Materiały dydaktyczne. Podstawy elektrotechniki i elektroniki. Semestr III. Ćwiczenia

Materiały dydaktyczne Podstawy elektrotechniki i elektroniki Semestr III Ćwiczenia 1

Temat 1 (6 godzin): Obwody prądu stałego Zagadnienie: 1. Obwody pasywne prądu stałego. (3h) Obwodem pasywnym nazywa się obwód elektryczny złożony wyłącznie z elementów pasywnych, czyli określonych tylko rezystancją R. Rozwiązanie obwodu pasywnego polega na obliczeniu rozpływu prądów w gałęziach i rozkładu napięć na poszczególnych elementach przy podanym stałym napięciu zasilania, uproszczenie obwodu pasywnego rozgałęzionego sprowadza się do wyznaczenia rezystancji zastępczej dla elementów połączonych szeregowo ze wzoru lub równolegle n R z R n 1 n 1 1 z R n R 1 Ohma Do rozwiązania obwodu pasywnego nierozgałęzionego wystarczy znajomość prawa U I R W metodzie rozwiązywania obwodów pasywnych wyodrębnia się dwie części. W pierwszej części należy uprościć obwód do postaci nierozgałęzionej w celu obliczenia prądu płynącego ze źródła, natomiast w drugiej należy rozwijać obwód do postaci pierwotnej jednocześnie obliczając spadki napięcia na gałęziach. Biegunowość napięcia przyjęto oznaczać na schematach za pomocą strzałki, której grot wskazuje potencjał wyższy, czyli zacisk dodatni. Dodatni zwrot prądu przyjmuje się, zgodnie z tradycją, od zacisku dodatniego do ujemnego. Wobec tego spadek napięcia na rezystancji R ma zwrot przeciwny do kierunku prądu. 2

Zadanie 1 Cztery jednakowe oporniki, każdy o rezystancji R, połączono w sposób pokazany na rys. 1. Obliczyć rezystancję zastępcze w poszczególnych przypadkach. Rys. 1 3

Zadanie 2 Znaleźć spadki napięcia na poszczególnych gałęziach obwodu (rys. 2), jeżeli amperomierz wskazuje 3A, R 1 = 3, R 2 =2, R 3 =4. Rys. 2 Zadanie 3 Trzy jednakowe uzwojenia stojana silnika trójfazowego połączono w trójkąt (rys. 3). Rezystancja zmierzona między zaciskami A i B wynosi 44Ω. Obliczyć rezystancję jednego uzwojenia. Rys. 3 Zadanie 4 Obwód podany na rys. 4 zasilany jest ze źródła napięcia stałego o wartości U = 220V. Liczby oznaczają rezystancję w omach. Obliczyć prąd pobierany ze źródła. 4

Rys. 4 Zadanie 5 W obwodzie przedstawionym na rys. 5 obliczyć rozpływ prądów. Liczby oznaczają rezystancje w omach. Rys. 5. Zadanie 6 omach). Rozwiązać obwód pasywny, podany na rys. 6 (liczby oznaczają rezystancje w Rys. 6. 5

Zadanie 7 W obwodzie pasywnym (rys. 7) znane są rezystancje oraz prąd płynący przez rezystancję R 4. Obliczyć rozpływ prądów i napięcie zasilania. Rys. 7. Zadanie 8 Rozwiązać obwód rozgałęziony, przedstawiony na rys. 8. Rys. 8. 6

Zadanie 9 Rozwiązać obwód pasywny, podany na rys. 9. Rys. 9 Zadanie 10 W obwodzie, podanym na rys. 10 prąd I 2 = 2A. Wartości rezystancji: R 1 = 3Ω, R 2 = 18Ω, R 3 = 3Ω, R 4 = 6 Ω. Obliczyć rezystancje zastępcze obwodu i napięcie zasilające. Rys. 10 7

Zadanie 11 Dziewięć jednakowych oporników o rezystancji R każdy, połączono w sposób pokazany na rys. 11. Obliczyć rezystancje zastępcze R AB i R AC. Rys. 11 Zadanie 12 W obwodzie przedstawionym na rys. 12, obliczyć prądy we wszystkich gałęziach, napięcie doprowadzone do układu oraz rezystancję zastępczą układu. Dane obwodu: R 1 = 5Ω, R 2 = 12Ω, R = 6Ω, R 4 = 3Ω, R 5 = 4Ω oraz I = 15A. Rys. 12 8

Zadanie 13 W obwodzie (rys. 13) napięcie w rezystorze R 5 jest równe 120V. Obliczyć prądy we wszystkich gałęziach oraz napięcie zasilające, jeżeli R 1 = R 4 = 2Ω, R 2 = R 3 = R 6 = 4Ω, R 5 = 12Ω. Rys. 13 Zadanie 14 Obliczyć całkowity prąd i napięcie doprowadzone do obwodu (rys. 14) jeżeli spadek napięcia U 6 = 36V, R 1 = 1Ω, R 2 = 5Ω, R 3 = 12Ω, R 4 = 12Ω, R 5 = 21Ω, R 6 = 4Ω. Rys. 14 9

Zadanie 15 Wyznaczyć prądy w gałęziach obwodu (rys. 15), jeżeli U = 120V, R 1 = R 6 = 45Ω, R 2 = 220Ω, R 3 = 76Ω, R 4 = 240Ω, R 5 = 360Ω. Rys. 15 Zadanie 16 W obwodzie pokazanym na rys. 16 o danych U = 44V, R 1 = 40Ω, R 2 = R 4 = 120Ω, R 3 = 20Ω, R 5 = 35Ω, R 6 = 45Ω obliczyć prądy w gałęziach i prąd całkowity.. Rys. 16 10

Zadanie 17 Obliczyć rezystancje zastępcze między punktami A i E oraz G i F, jeżeli w obwodzie (rys. 17) dane są: R 1 = 3Ω, R 2 = R 5 = R 7 = R 8 = 4Ω, R 3 = 12Ω, R 4 = 6Ω, R 6 = 12Ω. Rys. 17 Zadanie 18 Do dzielnika napięcia składającego się z rezystorów R 1 i R 2 doprowadzono napięcie U = 200V (rys. 18). Obliczyć napięcia U 2 na wyjściu dzielnika przy otwartym i zamkniętym wyłączniku W. R 1 = 100Ω, R 2 = R 3 = 300Ω. Rys. 18 11

Zadanie 19 Odbiornik o rezystancji R odb = 40Ω zasilany jest z potencjometru (R p = 80Ω), do którego końców doprowadzono napięcie U = 120V (rys. 19). Obliczyć prąd i napięcie odbiornika, jeżeli suwak potencjometru znajduje się w położeniu środkowym (R g = R d ). Rys. 19 Zadanie 20 Odbiornik zasilany jest z potencjometru (rys. 19). Rezystancja potencjometru R p = 200Ω, napięcie zasilające U = 300V. Jaka jest rezystancja odbiornika, jeżeli przy położeniu środkowym suwaka potencjometru napięcie na odbiorniku U odb = 120V? Zadanie 21 Do obwodu pokazanego na rys. 20, doprowadzono napięcie U AC = 6 V. Dane obwodu: R 1 = 1Ω, R 3 = 3Ω, R 2 = R 4 = 6Ω. Obliczyć napięcie U BD przy otwartym wyłączniku W. Rys. 20 12

Zadanie 22 W obwodzie przedstawionym na rys. 20, napięcie między biegunami otwartego wyłącznika W wynosi 3V. Obliczyć napięcie zasilające U. Zadanie 23 W obwodzie z zadania 21 (rys. 20) obliczyć, czy większy będzie prąd w obwodzie przy zamkniętym, czy przy otwartym wyłączniku W. Zadanie 24 Obliczyć prąd w gałęzi BD obwodu (rys. 20) przy zamkniętym wyłączniku W. Dane obwodu: U = 36V, R 1 = 2Ω, R 2 = 3Ω, R 3 = 6Ω, R 4 = 4Ω. Zadanie 25 Trzy spirale grzejnika połączono w trójkąt, z którego wierzchołków wyprowadzone są trzy przewody (rys. 3). Mierząc rezystancję między poszczególnym przewodami otrzymano następujące wyniki: R AB = 16Ω, R BC = 25Ω i R CA = 21Ω. Obliczyć rezystancje poszczególnych spiral grzejnika. Zagadnienie: 2. Obwody aktywne prądu stałego. (3h) Obwody aktywne prądu stałego to takie, w których znajduje się co najmniej jeden element aktywny. Może nim być prądnica, akumulator, silnik itd. W każdym elemencie aktywnym wytwarzana jest siła elektromotoryczna (SEM). Jedną z wielu metod rozwiązywania rozgałęzionych obwodów aktywnych jest metoda równań Kirchhoffa. I prawo Kirchhoffa podaje bilans prądów w węźle. 13

I 0 II prawo Kirchhoffa podaje bilans sił elektromotorycznych E i spadków napięć IR w dowolnie wybranym obwodzie zamkniętym, czyli w oczku E IR 0 Pierwszą czynnością w rozwiązaniu obwodu rozgałęzionego jest upraszczanie (wyznaczanie rezystancji zastępczych oraz sumowanie algebraiczne SEM występujących w jednej gałęzi). Ilość gałęzi (zarówno pasywnych i aktywnych) określa liczbę niewiadomych prądów n x, a więc i równań niezależnych, jeśli obwód posiada w węzłów, to należy ułożyć n x1 = w - 1 równań węzłowych (według I prawa Kirchhoffa). Pozostałą liczbę równań n x2 układa się dla oczek niezależnych według II prawa Kirchhoffa n x2 = n x (w 1) Przed zapisem równań należy: a) Wybrać n x1 niezależnych węzłów, oznaczyć prądy w gałęziach i nadać im zwroty w dowolny sposób. Spadek napięcia na rezystancji oznaczyć w kierunku przeciwnym do prądu. b) Wybrać n x2 niezależnych oczek. Niezależność tę można uzyskać wtedy, gdy powierzchnie zamknięte w oczkach nie nakrywają się wzajemnie. c) Zorientować oczka, tzn. nadać dodatni zwrot przy obiegu oczka. Jeżeli, wędrując wzdłuż gałęzi tworzących oczko, spotyka się SEM lub napięcie źródła o zwrocie zgodnym z orientacją dodatnią, to przypisuje się im znak dodatni i odwrotnie. Podobnie ze spadkiem napięcia na rezystancjach. II prawo Kirchhoffa dla podanych założeń ma postać: E IR 0 14

(suma sił elektromotorycznych i spadków napięcia na rezystancjach po lewej stronie równania równa jest zero). w obwodach prądu stałego zarówno aktywnych (prądnica, silnik), jak i pasywnych (grzejnik) moc elektryczna P wyrażona jest wzorem: Moc źródła P źr : P = U I P źr = E I Moc odbiornika P odb będącego opornikiem o rezystancji R = const. wynosi: P odb = I 2 R lub P odb = U 2 /R Zadanie 26 Dwa źródła połączone równolegle zasilają odbiornik. Stosunek prądów źródeł jest odwrotnie proporcjonalny do ich rezystancji wewnętrznych. Jaki jest stosunek sił elektromotorycznych źródeł? Zadanie 27 W obwodzie przedstawionym na rys. 21 obliczyć napięcie U oraz prądy I, I 1, I 2, jeżeli E 1 = E 2 = 6,3V, E 3 = 6,2V, R w1 = 0,4Ω, R w2 = 0,6Ω, R w3 = 0,26Ω, R = 2Ω. Rys. 21 15

Zadanie 28 Przy jakiej wartości E 2 prąd I w gałęzi zawierajęcej siłę elektromotoryczną E 2, równa się zero (rys. 22). Rys. 22 Zadanie 29 W obwodzie, przedstawionym na rys. 23, E 2 = 1/3 E 1. Przyjmując prąd I w gałęzi zawierającej siłę elektromotoryczną E2 równy zero, obliczyć rezystancję R x. Rys. 23 Zadanie 30 W obwodzie, przedstawionym na rys. 24, siły elektromotoryczne równają się E = 100V, E = 200V. Przy jakim stosunku rezystancji R 1 i R 2 zwarcie między punktami A i B nie spowoduje zmiany rozpływu prądu w obwodzie? Rys. 24 16

Zadanie 31 W obwodzie, podanym na rys. 25, siły elektromotoryczne E 1 = 100V, E 2 = 120V, rezystancje R 1 = 10Ω, R 2 = 40Ω. Obliczyć prąd I. Rys. 25 Zadanie 32 Obliczyć napięcie U, jeżeli siły elektromotoryczne E 1 = 120V, E 2 = 160V, rezystancje R 1 = 20Ω, R 2 = 10Ω, R = 50Ω (rys. 26). Rys. 26 Zadanie 33 W obwodzie (rys. 27) przedstawiono wycinek obwodu elektrycznego. Dane są siły elektromotoryczne E 1 = 100V, E 2 = 130V, prąd I = 8A, rezystancje R 1 = 3Ω,R 2 = 5Ω, napięcie U AC = 70V. Obliczyć wartości bezwzględne prądów I 1 i I 2. Rys. 27 17

Zadanie 34 Dla układu mostkowego (rys. 28) napisać równania Kirchhoffa oraz obliczyć prąd w gałęzi 5, jeżeli E = 16V, R 1 = 6Ω, R 2 = 2Ω, R 3 = 2Ω, R 4 = 6Ω, R 5 = 2Ω, R 6 = 2Ω. Rys. 28 Zadanie 35 W podanym na rys. 29 obwodzie aktywnym znane są rezystancje oraz SEM idealnych źródeł. Obliczyć rozpływ prądów. Rys. 29 Zadanie 36 Obliczyć rozpływ prądów w obwodzie aktywnym (rys. 30). Rys. 30 18

Zadanie 37 Przy jakiej rezystancji R 3 napięcie U AB będzie się równać 20V, jeżeli obwód (rys. 31) posiada parametry: E 1 = 10V, E 2 = 20V, E 3 = 20V, R 1 = 5Ω, R 2 = 10Ω. Rys. 31 Literatura: 1. Koś E., Krasucka E.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Skrypt Wyższej Szkoły Morskiej w Szczecinie 1982. 2. 2) Cichowska Z.: Zbiór zadań z elektrotechniki teoretycznej. Politechnika Śląska, 1971. 19

Temat 2 (2 godziny): Obwody magnetyczne nierozgałęzione Zagadnienie: 1. Obwody magnetyczne nierozgałęzione. Obwód magnetyczny jest torem, w którym skupiają się linie pola magnetycznego. Przyczyną powstawania tych linii może być magnes trwały, umieszczony w obwodzie lub prąd płynący w cewce. Kształt torów można formować za pomocą ferromagnetycznego materiału. Wzory opisujące obwód magnetyczny są w swej postaci podobne do wzorów opisujących obwód elektryczny. Analogia ta jest tylko formalna i nie zawsze posiada interpretację fizyczna. Formalny charakter posiada również terminologia przeniesiona z obwodów elektrycznych. Wielkości elektryczne i magnetyczne wzajemnie sobie odpowiadające podano w poniższym zestawieniu. Wielkości elektryczne Wielkości magnetyczne Siła elektromotoryczna (SEM) - E [V] Siła magnetomotoryczna (SMM) - Θ = Iz [A] Prąd - I [A] Strumień magnetyczny - Φ [Wb] Rezystancja - l R [ ] Reluktancja - l R [ ] S S Napięcie - U = RI [V] Napięcie magnetyczne - U m = R m Φ = Hl [A] E I R Prawo Ohma dla obwodu zamkniętego R m Pierwsze prawo Kirchhoffa dla węzła E 0 0 Drugie prawo Kirchhoffa dla oczka E RI 0 Hl 0 (prawo przepływu) 20

Obok analogii istnieją również różnice, które nie pozwalają na stosowanie identycznej techniki obliczeniowej. Przede wszystkim obwody magnetyczne są obwodami nieliniowymi z powodu istnienia w nich materiału ferromagnetycznego. Krzywa magnesowania sprawia, że prawo Ohma i prawa Kirchhoffa dla obwodu magnetycznego przedstawiają zależności nieliniowe i nie odpowiadają zasadzie superpozycji. W obliczaniach obwodów nieliniowych stosowane są metody wykreślne i analitycznowykreślne. Metody czysto analityczne są stosowane jedynie w poszczególnych przypadkach przy odpowiednia sformułowaniu tematu zadania. W obwodach elektrycznych występują zwykle dwa typy zadań: a) przy danych SEM i rezystancji należy obliczyć rozpływ prądów; b) przy danym prądzie i rezystancji należy obliczyć napięcie lub SEM źródła. Jeżeli obwód jest nieliniowy, zadanie typu a nie jest analitycznie rozwiązywalne. W obwodach magnetycznych można rozpatrywać takie same typy zadań, w których zamiast SEM i prądu przyjmie się odpowiednio SMM i strumień magnetyczny. Jednakże, z powodu nieliniowości, znaczenie praktyczne posiada tu zadanie typu b. Zakłada się wymaganą wartość strumienia magnetycznego i przy znanych wymiarach oraz własnościach magnetycznych rdzenia stalowego wyznacza się analitycznie siłę magnetomotoryczną (SMM). O własnościach magnetycznych stali informuje krzywa magnesowania. Posługiwanie się tę krzywą jest więc nierozłączną czynnością przy obliczaniach obwodów magnetycznych. Rozwiązanie analityczne zadania typu b w obwodach magnetycznych nierozgałęzionych przebiega według następującego schematu: 1. Przy założeniu strumienia magnetycznego Φ oblicza się indukcję magnetyczną B: S gdzie S jest przekrojem rdzenia prostopadłym do kierunku strumienia. W obwodzie doskonałym Φ = const. i wartość indukcji magnetycznej zmienia się wraz z przekrojem. Należy więc podzielić cały obwód na szereg odcinków, w którym S = const. Szczelinę powietrzną wyodrębnia się w oddzielny odcinek. 21

2. Znajomość indukcji w poszczególnych odcinkach obwodu umożliwia wyznaczenie w nich natężenia pola magnetycznego H. - Natężenie pola H w stali wyznacza się wprost z krzywej magnesowania B = f(h). Znana zależność H = B/μ nie może być tu wykorzystana, gdyż przenikalność dla stali jest zmienna i na ogół nie podawana w literaturze. - Odcinki obwodu magnetycznego wykonane z materiałów nie ferromagnetycznych (powietrze, miedź, aluminium, drewno itd.) są elementami liniowymi. Dla nich przyjmuje się przenikalność próżni: a następnie oblicza się natężenie pola H p ze wzoru : μ 0 4π 10 7 H [ ] m H p B μ p 0 Bp 4 10-7 0,8 B p 10 6 A [ ] 0,8 B m p 4 10 [ A cm ] 3. Siłę magnetomotoryczną (SMM) czyli przepływ Θ oblicza się z drugiego prawa Kirchhoffa: Hl gdzie przez l rozumie się długość tej części obwodu, w której natężenie pola jest stałe. Długość ta musi być mierzona wzdłuż środkowej linii rdzenia i równoległej do kierunku strumienia. Przy prostokątnym kształcie rdzenia można przyjmować w narożnikach długość nie w formie łuku, lecz w formie dwóch odcinków do siebie prostopadłych. UWAGA - Zwrot strumienia określa ale za pomocą reguły korkociągu lub śruby prawoskrętnej. - Przy istnieniu izolacji międzyblachowej przekrój rdzenia S oblicza się następująco: S = S 1 k F gdzie: S 1 - przekrój rdzenia obliczony z wymiarów geometrycznych, k F - współczynnik wypełnienia przekroju czynną blachą. 22

Zadanie 1 Na toroid wykonany z materiału o μ>>μ 0 nawinięto dwa uzwojenia (rys. 32). W pierwszym uzwojeniu o z 1 = 100 płynie prąd I 1 = 4A, w drugim uzwojeniu o z 2 = 70 płynie prąd I 2 = 5A. Jaki zwrot ma strumień magnetyczny w toroidzie? Rys. 32 Zadanie 2 Na rysunku 33 przedstawiono toroid wykonany z materiału o μ = 10 3 μ 0 i wymiarach geometrycznych R 1 =10cm, R 2 = 15cm, h = 5cm. Na toroid nawinięto cewkę o z = 1000 zwojów. Przez cewkę płynie prąd I = 1A. Obliczyć strumień magnetyczny przenikający przez rdzeń toroidu. Rys. 33 23

Zadanie 3 Toroid o przekroju kołowym (rys. 34) wykonano z materiału o μ = 10 3 μ 0 i wymiarach R 1 =12cm, R 2 = 14cm. Na toroid nawinięto cewkę o z = 100 zwojów. Strumień przenikający przez rdzeń toroidu Φ = 2,42 x 10-5 Wb. Obliczyć prąd I płynący przez cewkę. Rys. 34 Zadanie 4 Na rdzeń o przekroju prostokątnym ze szczeliną (rys. 35a) nawinięto cewkę o z = 200 zwojów. Średnia droga strumienia w rdzeniu l = 100cm, długość szczeliny δ = 0,3 mm. Na rysunku 35b przedstawiono krzywe magnesowania materiału, z którego wykonano rdzeń. Przy jakiej wartości prądu I w cewce, indukcja w szczelinie osiągnie wartość B = 1T? Rys. 35 24

Zadanie 5 Na toroid ze szczeliną (rys. 36a) nawinięto cewkę o ilości zwojów z = 300, przez którą płynie prąd I = 2A. Średnia długość drogi strumienia w toroidzie l = 80cm, szczelina δ = 0,2mm, powierzchnia przekroju toroidu S = 6cm 2. Na rysunku 36b przedstawiono krzywą magnesowania materiału, z którego wykonano toroid. Obliczyć strumień indukcji magnetycznej w toroidzie. Rys. 36 Zadanie 6 W ciągu jakiego czasu strumień sprzężony z cewka zmaleje z wartości Φ 1, do wartości Φ 2, jeżeli wiadomo, że siła elektromotoryczna indukowana w cewce jest stała i posiada wartość e? Zadanie 7 W chwili t = 0 przez cewkę o z = 100 zwojów przenika strumień magnetyczny o wartości Φ = 10-5 Wb. Jaką wartość osiągnie strumień po upływie jednej sekundy, jeżeli 25

wiadomo, że strumień wzrasta, a w cewce indukowana jest stała siła elektromotoryczna E = 1V? Zadanie 8 Na rysunku 37 (wymiary podano w centymetrach) przedstawiono cewkę o ilości zwojów z = 100 nawiniętą na obwód magnetyczny o μ = 10-3 H/m. Wyznaczyć indukcyjność cewki. Rys. 37 Literatura: 1. Koś E., Krasucka E.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Skrypt Wyższej Szkoły Morskiej w Szczecinie 1982. 2. Markiewicz A.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Warszawa, WsiP 1978. 26

Temat 3 (7 godzin): Obwody prądu przemiennego Zagadnienie: 1. Okres, częstotliwość, pulsacja, wartość skuteczna i średnia. (1h) Częstotliwość i okres prądu sinusoidalnego: f 1 T ω 2π gdzie T - okres w sekundach, f - częstotliwość w hercach (Hz), ω - pulsacja w radianach na sekundę (rad/s). Zależność między prędkością obrotową - n, liczbą par biegunów - p i częstotliwością - f: gdzie n podane jest w obr/min. Wartości chwilowe SEM, napięcia i prądu sinusoidalnie zmiennych: pn f 60 e = E m sin ωt u = U m sin(ωt+φ u ) i = I m sin(ωt+φ i ) gdzie φ - faza początkowa w chwili t = 0; E m, U m, I m wartości maksymalne. Wartość średnia półokresowa: I śr 2 T T 2 0 i dt Wartość średnia całookresowa: 27

I śr 1 T T 2 0 i dt Dla prądu sinusoidalnego wartość średnia półokresowa wynosi: I śr 2 T T 2 0 I m sin ωt dt 2 π I m Wartość skuteczna: 1 I T T 0 i 2 dt Dla prądu i napięcia sinusoidalnego wartości skuteczne wynoszą: Im I ; 2 U U 2 0,707U m m. Zadanie 1 Hydrogenerator zasila sieć o częstotliwości f = 50Hz. Prędkość kątowa wirnika ω = 20,9rad/s [n = 200obr/min]. Obliczyć liczbę par biegunów generatora. Zadanie 2 Obliczyć częstotliwość prądnicy o dwóch parach biegunów i prędkości wirnika ω = 52,3rad/s [n = 500obr/min]. kątowej 28

Zadanie 3 Prąd i napięcie maja następujące przebiegi: u = 310sin(ωt), i = 2sin(ωt π/4). Obliczyć wartości chwilowe napięcia i prądu dla t = 0,005s, jeżeli f = 50Hz. Zadanie 4 Dwie wielkości sinusoidalnie zmienne przesunięte są w fazie o kąt φ = π/6. Jakie jest przesunięcie w czasie ich dodatnich wartości maksymalnych, jeżeli częstotliwość f = 500Hz. Zadanie 5 Trzy źródła napięcia sinusoidalnego połączono szeregowo. SEM każdego źródła zmienia się w czasie według następujących funkcji: e 1 = 28,3 sin(ωt), e 2 = 56 sin(ωt - π/4), e 3 = 113 sin(ωt + 4). Posługując się wektorami wyznaczyć wykreślnie i analitycznie SEM na zaciskach obwodu oraz napisać jej sinusoidę. Zadanie 6 Wskazanie woltomierza włączonego do sieci o napięciu sinusoidalnym wynosi 220V. Obliczyć wartość maksymalną napięcia. Zadanie 7 Prąd o przebiegu i = I m sin(ωt + 2π/3) jest mierzony amperomierzem elektromagnetycznym. Jakie jest wskazanie amperomierza, jeżeli w chwili t = 0 wartość chwilowa prądu i = 1,3A. UWAGA: Mierniki elektromagnetyczne wskazują wartość skuteczną. 29

Zagadnienie: 2. Obwody nierozgałęzione jednofazowe, rezonans napięć (2h) Do analizy obwodu prądu przemiennego wprowadzone zostały następujące wielkości, tzw. elementy obwodu: a. Rezystancja R. b. Reaktancja indukcyjna, która występuje w każdej cewce indukcyjnej: X L = ωl = 2πfL, gdzie L - indukcyjność a henrach (H). c. Reaktancja pojemnościowa, występująca w każdym kondensatorze: X C = 1/ωC = 1/2πfC, gdzie C - pojemność w faradach (F). d. Reaktancja, która jest różnicę reaktancji indukcyjnej i pojemnościowej: X = X L - X C e. Impedancja, określona wzorami Z R i odwzorowana za pomocą trójkąta impedancji. Między wektorami prądu i napięcia występuje kąt przesunięcia fazowego: cos φ = R/Z, sin φ = (X L - X C )/Z przy tym za dodatni zwrot kąta φ przyjmuje się kąt mierzony od wektora prądu do napięcia. Kąt przesunięcia fazowego zależy od charakteru elementów obwodu: a. Na elemencie rezystancyjnym nie ma żadnego przesunięcia fazowego. b. Na reaktancji indukcyjnej wektor napięcia wyprzedza wektor prądu o kąt π/2. c. Na reaktancji pojemnościowej wektor napięcia opóźnia się względem wektora prądu o kąt π/2. d. Przy szeregowym łączeniu elementów RLC wektor napięcia wyprzedzę lub opóźnia się względem wektora prądu o kąt φ jaki wynika z trójkąta impedancji. 2 X 2 Rzut wektora napięcia na wektor prądu wyznacza składową czynną napięcia: 30

U cz = U cosφ = RI, a rzut wektora napięcia na prostą prostopadłą do wektora prądu - składową bierną napięcia: U b = U sinφ = X L I lub U b = U sin(-φ) = -X C I Napięcie można więc wyznaczyć, jako: U, 2 2 U cz Ub W obwodzie nierozgałęzionym działa prawo Ohma: U I Z gdzie prąd I oraz napięcie U wyrażone są w wartościach skutecznych. Moc jest dostarczona do obwodu w postaci: a) mocy czynnej P = U I cos φ (W), gdzie cos φ nazywa się współczynnikiem mocy; b) mocy biernej Q = U I sin φ (var); c) mocy pozornej S = U I (VA). Moc pozorna tworzy z pozostałymi mocami trójkąt mocy, który wynika z relacji: S P 2 Q 2 tg Q P W obwodzie szeregowym RLC wystąpi rezonans napięć, gdy źródło zasilające ma częstotliwość: 31

f 0 1 2 LC UWAGA: W treści zadań niniejszego rozdziału nie jest podana częstotliwość źródła zasilania, należy zatem przyjąć wartość częstotliwości sieciowej f = 50Hz. ω = 2πf = 314rad/s Jako wektor odniesienia na wykresach wektorowych przyjmują się z reguły wektor prądu. Zadanie 8 Do źródła prądu sinusoidalnego o napięciu U = 220V (wartość skuteczna) przyłączono idealną cewkę o indukcyjności L = 86mH. Obliczyć prąd płynący przez cewkę (wartość skuteczną) oraz moc czynną, bierną i pozorną pobieraną przez cewkę. Zadanie 9 Do sieci prądu sinusoidalnego o napięciu U = 380V przyłączono idealny kondensator o pojemności C = 36,7μF. Obliczyć prąd płynący przez kondensator oraz moc czynną, bierną i pozorną pobierane przez kondensator. Zadanie 10 Cewkę o rezystancji R = 80Ω i indukcyjności L = 255mH włączono do źródła prądu sinusoidalnego o napięciu U = 24V. Obliczyć prąd w obwodzie, napięcia na rezystancji U oraz na cewce U, a także przesunięcie fazowe między prądem i napięciem. Ponadto obliczyć moc pobierane ze źródła i wykonać wykres wektorowy. Zadanie 11 W cewce bezrdzeniowej włączonej do źródła o napięciu stałym U = 4,2V, płynie prąd I = 0,14A a przy włączeniu jej do źródła o napięciu sinusoidalnym (U = 76V) prąd w cewce I = 32

1,5A. Obliczyć reaktancję indukcyjną i indukcyjność cewki oraz moc pobieraną z sieci przy prądzie stałym i przemiennym; wykonać wykres wektorowy. Zadanie 12 Przy włączaniu cewki z rdzeniem stalowym do źródła o napięciu U = 120V i częstotliwości f = 100Hz prąd w cewce był równy 0,5A. Po wyjęciu rdzenia z cewki prąd zwiększył się do 8A. Rezystancja cewki R = 4Ω Obliczyć indukcyjność cewki w obu przypadkach, nie uwzględniając strat energii w rdzeniu. Zadanie 13 W celu obliczania parametrów cewki indukcyjnej włączono ją wraz z miernikami do sieci napięcia przemiennego. Mierniki wskazywały następujące wartości: woltomierz U = 220V, amperomierz I = 5,3A, watomierz P = 780W. Sposób włączenia mierników podano na rys. 38. Obliczyć parametry cewki (R, L, Z), moc bierną i pozorną pobierane z sieci oraz wykonać wykres wektorowy. Rys. 38 33

Zadanie 14 Kondensator o pojemności C = 10μFpołączono szeregowo z opornikiem o rezystancji R = 500Ω i włączono do sieci napięcia przemiennego o napięciu skutecznym U = 240V. Należy obliczyć prąd w obwodzie, spadki napięć U R, U c, przesunięcie fazowe między prądem a napięciem oraz moc pobieraną z sieci. Ponadto wykonać wykres wektorowy. Zadanie 15 Szeregowo z grzejnikiem o mocy P = 40W i napięciu znamionowym U = 220V włączono kondensator. Jaka musi być pojemność kondensatora, aby po doprowadzeniu do układu napięcia U = 380V napięcie na grzejniku było równe 220V. Zadanie 16 W nierozgałęzionym obwodzie, złożonym z opornika o rezystancji R = 400Ω i dwóch kondensatorów (C 1 = 16μF, C 2 = 4μF) płynie prąd I = 0,24A. Obliczyć prąd w obwodzie, poszczególne napięcia i kąt φ między prądem i napięciem zasilającym, po zwarciu kondensatora C 2. Ponadto obliczyć moc czynną, bierną i pozorną pobieraną z sieci oraz wykonać wykres wektorowy przed i po zwarciu kondensatora C 2. Zadanie 17 Rtęciowa lampa wyładowcza zasilana napięciem 220V ma moc 500W i pobiera prąd 4A; lampa ta musi być wyposażona w dławik szeregowy. Obliczyć napięcie na lampie, samoindukcji dławika U L oraz na zaciskach dławika U RL (przy rezystancji jego uzwojenia wynoszącej R = 2Ω), a także indukcyjność dławika, moc całkowitą pobieraną z sieci, moc dławika oraz cos φ układu. Sporządzić wykres wektorowy. 34

Zadanie 18 Cewkę o rezystancji R = 150Ω i indukcyjności L = 319mH połączono szeregowo z kondensatorem o pojemności C = 31,9μF. Do układu doprowadzono napięcia przemienne U = 240V. Należy obliczyć prąd w obwodzie, napięcia na cewce i kondensatorze oraz przesunięcie fazowe między prądem i napięciem, moc czynną, bierną i pozorną pobieraną z sieci oraz moc na cewce i kondensatorze. Sporządzić bilans mocy a na podstawie trójkąta mocy wykonać wykres wektorowy. Zadanie 19 W szeregowym obwodzie RLC (rys. 39), U R = 40V, U L = 40V, U = 50V, R = 160Ω. Obliczyć indukcyjność cewki i pojemność kondensatora oraz wykonać wykres wektorowy. Rys. 39 Zadanie 20 Obwód podany na rys. 40 zasilany jest z sieci o napięciu przemiennym U = 212V, R 1 = 40Ω, R 2 = 60Ω, L 1 = L 2 = L 3 = 180mH, C 1 =33μF, C 2 = 22μF. Obliczyć impedancję obwodu i prąd płynący z sieci, napięcia na poszczególnych elementach, moc pozorną, czynną i bierną pobierane z sieci oraz wykonać wykres wektorowy. 35

Rys. 40 Zadanie 21 Do źródła napięcia przemiennego włączono szeregowo cewkę indukcyjną o rezystancji R 1 = 2Ω i indukcyjności L 1 = 121mH, opornik o rezystancji R 1 = 4Ω oraz kondensator o pojemności C = 55μF (rys. 41). Zmierzone napięcie na zaciskach kondensatora wynosi U = 350V. Obliczyć: prąd płynący ze źródła, napięcie źródła oraz napięcie na cewce U 1. Wykonać wykres wektorowy. Rys. 41 Zadanie 22 Trzy odbiorniki połączono szeregowo włączono do sieci prądu przemiennego (rys. 42). Napięcie na odbiornikach odpowiednio wynoszą: U 1 = 50 V, U 2 = 150V, U 3 = 220V. Odbiornik pierwszy posiada tylko rezystancję R 1 = 25Ω, drugi rezystancję R 2 = 35Ω oraz indukcyjność, trzeci rezystancję R 3 = 50Ω oraz pojemność. Należy obliczyć: indukcyjność drugiego odbiornika i pojemność trzeciego odbiornika, napięcie sieci i kąt fazowy między tym napięciem i prądem oraz wykonać wykres wektorowy. 36

Rys. 42 Zadanie 23 Odbiornik pobiera moc czynną P 2 = 420kW i bierną pojemnościową Q = 560kvar przy napięciu U = 3,1kV. Zasilanie odbiornika odbywa się za pomocą linii napowietrznej, której rezystancja R = 1,2Ω, a reaktancja indukcyjna X P = 3,2Ω. (rys. 43). Należy obliczyć napięcie U L, współczynnik mocy, moc czynną, bierną i pozorną na początku linii oraz sprawność przesyłania. Wykonać wykres wektorowy. Rys. 43 Zadanie 24 Dany jest obwód prądu przemiennego z szeregowo połączonymi elementami R, L, C. Napięcie zasilania U = 220V, R = 15Ω, L = 158mH (rys. 44). Dobrać pojemność tak, aby 37

uzyskać rezonans napięć przy f = 50Hz a następnie obliczyć prąd płynący ze źródła i współczynnik mocy w warunkach rezonansowych oraz napięcia na każdym elemencie obwodu przy rezonansie. Wykonać wykres wektorowy dla rezonansu. Rys. 44 Zadanie 25 Przy pomiarze indukcyjności metodą rezonansową do zacisków generatora akustycznego włączono obwód szeregowy złożony z amperomierza, kondensatora wzorcowego o pojemności C N = 40nF i badanej cewki. Regulując częstotliwość generatora, maksymalny prąd uzyskano przy f = 3kHz. Obliczyć indukcyjność cewki. Zagadnienie: 3. Obwody równoległe. Rezonans prądów. (1h) Dla obwodów równoległych wprowadzono następujące wielkości: a. Konduktancja G = 1/R (S) b. Susceptancja indukcyjna: B L = 1/ωL (S), gdzie L - indukcyjność a henrach (H). c. Susceptancja pojemnościowa: B C = ωc (S) gdzie C - pojemność w faradach (F). d. Admitancja: 38

2 2 2 1 Y G ( B C - BL ) (S), Z która jest odwzorowana za pomocą trójkąta admitancji. Kąt przesunięcia fazowego między prądem i napięciem: BC BL arctg. G Prawo Ohma dla obwodu równoległego: I = UY Podstawą obliczeń układów równoległych obok prawa Ohma jest I prawo Kirchhoffa - bilans prądowy w węźle: I 1 I 2 I n I... mówiący, że prąd płynący za źródła jest sumą wektorową znanych prądów gałęziowych. Na wykresach wektorowych jako wektor odniesienia należy przyjęć wektor napięcia, gdyż na gałęziach równoległych panuje to samo napięcie. Rzut wektora prądu na wektor napięcia nazywa się składową czynną prądu: I cz = I cos φ, a rzut wektora prądu na oś prostopadłą do wektora napięcia - składową bierną prądu: I b = I sin φ Moduł prądu wypadkowego (pobieranego ze źródła): zaś współczynnik mocy: I 2 2 cz Ib I, cos φ = I cz /I 39

Przy częstotliwości f, takiej, że: f 0 1, 2 LC wystąpi rezonans prądów (obwód równoległy jest bezsusceptancyjny B = 0, φ = 0). Zadanie 26 Obwód złożony z opornika o rezystancji R = 110Ω i cewki o indukcyjności L = 350mH połączonych równolegle, włączono do źródła o napięciu U = 220V i częstotliwości f = 50Hz Obliczyć admitancję obwodu, prądy w gałęziach, prąd źródła oraz przesunięcie fazowe między prądem i napięciem. Wykonać wykres wektorowy. Zadanie 27 Odbiornik energii elektrycznej o rezystancji R = 100Ω jest połączony równolegle z kondensatorem 10μF. Obliczyć prąd odbiornika I R kondensatora I C, prąd wypadkowy ze źródła, admitancję obwodu i przesunięcie fazy pomiędzy prądem wypadkowym I, a napięciem sieci U = 220V. wykonać wykres wektorowy. Zadanie 28 Kondensator C = 8μF i cewka o indukcyjności L = 4H zostały połączone równolegle. Określić susceptancję pojemnościową i indukcyjną gałęzi, admitancję układu oraz wszystkie prądy przy zasilaniu obwodu napięciem sieci 220V. Wykonać wykres wektorowy. Zadanie 29 W równoległym obwodzie RC prąd w oporniku o rezystancji R = 70Ω wynosi 1,5A. Przesunięcie fazowe między prądem całkowitym i napięciem φ = 60. Obliczyć prąd I C, Z, susceptancję B C i admitancję Y oraz narysować wykres wektorowy i trójkąt admitancji. 40

Zadanie 30 Obliczyć prąd w oporniku oraz narysować trójkąt prądów dla obwodu równoległego RC, jeśli prąd całkowity I = 2,5A, prąd w kondensatorze I C = 1,2A. Zadanie 31 Obliczyć parametry B L, R, G oraz Y obwodu równoległego RL, jeżeli wiadomo, że I/I L = 2 oraz X L = 2,5Ω. Narysować trójkąt prądów i trójkąt admitancji. Zadanie 32 W odbiorniku o charakterze indukcyjnym włączonym do źródła o napięciu U = 380V, prąd I = 5,2A, współczynnik mocy cos φ = 0,3. O jakiej pojemności kondensator należy dołączyć równolegle do obwodu, aby prąd źródła zmalał do połowy przy niezmienionym charakterze obwodu? Przy jakiej pojemności kondensatora prąd w obwodzie miał najmniejszą wartość? Obliczenia przeprowadzić w oparciu o wykres wektorowy. Zadanie 33 Do obwodu równoległego RLC (G = 0,03S, B L = 0,16S, B C = 0,12S) doprowadzono napięcie sinusoidalne U = 50V. Obliczyć parametry Y, I R, I L, I C, I, kąt między prądem całkowitym i napięciem oraz narysować wykres wektorowy i trójkąt admitancji. Zadanie 34 W obwodzie równoległym złożonym z cewki idealnej L = 20mH i kondensatora idealnego C = 0,12μF, obliczyć częstotliwość rezonansową f oraz impedancję i admitancję obwodu przy częstotliwości rezonansowej. 41

Zadanie 35 Obwód równoległy RLC należy zastąpić równoważnym obwodem szeregowym. Dane obwodu: G R = 0,4S, B Cr = 0,8S, B Lr = 0,5S. Obliczyć R s, X Ls, X Cs. UWAGA: Moc czynna i moce bierne w obu równoważnych obwodach są takie same. Zadanie 36 W układzie obie gałęzie złożone są z szeregowego połączenia rezystancji oraz indukcyjności R 1, L 1 (R 2, L 2 ). Elementy te mają wartości: R 1 = 5Ω, R 2 = 7Ω, L 1 = 0,01H, L 2 = 0,2H. Należy wykonać wykres wektorowy prądów i napięć, obliczyć impedancje obu gałęzi, prądy w gałęziach oraz cos φ i cos φ 2, wypadkowy prąd I oraz jego składową czynną i bierną, a także wypadkowy współczynnik mocy dla całego obwodu. Obwód jest zasilany napięciem przemiennym U = 24V. Zadanie 37 Obwód, przedstawiony na rys. 45, zawiera elementy: C = 4μF, L = 1H, R = 50Ω i jest zasilany napięciem przemiennym U = 220V, f = 50Hz. Jaką częstotliwość powinno mieć źródło napięcia, aby wystąpił rezonans? Obliczyć wartość prądu rezonansowego. Narysować wykres wektorowy. Rys. 45 42

Zadanie 38 Jaką pojemność należy przyłączyć równolegle do zacisków silnika jednofazowego o indukcyjności L = 2H oraz rezystancji R = 5Ω, żeby współczynnik mocy wynosił cos φ = 1? Napięcie zasilające U = 220V. Zadanie 39 Dane znamionowe silnika indukcyjnego jednofazowego są następujące: P = 200W, U = 220V, cos φ = 0,6. Równolegle z silnikiem włączono kondensator do poprawy cos φ. Obliczyć jaka musi być pojemność kondensatora, aby cos φ układu zwiększył się do 0,9? Wykonać wykres wektorowy. Zadanie 40 Trzy odbiorniki połączono równolegle i włączono do sieci o napięciu U = 220V (rys. 46). Parametry odbiorników są następujące: R 1 = 21,6Ω, C 1 = 70,8μF, R 2 = 27Ω, L 2 = 45,5mH, R 3 = 15,4Ω, C 3 = 168μF, L 3 = 192mH. Wykonać wykres wektorowy i obliczyć: prąd płynący w każdym odbiorniku oraz z sieci, moc czynną, bierną i pozorną każdego odbiornika, moc czynną, bierną i pozorną pobieraną z sieci. Rys. 46 43

Zagadnienie: 4. Obwody trójfazowe symetryczne.(2h) W układzie symetrycznym wszystkie napięcia mają taką samą wartość skuteczną (i szczytową), a kąt przesunięcia między napięciami poszczególnych faz wynosi 2π/3, tj 120º. W każdej fazie płyną prądy równe sobie co do modułu (I R = I S = I T = I), lecz przesunięte względem siebie o kąt fazowy 120º, a względem napięć fazowych o kąt fazowy φ (rys. 47). Rys. 47 W obwodach trójfazowych występują wielkości fazowe I f, U f oraz wielkości przewodowe I, U, w zależności od tego, czy układ trójfazowy jest skojarzony w gwiazdę czy w trójkąt. W układzie gwiazdowym (rys. 48a): I f I oraz U U f, 3 a wektor napięcia przewodowego wyprzedza wektor napięcia fazowego o kąt fazowy 30. W układzie trójkątnym (rys. 48b): I I f oraz U f U, 3 a wektor prądu przewodowego opóźnia się względem wektora prądu fazowego o kąt fazowy 30. 44

Rys. 48 Obliczenia symetrycznych obwodów trójfazowych sprowadzają się do obliczeń obwodów jednofazowych. Zamiast schematu trójfazowego można analizować schemat jednofazowy (jednej fazy) i odpowiadający mu jednofazowy schemat wektorowy. Prawo Ohma dla obwodów symetrycznych trójfazowych: Uf If Z f Moc pobierana przez odbiornik trójfazowy symetryczny a) przy danych wielkościach fazowych: P = 3U f I f cos φ (W) Q = 3U f I f sin φ (var) S = 3U f I f (VA) b) przy danych wielkościach przewodowych: P = Q = S = 3 U I cos φ 3 U I sin φ 3 U I 45

Równoległe łączenie odbiorników do sieci trójfazowej Jeżeli odbiorniki są różnie połączone, tzn. jeden w gwiazdę, a drugi w trójkąt, to należy dokonać przekształcania gwiazdy w trójkąt lub odwrotnie, a następnie rozwiązać schemat jednofazowy, w którym jedna faza każdego odbiornika staje się jedną gałęzią równoległą. Impedancje fazowe przelicza się zgodnie ze wzorem: Z Δ = 3 Z Y gdzie: Z Δ impedancja jednej fazy w trójkącie, Z Y impedancja jednej fazy w gwieździe. Zadanie 41 Trzy grzejniki o rezystancjach R = 11Ω połączone w trójkąt zasilane są z sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 220V. Obliczyć prądy fazowe odbiornika, prądy przewodowe oraz moc odbiornika. Zadanie 42 Obliczyć znamionowe prądy przewodowe prądnicy trójfazowej o mocy znamionowej P n = 25MW, napięciu przewodowym U = 6,3kV i cos φ = 0,75. Zadanie 43 Odbiornik trójfazowy symetryczny o rezystancji fazy R f = 10Ω i cosφ = 1 włączono do źródła trójfazowego symetrycznego o napięciu przewodowym U = 380V za pośrednictwem przełącznika gwiazda - trójkąt. Obliczyć prądy przewodowe przy połączeniu odbiornika w gwiazdę i trójkąt oraz stosunek mocy P Δ /P Y. 46

Zadanie 44 Trzy jednakowe impedancje połączone w gwiazdę pobierają moc P = 5 kw przy cos φ= 0,8 gdy napięcie przewodowe wynosi 380V. Obliczyć prąd fazowy i przewodowy płynący do odbiornika przy połączeniu tych samych impedancji w trójkąt oraz moc pobieraną przez odbiornik w połączeniu w trójkąt. Zadanie 45 Do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V włączono dwa odbiorniki trójfazowe symetryczne o rezystancji fazy R f = 100Ω i cos φ = 1. Jeden z odbiorników połączony jest w trójkąt, drugi - w gwiazdę. Obliczyć wypadkowe prądy w linii zasilającej i narysować schemat zastępczy jednofazowy. Zadanie 46 Dwa odbiorniki trójfazowe symetryczne włączono do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V. Jeden złożono z trzech oporników połączonych w trójkąt, drugi z trzech kondensatorów połączonych w gwiazdę. Obliczyć wypadkowe prądy przewodowe oraz współczynnik mocy cos φ całego układu, jeżeli wiadomo, że prądy fazowe obu odbiorników są równe 1A; wykonać wykres wektorowy oraz schemat zastępczy jednofazowy. Zadanie 47 Do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V przyłączono dwa symetryczne odbiorniki w układzie gwiazdowym o następujących parametrach: L 1 = 91 mh, R 2 = 20Ω, C 2 = 79,6μF (rys. 49). Obliczyć prąd fazowy i przewodowy każdego odbiornika, prąd przewodowy płynący z sieci, moc pobieraną z sieci. Wykonać wykres wektorowy i schemat zastępczy jednofazowy. 47

Rys. 49 Zadanie 48 Odbiorniki o parametrach, jak w zadaniu 47, połączono w trójkąt. Obliczyć prąd fazowy i przewodowy każdego odbiornika, prąd przewodowy płynący z sieci, moc pobieraną z sieci. Wykonać wykres wektorowy i schemat zastępczy jednofazowy. Zadanie 49 Do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V przyłączono równolegle dwa symetryczne odbiorniki o następujących parametrach jednej fazy: odbiornik 1 R 1 = 6Ω, L 1 = 25,5mH; odbiornik 2 R 2 = 5,75Ω, C 2 = 139μF. Należy obliczyć rozpływ prądów i moc pobierane z sieci przy następujących połączeniach odbiorników: a) obydwa odbiorniki są połączone w gwiazdę; b) obydwa odbiorniki są połączona w trójkąt; c) odbiornik 1 jest połączony w gwiazdę, a drugi - w trójkąt; d) odbiornik 1 jest połączony w trójkąt, a drugi - w gwiazdę. Dla każdego przypadku wykonać wykres wektorowy dla jednofazowego schematu zastępczego. 48

Zadanie 50 Dwa silniki trójfazowe włączono do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 500V. Pierwszy silnik pobiera moc P 1 = 10kW przy cos φ 1 = 0,866, drugi silnik moc P 2 = 8kW, cos φ 2 = 0,707. Obliczyć wypadkowe prądy w linii zasilającej oraz wypadkowy cos φ układu. Zadanie 51 Dwa symetryczne odbiorniki połączono w trójkąt: odbiornik 1 P 1 = 2840W, cos φ 1 = 0,71 (indukcyjny); odbiornik 2 L 2 = 43mH, C 2 = 48μF (rys. 50). Obliczyć rozpływ prądów oraz moc pobieraną z sieci, jeżeli napięcie przewodowe U = 380V. Wykonać wykres wektorowy dla zastępczego schematu jednofazowego. Rys. 50 Zadanie 52 Trzy symetryczne odbiorniki o następujących danych: - R 1 = 22Ω, L 1 = 70mH, C 1 = 65μF, gwiazda; - C 2 = 20,3μF, trójkąt; - P 3 = 7,5kW, cos φ 3 = 0,85 indukcyjny, 49

przyłączono do sieci trójfazowej o napięciu przewodowym U = 380V (rys. 51). Należy wykonać wykres wektorowy oraz obliczyć rozpływ prądów i moc trójfazową pobieraną z sieci przez cały układ. Rys. 51 Zadanie 53 Zakład przemysłowy pobiera moc czynną P = 1200kW przy cos φ = 0,6 i napięciu U = 6kV. Obliczyć pojemność baterii kondensatorów służącej do poprawy cos φ z wartościami 0,5 do 0,8 przy połączeniu kondensatorów: a) w gwiazdę, b) w trójkąt. Zadanie 54 Do sieci o napięciu przewodowym U = 380V włączono odbiornik trójfazowy symetryczny w układzie gwiazdowym o parametrach R 1 = 9,3Ω, L 1 = 94,3mH dla jednej fazy. Ze względu na jego niski współczynnik mocy przyłączono równolegle do niego kondensator w układzie gwiazdowym o pojemności C 2 = 65μF. Obliczyć prąd pobierany z sieci przed i po 50

skompensowaniu, współczynnik mocy przed i po kompensacji, moc bierną skompensowaną i nieskompensowaną. Wykonać schemat zastępczy oraz wykres wektorowy. Zadanie 55 Odbiornik trójfazowy o mocy P = 30kW, cos φ = 1 i napięciu przewodowym U = 380V zasilany jest ze źródła trójfazowego odległego o 200m. Obliczyć przekrój przewodów aluminiowych linii zasilającej, jeżeli dopuszczalny spadek napięcia w linii wynosi 5 proc. Obliczyć ponadto straty mocy w linii w watach i procentach. γ Al = 35 10 S/m (konduktywność). Nie uwzględniać indukcyjności linii. Zadanie 56 Odbiornik trójfazowy symetryczny o mocy P = 40kW, cos φ = 1 i napięciu przewodowym U = 6kV zasilany jest ze źródła za pomocą linii trójprzewodowej o rezystancji R 1 = 4Ω i reaktancji X 1 = 3Ω (indukcyjnej) każdego przewodu. Obliczyć spadek i stratę napięcia w linii odniesione do jednego przewodu i do napięcia fazowego oraz straty mocy czynnej w linii. UWAGA: Spadek napięcia w linii występuje na rezystancji linii, strata napięcia - na impedancji linii. Zadanie 57 Grupa silników trójfazowych zasilana jest ze źródła linią trójfazową o rezystancji każdego przewodu R p = 0,18Ω. Obliczyć prądy pobierane przez każdy silnik, spadek napięcia w całej linii oraz straty mocy czynnej w linii. Dane znamionowe silników P 1 = 20kW, cos φ 1 = 0,8, η 1 = 0,85, P 2 = P 3 = 5kW, cos φ 2 = cos φ 3 = 0,866, η 2 = η 3 = 0,8. Napięcie przewodowe wynosi U = 380V. 51

UWAGA: Spadek napięcia na rezystancji linii spowodowany jest przez składową czynną prądu płynącego w przewodzie. Zagadnienie: 5. Analiza obwodów metodą liczb zespolonych. (1h) Analizę obwodów elektrycznych o wymuszeniu sinusoidalnym umożliwia w całym tego słowa znaczeniu metoda symboliczna polegająca na zastąpieniu działań na wektorach reprezentujących przebiegi sinusoidalne odpowiadającymi im działaniami algebraicznymi. Wiadomo, że wielkość sinusoidalną można przedstawić za pomocą wektora wodzącego, o module równym amplitudzie taj wielkości, obracającego się na płaszczyźnie ze stałą prędkością kątową. Jeśli wektor wodzący OA umieścimy na płaszczyźnie liczb zespolonych (rys. 52), to do jego opisania wystarcza jedna liczba zespolona z i na odwrót każdej liczbie zespolonej z jest przyporządkowany jednoznacznie odpowiadający jej wektor wodzący na płaszczyźnie liczbowej. Postacie liczby zespolonej Rys. 52 a) Algebraiczna z = a + jb gdzie: a = Re z część rzeczywista liczby zespolonej z, b = Im z część urojona liczby zespolonej z, j = 1 jednostka urojona. 52

b) Trygonometryczna z = r (cos α + j sin α) gdzie: r = z = 2 a b 2 moduł liczby zespolonej z, α = arctg (b/a) argument liczby zespolonej z. c) Wykładnicza z r e jα Liczba jα e jest liczbą zespoloną o module jednostkowym. Liczbą zespoloną sprzężoną z daną liczbą z nazywamy taka liczbę z * która różni się od liczby z tylko znakiem części urojonej lub też znakiem argumentu: z a jb r(cos jsin ) r e jα z a jb r(cos jsin ) r e -jα z z a 2 b 2 1 Zadanie 58 Dla napięcia sinusoidalnego o wartości skutecznej U = 220V, częstotliwości f = 50Hz i fazie początkowej Ψ u = 60 napisać wartość skuteczną zespoloną w postaci wykładniczej, trygonometrycznej i algebraicznej oraz funkcję zespoloną w postaci wykładniczej i trygonometrycznej. Rozwiązanie: j60 o o Wartość skuteczna zespolona U 220 e 0 220 (cos 60 jsin 60 ) 110 j190 Wektor wodzący U m (t) 220 2e j(314t ) j( t u ) 3 220 2 e ωt 2π ft 314t 53

u 60 o 3 (t) U m 220 2 cos (314t ) j sin(314t ) 3 3 Zadanie 59 Dla przebiegu prądu i = 28,3 sin(ωt - 30 ) napisać równania wektora wodzącego I m (t) i obliczyć wartość skuteczną zespoloną I. Zadanie 60 Dla podanych wartości kątów φ lub α przedstawić operator obrotu w postaci wykładniczej i w postaci algebraicznej : a) φ = 60 ; b) φ = 45 ; c) φ = 90 ; d) cos φ = 0,8 (φ > 0); e) cos φ = 0,8 (φ < 0); f) α = 120 ; g) α = 120. Zadanie 61 Podać wartości zespolone i funkcje zespolone odpowiadające podanym niżej przebiegom sinusoidalnym: a) i = 5 2 sin (ωt - 36,9 ); b) i = -2,83 sin(ωt - 60 ); c) u = 220 2 cos ωt; d) u = 500 2 sin ωt; e) u = -380 2 sin (ωt + 120 ); f) u = 220 2 sin (ωt - 240 ). 54

Zadanie 62 Wyznaczyć przebiegi sinusoidalne odpowiadające danym wartościom zespolonym: a) U = -j220; b) U = -110-j190; c) E = -500; d) I = 10; e) I = 1- j; f) I = -1- j; g) I = 3 + j. Zadanie 63 Dana jest wartość zespolona prądu I = 3 - j4. Wyznaczyć wartość zespoloną napięcia o module U = 120V przesuniętego względem prądu o kąt: a) 0 ; b) 30 w przód; c) 60 wstecz; d) 90 wstecz; e) 90 w przód; f) φ = arctg 0,75 w przód. Zadanie 64 Z danego węzła odpływają dwa prądy o wartościach skutecznych I 1 = 20A; I 2 = 10A, przy czym przebieg prądu i 2 jest opóźniony w fazie względem przebiegu prądu i 1 o kąt 60, a częstotliwość obu prądów f = 50Hz. Wyznaczyć przebieg prądu dopływającego i odpowiadające mu funkcję wykładnicze, przyjmując dla prądu I 1 fazę początkową Ψ 1 = 90. Zadanie 65 W dwóch gałęziach równoległych płyną następujące prądy: I 1 = (2 + j3)a, I 2 = (2,5 - j2,5)a. Obliczyć prąd w gałęzi wspólnej. W której gałęzi amperomierz wskaże większy prąd? Zadanie 66 Pomnożyć dwie liczby zespolone: I = 3 + j4 oraz Z = 2-j4; iloczyn przedstawić w postaci wykładniczej. 55

Zadanie 67 Obliczyć iloraz, U/Z, jeżeli U = 380e j90º, a Z = 76e j30º. Zadanie 68 Iloczyn dwóch liczb zespolonych Z 1 i Z 2 podzielić przez ich sumę Z 1 = 2 + j4; Z 2 = 2 j6. Zadanie 69 Cewka idealna o indukcyjności L = 0,1H jest zasilana napięciem U = 125,6 + j94,2, o częstotliwości f = 50Hz. Wyznaczyć wartość skuteczną zespoloną i przebieg prądu w cewce. Zadanie 70 Gałąź R, L, C o parametrach R = 21Ω, L = 0,2H, C = 40μF włączono na napięcie U = 215V, f = 50Hz. Faza początkowa napięcia Ψ u = 30. Wyznaczyć: wartości skuteczne zespolone prądu i napięć na poszczególnych elementach (l, U R, U L,U C ) w postaci algebraicznej i wykładniczej oraz przebiegi i, u R, u L, u C w funkcji czasu. Wykonać wykres wektorowy. Zadanie 71 Obwód złożony z opornika o rezystancji R = 110Ω i cewki o indukcyjności L = 0,35H, połączonych równolegle, włączono do źródła o napięciu U = 220V i częstotliwości f = 50Hz. Obliczyć admitancję obwodu, prądy w gałęziach, prąd źródła oraz przesunięcie fazowe między prądem i napięciem. Sporządzić wykres wektorowy. Zadanie 72 W układach podanych na rys. 53 a, b, c, d zmierzono prąd I 1 = 10A. Wyznaczyć wartość zespoloną prądu zasilającego I w postaci algebraicznej i w postaci wykładniczej, 56

jeżeli faza początkowa prądu I 2 wynosi Ψ i2 = -30, a między parametrami zachodzą zależności: a) X L = 2R, b) X C = 4R, c) X L = 4R, d) X C = 2X L = 2R. Wykonać wykresy wektorowe prądów. Rys. 53 Zadanie 73 W równoległym obwodzie RC prąd w oporniku o rezystancji R = 70Ω wynosi 1,5A. Przesunięcie fazowe między prądem całkowitym i napięciem φ = 60. Obliczyć prąd I C, I, susceptancję B C i admitancję Y oraz narysować wykres wektorowy i trójkąt admitancji. Literatura: 1. Koś E., Krasucka E.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Skrypt Wyższej Szkoły Morskiej w Szczecinie, 1982. 2. Markiewicz A.: Zbiór zadań z podstaw elektrotechniki. Warszawa, WsiP, 1978. 3. Cichowska Z.: Zbiór zadań z elektrotechniki teoretycznej. Politechnika Śląska, 1971. 4. Sikora R.: Zbiór zadań testowych z elektrotechniki teoretycznej. Politechnika Szczecińska, 1990. 5. Zawalich E.: Zadania z elektrotechniki ogólnej. Politechnika Gdańska, 1972. 57