Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info
Na dziś Sprawy bieżące 2
Na dziś Wykład 5: Statystyka matematyczna Estymatory punktowe i przedziałowe
4
5
METODY WYZNACZANIA ESTYMATORÓW Przykład: zadania.pdf 6
7
8
ROZKŁAD DWUMIANOWY 9
ROZKŁAD POISSONA 10
ROZKŁAD NORMALNY 11
12
Estymator przedziałowy 13
Przykład: przedziały.xls wykład2_estymacja.xls 14
15
16
17
18
Co wpływa na długość przedziału ufności? [10.00-1.25 [8.75; = 11.25] 10.00 + 1.25 = 11.2 d = Liczebność próby Poziom ufności Wariancja 19
Przykład Do produkcji pieczywa chrupkiego Chrup-Chrup pewna firma wykorzystuje ekstruder dwuślimakowym. Wyprodkukowane pieczywo powinno zgodnie z normą zawiarać około 0.3 błonnika na kromkę. Pobrano dziesięcioelementową próbę losową i otrzymano wyniki: 0.3115; 0.2850; 0.2606; 0.2878; 0.3114; 0.3197; 0.3083; 0.2833 ;0.2627; 0.3013 Oszacuj średnią zawartość błonnika w kromce pieczywa chrupkiego Chrup-Chrup 20
POPULACJA: Pieczywo chrupkie CECHA X: Zawartość błonnika w jednej kromce pieczywa mierzona w gramach RODZAJ CECHY: ciągła ROZKŁAD CECHY: normalny ZAŁOŻENIA: µ =?; σ =? ZADANIE: Oszacujśrednią zawartość błonnika w kromce pieczywa chrupkiego Chrup-Chrup TECHNIKA STATYSTYCZNA: Oszacuj = PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA - średnią POZIOM UFNOŚCI: 1 - α = 0.95 ROZWIĄZANIE: Obliczenia np. Excel ODPOWIEDŹ: Średnia zawartość błonnika w kromc jest liczbą od 0.2783 do 0.3079 z zaufa niem do wniosku 95% 21
Przykład 2 Importer owoców cytrusowych pan Alojzy Cytrynka twierdzi, że w transporcie psuje się 18 procent owoców. Właściciel hurtowni cytrusów chce sprawdzić czy zapewnienia Pana Cytrynki są prawdziwe. W tym celu pobiera z jednego transportu próbe losową i stwierdza, że spośród 800 owoców 160 jest zepsutych. Co można sądzić o zapewnieniach importera w świetle przeprowadzonych badań? 22
POPULACJA: Owoce cytrusowe CECHA X: Jakość owocu {dobry 1; zły 0} RODZAJ CECHY: skokowa ROZKŁAD CECHY: dwupunktowy ZAŁOŻENIA: Sukces =?; P =?; Rozkład =? Czy pan Cytrynka ma rację? (Oszacuj procent ZADANIE: owoców zepsutych w populacji) TECHNIKA STATYSTYCZNA: Oszacuj = PRZEDZIAŁ UFNOŚCI DLA - procent POZIOM UFNOŚCI: 1 - α = 0.95 ROZWIĄZANIE: Obliczenia np. Excel ODPOWIEDŹ: Procent zepsutych owoców jest liczbą z przedziału (17.52%; 22.59%) mylę si w tym wniosku na 5% 23
PYTANIA 1. Co wpływa na długość przedziału ufności? 2. Podaj wzór na przedział ufności dla średniej w rozkładzie normalnym. 3. Podaj wzór na przedział ufności dla wariancji w rozkładzie Poissona. 4. Wyjaśnij pojęcie poziom ufności. 5. Czy można powiedzieć o informacji podawanej dla pewnego modelu samochodu, że średnie zużycie paliwa wynosi 6 litrów na 100 km. Mając informację o zużyciu paliwa dla tego modelu samochodu w postaci przedziału ufności (5,82; 7,48) na poziomie ufności 95%. 6. Wymień znane Ci sposoby uzyskiwania estymatorów. 7. Co jest estymatorem µw rozkładzie normalnym. Jaki rozkład ma ten estymator. 8. W jakim rozkładzie prawdopodobieństwa estymator średniej jest taki sam jak estymator wariancji. 9. Z jakich elementów skład się model statystyczny. 10. Jaki rozkład ma asymptotyczny estymator p w rozkładzie dwumianowym. 24
Estymatory ENW(Zajęcia z 3.11.2004) Próbax 1,...x n zrozkładunormalnego Model statystyczny dla próby: Funkcja wiarogodności: po zlogarytmowaniu: ({R n 1 }{ σ n 2π n exp( 1 2 n ( x i µ ) 2 ):(µ,σ) [R R + ]}) σ i=1 (σ n zapiszemy(σ 2 ) n/2 ) L(µ,σ 2 1,x 1,...x n )= (σ 2 ) n/2 2π n exp{ 1 2 n i=1 n ( x i µ σ ) 2 } L(µ,σ 2,x 1,...x n )= n 2 lnσ2 nln 2π 1 2 maksymalizujemy funkcję L najpierw po µ: dl dµ = n 2 lnσ2 nln 2π 1 2 i=1 n (x i µ) 21 σ 2 i=1 dl dµ = 1 1 n 2σ 2( 2) (x i µ)=0 i=1 n n n i=1 (x i µ)=0 x i =nµ µ= x i n i=1 maksymalizujemyfunkcjęlpoσ 2 : i=1 dl dσ 2= n 2 lnσ2 nln 2π 1 2 n σ 2+1 2 n+ n i=1 n (x i µ) 21 σ 2 i=1 (x i µ) 2 1 (σ 2 ) 2=0 n (x i µ) 21 σ 2=0 n σ 2 i=1 = (x i µ) 2 n czyliestymatoryenw(σ)ienw(µ)to: n S 2 i=1 = (x i µ) 2 n i=1 ; x= x i n n natomiastestymatorenw( σ µ ): i=1 (x i µ) 21 σ 2 czyli: n i=1 (xi µ)2 n n i=1 xi n S x
Statystyka opisowa Robert Pietrzykowski email: robert_pietrzykowski@sggw.pl www.ekonometria.info
Na dziś Sprawy bieżące 2
3
4
5
6
T = 7
8
Rozszerzenie zagadnień Powiązanie przedziałów ufności z hipotezami statystycznymi 9
10
PYTANIA 1. Wyjaśnij pojęcie błąd I rodzaju? 2. Podaj przykład hipotezy statystycznej. 3. Podaj wzór statystyki testowej dla hipotezy H 0 : µ= 0 4. Wyjaśnij pojęcie poziom istotności. 5. Wyjaśnij pojęcie test statystyczny. 6. Weryfikując hipotezę H 0 : µ= 0 wobec H 1 : µ 0 uzyskano wartość testu temp = 5.3423, a wartość krytyczna 2.2620. Czy hipotezę H 0 :µ= 0 można odrzucić? Odpowiedź uzasadnij. 11