Byczkowski A, 1999. Hydrologia /t.1/ Wydawca:SGGW Krzywa natężenia przepływu (konsumcyjna) Pojęcia ogólne Dotychczas przedmiotem rozważań były stany wody i metodyka ich opracowywania. Dawniej, w okresie rozwoju służb hydrologicznych, gdy wyniki ich działalności wykorzystywane były głównie dla celów żeglugi i dróg wodnych, znajomość stanów wody była wystarczająca dla praktyki inżynierskiej. Obecnie, gdy gospodarka wodna obejmuje szeroki wachlarz zagadnień technicznych i gospodarczych, konieczna jest znajomość nie tylko stanów wody w rzekach, lecz również - i to przede wszystkim - przepływów wody w rzekach. Ma to szczególne znaczenie wtedy, gdy naturalny reżim rzek zostaje zmieniony przez budowle piętrzące oraz inne urządzenia i obiekty gospodarki wodnej. Regulowanie odpływem rzecznym jeszcze bardziej czyni niezbędnym operowanie wartościami przepływów. Przepływy mierzone są na posterunkach sieci hydrologicznej w sposób sporadyczny, zazwyczaj kilka lub kilkanaście razy w ciągu roku. Jedynie w nielicznych zlewniach badawczych bądź też w przekrojach kontrolujących pracę szczególnie ważnych obiektów gospodarki wodnej przepływy mierzone są codziennie lub też rejestrowane w sposób ciągły. Natomiast stany wody obserwowane są systematycznie częstokroć w sposób ciągły przez cały rok hydrologiczny. Z tej przyczyny od lat stosuje się w hydrologii metodę polegającą na określaniu przepływów na podstawie wyników pomiarów stanów wody ze związku statystycznego, jaki istnieje między zmierzonymi jednocześnie wartościami przepływu i stanu wody Q=f(H). Analizując związek między natężeniem przepływu a stanem wody, należy stwierdzić, że stan wody, będąc miarą napełnienia koryta, stanowi skutek wywołany przez przyczynę, jaką jest masa wody płynąca korytem rzeki, pochodząca z wód opadowych, roztopowych oraz z wód podziemnych. W tej sytuacji jako zmienną niezależną (argument) należałoby traktować przepływ Q, a jako zmienną zależną (funkcja) - stan wody H = <p (Q). W praktyce interesuje nas jednak zależność odwrotna, tj. związek Q =f(h), ponieważ to stany wody są znane, a nie natężenie przepływu. Tak sformułowana zależność jest dużym uproszczeniem zagadnienia, ponieważ natężenie przepływu, poza stanem wody, zależy jeszcze od wielu innych czynników. Ogólna postać równania związku powinna być przyjmowana jako: Q=f(H,i,F,m,-x) i spadek zwierciadła wody [%] [-], F powierzchnia przekroju poprzecznego [m], m współczynnik szorstkości koryta, X obwód zwilżony [m]. Pozostałe oznaczenia j w. Zależność tę można upraszczać w warunkach przepływu swobodnego w korytach jednorodnych do przytoczonej na początku postaci Q =f(h). Uproszczenie takie nie może być stosowane w warunkach ruchu nieustalonego (np. podpiętrzenie stanów wody, przejście fali powodziowej). W tych wszystkich przypadkach do omawianego związku wprowadza się dodatkowa, zmienną, najczęściej charakteryzującą wpływ spiętrzenia stanów wody bądź zmianę spadku zwierciadła wody. Zmienna, taka. może być spadek zwierciadła wody i, stan wody na recypiencie H lub wielkość spiętrzenia stanów H. Równanie związku przyjmuje wówczas postać: Q=f(H*m) m zmienna charakteryzująca wpływ zmian w profilu podłużnym zwierciadła wody. Graficznym obrazem lego związku jest krzywa natężenia przepływu lub krótko -przepływu. Krzywa ta była i jest jeszcze do dziś przez wielu praktyków nazywana krzywą konsumcyjną. Jest to nazwa zwyczajowa, wywodząca się z tradycji austriackiego Centralnego Biura Hydrograficznego, nie wyjaśniająca istoty omawianej zależności. Nieraz można spotkać w polskiej literaturze inne nazwy
określające związek pomiędzy stanem i przepływem, jak np. krzywa objętości lub krzywa k. Wykres krzywej przepływu w układzie współrzędnych prostokątnych powstaje przez odłożenie na osi poziomej wartości natężenia przepływu Q, a na osi pionowej odpowiadających im wartości stanów wody H (lub napełnienia przekroju, czy też rzędnych zwierciadła wody). W literaturze obcej (np. francuskiej) można spotkać odwrotny opis osi współrzędnych (oś pozioma - stany wody, oś pionowa - natężenie przepływu). 3.3.2. Kształt krzywej przepływu Natężenie przepływu, można -jak wiadomo - wyrazić jako iloczyn: Q = Fv F czynna powierzchnia przekroju poprzecznego [m], v średnia prędkość w przekroju [m/s]. Obydwa składniki wzoru można wyrazić jako funkcje stanów wody: F =f 1,(H) oraz v=f 2 (H) czyli Q=f 1 (H)f 2 (H) Koryta naturalne zazwyczaj rozszerzają się wraz ze wzrostem napełnienia. Dla takich koryt funkcja F= f 1 (H) ma kształt wypukły ku górze. Odwrotny kierunek wykresu oznaczać by musiał, że przekrój zwęża się ku górze, co może zdarzać się jedynie Krzywa przepływu (konsumcyjna)rysunek. Wykres związków: a- krzywej natężenia przepływu Q = f 1 (H), b- krzywej powierzchni przekroju F=f 2 (H), c- krzywej prędkości przepływu v= f 3 (H) Rysunek 3.32. Przekrój poprzeczny cieku zwężający się ku górze [m/s] w przypadku rzek górskich, płynących pod nawisami skalnymi (rys. 3.32) lub też przewodów zamkniętych o przekroju kołowym, eliptycznym lub owalnym. W przekrojach naturalnych w miarę wzrostu stanów wody H powierzchnia przekroju poprzecznego F wzrasta szybciej niż liniowo. Funkcja v =f 2 (/H) w korytach rozszerzających się ku górze, przy nieznacznie zmieniającym się spadku zwierciadła wody, i, jest również funkcja rosnąca wraz ze wzrostem stanów wody H. Funkcja Q =f(h) jest na ogół funkcją rosnącą szybciej niż liniowo, ponieważ, natężenie przepływu Q zgodnie ze wzorem jest iloczynem funkcji f 1 (H) i f 2 (H). Z przeprowadzonych rozważali wynika, że krzywa przepływu ma kształt krzywej potęgowej o wykładniku n>\. Równanie krzywej można określić na podstawie rozważań teoretycznych bądź na podstawie wyników pomiarów natężenia przepływu. Teoretycznie równanie krzywej można wyprowadzić dla przekrojów poprzecznych o kształcie figur geometrycznych, jak np. prostokąt,
wycinek paraboli, trójkąt. Pole przekroju poprzecznego o kształcie prostokątnym oblicza się z zależności: F =Bh s F pole przekroju poprzecznego korytu [m 2 ], b szerokość koryta [m], h s głębokość średnia [m]. Prędkość średnią w przekroju można wyrazić za pomocą wzorów hydraulicznych, np. wzoru Chezy'ego: v=c i -0,5 h 0,5 s v prędkość średnia w przekroju [m/s], c współczynnik prędkości, i spadek zwierciadła wody [m/km], h s jak we wzorze poprzednim. W tym przypadku we wzorze Chezy'ego przyjmuje się głębokość średnią zamiast promienia hydraulicznego R h, ponieważ dla koryt naturalnych jest zazwyczaj spełniony warunek: B > 10h s Po podstawieniu tego warunku do wzoru otrzymuje się następujące równanie: k i = Bci -0,5. Podobne rozważania można przeprowadzić dla przekroju o kształcie wycinka paraboli, trójkąta itp. Prowadzą one do wniosku, że stopień krzywej wzrasta w miarę zwiększania się stosunku B/h o - szerokości koryta B do głębokości maksymalnej h o - oraz zmniejszania się stosunku h s /h o.prawidłowość tę przedstawia tabela. W ogólnym przypadku równanie krzywej przybiera postać: Q = kh n s Krzywe przepływu koryt naturalnych Punkty szczególne krzywej przepływu. Kształt krzywej przepływu koryta naturalnego zależy w pierwszym rzędzie od kształtu przekroju poprzecznego oraz od spadku zwierciadła wody. Na wykresie krzywej przepływu można wyróżnić kilka punktów szczególnych: punkt denny, punkty załomu, punkty brzegowe, punkt graniczny łożyska. Krzywa przepływu (konsumcyjna) 243 Tabela. Wartości ilorazów B/h 0 i h s /h 0 dla różnych kształtów przekrojów poprzecznych (m=b/h s ) Kształt przekroju B/h 0 h s /h 0 n Prostokątny m 1 1,5 Paraboliczny 3/2 m 2/3 2,0 Trójkątny 2 m 1/2 2,5
Q[m 3 /s] Rysunek. Punkty szczególne krzywej przepływu Punkt dermy krzywej wyznacza stan wody, przy którym przepływ Q jest równy zeru. Stan ten nosi często nazwę stałej B. Punkty załomu wyznaczone są. przez przecięcie się skarpy brzegowej z rzędną koryta niskiej wody. Jeżeli przekrój ma kształt regularny, punkty załomu nie występują. Punkt brzegowy znajduje się na poziomie stanu brzegowego, tj. stanu wody odpowiadającego położeniu krawędzi brzegu koryta. Stan ten wyznacza się na podstawie analizy przekrojów poprzecznych. Ponieważ zarówno brzeg lewy, jak i prawy nie zawsze leżą na jednakowej wysokości, więc na krzywej będzie się obserwować dwa lub jeden punkt brzegowy. Punkty brzegowe w profilu podłużnym rzeki mogą układać się również na różnej wysokości. W tej sytuacji jako miarodajny przyjmuje się przeciętny stan brzegowy na odcinku rzeki w rejonie wodowskazu. Przy stanach wody wyższych od stanu brzegowego (H > H brzeg ), krzywa przepływu zmienia swój kształt, a wykres staje się bardziej płaski. Związane jest to ze wzrostem szerokości przekroju poprzecznego powyżej wody brzegowej. Powoduje to większy przyrost przepływu na jednostkę stanów wody niż przyrost przepływu poniżej stanu brzegowego w obrębie koryta rzeki. Punkty brzegowe krzywej przepływu występują w przekrojach złożonych. Krzywe przepływu w przekrojach zwartych nie mają punktów brzegowych. Punkt graniczny łożyska rzeki odpowiada najwyższemu stanowi obserwowanemu w danym profilu wodowskazowym w okresie obserwacji WWW. Krzywa przepływu obejmująca cały obszar zmienności stanów wody od zera przepływu aż do najwyższego obserwowanego stanu wody nosi nazwę krzywej zupełnej. W odróżnieniu od niej, krzywa poprowadzona w jednej tylko strefie lub też obejmująca niecały przedział zmienności stanów wody zwana jest krzywą odcinkową. Wyrównywanie krzywych przepływu Punkty pomiarowe naniesione na wykres w układzie osi współrzędnych prostokątnych H0Q nie leżą dokładnie na krzywej, lecz układają, się z pewnym (większym lub mniejszym) rozrzutem. Do wyznaczania krzywej wyrównującej punkty pomiarowe służą metody, które można podzielić na dwie grupy: analityczne i graficzne. Metody analityczne W praktyce hydrologicznej krzywe przepływu opisuje się różnymi typami równań. Najczęściej są to dwa równania: równanie krzywej potęgowej n-tego stopnia z wierzchołkiem w początku układu osi współrzędnych (równanie Harlachera z 1883 r.): Q = a(h-b) n a, n parametry krzywej, B stan na wodowskazie, przy którym Q = 0; ogólne równanie paraboli n-tego stopnia (równanie Bubendeya): Q=a 0 + a 1 H+ a 2 H 3 +...+a n H n a 0, a 1..., a parametry krzywej. Oprócz tych znanych i od dawna stosowanych równań krzywych przepływu można znaleźć propozycje wprowadzenia innych krzywych aproksymujących wyniki pomiarów. Smolik (1970) zaproponował do tego
celu równanie krzywej wykładniczej w postaci: Q = ab H a, b parametry krzywej. Równanie Harlachera. Spośród wymienionych równań krzywa potęgowa n-tego stopnia najlepiej oddaje kształt krzywej przepływu. Zgodnie z założeniem równanie Harlachera jest równaniem krzywej, której wierzchołek pokrywający się z punktem dennym krzywej znajduje się w początku układu współrzędnych: y = ax n Zazwyczaj jednak początek układu współrzędnych (H = O i Q = 0) nie pokrywa się z punktem dennym krzywej, którego współrzędne wynoszą H = B i Q = 0. W tej sytuacji oś poziomu układu współrzędnych (oś Q) przesuwa się równolegle po osi pionowej, aż do punktu dennego. Otrzymuje się wówczas nowy układ współrzędnych: x'=x-a x' współrzędna punktu w nowym układzie równa T, x współrzędna punktu w pierwotnym układzie równa H, a miara przesunięcia osi poziomej do początku nowego układu współrzędnych równa B. Wprowadzając oznaczenia stosowane w hydrologii: T=-H-B podstawiając równanie do równania 3.42, otrzymuje się: Q = a T n Wyznaczanie stałej B. Odcięte punktu dennego krzywej przepływu, czyli odczyt na wodowskazie, przy którym 2 = 0, można określać różnymi metodami opierającymi się na pomiarach terenowych bądź na konstrukcjach graficznych. Najczęściej określa się B następującymi metodami: z przekroju poprzecznego cieku, z profilu podłużnego dna, metodą Gruszkowa, metodą prób z wykresu krzywej przepływu w podziałce logarytmicznej. Metody te można podzielić na terenowe i kameralne. W miarę posiadanych materiałów hydrometrycznych należy stosować metody oparte na danych terenowych. Metody terenowe. Najprostszym sposobem określania stałej B jest wykorzystanie do tego celu przekroju poprzecznego w profilu wodowskazowym. Znając stan wody na wodowskazie H oraz głębokość maksymalną h max, określa się wartość B z różnicy B=H-h max Określanie stałej 8 na podstawie przekroju poprzecznego cieku. Wartości B określone na podstawie kilku pomiarów przepływu różnią się zazwyczaj między sobą, ponieważ pomiary przepływu (a zatem i pomiary przekroju poprzecznego) wykonywane są nie w profilu wodowskazowym, ale w różnych przekrojach położonych w góro lub w dół od wodowskazu. Tylko w nielicznych przypadkach obiera się jeden stały profil pomiarowy. Ponadto w rzekach o dnie zbudowanym z piasku i żwiru, nawet znajdującym się w stanie równowagi, mogą zachodzić niewielkie zmiany położenia średniego poziomu dna w obydwóch kierunkach. Z tej przyczyny wartość B oblicza się jako średnich ze wszystkich wartości różnic H - h max obliczonych na podstawie wyników pomiarów przepływu:
Taki sposób postępowania jest słuszny, jeżeli koryto rzeki jest regularne, a dno układa się ze stałym spadkiem równoległym do zwierciadła wody. Często jednak w dnie rzeki istnieją, lokalne zagłębienia, wyboje i odsypiska. Wodowskazy mogą, znajdować się w profilach, w których występują lokalne zagubienia dna, wypełnionych wodą również i wtedy, gdy Q = 0. W takich przypadkach określenie stałej B jest możliwe Rysunek 3.35. Określanie stałej B na podstawie profilu podłużnego cieku (rzeka Szeszupa w profilu Udziejek) jedynie na podstawie analizy profilu podłużnego dna, poprowadzonego w punktach o największej głębokości. Zwykle jest to profil w linii nurtu. Wartość stałej B wyznacza się albo z wykresu profilu podłużnego, rzutując największy wyniosłość dna (najmniejsza głębokość) na podziałkę wodowskazu, albo analitycznie ze wzoru: H min h max L i min h max najmniejsza z głębokości maksymalnych w przekrojach [m], L odległość od wodowskazu punktu, w którym zmierzono najmniejsza wartość H max [m], I - spadek zwierciadła wody na odcinku L [m/km]. Metody kameralne. Jeżeli nie dysponuje się profilem poprzecznym i podłużnym oraz jeżeli nie można skorzystać ze wzoru 3.48, to do wyznaczenia stałej B należy stosować sposoby kameralne, opierające się na konstrukcjach graficznych lub graficzno-analitycznych. Metoda Głuszkowa. Najczęściej podawana w literaturze metoda Głuszkowa opiera się na odręcznie wyrównanej krzywej przepływu. Na krzywej tej obiera się dwa punkty leżące w pobliżu skrajnych punktów pomiarowych o współrzędnych H 1, Q l i H 2, Q2. Oblicza się średnia, geometryczna, przepływów Q 1 i Q 2,równą Q 3 = Q 1 *Q 2, a następnie z wyrównanej odręcznie krzywej określa się odpowiadający jej stan wody H 3. Otrzymuje się w ten sposób trzeci punkt na krzywej o współrzędnych H 3,Q 3. Wartość stałej B oblicza się ze wzoru:
Rysunek 3.36. Metoda Głuszkowa Metoda Głuszkowa może dawać w praktyce dobre wyniki pod warunkiem właściwego odręcznego wyrównania punktów pomiarowych i prawidłowego doboru punktów l i 2. Krzywa przepływu może mieć punkty załamali (lub punkty brzegowe), powyżej których zmienia się jej charakter, a co za tym idzie i jej równanie. Jeżeli punkt 2 przyjmuje się powyżej punktu załamania, leżeć on będzie na krzywej o innym równaniu. W takich przypadkach metoda Głuszkowa może dawać wyniki niewłaściwe, a nawet zupełnie nierealne. Metoda prób. Innym kameralnym sposobem wyznaczania stałej B jest zastosowanie logarytmicznego przekształcenia równania krzywej przepływu. Po zlogarytmowaniu równania otrzymuje się: Ig Q = Ig a + n Ig T Przyjmując Ig Q = y i Ig T= x oraz Ig α = A, otrzymuje się równanie prostej y = A + nx. Obraz taki otrzyma się, jeżeli stała B została właściwie określona, tzn. początek przesuniętego równolegle układu współrzędnych znajduje się w punkcie dennym. Jeżeli stała B nie została właściwie określona, wierzchołek krzywej nie znajdzie się w początku układu, a punkty pomiarowe naniesione na skale logarytmiczna nie ułożą się według linii prostej. Stosując omawiana metodę, w przybliżeniu wyznacza się stałą B, ekstrapolując odręcznie wykres krzywej przepływu. Określona w ten sposób stała B podstawia się do równania i określa wartości napełnień przekroju T oraz nanosi punkly pomiarowe o Rysunek. Określenie stałej B metodą prób, współrzędnych T i Q na wykres w skali logarytmicznej. Jeżeli stała B została przyjęta prawidłowo, to otrzyma się na wykresie linię prosta.. Jeżeli na wykresie uzyska się krzywa, wówczas droga prób przyjmuje się różne wartości B, aż do uzyskania linii prostej. Sposobu tego można również używać do weryfikacji stałej B wyznaczonej innymi metodami. Określenie parametrów a i n. Wartości parametrów równania wyrażającego krzywa przepływu można określić graficznie i analitycznie. Metoda graficzna polega na odręcznym wyrównaniu punktów pomiarowych naniesionych na wykres w skali logarytmicznej* - w tej skali punkty układają się wzdłuż linii prostej (rys. 3.38). Wartość Ig a odczytuje się z wykresu w punkcie, w którym (Rysunek. Graficzny sposób wyznaczania parametrów równania krzywej przepływu) wyrównana prosta przecina oś pozioma - punkt przecięcia ma współrzędne lg T = O i lg Q = Ig a. Parametr n określa się jako cotangens kata a zawartego między osią Ig g a wyrównana prostą: Jeżeli nie dysponujemy skalą logarytmiczną, to nanosi si«na wykres logarytmy wartości T i Q, tj. lg r i lg Q. Sposób ten znajduje zastosowanie, jeżeli w zasięgu sporządzonego wykresu znajduje się punkt przecięcia prostej logarytmicznej z osią poziomu. W ogólnym przypadku stosuje się metodę graficzno-analityczną.