Metody eksperymentalne w fizyce wysokich energii prof. dr hab. A.F.Żarnecki Zakład Czastek i Oddziaływań Fundamentalnych IFD Wykład II Oddziaływanie czastek naładowanych z materia Oddziaływanie elektronów i pozytonów Oddziaływanie fotonów
Wprowadzenie Oddziaływanie czastek z materia Ze względu na oddziaływanie z materia (prowadzace do detekcji czastek) czastki elementarne możemy podzielić na następujace kategorie: czastki naładowane (z wyłaczeniem e ± ) główny proces: jonizacja elektrony i pozytony jonizacja + straty radiacyjne fotony efekt fotoelektryczny, efekt Comptona, kreacja par (nienaładowane) hadrony kaskady hadronowe neutrina A.F.Żarnecki Wykład II 1
Wprowadzenie Rozpraszanie elastyczne Rozważmy zderzenie elastyczne czastki o masie m 1 i energii E 1 ze spoczywajac a czastk a o masie m 2. m m 1 2 E 1 V 1 V =0 2 Jaki będzie maksymalny przekaz energii w tym zderzeniu? Wiemy, że będziemy z nim mieli do czynienia, gdy w układzie środka masy (CMS) czastka m 2 rozproszy się do przodu Przyjmijmy, że parametry transformacji do CMS dane sa przez γ i β Energia i pęd m 2 w CMS (c 1) przed zderzeniem: po zderzeniu: p 2 = β γ m 2 E 2 = γ m 2 p 2 = p 2 = β γ m 2 E 2 = E 2 = γ m 2 Transformuj ac do układu LAB: E 2 = γ E 2 + β γ p 2 = γ 2 (1 + β 2 )m2 A.F.Żarnecki Wykład II 2
Wprowadzenie Maksymalny przekaz energii Przekaz energii: E max = E 2 E 2 = E 2 m 2 = γ 2 ( 1 + β 2 1 γ 2 = 2 ( β γ ) 2 m2 Dla układu dwóch ciał mamy: E = E 1 + E 2 = E 1 + m 2 P = P 1 = E1 2 m2 1 ) m 2 Transformacja do układu środka masy: β γ = P M = βγm 1 m 2 1 + 2γm 1m 2 + m 2 2 gdzie: γ i β - współczynniki dla czastki m 1 Maksymalny przekaz energii: E max = 2 β 2 γ 2 m 2 1 + 2γ m 2 m + ( ) m 2 2 1 m 1 W granicy m 1 m 2 maksymalny przekaz energii rośnie jak β 2 γ 2 p 2 1 M 2 = E 2 P 2 = (E 1 + m 2 ) 2 P 2 1 = m 2 1 + m2 2 + 2 E 1 m 2 E max 2 β 2 γ 2 m 2 A.F.Żarnecki Wykład II 3
Jonizacja Podejście klasyczne (Bohr) Ciężka (M m e ) naładowana czastka przelatuje w odległości b elektronu: E M, ze V Założenia: zaniedbujemy zmiany w ruchu czastki zaniedbujemy ruch elektronu e b x Z symetrii wynika, że na przekaz pędu wpływ ma wyłacznie prostopadła składowa pola: p = p = e dt F = e e dte = e dt E = 2πb dx E 2πb V Z prawa Gaussa dla ładunku ze: ds E = z e ε 0 dx dt dx E p = 2 z e2 4πε 0 b V E(b) = p2 2m e = 2 z 2 e 4 (4πε 0 ) 2 m e b 2 V 2 A.F.Żarnecki Wykład II 4
Jonizacja Podejście klasyczne Liczba elektronów w przedziale odległości [b, b + db] n e - gęstość elektronów N e = n e dv = 2πb n e db dx Łaczna strata energii czastki na odległości dx: e 2 4πε = α 0 de = E(b) N e = 4π z2 α 2 n e m e b V 2 db dx Całkujac po parametrze zderzenia otrzymujemy całkowita stratę na jednostkę długości: de dx = 4π z2 α 2 n e m e V 2 Wyrażajac granice całkowania przez przekaz energii: ln b max b min E(b) b 2 de dx = 2π z2 α 2 n e m e V 2 ln E max E min A.F.Żarnecki Wykład II 5
Podejście klasyczne Jonizacja Gęstość elektronów w materiale: n e = Z N A ρ N A = 6.022 10 23 A gdzie: ρ - gęstość, A - liczba masowa, Z - liczba porzadkowa (ładunek jadra) Podstawiajac uzyskany wzór na E max de dx = 2π N A z 2 α 2 m e V 2 M m e ρ Z A ln ( 2 β 2 γ 2 m e E min E min powinno być rzędu energii jonizacji atomów ośrodka - I Wyprowadzenie klasyczne, choć niedokładne, daje poprawny charakter zależności: w obszarze małych V - im szybsza czastka tym mniej czasu ma na oddziaływanie z elektronem, siły wykonuja mniejsza pracę dla V c - logarytmiczny wzrost zwiazany ze wzrostem maksymalnego dozwolonego przekazu energii ) A.F.Żarnecki Wykład II 6
Jonizacja Wzór Bethe-Blocha Uwzględniajac w rachunku efekty kwantowe otrzymujemy: 1 ρ de dx = K z2 Z A m e 1 β 2 Þ K = 4π N A z 2 α 2 δ - poprawka zwiazana z polaryzacja ośrodka [ 1 2 ln 2m eβ 2 γ 2 E max I 2 β 2 δ 2 0.307 MeV g/cm 2 ] Przy założeniu m m e jonizacja zależy wyłacznie od βγ 1 ρ de dx = K z2 Z A 1 β 2 [ ln 2m eβ 2 γ 2 I Średnia energia jonizacji elektronów I Z 10eV β 2 δ 2 ] A.F.Żarnecki Wykład II 7
Jonizacja 10 de/dx (MeV g 1 cm 2 ) 8 6 5 4 3 2 H 2 liquid He gas Fe Sn Pb Al C Zależność straty energii na jonizację od energii ma uniwersalny kształt! Dla różnych czastek skaluje się z βγ. Wysokość strat zależy od materiału. 1 0.1 0.1 1.0 10 100 1000 10 000 βγ = p/mc 0.1 1.0 10 100 Muon momentum (GeV/c) 1000 0.1 1.0 10 100 1000 Pion momentum (GeV/c) 1.0 10 100 1000 10 000 Proton momentum (GeV/c) Straty minimalne dla γ 3 poniżej: szybki wzrost powyżej: wzrost logarytmiczny Straty dla czastek minimalnej jonizajcji: 1 2MeV/ g min de dx cm 2 A.F.Żarnecki Wykład II 8
Jonizacja Minimalna jonizacja (w przeliczeniu na jednostkę gęstości) dla róznych pierwiastków: de/dx min (MeV g 1 cm 2 ) 2.5 2.0 1.5 1.0 H 2 gas: 4.10 H 2 liquid: 3.97 Solids Gases 2.35 0.28 ln(z) 0.5 H He Li Be B CNO Ne Fe Sn 1 2 5 10 20 50 100 Z Jonizacja największa dla wodoru, dla Z > 6 maleje w przybliżeniu logarytmicznie z Z. A.F.Żarnecki Wykład II 9
Jonizacja Straty energii dla mionu µ +, w funkcji pędu: Stopping power [MeV cm 2 /g] 100 10 1 Lindhard- Scharff Nuclear losses Wzór Bethe-Blocha przestaje µ + on Cu obowi azywać dla: µ Anderson- Ziegler Bethe-Bloch Radiative effects reach 1% [GeV/c] Muon momentum Radiative Radiative losses Without δ 0.001 0.01 0.1 1 10 100 1000 10 4 10 5 10 6 βγ 0.1 1 10 100 1 10 100 1 10 100 [MeV/c] Minimum ionization E µc [TeV/c] β < 0.05 - nie można zaniedbać wiazania i ruchu elektronu oraz rozproszenia czastki βγ > 300 (dla mionów) - istotne staja się straty radiacyjne W przypadku mionów przewidywania dokładne w zakresie pędów 10 MeV do 30 GeV zakres najczęściej spotykany w eksperymentach Straty radiacyjne bardzo istotne dla mionów powyżej 100 GeV (LHC, IceCube,...) A.F.Żarnecki Wykład II 10
Jonizacja R/M (g cm 2 GeV 1 ) 50000 20000 10000 5000 2000 1000 500 200 100 50 20 10 5 2 Pb H 2 liquid He gas 1 0.1 2 5 1.0 2 5 10.0 2 5 100.0 βγ = p/mc 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 Muon momentum (GeV/c) 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 Pion momentum (GeV/c) 0.1 0.2 0.5 1.0 2.0 5.0 10.0 20.0 50.0 Proton momentum (GeV/c) Fe C Zasięg czastek Wzór Bethego-Blocha można zcałkować i uzyskać oczekiwany zasięg czastki. R(E kin ) = Ekin E min ( ) de 1 de + R(E min ) dx W obszarze małych energii de dx β 2 E 1 W obszarze dużych energii: R kin E kin R E2 kin R/M wyrażone jako funkcja βγ jest takie samo dla różnych czastek. Dla różnych materiałów: R A.F.Żarnecki Wykład II 11 A ρ
Jonizacja Zasięg czastek Dla mionu o pędzie (energii) 1 GeV zasięg w żelazie: R/M 5500 g/cm 2 /GeV Gęstość żelaza ρ = 7.87g/cm 3 R 73 cm Zakładajac, że straty na jonizację sa stałe i równe: de dx Możemy oszacować zasięg 1 GeV mionu w żelazie: R 88cm min 11.4 MeV/cm Założenie, że mion jest czastk a minimalnej jonizacji jest często wystarczajace dla szacunkowych wyliczeń. Zasięg jonizacyjny odpowiada rzeczywistemu zasięgowi czastki tylko wtedy, gdy inne procesy można pominać (np. nieelastyczne oddziaływania z jadrami). W przypadku hadronów oznacza to energie poniżej 1 GeV. Dla mionów do energii rzędu 100 GeV. A.F.Żarnecki Wykład II 12
Jonizacja Krzywa Bragga Zależność strat na jonizację od długości drogi w materiale: Czastki α w powietrzu: Protony i fotony w tkance: Gdy czastka znajdzie się poniżej minimum jonizacji, straty energii gwałtownie rosna depozyt energii największy blisko miejsca zatrzymania czastki (terapia hadronowa) A.F.Żarnecki Wykład II 13
Jonizacja Rozkład strat energii Wzór Bethe-Blocha określa średnia wartość strat energii na jonizację. Dla grubych warstw absorbera oczekujemy, że rozkład strat będzie rozkładem Gaussa Tak jednak nie jest! Straty energii w pojedynczym oddziaływaniu maja rozkład typu p( E) 1 E E min < E < E max Ponieważ E max E min rozkład pozostaje niesymetryczny nawet po zsumowaniu dużej liczby oddziaływań rozkład Landaua f ( /x) /x (MeV g 1 cm 2 ) 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 p /x w 500 MeV pion in silicon 640 µm (149 mg/cm 2 ) 320 µm (74.7 mg/cm 2 ) 160 µm (37.4 mg/cm 2 ) 80 µm (18.7 mg/cm 2 ) Mean energy loss rate 0.0 100 200 300 400 500 600 /x (ev/µm) A.F.Żarnecki Wykład II 14
Jonizacja Rozkład Landaua Prawdopodobieństwo straty E (przybliżona formuła): L( E) = 1 ( exp 1 ( λ + e λ )) 2π 2 gdzie: λ = E EMPV E MPV - pozycja maksimum ξ - miara szerokości ξ A.F.Żarnecki Wykład II 15
Jonizacja Ze względu na duża asymetrie rozkładu Landaua i długi ogon (do E max E ) pomiar średniej wartości strat na jonizację jest obarczony dużym błędem. Znacznie dokładniej mierzona może być wartość najbardziej prawdopodobna (MPV) W granicy dużych energii MPV daży do stałej! 1.00 0.95 0.90 32 28 µ π K p D ( p/x) / de/dxmin 0.85 0.80 0.75 0.70 0.65 x = 640 µm (149 mg/cm 2 ) 320 µm (74.7 mg/cm 2 ) 160 µm (37.4 mg/cm 2 ) 80 µm (18.7 mg/cm 2 ) de/dx (kev/cm) 24 20 16 e 0.60 0.55 0.50 0.3 1 3 10 30 100 300 1000 βγ (= p/m) 12 8 0.1 1 10 Momentum (GeV/c) A.F.Żarnecki Wykład II 16
Jonizacja Porównanie średnich strat na jonizację, średnich strat liczonych w ograniczonym zakresie energii i wartości najbardziej prawdopodobnej, w funkcji energii mionu. 3.0 MeV g 1 cm 2 (Electonic loses only) 2.5 2.0 1.5 1.0 Silicon Bethe-Bloch Restricted energy loss for: T cut = 10 de/dx min T cut = 2 de/dx min Landau/Vavilov/Bichsel p /x for: x/ρ = 1600 µm 320 µm 80 µm 0.5 0.1 1.0 10.0 100.0 1000.0 Muon kinetic energy (GeV) relatywistyczny wzrost średnich strat wynika wyłacznie z wydłużania się ogona A.F.Żarnecki Wykład II 17
Wielokrotne rozpraszanie Czastka naładowana w ośrodku rozprasza się elastycznie na jadrach atomów Dla pojedynczego rozproszenia (wzór Rutherforda) dσ dω 1 sin 4 (θ/2) podobnie jak w przypadku energii: średni kat rozproszenia jest bardzo niewielki, ale rozkład ma długi ogon... Wielokrotne rozpraszanie: rozkład kata rozproszenia zbliża się do rozkładu Gaussa, ale pozostaje wyraźnie niegaussowski ogon! skala logarytmiczna! A.F.Żarnecki Wykład II 18
Wielokrotne rozpraszanie Przybliżenie małych katów Rozproszenie przy przejściu ośrodka o grubości x W przybliżeniu rozproszeń pod małymi katami (odrzucajac ogony ±1%) x/2 x θ 0 13.6 MeV β cp [ z x X 0 ( x )] s plane Ψ plane y plane 1 + 0.038 ln X 0 θ plane przybliżenie dobre dla 10 3 < x X 0 < 100 Rozważamy rozproszenie w jednej płaszczyźnie. Średni (kwadratowy) kat rozproszenia (dyspersja rozkładu) θ 0 = θplane 2 Rozpraszanie maleje jak 1 p! Przesunięcie toru: yplane 2 1 xθ 0 3 A.F.Żarnecki Wykład II 19
Elektrony i pozytony Straty energii Czastka rozpraszajaca się w polu jadra (podelgajaca przyspieszeniu) może emitować promieniowanie hamowania. Prawdopodobnieństwo emisji: p 1 M 2 efekt istotny dla najlżejszych czastek Straty energii elektronów w funkcji energii: 1 de E dx (X 0 1 ) 1.0 0.5 0 1 Electrons Møller (e ) Positron annihilation Positrons Bhabha (e + ) Ionization Lead (Z = 82) Bremsstrahlung 0.20 0.15 0.10 0.05 10 100 1000 E (MeV) (cm 2 g 1 ) Wysokoenergetyczne elektrony (pozytony) traca energię praktycznie wyłacznie na promieniowanie hamowania A.F.Żarnecki Wykład II 20
Elektrony i pozytony Straty radiacyjne Wiazka elektronów o energii E 0 przy przejściu przez ośrodek o grubości x: ) ( xx0 E(x) = E 0 exp X 0 - droga radiacyjna w danym materiale. Przybliżona formuła: X 0 = A 716.4 g cm 2 Z(Z + 1)ln(287/ Z) Bardzo szybko maleje z Z! 13Al: 8.9 cm, 29Cu: 1.43 cm, 26Fe: 1.76 cm 82Pb: 0.56 cm Rozkład energii emitowanego fotonu: dσ de γ = (X 0 N A /A) ydσ LPM /dy 1.2 0.8 0.4 0 100 GeV A X 0 N A E γ 10 GeV 1 TeV 10 TeV y = E γ E 0 ( 4 3 4 ) 3 y + y2 100 TeV Bremsstrahlung 1 PeV 10 PeV 0 0.25 0.5 0.75 1 y = k/e Odstępstwo dla bardzo energetycznych elektronów: promieniowanie coraz twardsze A.F.Żarnecki Wykład II 21
Straty radiacyjne Energia krytyczna Energia powyżej której straty radiacyjne przewyższaja straty na jonizację ośrodka. de/dx X 0 (MeV) 200 100 70 50 40 30 20 Copper X 0 = 12.86 g cm 2 E c = 19.63 MeV Rossi: Ionization per X 0 = electron energy Brems E Total Ionization Exact bremsstrahlung Brems = ionization 10 2 5 10 20 50 100 200 Electron energy (MeV) Energia krytyczna E c maleje szybko z Z (podobnie do X 0 ) E c (MeV) 400 200 100 50 20 10 5 610 MeV Z + 1.24 Solids Gases 710 MeV Z + 0.92 H He Li Be B CNO Ne Fe Sn 1 2 5 10 20 50 100 Z Powyżej E c czastka traci energię prawie wyłacznie na promieniowanie. A.F.Żarnecki Wykład II 22
Straty radiacyjne Straty radiacyjne istotne także dla innych czastek, przy odpowiednio wysokich energiach. Szczególne znaczenie ma to dla mionów (brak oddziaływań silnych) Straty energii dla mionu 1000 Energia krytyczna dla mionu 4000 de/dx (MeV g 1 cm 2 ) /home/sierra1/deg/dedx/rpp_mu_e_loss.pro 100 Thu Apr 4 13:55:40 2002 10 1 H (gas) total Fe pair Fe radiative total Fe brems U total Fe total Fe nucl Fe ion 0.1 1 10 10 2 10 3 10 4 10 5 Muon energy (GeV) E µc (GeV) 2000 1000 700 400 200 100 5700 GeV (Z + 1.47) 0.838 Gases Solids 7980 GeV (Z + 2.03) 0.879 H He Li Be B CNO Ne Fe Sn 1 2 5 10 20 50 100 Z Dla energii powyżej 100 GeV pomiar pędu mionów w żelaznym jażmie detektora może być zakłucony przez straty radiacyjne... A.F.Żarnecki Wykład II 23
Straty radiacyjne Ponieważ emitowane fotony moga przejać znaczna część energii mionu, procesy radiacyjne powoduja bardzo duża asymetrię rozkładu strat energii 0.10 0.08 1 TeV muons on 3 m Fe Median 987 GeV/c dn/dp [1/(GeV/c)] 0.06 0.04 Mean 977 GeV/c FWHM 9 GeV/c 0.02 0.00 950 960 970 980 990 1000 Final momentum p [GeV/c] A.F.Żarnecki Wykład II 24
Promieniowanie Czerenkowa Jeśli czastka porusza się w ośrodku z prędkościa większa niż prędkość światła (β > n 1 ) wzbudzone atomy moga wypromieniować niewielka część traconej energii w postaci spójnej fali. Kat emisji promieniowania: cos θ c = 1 nβ v = v g θ c γ c Cherenkov wavefront η Particle velocity v = βc Widmo promieniowania jest ciagłe. Liczba emitowanych fotonów na jednostkę energii: d 2 N γ de γ dx = αz2 h c sin2 θ c 1 370 ev cm sin2 θ c Pomiar kata rozwarcia stożka pozwala na bezpośredni pomiar prędkości czastki! Liczba emitowanych fotonów zależy progowo od prędkości N γ 1 1 n 2 β 2 A.F.Żarnecki Wykład II 25
Fotony Przekrój czynny na oddziaływanie z ośrodkiem w funkcji energii W obszarze małych energii dominuje efekt fotoelektryczny (σ p.e. ) Dla energii rzędu 1 MeV istotny wkład od efektu Comptona (σ Compton ) Dla energii powyżej 10 MeV dominuje kreacja par e + e w polu jader (κ nuc ) A.F.Żarnecki Wykład II 26
Fotony Efekt fotoelektryczny γ + X e + X + Efekt Comptona γ + e γ + e Dla I K < E γ m e oczekujemy σ p.e. 32m7 e E 7 γ α 4 Z 5 σ th W granicy dużych energii E γ m e σ Compton Z πα2 m e E γ [ ( ) Eγ ln m e + 1 2 ] Þ σ th = 8 3 πr2 e = 8πα2 3m 2 e rozkład E: A.F.Żarnecki Wykład II 27
Fotony Kreacja par Prawdopodobieństwo, że w wyniku oddziaływania fotonu powstanie para e + e 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 P 0.5 0.4 Pb Fe NaI Ar H 2 O C H Powyżej 1 GeV : praktycznie wyłacznie kreacja par. Dla niższych energii wkład produkcji par rośnie ze wzrostem Z 0.3 0.2 0.1 0.0 1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 Photon energy (MeV) A.F.Żarnecki Wykład II 28
Fotony Spadek intensywności wiazki ( I(x) = I 0 exp x λ λ - średnia droga swobodna: ) W obszarze dużych energii (dominuje kreacja par): λ = 9 7 X 0 λ = 1 σ tot 1 n a n a - gęstość molekuł: n a = N A ρ A Absorption length λ (g/cm 2 ) 100 10 1 0.1 0.01 0.001 10 4 H C Si Fe Sn Pb 10 5 10 6 10 ev 100 ev 1 kev 10 kev 100 kev 1 MeV 10 MeV 100 MeV 1 GeV 10 GeV 100 GeV Photon energy A.F.Żarnecki Wykład II 29
Kaskada E-M Kaskada elektromagnetyczna Wysokoenergetyczny foton wpadajac w materię konwertuje na parę e + e Elektron w polu jader emituje kolejne fotony, które znów konwertuja... Powstaje lawina czastek, która powiela się tak długo jak E e > E c Gdy energie elektronów spadna poniżej E c starty jonizacyjne kaskada wygasa (1/E 0 )de/dt 0.125 0.100 0.075 0.050 0.025 Energy Photons 1/6.8 Electrons 30 GeV electron incident on iron 0.000 0 0 5 10 15 20 t = depth in radiation lengths Profil podłużny - rozkład Gamma: de dt = E 0 b (bt)a 1 e bt Γ(a) pozycja maksimum [X 0 ] t max = a 1 b ln E E c + C j 100 80 60 40 20 Number crossing plane C γ = +0.5, C e = 0.5 A.F.Żarnecki Wykład II 30
Hadrony Przekrój czynny Dla hadronów przekrój czynny na rozpraszanie elastyczne szybko maleje z energia. Dla E > 1GeV dominuje r. nieelastyczne, σ I praktycznie nie zależy od energii. A.F.Żarnecki Wykład II 31
Hadrony Droga na oddziaływanie Prawdopodobieństwo nieelastycznego rozproszenia w funkcji drogi w materiale: ) ( xλi Średnia droga na oddziaływanie maleje z Z, ale nie tak szybko jak X 0 p(x) = 1 λ I exp λ I - średnia droga na oddziaływanie w danym materiale. λ I 35 g/cm 2 A 1/3 λ I X 0 λ I /X 0 13Al 39.4 cm 8.9 cm 4 26F e 16.8 cm 1.76 cm 10 29Cu 15.1 cm 1.43 cm 11 82P b 17.1 cm 0.56 cm 30 A.F.Żarnecki Wykład II 32
Hadrony Kaskada hadronowa Wysokoenergetyczne hadrony (neutralne i naładowane) oddziałuja silnie z nukleonami/jadrami ośrodka. Produkowane sa czastki wtórne. Czastki traca także energię na wzbudzenia jader i jonizację. Rozpady π składowa E-M kaskady Krotność czastek N ln E Deekscytacja czastek jader - opóźniona emisja Czastki wtórne moga powodować kolejne reakcje kaskada A.F.Żarnecki Wykład II 33
Hadrony Kaskada hadronowa Długość kaskady skaluje się w λ I Pozycja maksimum [λ I ]: t max 0.2ln E[GeV ] + 0.7 Grubość warstwy żelaza potrzebna do zatrzymania kaskady (95% lub 99% energii): 200 99% 12 11 10 Depth in Iron (cm) 150 100 95% / Bock param. / CDHS data / CCFR data 9 8 7 6 5 4 Depth in Iron (λ I ) 50 5 10 50 100 500 1000 Single Hadron Energy (GeV) 3 również rośnie logarytmicznie z energia A.F.Żarnecki Wykład II 34