i otrzymano, że staż pracy (w latach) tych pracowników był następujący: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 8 Ponadto dotychczasowe doświadczenie wskazuje, że rozkład stażu pracowników jest normalny z odchyleniem standardowym równym 2 lata a) Zweryfikować hipotezę, że średni staż pracy wynosi 4 lata (przyjąć poziom istotności 5) Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? b) Czy można twierdzić, że średni staż pracy jest wyższy niż 4 lata dopuszczając błąd pierwszego rodzaju na poziomie 1? Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? c) Czy dopuszczając 2 błędy na 1, można twierdzić, że średni staż pracy jest niższy niż 4 lata? Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? d) Z jakim minimalnym prawdopodobieństwem błędu pierwszego rodzaju można twierdzić, że średni staż pracy: jest różny od 4 lat, jest wyższy niż 4 lata, jest niższy niż 4 lata? Zad 2 W pewnej firmie postanowiono zbadać staż pracy pracowników W tym celu wylosowano prostą próbę losową z populacji pracowników i otrzymano, że staż pracy (w latach) tych pracowników był następujący: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 7, 8, 8 Ponadto dotychczasowe doświadczenie wskazuje, że rozkład stażu pracowników jest normalny a) Zweryfikować hipotezę, że średni staż pracy wynosi 4 lata (przyjąć poziom istotności 5) Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? b) Czy można twierdzić, że średni staż pracy jest wyższy niż 4 lata dopuszczając błąd pierwszego rodzaju na poziomie 1? Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? c) Czy dopuszczając 2 błędy na 1, można twierdzić, że średni staż pracy jest niższy niż 4 lata? Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? d) Z jakim minimalnym prawdopodobieństwem błędu pierwszego rodzaju można twierdzić, że średni staż pracy: jest różny od 4 lat, jest wyższy niż 4 lata, jest niższy niż 4 lata? Zad 3 W pewnej firmie postanowiono zbadać staż pracy pracowników W tym celu wylosowano prostą próbę losową z populacji pracowników i otrzymano, następujące wyniki: Staż pracy Liczba pracowników (w latach) -4 2 4-8 3 8-12 4 12-16 1 a) Zweryfikować hipotezę, że średni staż pracy wynosi 68 lat (przyjąć poziom istotności 5) Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? 1
b) Czy można twierdzić, że średni staż pracy jest wyższy niż 68 lat dopuszczając błąd pierwszego rodzaju na poziomie 1? Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? c) Czy dopuszczając 2 błędy na 1, można twierdzić, że średni staż pracy jest niższy niż 68 lat? Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? d) Dla punktów a), b), c) wyznaczyć najniższy poziom α, przy którym hipoteza zerowa może być odrzucona Zad 4 W pewnej firmie postanowiono zbadać staż pracy pracowników W tym celu wylosowano prostą próbę losową z populacji pracowników i otrzymano, następujące wyniki: Staż pracy Liczba pracowników (w latach) -4 2 4-8 3 8-12 4 12-16 1 a) Zweryfikować hipotezę, że odsetek pracowników, którzy pracują w tej firmie nie więcej niż 8 lat wynosi 55% (przyjąć poziom istotności 5) Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? b) Czy można twierdzić, że odsetek pracowników, którzy pracują w tej firmie nie więcej niż 8 lat przekracza 55%, dopuszczając błąd pierwszego rodzaju na poziomie 1? Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? c) Czy dopuszczając 2 błędy na 1, można twierdzić, że odsetek pracowników, którzy pracują w tej firmie nie więcej niż 8 lat jest mniejszy niż 55%? Przy jakim poziomie istotności można zmienić podjętą decyzję weryfikacyjną? d) Dla punktów a), b), c) wyznaczyć najniższy poziom α, przy którym hipoteza zerowa może być odrzucona Zad 5 Rozkłady stanu kont w bankach A i B są normalne, przy czym odchylenie standardowe dla banku A wynosi 1 tys zł, a dla banku B 15 tys zł Pobrano niezależne próby z obu banków, dziesięcioelementową z banku A oraz piętnastoelementową z banku B i otrzymano, że średni stan konta w banku A wynosi 5 tys zł, a w banku B 45 tys zł a) Zweryfikować hipotezę, że średni stan konta w baku A jest taki sam jak w banku B (przyjąć poziom istotności 5) Wyznaczyć najniższy poziom α, przy którym hipoteza zerowa może być odrzucona b) Czy można twierdzić, że średni stan konta w baku A jest większy niż w banku B, dopuszczając błąd pierwszego rodzaju na poziomie 1? Wyznaczyć najniższy poziom α, przy którym hipoteza zerowa może być odrzucona Zad 6 Rozkłady stanu kont w bankach A i B są normalne z równymi odchyleniami standardowymi Pobrano niezależne próby z obu banków, dziesięcioelementową z banku A oraz piętnastoelementową z banku B i otrzymano, że średni stan konta w banku A wynosi 5 tys zł, a w banku B 45 tys zł ponadto wyznaczono wariancje równe 1 tys zł² i 225 tys zł², odpowiednio dla banku A i B a) Zweryfikować hipotezę, że średni stan konta w baku A jest taki sam jak w banku B (przyjąć poziom istotności 5) 2
b) Czy można twierdzić, że średni stan konta w baku A jest większy niż w banku B, dopuszczając błąd pierwszego rodzaju na poziomie 1? Zad 7 Postanowiono zbadać stan kont w bankach A i B W tym celu wylosowano niezależne stuelementowe próby z obu banków i otrzymano, że średni stan konta w banku A wynosi 5 tys zł, a w banku B 45 tys zł, ponadto wyznaczono wariancje równe 1 tys zł² i 225 tys zł², odpowiednio dla banku A i B a) Zweryfikować hipotezę, że średni stan konta w baku A jest taki sam jak w banku B (przyjąć poziom istotności 5) Wyznaczyć najniższy poziom α, przy którym hipoteza zerowa może być odrzucona b) Czy można twierdzić, że średni stan konta w baku A jest większy niż w banku B, dopuszczając błąd pierwszego rodzaju na poziomie 1? Wyznaczyć najniższy poziom α, przy którym hipoteza zerowa może być odrzucona Zad 8 Zbadano 1 klientów banku A oraz 2 banku B, połowa klientów banku A oraz 12 klientów banku B było zadowolonych z usług świadczonych przez swój bank a) Zweryfikować hipotezę, że odsetek zadowolonych klientów baku A jest taki sam jak banku B (przyjąć poziom istotności 5) b) Czy można twierdzić, że odsetek zadowolonych klientów baku A jest mniejszy niż banku B, dopuszczając błąd pierwszego rodzaju na poziomie 1? Zad 9 Zbadano 9 pracowników pod względem czasu wykonywania określonego zadania z wykorzystaniem starego i nowego oprogramowania komputerowego, otrzymane wyniki podano w tabeli poniżej Czas wykonywania zadania z wykorzystaniem 1 8 15 12 1 12 9 13 14 starego oprogramowania w minutach Czas wykonywania zadania z wykorzystaniem 9 1 13 12 8 13 8 14 12 nowego oprogramowania w minutach a) Czy można twierdzić, że zakup nowego oprogramowania istotnie wpłyną na czas wykonywania zadania (przyjąć poziom istotności 5)? b) Czy można twierdzić, że zakup nowego oprogramowania skrócił czas wykonywania zadania (przyjąć poziom istotności 1)? Zadania ze zbiorów 1 A D Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2 2 I Bąk, I Markowicz, M Mojsiewicz, K Wawrzyniak, Statystyka w zadaniach, cz I, II, 21 Zad 1 Firma doradztwa inwestycyjnego zapewnia, że przeciętny przychód z akcji w pewnej gałęzi przemysłu wynosi 115% Inwestor chce sprawdzić tę opinię, pobiera próbę złożoną z akcji 5 spółek należących do tej gałęzi i stwierdza, ze średni przychód z akcji w próbie wyniósł 18%, przy odchyleniu standardowym 34% Czy inwestor ma dostateczne podstawy do odrzucenia zapewnienia firmy doradczej przy poziomie istotności 5? 3
Zad 11 Wiadomo, że przeciętny turysta przebywa w hotelu w Hongkongu przez 4 noce Analityk przemysłu turystycznego chce wiedzieć, czy ostanie zmiany w uprawianiu turystyki w Hongkongu zmieniły tę przeciętną Otrzymane w sposób losowy dane o liczbie nocy spędzonych przez turystów w hotelach Hongkongu są następujące: 5, 4, 3, 2, 1, 1, 5, 7, 8, 4, 3, 3, 2, 5, 7, 1, 3, 1, 1, 5, 3, 4, 2, 2, 2, 6, 1, 7 Przeprowadź test hipotezy na poziomie istotności 5 Zad 12 Producent podzespołów elektronicznych, który ma poinformować nabywcę o frakcji sztuk wadliwych w dostarczonej mu partii towaru, stwierdził, że ta frakcja wynosi 12% Nabywca chce sprawdzić, czy ta frakcja jest taka, jaką deklarował producent W pobranej 1- elementowej próbie losowej stwierdzono 17 sztuk wadliwych Sprawdzić hipotezę, że frakcja sztuk wadliwych w partii nadesłanej przez producenta rzeczywiście wynosi 12% procent na poziomie istotności 5 Zad 13 Reklama głosi, że 3 na 5 lekarzy zaleca pewien lek Producent leku konkurencyjnego uważa, że to stwierdzenie jest przesadne i chce to wykazać W pobranej przez niego próbie losowej 1 lekarzy znalazł tylko 45 takich, którzy zalecają wspomniany lek Czy można odrzucić stwierdzenie zawarte w reklamie? Zad 14 Przeciętne tygodniowe zarobki pełnoetatowego zostały oszacowane na 344$ Przypuśćmy, ze chcemy sprawdzić ten szacunek, gdyż wydaje się zbyt niski Chcemy wykazać, że przeciętne tygodniowe zarobki w rzeczywistości są wyższe od podanego szacunku Na podstawie losowej próby 12 pracowników z różnych rejonów stwierdziliśmy, że średnia z próby wynosi 361$, przy odchyleniu standardowym 11$ Czy można uznać podane oszacowanie za obalone? Zad 15 W artykule na temat lotów transatlantyckich znalazło się sformułowanie, ze British Airways przewozi 11% z 27 milionów pasażerów, którzy co roku udają się za Atlantyk Przypuśćmy, że chcesz sprawdzić to stwierdzenie bez żadnych apriorycznych podejrzeń Otrzymałeś losową próbę list pasażerów od losowo wybranych biur podróży i stwierdziłeś, że wśród 2 pasażerów objętych próbą poleciało za Atlantyk korzystając z British Airways Przeprowadź test i sformułuj wniosek Zad 16 W artykule na temat rosnącej luki w wymianie pomysłów będących podstawą zaawansowanej techniki między Stanami Zjednoczonymi i Japonią znalazło się stwierdzenie, że japońscy użytkownicy amerykańskich pomysłów płacą Amerykanom więcej honorariów i opłat licencyjnych niż sami otrzymują Losowa próba 1 amerykańskich patentów wykorzystywanych w Japonii wykazała przeciętną wysokość honorarium 183869$, przy odchyleniu standardowym 461$ Losowa próba 8 japońskich patentów wykorzystywanych w Stanach Zjednoczonych wykazała przeciętną wysokość honorarium 1522$, przy odchyleniu standardowym 56$ Czy są podstawy do przyjęcia wniosku, że Japończycy płacą Amerykanom za patent przeciętnie więcej niż Amerykanie Japończykom? 4
Zad 17 Wiele firm rozwija badania nad elektronicznymi systemami sterującymi do samochodów Motorola i Blaupunkt znajdują się w czołówce firm prowadzących tego rodzaju badania Wśród 12 prób działania modelu firmy Motorola było 11 prób udanych, a wśród 2 prób działania modelu firmy Blaupunkt było 11 prób udanych Czy są podstawy do przyjęcia, że elektroniczny system sterujący firmy Motorola jest lepszy od analogicznego systemu firmy Blaupunkt? Zad 18 Badano liczbę pracujących w przemyśle (bez jednostek osób fizycznych o liczbie pracujących do 5 osób) w miastach województwa zachodniopomorskiego w latach 1995 i 1996 Do próby z roku 1995 wylosowano 6 miast i otrzymano wyniki: 267, 288, 538, 354, 455, 898; natomiast do próby z roku 1996 wylosowano 7 miast i otrzymano wyniki: 759, 674, 24, 33, 575, 384, 323 Na poziomie istotności 5 zweryfikować hipotezę, że średnia liczba pracujących w przemyśle w miastach województwa zachodniopomorskiego była w badanych latach jednakowa Na podstawie przeprowadzonego testu dla dwóch wariancji stwierdzono, że odchylenia standardowe dla obu prób nie różnią się istotnie Zad 19 W pewnym przedsiębiorstwie wylosowano niezależnie 2 pracowników, dla których rozkład liczby przepracowanych nadgodzin w ciągu 1996 roku przedstawiono za pomocą szeregu rozdzielczego Liczba nadgodzin Liczba pracowników -33 76 34-66 23 67-99 16 1-132 15 133-165 19 166-198 13 199-231 14 232-264 5 265-297 5 298-33 5 331-363 3 364 i więcej 6 Takiego samego losowania dokonano w roku poprzednim i zbadano średnią liczbę przepracowanych nadgodzin, która w ciągu 1995 roku wyniosła 1412 godziny oraz V S = 1437% Na poziomie istotności 5 zweryfikować hipotezy, że: a) średnia liczba nadgodzin przepracowanych w 1996 roku była mniejsza niż w 1995 roku; b) odsetek pracowników o liczbie nadgodzin powyżej 232 był równy w 1996 roku 1% Zad 2 W dwóch miastach A i B przeprowadzono badanie miesięcznego utargu w wybranych losowo sklepach Otrzymano następujące wyniki: Utarg [tys zł] 2-4 4-6 6-8 8-1 1-12 Liczba sklepów A 4 1 3 2 1 w mieście B 4 26 49 18 3 5
Zweryfikować hipotezy, że: a) w mieście A średni utarg jest większy od 5 tys zł ( α = 4 ); b) odsetek sklepów z utargiem większym od 6 tys zł w mieście A jest równy 4% ( α = 5); c) sklepy w mieście B osiągają wyższe wartości utargu niż sklepy w mieście A ( α = 1) Odpowiedzi do zadań Zad 1 u=15 a)brak podstaw do odrzucenia H P-value=1336 P-value=668 P-value=9332 Zad 2 t=1134 Zad 3 u=2174 a) Odrzucamy H P-value=3 P-value=15 P-value=985 Zad 4 u=-15 P-value=3124 P-value=8438 P-value=1562 Zad 5 u=1 P-value=3174 P-value=1587 Zad 6 t=176 6
Zad 7 u=2778 a) Odrzucamy H P-value=54 b) Odrzucamy H P-value=27 Zad 8 u=-164 Zad 9 t=589 dr Wioletta Grzenda Zad 1 u=-1456 Brak podstaw do odrzucenia H (p=1454) Zad 11 t = 248 Brak podstaw do odrzucenia 27 H Zad 14 u=5345 Odrzucamy H Zad 17 u=533 Odrzucamy H Zad 18 t=8< t = 2 21 Brak podstaw do odrzucenia H α Zad 19 a) u = 267 < uα = 1 65 Odrzucamy H b) u 943 < u = 1 96 Brak podstaw do odrzucenia H = α Zad 2 a) u = 4 2 > uα = 1 76 Odrzucamy H b) u = 289 < uα = 1 96 Odrzucamy H c) u 5 34 > u = 2 33 Odrzucamy H = α 7