Paweł Kowol. Praca dyplomowa napisana pod kierunkiem dr Rafała Werona

Wydział Podstawowych Problemów Techniki JAKA JEST DŁUGOŚĆ WYBRZEŻA BAŁTYKU? POMIAR STRUKTUR FRAKTALNYCH Praca dyplomowa inżynierska Paweł Kowol Praca dyplomowa napisana pod kierunkiem dr Rafała Werona Wrocław 2008

Dziękuję przede wszystkim Rodzicom za umożliwienie mi zdobycia wykształcenia a także osobie, która wierzyła we mnie nawet wtedy, kiedy sam wątpiłem. 2

SPIS TREŚCI: 1. Wstęp... 5 2. Fraktale... 6 2.1. Definicja... 6 2.2. Samopodobieństwo... 6 2.3. Prawo potęgowe... 7 2.4. Wymiar... 7 2.4.1. Wymiar samopodobieństwa... 8 2.4.2. Wymiar cyrklowy... 9 2.4.3. Wymiar pudełkowy... 9 3. Pomiary struktur... 11 3.1. Okrąg... 11 3.2. Krzywa Kocha... 12 3.2.1. Definicja... 12 3.2.2. Wymiar... 12 3.3. Krzywa 3/2... 14 3.3.1. Definicja... 14 3.3.2. Wymiar... 15 3.4. Dziwna struktura... 17 3.5. Krzywa z samoprzecięciami... 18 3.6. Linia wybrzeża Bałtyku... 19 3.7. Inne linie wybrzeży... 22 4. Opis programu... 27 4.1. Java... 27 4.2. Okno główne... 28 4.3. Pasek menu... 28 4.4. Panele 1 i 3... 29 4.4.1. Panel 3 dla wymiaru pudełkowego... 29 4.4.2. Panel 3 dla wymiaru cyrklowego... 30 4.5. Panel 2... 31 3

5. Spis ilustracji... 32 6. Spis tabel... 33 7. Literatura... 34 4

1 Wstęp Zdaniem Mandelbrota natura spłatała matematykom figla. Być może XIXwiecznym matematykom zbywało na wyobraźni, ale naturze nie. Te same patologiczne struktury stworzone po to, by móc się wyrwać z ciasnego XIX-wiecznego naturalizmu jak się okazało tkwią głęboko w dobrze nam znanych obiektach występujących w świecie natury. Freeman Dyson Nieświadome odkrycie fraktali wiąże się z badaniem długości brzegu wyspy Wielkiej Brytanii. Pierwsza próba obliczenia długości dała wynik mniejszy od ponownej próby, w której zastosowano dokładniejszą mapę. Trzecia próba, podczas której posłużono się już kilkuczęściową mapą, dała jeszcze większy wynik. Co ciekawe, nie wyglądało na to, aby wzrost ten hamowany był przez jakąś asymptotę. Okazało się, że brzeg wyspy jest nieskończenie bogaty w szczegóły, a jego długość jest nieskończona. Mimo tego ograniczał skończony obszar lądu [8]. Człowiek od zawsze próbował poznać i opisać otaczający go świat. Wszystkie nauki matematyczno przyrodnicze powstały w głównej mierze z racji usilnego dążenia ludzkości do zrozumienia jak działa to, co nas otacza. Ta wiedza jest tak kusząca, ponieważ pomogłaby nam zrozumieć procesy zachodzące wokół nas a dalej możliwość kierowania nimi. Pewne zjawiska zachodzące w przyrodzie były niezrozumiałe i chaotyczne, ale prawdopodobnym jest, że to właśnie fraktale są kluczem do ich zrozumienia. Niniejsza praca jest próbą przybliżenia tematu fraktali ze szczególnym uwzględnieniem pojęcia wymiaru fraktalnego. Pracę można podzielić na trzy zasadnicze części. Pierwsza zawiera teoretyczny opis zagadnień wraz z podanymi definicjami podstawowych pojęć. Druga to pomiar struktur fraktalnych przy pomocy napisanego przeze mnie programu. Natomiast trzecia opisuje możliwości programu oraz sposób jego obsługi. 5

2 Fraktale 1 2.1 Definicja Fraktal (łac. fractus złamany, cząstkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny albo nieskończenie subtelny, czyli ukazujący subtelne detale nawet w wielokrotnym powiększeniu. Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który: ma nietrywialną strukturę w każdej skali, struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej, jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym, jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny, ma względnie prostą definicję rekurencyjną. Dokładniej, fraktalem nazwiemy zbiór, który posiada wszystkie te charakterystyki albo przynajmniej ich większość. 2.2 Samopodobieństwo Samopodobieństwo jest jedną z najważniejszych cech fraktali. Pojęcie samopodobieństwa wydaje się intuicyjnie zrozumiałe i nie wymaga wielu wyjaśnień. Jednakże podanie formalnej definicji samopodobieństwa jest trudniejszym zadaniem. Praktycznie w każdym obiekcie fizycznym samopodobieństwo możemy zaobserwować jedynie na kilku poziomach, ponieważ poniżej pewnej skali materia rozpada się na zbiór cząsteczek, atomów i wreszcie cząstek elementarnych. Gdy osiągniemy taki poziom, nie możemy oczywiście mówić o pomniejszonych kopiach całości. Poza tym w otaczającym nas świecie nie dochodzi do sytuacji, kiedy część jest dokładną kopią całości. W związku z tym musimy dopuścić pewne odchylenia od ideału wtedy mówimy o samopodobieństwie statystycznym. Innym przypadkiem są różne zniekształcenia pomniejszonych kopii, na przykład lekkie ich pochylenie mowa o samopodobieństwie afinicznym. W końcu dochodzimy do samopodobieństwa 1 Rozdział opracowany na podstawie [4] i [5]. 6

w najczystszej matematycznej postaci, czyli takiego z którym mamy do czynienia we fraktalach, kiedy część jest kopią całości. 2.3 Prawo potęgowe Prawo potęgowe opiszemy na przykładzie swobodnego spadku ciał. Związek między wysokością, z której spada ciało a czasem spadku nie jest liniowy. Natomiast wykres logarytmów danych eksperymentalnych wskazuje na istnienie prawa, które rządzi zależnością miedzy tymi wielkościami. Relacja ta wyraża się prawem potęgowym następującej postaci: d t = ch (1) gdzie: t h czas spadania, wysokość, c, d stałe. Nazywane jest prawem potęgowym, ponieważ t zmienia się tak, jak gdyby było potęgą h. Chcąc wyznaczyć wartości stałych c i d logarytmujemy obie strony otrzymując: log t = d logh + logc (2) Czyli jeśli będziemy zaznaczać na wykresie wartości log t i log h zamiast t i h to powinniśmy otrzymać linię prosta o nachyleniu d, przecinającą oś pionową w punkcie o rzędnej b = logc. A zatem jeżeli pomiary na wykresie logarytmicznym leżą w przybliżeniu na linii prostej, to ma sens poszukiwanie prawa potęgowego, rządzącego związkiem pomiędzy zmiennymi. Dodatkowo z wykresu logarytmicznego możemy odczytać potęgę d nachylenie otrzymanej prostej. 2.4 Wymiar Wymiar nie jest pojęciem łatwym do zrozumienia. Na przełomie wieków jednym z głównych problemów matematyki było stwierdzenie co to jest wymiar i jakie 7

są jego własności. Pojawiło się wiele różnych definicji wymiaru: wymiar topologiczny, wymiar Hausdorffa, wymiar fraktalny, wymiar samopodobieństwa, wymiar pudełkowy, wymiar pojemnościowy, wymiar informacyjny, wymiar euklidesowy i wiele innych. Czasami wszystkie mają sens i się pokrywają, ale innym razem mimo tego że kilka z nich ma sens mogą prowadzić do zupełnie innych wyników. Krzywe, powierzchnie, czy bryły mogą mieć tak złożoną budowę, że wykonanie pomiaru w tradycyjny sposób może nie mieć sensu. Istnieje jednakże sposób pomiaru stopnia złożoności przez ocenę tego, jak szybko wzrastają długość, powierzchnia, czy objętość, jeśli pomiar dokonywany jest z coraz większą dokładnością. W niniejszej pracy skupimy się na trzech wybranych rodzajach wymiaru: wymiar samopodobieństwa (self similar dimension), wymiar cyrklowy (ruler dimension), wymiar pudełkowy (box dimension). Wszystkie one stanowią szczególne przypadki wymiaru fraktalnego Mandelbrota, wywodzącego się z podstawowej pracy Hausdorffa z 1919 roku. 2.4.1 Wymiar samopodobieństwa Ten sposób określania wymiaru stosujemy do obiektów ściśle samopodobnych, czyli takich, które mogą być podzielone na dowolnie małe części, z których każda jest wiernym pomniejszeniem całości. Najważniejszą cechą umożliwiającą określenie wymiaru w omawiany sposób jest istnienie relacji pomiędzy współczynnikiem redukcji a liczbą pomniejszonych fragmentów, na które rozpada się obiekt. Zależność tą przedstawia wzór: 1 a = D (3) s lub równoważny: log a D = 1 log s gdzie: a liczba części s współczynnik redukcji D wymiar samopodobieństwa (4) 8

Dla prostej, kwadratu, czy sześcianu otrzymujemy, zgodnie z przewidywaniami, wymiary samopodobieństwa równe odpowiednio 1, 2 i 3 są one zgodne z wymiarami topologicznymi. Współczynnik redukcji dla tych obiektów możemy wybrać dowolnie i na tym polega różnica między tymi obiektami a strukturami fraktalnymi, dla których współczynnik, jeżeli istnieje, to jest ściśle określony. 2.4.2 Wymiar cyrklowy Wymiar cyrklowy jest stosowany do określania wymiaru krzywej. Istnieje związek pomiędzy prawem potęgowym rządzącym wartością mierzonej długości w zależności od ustawienia cyrkla, a wymiarem samopodobieństwa krzywej fraktalnej. Związek ten wygląda następująco: D C = 1 + d (5) gdzie d odpowiada nachyleniu wykresu logarytmów mierzonej długości u w zależności od dokładności pomiaru 1 / s. Ten sam wynik można uzyskać wyznaczając nachylenie wykresu logarytmów liczby kroków potrzebnych na przejście wzdłuż mierzonej krzywej w stosunku do ustawienia cyrkla. Omawiana metoda pozwala na liczenie wymiaru nie tylko krzywych, które są ściśle samopodobne, ale także tak nieregularnych obiektów jak linie brzegowe. 2.4.3 Wymiar pudełkowy Wymiar pudełkowy ma, z racji uniwersalności, najwięcej zastosowań. W pewnych sytuacjach daje on takie same wartości liczbowe jak wymiar samopodobieństwa, a w innych odmienne. Uniwersalność polega na tym, że dzięki tej metodzie możliwe jest dokonanie pomiaru obiektów, które nie są ściśle podobne ani nie stanowią linii, którą można by zmierzyć na przykład za pomocą cyrkla. Pomiar polega na umieszczeniu badanej struktury na regularnej siatce o wielkości oczek s i zliczeniu pudełek siatki, które zawierają fragmenty struktury. Otrzymamy w ten sposób liczbę N (s). Następnie zmniejszamy stopniowo s i znajdujemy odpowiadające im liczby N (s). Tak otrzymane pary liczb umieszczamy na wykresie logarytmicznym i dopasowujemy prostą przechodzącą przez te punkty. 9

Liczba określająca nachylenie wyznaczonej prostej jest wymiarem pudełkowym badanego obiektu. Wymiar pudełkowy jest jednym z najczęściej stosowanych w różnych dziedzinach nauki, ponieważ obliczenia nie są skomplikowane i bardzo prosto można je zautomatyzować. Poza tym algorytm można stosować zarówno do obiektów samopodobnych, jak i struktur nie posiadających tej cechy. 10

3 Pomiary struktur W rozdziale przeprowadzone zostaną pomiary różnych struktur, zarówno tych matematycznych jak i naturalnych, które możemy znaleźć wokół nas. Postaramy się pokazać na przykładzie wybrzeża Bałtyku, dlaczego trudno jednoznacznie określić długość takiej krzywej występującej w naturze. W podrozdziale 3.5 dotyczącym krzywej z samoprzecięciami wytłumaczymy dlaczego metoda obliczania wymiaru pudełkowego, mimo iż jest uniwersalna, wcale nie musi dawać dobrych wyników. 3.1 Okrąg Aby wykazać, że obie metody pomiaru pudełkowa jak i cyrklowa, dają oczekiwane wyniki, zmierzono wymiar okręgu. Wymiar fraktalny okręgu pokrywa się z wymiarem topologicznym czyli powinien wynosić 1. Tab. 1 Wyniki pomiaru pudełkowego dla okręgu Wielkość oczka Liczba Wymiar pudełkowy 4 221 8 118 0,99 16 59 32 28 Tab. 2 Wyniki pomiaru cyrklowego dla okręgu Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy 5 152 10 76 20 38 1,00 40 19 Jak widać obie metody dały bardzo dobre wyniki a w przypadku wymiaru cyrklowego odpowiednio dobrane wielkości kroku spowodowały że obliczony wymiar jest dokładnie równy 1. Analizując wyniki z tab. 2 zauważamy, że mimo zwiększania dokładności dokonywanych pomiarów długość okręgu nie rośnie, co jest typowe dla struktur fraktalnych, ale jest stała. 11

Rys. 1 Okrąg pokryty siatką 118 kwadratów o boku 8 pikseli 3.2 Krzywa Kocha 3.2.1 Definicja Krzywa Kocha to krzywa matematyczna, którą można zdefiniować jako pewien atraktor IFS 2 lub jako granicę ciągu krzywych opisanych poniżej. Krzywa Kocha powstaje z odcinka, poprzez podzielenie go na 3 części i zastąpienie środkowej ząbkiem (o ramieniu długości równej 1/3 odcinka) takim, że wraz z usuwaną częścią tworzy trójkąt równoboczny. Krok ten jest powtarzany w nieskończoność dla każdego fragmentu odcinka [7]. Rys. 2 Krzywa Kocha po 5 iteracjach 3.2.2 Wymiar Ze sposobu jej konstrukcji wynika, że jest to obiekt ściśle samopodobny, czyli możliwe jest określenie wymiaru samopodobieństwa. Poszczególne części struktury są pomniejszonymi kopiami całej krzywej. Każdy krok prowadzi do powstania czterech 2 IFS (z ang. iterated function system) zwany też systemem funcji iterowanych, to rodzina funkcji za pomocą której konstruuje się fraktale samopodobne. W matematyce terminu tego używa się także na określenie samej metody konstrukcji. 12

kopii trzykrotnie mniejszych od obiektu wejściowego. Korzystając ze wzoru (4) obliczamy wymiar samopodobieństwa: log a log 4 D = = 1,26 (6) log(1/ s) log3 Taki sam wynik można otrzymać licząc wymiar cyrklowy. Warunkiem jest jednak odpowiednie dobranie długości odcinków, którymi mierzymy długość krzywej. Ważne jest aby trzy razy mniejszy odcinek został odłożony wzdłuż krzywej czterokrotnie. Dokonując losowych pomiarów otrzymamy wynik mniej lub bardziej odbiegający od żądanej wartości. Dokonując co najmniej dwóch takich pomiarów możemy wyznaczyć wymiar cyrklowy. Tab. 3 Wyniki pomiaru cyrklowego dla krzywej Kocha Wielkość oczka Liczba Wymiar cyrklowy 432 4 144 16 1,26 48 64 Wymiar pudełkowy dla Krzywej Kocha może dawać wyniki znacznie różniące się od wymiaru samopodobieństwa. Jest to związane oczywiście z uniwersalnością tej metody. Skala błędu będzie silnie zależna od doboru grubości siatki jaką zmierzymy omawianą krzywą. Poza tym nie bez znaczenia jest także wybór miejsca, w którym rozpoczniemy wypełnianie płaszczyzny pudełkami rys. 3 pokazuje, że decyzja ta może mieć istotny wpływ na wynik. Program opisany w rozdziale 4 zawsze rozpoczyna analizowanie struktury od lewego górnego narożnika, co prowadzi do uzyskania jednakowych wyników dla określonych parametrów pomiar jest procesem powtarzalnym. Tab. 4 Wyniki pomiaru pudełkowego dla krzywej Kocha Wielkość oczka Liczba Wymiar cyrklowy 214 15 121 29 63 49 1,09 28 145 13

Rys. 3 Pomiar pudełkowy dla grubości siatki 214 z różnych punktów startowych 3.3 Krzywa 3/2 3.3.1 Definicja Krzywa 3/2 stanowi przykład krzywej samopodobnej. Jej konstrukcja rozpoczyna się od odcinka o długości 1. Na początku zastępujemy ten odcinek krzywą złożoną z 8 odcinków o długości 1/4 każdy. W następnym kroku pomniejszamy tę krzywą czterokrotnie i zastępujemy każdy odcinek długości 1/4, występujący w pierwszym kroku konstrukcji, tą pomniejszoną krzywą [5]. Rys. 4 Krzywa 3/2 po pierwszym kroku 14

Rys. 5 Krzywa 3/2 po drugim kroku 3.3.2 Wymiar Obliczony ze wzoru (4) wymiar samopodobieństwa wynosi 1,5 (3/2) i stąd wzięła się nazwa rozpatrywanej krzywej. Rysunek 6 przedstawia pomiary uzyskane podczas badania wymiaru cyrklowego krzywej 3/2 po czwartym kroku konstrukcji czyli wyglądającej jak na rys. 6: Rys. 6 Badana krzywa 3/2 (4 krok konstrukcji) 15

10000 1000 log [N(s)] 100 10 1 1 10 100 1000 log [s] Rys. 7 Wyniki pomiaru cyrklowego dla krzywej 3/2 Jak widać na powyższym wykresie, zgodnie z oczekiwaniami, punkty układają się z grubsza wzdłuż linii prostej. Aby wyznaczyć prostą najlepiej dopasowaną do otrzymanych wyników posłużymy się metodą najmniejszych kwadratów. Podstawiając do wzoru (7) wyniki pomiarów otrzymujemy wartość współczynnika kierunkowego wyznaczonej prostej, który jest wymiarem cyrklowym badanej krzywej. n n x y i i i i i= 1 i= 1 i= 1 D C = 2 (7) n n 2 n xi xi i= 1 i= 1 n x n y gdzie: n liczba pomiarów x i, y i współrzędne punktów Wymiar cyrklowy rozpatrywanej struktury obliczony na podstawie zebranych pomiarów wynosi 1,53. Obliczenia dokonane przy pomocy pomiarów praktycznie zawsze obarczone są błędem. Sytuacja ta zachodzi ponieważ struktura, którą mierzymy, jest tylko, mniej lub bardziej dokładnym, przybliżeniem tego co naprawdę chcielibyśmy zmierzyć. Silny wpływ ma także wybór precyzji (wielkość kroku) z jaką dokonujemy pomiarów. 16

3.4 Dziwna struktura Jeżeli struktura ma pewne specjalne własności, takie jak samopodobieństwo, to możemy wyliczyć jej wymiar posługując się wzorem. Jeśli obiekt stanowi krzywą to możliwe jest wykorzystanie pomiaru cyrklowego. Ale co w momencie kiedy chcemy zbadać strukturę, która nie spełnia tych kryteriów i wygląda na przykład tak jak na rys. 8? W takim przypadku nie istnieje krzywa, którą moglibyśmy zmierzyć przy pomocy cyrkla, nie występuje też ścisłe samopodobieństwo, które dałoby nam możliwość skorzystania ze wzoru. W takiej sytuacji należy wykorzystać pomiar pudełkowy. Rys. 8 Dziwna struktura Obiekt przedstawiony na rys. 8 został poddany pomiarom, których wyniki umieszczono w tab. 5. Po naniesieniu otrzymanych par liczb na wykres logarytmiczny (Rys. 9) i wyznaczeniu prostej najlepiej dopasowanej do punktów otrzymujemy wymiar pudełkowy, który w tym przypadku jest równy 1,51. Tab. 5 Wyniki pomiaru pudełkowego dla dziwnej struktury Wielkość oczka Liczba Wymiar pudełkowy 85 20 75 23 60 32 40 62 25 128 1,51 15 283 10 538 5 1468 2 5191 17

10000 log [N(s)] 1000 100 10 1 10 100 log [s] Rys. 9 Wyniki pomiaru pudełkowego dla dziwnej struktury 3.5 Krzywa z samoprzecięciami 3 Wymiar pudełkowy Niemniej jednak wymiar samopodobieństwa D P na płaszczyźnie nigdy nie przekroczy wartości 2. D S krzywej płaskiej może z łatwością być od niej większy. By się o tym przekonać wystarczy skonstruować przykład w którym współczynnik redukcji s wynosi 1/3, a liczba pomniejszonych fragmentów a będzie większa od 9. Otrzymamy wtedy log a D S = > 2 (8) log(1/ s) Powodem tej niezgodności jest to, że dla krzywej, której części zachodzą na siebie, są uwzględniane w metodzie pomiaru pudełkowego tylko raz, ale z odpowiednią krotnością podczas znajdowania wymiaru samopodobieństwa. Rys. 10 Krzywa z samoprzecięciami po pierwszym kroku 3 Podrozdział opracowany na podstawie [4]. 18

Rys. 11 Krzywa z samoprzecięciami po trzecim kroku Aby to pokazać zmierzymy krzywą pokazaną na rys. 11. Kierując się sposobem konstrukcji obliczamy wymiar samopodobieństwa: log13 D S = 2,33 (9) log3 Następnie strukturę umieszczamy na siatce o różnej wielkości oczek i zliczamy pudełka, które zawierają mierzony obiekt. Następnie nanosimy wyniki na wykres (Rys. 12) i odczytujemy wymiar. Obliczone nachylenie prostej wynosi 1,53. Istotnie wymiar pudełkowy różni się w znaczny sposób od wymiaru samopodobieństwa. 10000 log [N(s)] 1000 100 10 1 10 100 log [s] Rys. 12 Wyniki wymiaru pudełkowego dla krzywej z samoprzecięciami 3.6 Linia wybrzeża Bałtyku Wyznaczanie długości różnego rodzaju spiral czy krzywych matematycznych może opierać się na obliczeniach analitycznych ale co jeśli chcemy obliczyć długość 19

wybrzeża wyspy lub innych obiektów występujących w przyrodzie? Nie istnieje przecież określony proces konstrukcji wybrzeża. Kształt takiej krzywej jest rezultatem aktywności tektonicznej Ziemi, wciąż postępującej erozji oraz powstawania osadów. Jedynym sposobem poznania długości wybrzeża jest jej pomiar [5]. W 1961 roku Lewis Fry Richardson zamierzał zbadać, ile wynosi długość brzegu Wysp Brytyjskich. Różne encyklopedie podawały znacznie różniące się liczby. Przyjął on, że długość linii brzegowej jest długością najkrótszej linii łamanej złożonej z odcinków o długości λ i takiej, że punkty załamania leżą zawsze na brzegu wyspy. Długość brzegu wynosi wtedy L( λ) = λ N( λ), gdzie N (λ) jest liczbą odcinków linii łamanej [4]. Rysunek 13 przedstawia Morze Bałtyckie z zaznaczoną na czerwono linią wybrzeża, którą chcielibyśmy zmierzyć. Tabela 6 zawiera wyniki pomiaru cyrklowego dla badanego obiektu. Można zauważyć, że dla mniejszego rozstawienia cyrkla długość brzegu wynikająca z pomiaru jest większa. Jest to spowodowane tym, że dla określonego rozstawienia cyrkla pewne zatoki są brane pod uwagę a inne mniejsze pomijane. Kiedy zmniejszymy rozstawienie cyrkla to ostatnio pominięte są już uwzględniane, ale mniejsze od nich niekoniecznie, itd. Zmniejszenie kroku pomiaru powoduje lepsze dopasowanie krzywej łamanej do wybrzeża na mapie. Sytuacja ta jest zobrazowana na rys. 15. 20

Rys. 13 Mapa Morza Bałtyckiego z zaznaczonym wybrzeżem Tab. 6 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Bałtyku Rozstaw cyrkla [km] Liczba kroków Długość wybrzeża [km] 200 20 4000 150 29 4350 100 46 4600 75 64 4800 50 97 4850 25 218 5450 12 505 6060 Wymiar cyrklowy 1,15 21

1000 log [N(s)] 100 10 1 1 10 100 1000 log [s] Rys. 14 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Bałtyku Rys. 15 Przybliżenie wybrzeża Bałtyku wielokątem dla rozstawu cyrkla 100 km (po lewej) i 25 km (po prawej) 3.7 Inne linie wybrzeży 4 Okazuje się, że dla rozmaitych wysp, wybrzeży, ale również rzek czy ścieżek na górskiej grani obliczony wymiar fraktalny, a w szczególności cyrklowy jest większy od jedności. Obserwuje się pewną korelację między wymiarem brzegu i budową geologiczną lądu [4]. Obliczymy teraz wymiar kilku wybranych linii brzegowych aby pokazać, że długość wybrzeży zachowuje się zgodnie z prawem potęgowym w pewnym zakresie skal pomiarowych i że określony wymiar jest charakterystyczny dla danej linii brzegowej. Przez słowo charakterystyczny rozumiemy, że dla różnych struktur 4 W programie zostały wykorzystane obrazki wybrzeży zaczerpnięte z aplikacji: Coastline Ver. 1.1. 22

wymiar fraktalny i związane z nim prawo potęgowe, rządzące długością wybrzeża w zależności od dokładności pomiaru, jest odmienne [5]. Tab. 7 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Grecji i Turcji Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy 100 11 75 19 50 31 40 46 30 63 1,36 20 117 15 170 10 289 5 665 1000 log [N(s)] 100 10 1 1 10 100 1000 log [s] Rys. 16 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Grecji i Turcji Rys. 17 Przybliżenie wybrzeża Grecji i Turcji dla rozstawu cyrkla 20 pikseli 23

Tab. 8 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Irlandii Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy 100 6 75 9 50 16 40 20 30 34 1,35 20 54 15 84 10 140 5 329 1000 log [N(s)] 100 10 1 1 10 100 1000 log [s] Rys. 18 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Irlandii Rys. 19 Przybliżenie wybrzeża Irlandii dla rozstawu cyrkla 30 pikseli 24

Tab. 9 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Skandynawii Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy 100 6 75 9 50 16 40 20 30 34 1,13 20 54 15 84 10 140 5 329 1000 log [N(s)] 100 10 1 1 10 100 1000 log [s] Rys. 20 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Skandynawii Rys. 21 Przybliżenie wybrzeża Skandynawii dla rozstawu cyrkla 15 pikseli 25

Tab. 10 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Szkocji Wielkość kroku Liczba Wymiar cyrklowy 100 5 75 12 50 17 40 27 30 40 1,44 20 73 15 108 10 181 5 431 1000 log [N(s)] 100 10 1 1 10 100 1000 log [s] Rys. 22 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Szkocji Rys. 23 Przybliżenie wybrzeża Szkocji dla rozstawu cyrkla 40 pikseli 26

4 Opis programu Program napisany został w języku Java. Wszystkie klasy i inne potrzebne pliki spakowane zostały do pliku JAR (Java Archive). Dzięki umieszczeniu w archiwum także pliku manifest z odpowiednią zawartością program może zostać uruchomiony w środowisku Windows poleceniem java -jar nazwa.jar lub, dla odpowiednio skonfigurowanego systemu, poprzez dwukrotne klikniecie. Konieczne jest uprzednie zainstalowanie w systemie wirtualnej maszyny Javy. Program umożliwia obliczenie wymiaru pudełkowego obiektu wczytanego z plików graficznych o rozszerzeniach: bmp, jpg, jpeg, png i gif. Dla struktur zdefiniowanych w programie dostępnych z poziomu menu, możliwe jest także obliczenie wymiaru cyrklowego. Aplikacja nie pozwala na liczenie wymiaru cyrklowego każdego wczytanego obiektu, ponieważ taka struktura musi posiadać określone własności, które trudno sprawdzić automatycznie. Wczytywane pliki graficzne są przekształcane na obrazki z paletą odcieni szarości, co pozwoliło na wprowadzenie opcji tolerancja koloru (opcja opisana w podrozdziale 4.4.1) w procesie pomiaru pudełkowego. 4.1 Java 5 Java jest obiektowym językiem programowania stworzonym przez grupę roboczą pod kierunkiem Jamesa Goslinga z firmy Sun Microsystems. Kompilator generuje neutralny pod względem architektury format plików obiektowych skompilowany kod może być wykonywany przez wszystkie procesory, jakie znane są danemu środowisku Javy. Kompilator Javy potrafi to uczynić, ponieważ generuje zestaw instrukcji, który nie ma nic wspólnego z konkretną architekturą komputera. Instrukcje są natomiast zaprojektowane tak, by były łatwe do zinterpretowania na każdej maszynie i aby można było przełożyć je na język maszynowy w czasie rzeczywistym. 5 Podrozdział opracowany na podstawie [3] i [7]. 27

4.2 Okno główne Główne okno programu (Rys. 24) można podzielić na cztery części: pasek menu, panel 1 umożliwiający wybór metody obliczenia wymiaru, panel 2 w którym wyświetlany jest obiekt, którego wymiar liczymy, panel 3 zawierający opcje dotyczące wybranej metody obliczania wymiaru. Rys. 24 Główne okno programu z podziałem na panele 4.3 Pasek menu Pasek menu zawiera trzy pozycje: Program, Pomoc oraz Dane. Po rozwinięciu menu Program dostępna jest tylko jedna opcja Zakończ, która zamyka program. Menu Pomoc również posiada tylko jeden element Autor, w którym znajdziemy informacje o autorze programu. Najbardziej rozwinięte menu to Dane. Znajdziemy tam polecenie Wczytaj obraz umożliwiające wczytanie pliku graficznego z dysku twardego lub innego nośnika dostępnego z poziomu systemu. Dalej znajduje się polecenie Zapisz obraz, za pomocą którego można zapisać aktualny widok z panelu podglądu (Panel 2), podmenu Inne struktury oraz podmenu Mapy. Po rozwinięciu obu podmenu mamy do wyboru listę obiektów zdefiniowanych w aplikacji, dla których można obliczyć zarówno wymiar pudełkowy jak i cyrklowy. 28

4.4 Panele 1 i 3 Panel 1 daje możliwość wyboru metody obliczania wymiaru fraktalnego (opcja Wymiar cyrklowy dostępna tylko dla obiektów zdefiniowanych w aplikacji) oraz zawiera pola, w których wyświetlany jest wynik działania programu dla poszczególnych wymiarów. Od wyboru sposobu pomiaru zależy wygląd panelu 3, który udostępnia odpowiednie opcje. 4.4.1 Panel 3 dla wymiaru pudełkowego Rys. 25 Panel 3 dla wymiaru pudełkowego Panel zawiera między innymi dwa suwaki. Pierwszy określa grubość siatki tzn. ustawia długość boku kwadratów, którymi będziemy pokrywali obiekt w celu wyznaczenia liczby pudełek zawierających mierzoną strukturę, a na podstawie kilku takich pomiarów wymiar pudełkowy. Drugi suwak jest odpowiedzialny za odcień szarości (najjaśniejszy), jaki muszą mięć punkty, aby były liczone jako część struktury, której wymiar chcemy wyliczyć. Wartość parametru może być z przedziału od 0 do 254 (gdzie: 0 czarny, 255 biały). Dla ułatwienia wyboru odpowiedniej wartości pole po 29

prawej stronie suwaka reaguje na modyfikacje parametru zmieniając kolor. Następnym ważnym elementem jest Tabela wyników. Jest ona podzielona na dwie kolumny: Grubość i Liczba. Kolejne wiersze zawierają grubość siatki, z jaką dokonywany jest pomiar oraz liczba pudełek zawierających obiekt dla tego pomiaru. Wyniki pomiarów są nanoszone na wykres logarytmiczny. Kiedy istnieją co najmniej dwa punkty wyznaczana jest, metodą najmniejszych kwadratów, prosta najlepiej dopasowana do punktów na wykresie. W tym momencie można już wyliczyć nachylenie prostej, czyli szukany wynik wymiar pudełkowy. Panel zawiera też dwa przyciski: Zlicz oraz Reset. Pierwszy uruchamia proces analizy obiektu zliczania pudełek a drugi kasuje wszystkie dotychczas wykonane pomiary pozwalając na przeprowadzenie nowych na przykład z innym parametrem tolerancji koloru. 4.4.2 Panel 3 dla wymiaru cyrklowego Rys. 26 Panel 3 dla wymiaru cyrklowego Panel 3 jest bardzo podobny dla swojego odpowiednika wymiaru pudełkowego. Zawiera suwak ustawiania grubości, który w tym przypadku jest długością odcinków jakimi będziemy tworzyli krzywą przybliżającą mierzony obiekt. Tablica wyników 30

zawiera wiersze z kolejnymi pomiarami a wykres przedstawia je w wersji graficznej z najlepiej dopasowaną prostą. Przyciski mają te same funkcje co dla wymiaru pudełkowego. Najważniejsze różnice to brak suwaka tolerancji koloru i obecność trzech pól wyboru: Rysuj okręgi, Rysuj linie i Rysuj punkty oraz przycisku Odśwież widok. Pierwsze pole wyboru daje możliwość naniesienia na badany obraz okręgów, które wyznaczają punkty przecięcia z linią wybrzeża (lub inną krzywą), drugie poszczególne odcinki tworzące krzywą łamaną przybliżającą mierzoną strukturę a trzecie wyłącznie punkty przecięć. Po zaznaczeniu żądanych opcji i użyciu przycisku Odśwież widok uzyskujemy podgląd wynikowego obrazu w panelu 2. 4.5 Panel 2 Ten panel służy do wyświetlania obrazów z którymi pracujemy podczas korzystania z aplikacji. Użyteczną opcją jest możliwość zmiany rozmiaru widocznego obrazu. Każdy wczytany plik jest przeskalowany tak, aby był widoczny w całości. Jeśli chcemy go zobaczyć w rzeczywistym rozmiarze wystarczy użyć lewego klawisza myszy w obszarze panelu. Ponowne kliknięcie spowoduje optymalne dopasowanie do rozmiaru okna na powrót będzie widoczny cały obrazek. 31

5 Spis ilustracji: Rys. 1 Okrąg pokryty siatką 118 kwadratów o boku 8 pikseli... 12 Rys. 2 Krzywa Kocha po 5 iteracjach... 12 Rys. 3 Pomiar pudełkowy dla grubości siatki 214 z różnych punktów startowych... 14 Rys. 4 Krzywa 3/2 po pierwszym kroku... 14 Rys. 5 Krzywa 3/2 po drugim kroku... 15 Rys. 6 Badana krzywa 3/2 (4 krok konstrukcji)... 15 Rys. 7 Wyniki pomiaru cyrklowego dla krzywej 3/2... 16 Rys. 8 Dziwna struktura... 17 Rys. 9 Wyniki pomiaru pudełkowego dla dziwnej struktury... 18 Rys. 10 Krzywa z samoprzecięciami po pierwszym kroku... 18 Rys. 11 Krzywa z samoprzecięciami po trzecim kroku... 19 Rys. 12 Wyniki wymiaru pudełkowego dla krzywej z samoprzecięciami... 19 Rys. 13 Mapa Morza Bałtyckiego z zaznaczonym wybrzeżem... 21 Rys. 14 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Bałtyku... 22 Rys. 15 Przybliżenie wybrzeża Bałtyku wielokątem dla rozstawu cyrkla 100 km (po lewej) i 25 km (po prawej)... 22 Rys. 16 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Grecji i Turcji... 23 Rys. 17 Przybliżenie wybrzeża Grecji i Turcji dla rozstawu cyrkla 20 pikseli... 23 Rys. 18 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Irlandii... 24 Rys. 19 Przybliżenie wybrzeża Irlandii dla rozstawu cyrkla 30 pikseli... 24 Rys. 20 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Skandynawii... 25 Rys. 21 Przybliżenie wybrzeża Skandynawii dla rozstawu cyrkla 15 pikseli... 25 Rys. 22 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Szkocji... 26 Rys. 23 Przybliżenie wybrzeża Szkocji dla rozstawu cyrkla 40 pikseli... 26 Rys. 24 Główne okno programu z podziałem na panele... 28 Rys. 25 Panel 3 dla wymiaru pudełkowego... 29 Rys. 26 Panel 3 dla wymiaru cyrklowego... 30 32

6 Spis tabel: Tab. 1 Wyniki pomiaru pudełkowego dla okręgu... 11 Tab. 2 Wyniki pomiaru cyrklowego dla okręgu... 11 Tab. 3 Wyniki pomiaru cyrklowego dla krzywej Kocha... 13 Tab. 4 Wyniki pomiaru pudełkowego dla krzywej Kocha... 13 Tab. 5 Wyniki pomiaru pudełkowego dla dziwnej struktury... 17 Tab. 6 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Bałtyku... 21 Tab. 7 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Grecji i Turcji... 23 Tab. 8 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Irlandii... 24 Tab. 9 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Skandynawii... 25 Tab. 10 Wyniki pomiaru cyrklowego dla wybrzeża Szkocji... 26 33

7 Literatura: [1] K. Falconer (2003) Fractal Geometry. Mathematical Foundations and Applications, Wiley, Chichester [2] F. Hausdorff (1914) Grundzüge der Mengenlehre, Verlag von Veit & Co. [3] C. S. Horstmann, G. Cornell (2003) Core Java 2. Podstawy, Helion, Gliwice [4] J. Kudrewicz (2007) Fraktale i chaos, WNT, Warszawa [5] H.-O. Peitgen, H. Jurgens, D. Saupe (1997) Granice chaosu. Fraktale, PWN, Warszawa [6] D. Stauffer, H. Eugene Stanley (1996) Od Newtona do Mandelbrota, WNT, Warszawa [7] Wikipedia, wolna encyklopedia [8] http://www.tkk.net.pl/~mmichalak 34