Statystyczna analiza danych

Statystyczna analiza danych Marek Ptak 21 października 2013 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 1 / 70

Część I Wstęp Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 2 / 70

LITERATURA A. Łomnicki, Wprowadzenie do statystyki dla przyrodników W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach J. Koronacki, J. Mieliczuk, Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodniczych Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 3 / 70

Statystyka zajmuje się opisem zjawisk masowych przy pomocy metod rachunku prawdopodobieństwa. Przykład Krzyżujemy nasiona okragłe i żółte z pomarszczonymi i zielonymi. Otrzymano następujace wyniki: pomarszczone zielone 32, pomarszczone i żółte 101, okragłe zielone 108, okragłe żółte 315. Czy stosunek wynosi 1 : 3 : 3 : 9? Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 4 / 70

Przykład Badamy, która kapusta: biała czy czerwona zawiera więcej witaminy C. W próbkach po 100 g otrzymano następujace wyniki (w mg): biała: 45, 50, 64, 38, 66, 43, 49, 58, 31, 49 oraz czerwona: 70, 68, 55, 61, 62, 74, 52, 71, 56, 61. Który z gatunków zawiera więcej witaminy C? Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 5 / 70

Przykład Badamy zmienność tymotki. Wykonano pomiary długości najwyższego liścia oraz kłosa kwiatostanu w próbie losowej o liczności 30 kwitnacych pędów i otrzymano następujace wyniki: Nr pędu 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Liść (cm) 23, 4 22, 0 25, 0 18, 1 18, 9 25, 0 19, 1 27, 5 21, 6 14, 3 Kłos (cm) 9, 8 9, 5 12, 2 8, 3 9, 5 9, 2 8, 5 12, 1 10, 4 5, 5 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 28, 0 16, 3 23, 1 17, 4 17, 0 26, 8 12, 5 18, 4 16, 7 24, 0 10, 6 5, 5 10, 5 7, 4 6, 8 11, 7 4, 1 9, 3 6, 2 11, 0 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 24, 2 21, 2 15, 0 20, 0 20, 1 19, 2 21, 0 13, 0 19, 7 26, 0 10, 2 9, 6 5, 0 8, 5 9, 7 7, 0 7, 9 4, 7 8, 3 12, 6 Czy istnieje zależność między długością najwyższego liścia a długością kłosa kwiatostanu? Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 6 / 70

Przykład Badamy czy proporcje samic i samców pewnego bardzo rzadkiego gatunku wynosza 1 : 1, tzn, czy rozkład jest dwumianowy. Testowanie hipotez: 1 Przyjęcie założeń. 2 Otrzymanie rozkładu z próby. 3 Wyznaczenie poziomu istotności i obszaru krytycznego. 4 Przeprowadzenie badań i wyliczenie statystyki testowej. 5 Podjęcie decyzji. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 7 / 70

X zmienna losowa określająca liczbę samców w wybranych 10 sztukach P(X = k) = ( ) n k p k (1 p) n k ( ) P(X = 0) = 10 ( 0 1 2 )10 ( 1 2 )0 = 1024 1 = 0, 000976563 ( ) P(X = 1) = 10 ( 1 1 2 )9 ( 1 2 )1 = 10 1 512 12 = 512 5 = 0, 009765625 ( ) P(X = 2) = 10 ( 2 1 2 )8 ( 1 2 )2 = 45 1 = 45 = 0, 043945313 256 14 1024 ( ) P(X = 3) = 10 ( 3 1 2 )7 ( 1 2 )3 = 120 1 = 15 = 0, 1171875 128 18 128 ( ) P(X = 4) = 10 ( 4 1 2 )6 ( 1 2 )4 = 210 64 1 16 1 = 512 105 = 0, 205078125 ( ) P(X = 5) = 10 ( 5 1 2 )5 ( 1 2 )5 = 252 32 1 32 1 = 256 63 = 0, 24609375 ( ) P(X = 6) = 10 ( 6 1 2 )4 ( 1 2 )6 = 210 16 1 64 1 = 512 105 = 0, 205078125 ( ) P(X = 7) = 10 ( 7 1 2 )3 ( 1 2 )7 = 120 18 1 128 = 128 15 = 0, 1171875 ( ) P(X = 8) = 10 ( 8 1 2 )2 ( 1 2 )8 = 45 14 1 256 = 1024 45 = 0, 043945313 ( ) P(X = 9) = 10 ( 9 1 2 )1 ( 1 2 )9 = 10 12 1 = 0, 009765625 P(X = 10) = ( 10 10 ) ( 1 2 )0 ( 1 2 )10 = 1 1024 512 = 512 5 = 0, 000976563 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 8 / 70

Część II Rachunek prawdopodobieństwa Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 9 / 70

(Ω, S, P) przestrzeń probabilistyczna Np. X : Ω R zmienna losowa {ω Ω : X(ω) < t} S Dystrubuanta zmiennej losowej X F X : R [0, 1] F X (t) = P({ω Ω : X(ω) < t}) Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 10 / 70

Zmienna losowa typu dyskretnego Skończona lub przeliczalna liczba wartości W X = {x 1, x 2,... x n, x n+1,... } P(X = x i ) = p(x i ) = p i p(x 1 ) + + p(x n ) + = 1 F X (x) = x i <x p(x i ) P(X = x i ) = p(x i ) rozkład zmiennej losowej P(a X < b) = p(x i ) a x i <b Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 11 / 70

Przykład: Dwie komórki dzielą się każda z prawdopodobieństwem 0, 4 X zmienna losowa określająca liczbę podzielonych komórek P(X = 0) = 0, 6 0, 6 = 0, 36 P(X = 1) = 0, 6 0, 4 + 0, 4 0, 6 = 0, 48 P(X = 2) = 0, 4 0, 4 = 0, 16 Rozkład zmiennej losowej X x i 0 1 2 p(x i ) 0, 36 0, 48 0, 16 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 12 / 70

Dystrybuanta zmiennej losowej X 0 dla x 0, 0, 36 dla 0 < x 1, F(x) = 0, 84 dla 1 < x 2, 1 dla 2 < x. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 13 / 70

Zmienna typu dyskretnego wartość oczekiwana zmiennej losowej X EX = x i p i x i Ω Wariancja zmiennej losowej X VarX, D 2 X, σ 2, σ 2 X, µ 2, DX = VarX VarX = E(X EX) 2 kwantylem rzędu p jest liczba x p taka, że P(X < x p ) P(X = x i ) p P(X = x i ) x i <x p x i x p Współczynnik zmienności τ X = DX EX Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 14 / 70

Rozkład dwupunktowy Zmienna typu skokowego o prawdopodobieństwie: E(X) = p, D 2 (X) = p(1 p) x i 0 1 p(x i ) 1 p p Np. Prawdopodobieństwo, że nastąpiła mutacja lub nie, białe lub czarne. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 15 / 70

Rozkład dwumianowy Liczba sukcesów w n doświadczeniach P(X = k) = ( ) n k p k (1 p) n k X i wynik w i tej próbie X 1,..., X n niezależne zmienne losowe X = X 1 + + X n E(X) = E(X 1 + + X n ) = E(X 1 ) + + E(X n ) = p + + p = np D 2 (X) = D 2 (X 1 )+ +D 2 (X n ) = p(1 p)+ +p(1 p) = np(1 p) Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 16 / 70

Rozkład geometryczny Mamy dane pewne zdarzenie losowe zachodzące z prawdopodobieństwem p. Przeprowadzamy je wiele razy. Zmienna losowa o rozkładzie geometrycznym X to liczba prób potrzebnych, aby to zdarzenie się zrealizowało P(X = k) = (1 p) k 1 p (bo k 1 zd. przeciwne i raz zd. dane) E(X) = 1 p D 2 (X) = 1 p p 2 Np. X 1 obsługa masowa, jak długo trzeba czekać, aby być obsłużonym Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 17 / 70

Rozkład Poissona λ λk P(X = k) = e k = 0, 1, 2,... k! EX = λ D 2 X = λ µ 3 = λ Rozkład Poissona opisuje liczbę pewnych zdarzeń w pewnym określonym przedziale czasowym. Np. ile komórek podzieliło się w ciągu jakiegoś odcinka czasu, np. w ciągu 1 minuty, 1 godz. λ oznacza intensywność danego zjawiska Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 18 / 70

Rozkład hipergeometryczny Zmienna typu skokowego o rozkładzie prawdopodobieństwa P(X = k) = (n k)( N M n k ) ( N n) EX = np D 2 X = np(1 p) ( ) N n N 1 p = M N Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 19 / 70

Zmienna losowa typu ciągłego Istnieje f : R R ciągła (całkowalna) a<b + P(a X b) = f gęstość rozkładu F X (x) = Twierdzenie b a f (t) dt x f (t) dt X : Ω R zmienna losowa typu ciagłego + f (t) dt = 1 P(X = a) = 0 P(a < X < b) = P(a X < b) = P(a < X b) = P(a X b) = F X (b) F X (a) Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 20 / 70

Twierdzenie f : R R gęstość zmiennej losowej, f ciagła w x 0. Wtedy F X(x) = f (x) Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 21 / 70

Przykład f (t) = { 2 3 t2 dla 0 < t < 1, 0 dla t 0 lub t 1. Dystrybuanta ma postać 0 dla x 0, 1 F(x) = 3 ) dla 0 < x 1 1 dla 1 < x. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 22 / 70

Zmienna losowa typu ciągłego EX = + x f (x) dx D 2 X = VarX = E(X E(X)) 2 Kwantylem rzędu p jest liczba x p taka, że P(X < x p ) = p x p f (x) dx = p F(x p ) = p Współczynnik zmienności τ X = DX EX Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 23 / 70

Rozkład równomierny f (x) = { 1 b a dla x [a, b], 0 dla x / [a, b]. 0 dla x < a, x a F(x) = dla a x b, b a 1 dla x > b. E(X) = a+b D 2 (X) = (b a)2 2 12 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 24 / 70

Rozkład Cauchy ego Zmienna typu ciągłego o gęstości f (x) = 1 λ λ > 0 π λ 2 +(x µ) 2 EX, D 2 X nie istnieją Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 25 / 70

Rozkład wykładniczy f (x) = { λe λx dla x > 0, 0 dla x < 0. F(x) = { 1 e λx dla x > 0, 0 dla x < 0. Zmienna o rozkładzie wykładniczym to czas oczekiwania do wystąpienia pierwszego zdarzenia w rozkładzie Poissona Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 26 / 70

Rozkład normalny N(µ, σ) f (x) = 1 2πσ e (x µ)2 2σ 2 F(x) = Φ(x) = 1 2π x EX = µ D 2 X = σ 2 e t2 2 dt Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 27 / 70

Twierdzenie X zmienna o rozkładzie normalnym N(µ, σ) to EX = µ, D 2 X = σ 2. Ponadto Z = X µ σ ma rozkład N(0, 1), tzn EZ = 0, D 2 Z = 1. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 28 / 70

Dystrybuanta standaryzowanego rozkładu normalnego, Φ(x) = 1 x 2π e 1 2 t2 dt, x > 0 x 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986 3,0 0,9987 0,9987 0,9987 0,9988 0,9988 0,9989 0,9989 0,9989 0,9990 0,9990 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 29 / 70

Dla rozkładu normalnego zachodzi tzw. Reguła 3σ P( X µ 3σ) = 1 P( X µ < 3σ) = 1 P( 3σ < X µ < 3σ) = 1 P( 3 < X µ < 3) = 1 P( 3 < Z < 3) = σ 1 (Φ(3) Φ( 3)) = 1 (0, 99865 0, 00135) = 0, 0027 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 30 / 70

Twierdzenie Niech X 1,..., X n będa zmiennymi losowymi o tym samym rozkładzie normalnym N(µ, σ). Wtedy zmienna Z = 1(X n 1 + + X n ) ma rozkład N(µ, σ n ). Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 31 / 70

Rozkład logarytmiczno-normalny Zmienna losowa Y ma rozkład logarytmiczno-normalny, gdy zmienna losowa X = ln Y ma rozkład normalny N(µ, σ) (ln y µ) 2 f (y) = 1 yσ 2π e 2σ 2 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 32 / 70

Rozkład t Studenta o n 1 stopniach swobody Zmienna losowa o gęstości f (x) = ( ) (n+1)/2 Γ[(n + 1)/2] 1 + x2, x R, n N nπ Γ(n/2) n gdzie Γ(r) = + 0 x r 1 e x dx, r > 0 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 33 / 70

Rozkład t Studenta o n 1 stopniach swobody Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 34 / 70

Wartości krytyczne rozkładu t-studenta, P( T tα; r) = α α r 0,8 0,6 0,4 0,2 0,1 0,05 0,04 0,02 0,01 0,002 0,001 1 0,325 0,727 1,376 3,078 6,314 12,706 15,894 31,821 63,656 318,29 636,58 2 0,289 0,617 1,061 1,886 2,920 4,303 4,849 6,965 9,925 22,328 31,600 3 0,277 0,584 0,978 1,638 2,353 3,182 3,482 4,541 5,841 10,214 12,924 4 0,271 0,569 0,941 1,533 2,132 2,776 2,999 3,747 4,604 7,173 8,610 5 0,267 0,559 0,920 1,476 2,015 2,571 2,757 3,365 4,032 5,894 6,869 6 0,265 0,553 0,906 1,440 1,943 2,447 2,612 3,143 3,707 5,208 5,959 7 0,263 0,549 0,896 1,415 1,895 2,365 2,517 2,998 3,499 4,785 5,408 8 0,262 0,546 0,889 1,397 1,860 2,306 2,449 2,896 3,355 4,501 5,041 9 0,261 0,543 0,883 1,383 1,833 2,262 2,398 2,821 3,250 4,297 4,781 10 0,260 0,542 0,879 1,372 1,812 2,228 2,359 2,764 3,169 4,144 4,587 11 0,260 0,540 0,876 1,363 1,796 2,201 2,328 2,718 3,106 4,025 4,437 12 0,259 0,539 0,873 1,356 1,782 2,179 2,303 2,681 3,055 3,930 4,318 13 0,259 0,538 0,870 1,350 1,771 2,160 2,282 2,650 3,012 3,852 4,221 14 0,258 0,537 0,868 1,345 1,761 2,145 2,264 2,624 2,977 3,787 4,140 15 0,258 0,536 0,866 1,341 1,753 2,131 2,249 2,602 2,947 3,733 4,073 16 0,258 0,535 0,865 1,337 1,746 2,120 2,235 2,583 2,921 3,686 4,015 17 0,257 0,534 0,863 1,333 1,740 2,110 2,224 2,567 2,898 3,646 3,965 18 0,257 0,534 0,862 1,330 1,734 2,101 2,214 2,552 2,878 3,610 3,922 19 0,257 0,533 0,861 1,328 1,729 2,093 2,205 2,539 2,861 3,579 3,883 20 0,257 0,533 0,860 1,325 1,725 2,086 2,197 2,528 2,845 3,552 3,850 21 0,257 0,532 0,859 1,323 1,721 2,080 2,189 2,518 2,831 3,527 3,819 22 0,256 0,532 0,858 1,321 1,717 2,074 2,183 2,508 2,819 3,505 3,792 23 0,256 0,532 0,858 1,319 1,714 2,069 2,177 2,500 2,807 3,485 3,768 24 0,256 0,531 0,857 1,318 1,711 2,064 2,172 2,492 2,797 3,467 3,745 25 0,256 0,531 0,856 1,316 1,708 2,060 2,167 2,485 2,787 3,450 3,725 26 0,256 0,531 0,856 1,315 1,706 2,056 2,162 2,479 2,779 3,435 3,707 27 0,256 0,531 0,855 1,314 1,703 2,052 2,158 2,473 2,771 3,421 3,689 28 0,256 0,530 0,855 1,313 1,701 2,048 2,154 2,467 2,763 3,408 3,674 29 0,256 0,530 0,854 1,311 1,699 2,045 2,150 2,462 2,756 3,396 3,660 30 0,256 0,530 0,854 1,310 1,697 2,042 2,147 2,457 2,750 3,385 3,646 35 0,255 0,529 0,852 1,306 1,690 2,030 2,133 2,438 2,724 3,340 3,591 40 0,255 0,529 0,851 1,303 1,684 2,021 2,123 2,423 2,704 3,307 3,551 45 0,255 0,528 0,850 1,301 1,679 2,014 2,115 2,412 2,690 3,281 3,520 50 0,255 0,528 0,849 1,299 1,676 2,009 2,109 2,403 2,678 3,261 3,496 60 0,254 0,527 0,848 1,296 1,671 2,000 2,099 2,390 2,660 3,232 3,460 70 0,254 0,527 0,847 1,294 1,667 1,994 2,093 2,381 2,648 3,211 3,435 80 0,254 0,526 0,846 1,292 1,664 1,990 2,088 2,374 2,639 3,195 3,416 90 0,254 0,526 0,846 1,291 1,662 1,987 2,084 2,368 2,632 3,183 3,402 100 0,254 0,526 0,845 1,290 1,660 1,984 2,081 2,364 2,626 3,174 3,390 120 0,254 0,526 0,845 1,289 1,658 1,980 2,076 2,358 2,617 3,160 3,373 0,253 0,524 0,842 1,282 1,645 1,960 2,054 2,327 2,576 3,091 3,291 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 35 / 70

Rozkład χ 2 o n stopniach swobody Zmienna o gęstości f (x) = { 1 2 n/2 2 k 1 e 1 2 x2, Γ(n/2) gdy x > 0, 0, gdy x 0 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 36 / 70

Wartości krytyczne rozkładu χ 2, P(χ 2 χ 2 α; r) = α α r 0,999 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0,005 0,001 1 0,000 0,000 0,000 0,001 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7,879 10,827 2 0,002 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10,597 13,815 3 0,024 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12,838 16,266 4 0,091 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14,860 18,466 5 0,210 0,412 0,554 0,831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,832 15,086 16,750 20,515 6 0,381 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18,548 22,457 7 0,599 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20,278 24,321 8 0,857 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21,955 26,124 9 1,152 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,589 27,877 10 1,479 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,188 29,588 11 1,834 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,757 31,264 12 2,214 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,337 26,217 28,300 32,909 13 2,617 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 19,812 22,362 24,736 27,688 29,819 34,527 14 3,041 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,319 36,124 15 3,483 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,801 37,698 16 3,942 5,142 5,812 6,908 7,962 9,312 23,542 26,296 28,845 32,000 34,267 39,252 17 4,416 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,718 40,791 18 4,905 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,156 42,312 19 5,407 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,582 43,819 20 5,921 7,434 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,997 45,314 21 6,447 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,401 46,796 22 6,983 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,796 48,268 23 7,529 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,172 38,076 41,638 44,181 49,728 24 8,085 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,558 51,179 25 8,649 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,928 52,619 26 9,222 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,290 54,051 27 9,803 11,808 12,878 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,645 55,475 28 10,391 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,994 56,892 29 10,986 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,335 58,301 30 11,588 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,672 59,702 35 14,688 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 46,059 49,802 53,203 57,342 60,275 66,619 40 17,917 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66,766 73,403 45 21,251 24,311 25,901 28,366 30,612 33,350 57,505 61,656 65,410 69,957 73,166 80,078 50 24,674 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79,490 86,660 60 31,738 35,534 37,485 40,482 43,188 46,459 74,397 79,082 83,298 88,379 91,952 99,608 70 39,036 43,275 45,442 48,758 51,739 55,329 85,527 90,531 95,023 100,43 104,21 112,32 80 46,520 51,172 53,540 57,153 60,391 64,278 96,578 101,88 106,63 112,33 116,32 124,84 90 54,156 59,196 61,754 65,647 69,126 73,291 107,57 113,15 118,14 124,12 128,30 137,21 100 61,918 67,328 70,065 74,222 77,929 82,358 118,50 124,34 129,56 135,81 140,17 149,45 120 77,756 83,852 86,923 91,573 95,705 100,62 140,23 146,57 152,21 158,95 163,65 173,62 140 93,925 100,65 104,03 109,14 113,66 119,03 161,83 168,61 174,65 181,84 186,85 197,45 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 37 / 70

Rozkład Weibulla Zmienna o gęstości p, λ > 0 f (x) = D 2 X = λ 2 p { λp x p 1 e λxp, gdy x > 0, 0, gdy x 0 EX = λ 1 p ( 1 p + 1 ) {Γ( 2p + 1) [Γ( 1p )]2 }, gdzie Γ(r) = + 0 x r 1 e x dx, r > 0 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 38 / 70

Twierdzenie Czebyszewa X 1, X 2,..., X n zmienne losowe parami niezależne E(X k ) = a, D 2 (X k ) < c Wtedy lim 1 Xi a < ε) = 1 n n Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 39 / 70

Twierdzenie X 1,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie o średniej µ < i odchyleniu standardowym σ <. Wtedy zmienna n losowa X = 1 X n i o średniej µ i odchyleniu standardowym σ n. Wniosek i=1 Jeżeli X 1,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie n normalnym N(µ, σ), to X = 1 X n i ma rozkład N(µ, σ n ). i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 40 / 70

Twierdzenie Jeżeli X 1,..., X n to niezależne zmienne losowe o rozkładzie N(µ, σ), n n X = 1 X n i oraz S 2 = 1 (X n i X) 2, to zmienna losowa i=1 i=1 V = X µ S n 1 ma rozkład t Studenta o (n 1) stopniach swobody. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 41 / 70

Twierdzenie (Centralne twierdzenie graniczne Linberga-Levy ego) X 1,..., X n niezależne zmienne losowe o tym samym rozkładzie o średniej µ i wariancji σ 2. Wtedy dystrybuanta zmiennej losowej X n = 1 n (X 1 + + X n ) jest zbieżna do dystrybuanty rozkładu normalnego N(µ, σ n ), tzn. dystrybuanta zmiennej losowej X µ σ n do dystrybuanty rozkładu normalnego N(0, 1). Wniosek P ( a X µ b ) P(a Z b) = Φ(b) Φ(a) σ n Z ma rozkład N(0, 1). stosujemy n > 25 zmierza Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 42 / 70

Część III Statystyka Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 43 / 70

Populacja to zbiór, który badamy Definicja Prosta próba losowa o liczności n nazywamy ciag niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n określonych na Ω takich, że każda ma taki sam rozkład. Realizacja zmiennej losowej to konkretny ciąg wartości zmiennych losowych (takie samo prawdopodobieństwo wyboru). Realizacja próby w postaci wartości np. wielkość komórki, liczba podziałów w jednostce czasu, temperatura, czasu do pierwszego podziału komórki (próba mała n 30, duża n > 30) Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 44 / 70

Niech x 1,..., x n będzie realizacją próby. Realizacja próby małej porządkujemy. Realizacja próby dużej tworzymy szereg rozdzielczy R rozstęp, R = x max x min Dzielimy na klasy, liczba klas k 5 ln n, k = n Długość klasy b = R k n k Średnia arytmetyczna x = 1 x n i x = 1 x n i n i Średnia geometryczna g = n x1... x n g = n x n 1 1... xn k k n log g = 1 log x n i i=1 Średnia harmoniczna h = i=1 ( 1 n n i=1 ) 1 1 x i i=1 h = ( 1 n k i=1 ) 1 n i x i Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 45 / 70

Mediana (wartość środkowa) m e x 1 x 2 x n { x (n+1)/2, gdy n nieparzyste, m e = 1 (x 2 n/2 + x n/2+1 ), gdy n parzyste. Wartość modalna (moda, dominanta) m 0 próbki x 1,..., x n o powtarzających się wartościach to najczęściej powtarzająca się wartość. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 46 / 70

Dla szeregu rozdzielczego m e = x l + b ( m 1 n n m 2 n i ), i=1 gdzie x l lewy koniec klasy zawierającej medianę, m numer klasy zawierającej medianę, n liczność próbki, n i liczność i-tej próbki, b długość klasy. Moda środek najliczniejszej klasy. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 47 / 70

Miary rozproszenia (rozrzutu, rozsiania) Wariancja S 2 próbki x 1,..., x n to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń poszczególnych wartości x i od średniej arytmetycznej X próbki S 2 = 1 n n (x i x) 2 = 1 n n xi 2 x 2 S 2 = 1 n n (x i x) 2 n i i=1 i=1 i=1 Odchylenie standardowe S S 2 = 1 n 1 n i=1 (x i x) 2 S 2 = 1 n 1 n n i (x i x) 2 i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 48 / 70

Miary rozproszenia (rozrzutu, rozsiania) Odchylenie przeciętne d 1 od wartości średniej x to średnia arytmetyczna wartości bezwzględnych odchyleń poszczególnych wartości x i od średniej arytmetycznej x próbki d 1 = 1 n n x i x d 1 = 1 n i=1 k n i x i x i=1 Odchylenie przeciętne d 2 od mediany m e próbki x 1,..., x n to średnia arytmetyczna wartości bezwzględnych odchyleń poszczególnych wartości x i od mediany m e próbki d 2 = 1 n n x i m e d 2 = 1 n i=1 k n i x i m e i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 49 / 70

Miary rozproszenia (rozrzutu, rozsiania) v współczynnik zmienności v = S x 100% Moment zwykły m r rzędu r próbki x 1,..., x n to średnia arytmetyczna r-tych potęg wartości x i n k m r = 1 n x r i m r = 1 n n i x r i i=1 i=1 Moment centralny M r rzędu r próbki x 1,..., x n to średnia arytmetyczna r-tych potęg wartości x i od średniej arytmetycznej x próbki M r = 1 n n (x i x) r M r = 1 n i=1 k n i (x i x) r i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 50 / 70

Miary rozproszenia (rozrzutu, rozsiania) Współczynnik skośności (asymetrii) γ 1 = M 3 S 3 Współczynnik koncentracji (skupienia) K = M 4 S 4 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 51 / 70

Przykład Zmierzono średnice 50 komórek pewnej bakterii i otrzymano następujace wyniki: 3, 6; 5, 0; 4, 0; 4, 7; 5, 2; 5, 9; 4, 5; 5, 3; 5, 5; 3, 9; 5, 6; 3, 5; 5, 4; 5, 2; 4, 1; 5, 0; 3, 1; 5, 8; 4, 8; 4, 4; 4, 6; 5, 1; 4, 7; 3, 0; 5, 5; 6, 1; 3, 8; 4, 9; 5, 6; 6, 1; 5, 9; 4, 2; 6, 4; 5, 3; 4, 5; 4, 9; 4, 0; 5, 2; 3, 3; 5, 4; 4, 7; 6, 4; 5, 1; 3, 4; 5, 2; 6, 2; 4, 4; 4, 3; 5, 8; 3, 7. Sporzadzić dla danej próbki szereg rozdzielczy. n = 50, k = 7, x min = 3, 0, x max = 6, 4. Stąd R = 3, 4, R/k = 0, 49. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 52 / 70

Szereg rozdzielczy Nr klasy Klasy Grupowanie wartości próbki Środki klas x i Liczebności klas n i 1 2,95-3,45 3,2 4 2 3,45-3,95 3,7 5 3 3,95-4,45 4,2 7 4 4,45-4,95 4,7 9 5 4,95-5,45 5,2 12 6 5,45-5,95 5,7 8 7 5,95-6,45 6,2 5 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 53 / 70

Statystyki Definicja Statystyka to każda funkcja określona na próbie Θ n (X 1,..., X n ) np. X = 1 n (X 1 + + X n ) Statystykę Θ n (X 1,..., X n ), którą przyjmujemy jako ocenę nieznanego parametru Θ nazywamy estymatorem parametru Θ. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 54 / 70

Jakie własności powinien mieć estymator, abyśmy mogli go zaakceptować? Niech Θ n = Θ n (X 1,..., X n ) estymator parametru Θ Estymator nazywamy zgodnym, jeżeli lim P( Θ n Θ < ε) = 1 n Uwaga Θ n zgodny = n Θ n 1 n zgodny (α n Θ n, α n 1) Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 55 / 70

Estymator nazywamy nieobciażonym EΘ n (X 1,..., X n ) = Θ Estymator asymptotycznie nieobciażony lim EΘ n(x 1,..., X n ) = Θ n Może istnieć dużo estymatorów nieobciążonych. Estymator efektywny to ten spośród estymatorów nieobciążonych, który ma najmniejszą wariancję. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 56 / 70

Tw. Czebyszewa mówi, że X jest estymatorem zgodnym. Twierdzenie Czebyszewa X 1, X 2,..., X n zmienne losowe parami niezależne E(X k ) = a, D 2 (X k ) < c Wtedy lim 1 Xi a < ε) = 1 n n X nieobciążony, bo E( 1 n Xi ) = 1 n E(Xi ) = 1 n nµ = µ S 2 = 1 n n (X i X) 2 zgodny asymptotycznie nieobciążony i=1 S 2 = 1 n 1 n (X i X) 2 zgodny nieobciążony i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 57 / 70

Nieznany parametr Estymator Własności Wartość oczekiwana E(X) X = n 1 n X i zgodny nieobciążony rozkład dowolny, dla i=1 rozkładu normalnego, również efektywny mediana z próby zgodny asymptotycznie nieobciążony Wariancja D 2 (X) S1 2 = 1 n (X n i E(X)) 2 zgodny nieobciążony, dla normalnego również efektywny i=1 S 2 = 1 n (X n i X) 2 zgodny asymptotycznie nieobciążony i=1 S = n 1 1 n (X i X) 2 zgodny nieobciążony asymptotycznie efektywnie i=1 odchylenie standardowe σ S 1, S, S zgodny b ns, c ns zgodny nieobciążony, asymptotycznie efektywny dla rozkładu normalnego wskaźnik struktury ˆΘ = k n dla rozkładu Bernouliego zgodny, nieobciążony, efektywny b n = Γ( n 2 ) 2 Γ( n 1 ) n 2 c n = n 1 n = Γ2 ( n 2 ) 2 Γ 2 ( n 1 ) n n Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 58 / 70

Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Badana cecha X populacji generalnej ma rozkład N(µ, σ) przy znanym σ. H : µ = µ 0 H 1 : µ µ 0 (H 1 : µ > µ 0, H 1 : µ < µ 0 ) Statystyka testowa U = X µ 0 σ ma rozkład N(0, 1) n Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 59 / 70

Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 60 / 70

Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Przykład Pewien automat w fabryce czekolady wytwarza tabliczki czekolady o nominalnej wadze 250 g. Wiadomo, że rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(µ, σ), gdzie odchylenie standardowe wynosi σ = 5. Kontrola techniczna w pewnym dniu pobrała próbkę losową 16 tabliczek czekolady i otrzymała następujące wyniki (w g): 251, 2; 246, 1; 250, 1; 247, 1; 251, 2; 251, 2; 243, 2; 243, 1; 251, 1; 245, 2; 251, 2; 245, 3; 242, 1; 250, 2; 246, 1; 252, 0. Czy (na poziomie istotności α = 0, 05) można stwierdzić, że automat produkuje tabliczki czekolady o wadze mniejszej niż nominalna? Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 61 / 70

Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Hipoteza H 0 : µ = 250g wobec hipotezy alternatywnej H 1 : µ < 250g x = 247, 9 u obl = x µ 0 σ n = 247,9 250 5 16 = 1, 68 Wartość u α, dla której P(U u α ) wynosi 1, 64 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 62 / 70

Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Ponieważ wartość ta znalazła się w obszarze krytycznym, gdyż u obl = 1, 68 < 1, 64 = u α, więc hipotezę H 0 należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej H 1. Oznacza to, że z prawdopodobieństwem błędu mniejszym niż 0, 05 możemy twierdzić, że średnia waga tabliczek czekolady jest za niska. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 63 / 70

Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Przykład Inne dane. Rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(µ, σ). µ = 250 g,σ = 5, n = 16. Masa poszczególnych tabliczek czekolady (w g): 251,2; 246,1; 250,0; 249,3; 247,5; 251,2; 245,1; 247,2; 251,9; 245,7; 250,7; 244,4; 242,2; 250,3; 246,2; 252,1. Czy (na poziomie istotności α = 0, 05) można stwierdzić, że automat produkuje tabliczki czekolady o wadze mniejszej niż nominalna? Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 64 / 70

Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Hipoteza H 0 : µ = 250g wobec hipotezy alternatywnej H 1 : µ < 250g x = 248, 2 u obl = x µ 0 σ n = 248,2 250 5 16 = 1, 45 Wartość u α, dla której P(U u α ) wynosi 1, 64 Ponieważ wartość ta nie znalazła się w obszarze krytycznym, gdyż u obl = 1, 45 > 1, 64 = u α, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 65 / 70

Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Przykład Inne dane. Rozkład wagi produkowanych tabliczek jest normalny N(µ, σ). µ = 250 g, σ = 5, n = 16 Masa poszczególnych tabliczek czekolady (w g): 249, 2; 248, 2; 243, 1; 249, 9; 248, 8; 249, 1; 249, 7; 245, 1; 248, 9; 247, 2; 249, 3; 248, 6; 247, 5; 248, 2; 249, 1; 247, 1;. Czy (na poziomie istotności α = 0, 05) można stwierdzić, że automat produkuje tabliczki czekolady o wadze mniejszej niż nominalna? Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 66 / 70

Parametryczne testy istotności Testy dotyczące wartości przeciętnej. Hipoteza H 0 : µ = 250g wobec hipotezy alternatywnej H 1 : µ < 250g x = 248, 1 u obl = x µ 0 σ n = 248,1 250 5 16 = 1, 55 Wartość u α, dla której P(U u α ) wynosi 1, 64 Ponieważ wartość ta nie znalazła się w obszarze krytycznym, gdyż u obl = 1, 55 > 1, 64 = u α, więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H 0. Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 67 / 70

Twierdzenie X 1,..., X n to prosta próba losowa o średniej µ i odchyleniu n standardowym σ. Wtedy zmienna losowa X = 1 X n i o średniej µ i odchyleniu standardowym σ n Wniosek i=1 Jeżeli próba ma rozkład normalny N(µ, σ), to X = 1 n ma rozkład N(µ, σ n ). n X i = 1 n i=1 n X i i=1 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 68 / 70

Twierdzenie n Jeżeli X 1,..., X n jest próba losowa o rozkładzie N(µ, σ), X = 1 n i=1 n oraz S 2 = 1 (X n i X) 2, to zmienna losowa V = X µ S n 1 ma i=1 rozkład t Studenta o (n 1) stopniach swobody. X i Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 69 / 70

Twierdzenie (Centralne twierdzenie graniczne Linberga-Levy ego) X 1,..., X n próba losowa o średniej µ i wariancji σ 2 Wtedy dystrybuanta zmiennej losowej X n = 1 n (X 1 + + X n ) jest zbieżna do dystrybuanty rozkładu normalnego N(µ, σ n ) tzn. dystrybuanta zmiennej losowej X µ σ n N(0, 1) Wniosek zmierza do dystrybuanty rozkładu normalnego P ( a X µ b ) P(a Z b) = Φ(b) Φ(a) σ n Z ma rozkład N(0, 1). stosujemy n > 25 Marek Ptak Statystyka 21 października 2013 70 / 70