Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi

Podróże po Imperium Liczb Część 9 Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi Andrzej Nowicki Wydanie drugie uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012

SZB - 41(1028) - 24.04.2012

Spis treści Wstęp 1 1 Sześciany 5 1.1 Cyfry sześcianów.................................. 6 1.2 Lustrzane odbicia sześcianów........................... 7 1.3 Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji............... 8 1.4 Sumy cyfr sześcianów............................... 9 1.5 Końcowe cyfry sześcianów............................. 12 1.6 Własności sześcianów............................... 13 1.7 Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów.................. 14 1.8 Różnice dwóch sześcianów............................ 15 1.9 Odwrotności sześcianów.............................. 15 1.10 Różne fakty i zadania z sześcianami....................... 17 2 Sumy sześcianów 19 2.1 Sumy dwóch sześcianów liczb całkowitych.................... 19 2.2 Sumy dwóch sześcianów - różne rozkłady.................... 19 2.3 Równanie x 3 + y 3 = z 3.............................. 22 2.4 Równanie x 3 + y 3 = z n.............................. 22 2.5 Sumy dwóch sześcianów i kolejne liczby naturalne............... 23 2.6 Sumy dwóch sześcianów i liczby wymierne................... 24 2.7 Sumy trzech sześcianów.............................. 25 2.8 Równanie x 3 + y 3 + z 3 = a........................... 27 2.9 Równanie x 3 + y 3 + z 3 = t 3........................... 29 2.10 Równanie x 3 + y 3 + z 3 = mxyz......................... 31 2.11 Liczby postaci a 3 + b 3 + c 3-3abc....................... 31 2.12 Sumy czterech i więcej sześcianów........................ 33 2.13 Sumy n sześcianów................................ 35 2.14 Sumy sześcianów kolejnych liczb całkowitych.................. 36 2.15 Sumy sześcianów w różnych systemach numeracji............... 39 2.16 Sumy i sześciany.................................. 39 3 Krzywe eliptyczne 41 3.1 Struktura grupowa zbioru E(k).......................... 41 3.2 Podstawowe fakty o krzywych eliptycznych................... 42 3.3 Równoliczność zbiorów związanych z krzywymi eliptycznymi......... 44 3.4 Liczba punktów nad ciałami skończonymi.................... 45 3.5 Krzywe eliptyczne postaci y 2 = x 3 + a..................... 46 3.6 Krzywe eliptyczne postaci y 2 = x 3 + ax..................... 52 3.7 Krzywa y 2 = x 3 - x + m 2............................. 54 3.8 Równanie my 2 = ax 3 + bx 2 + cx + d...................... 55 3.9 Równanie ay 2 + by +c = dx 3.......................... 56 3.10 Różne fakty i zastosowania krzywych eliptycznych............... 56 i

4 Równania diofantyczne trzeciego stopnia 57 4.1 Równania ax 3 + by 3 = c............................. 57 4.2 Równania trzeciego stopnia dwóch zmiennych................. 59 4.3 Równania ax 2 + by 2 = cz 3............................ 60 4.4 Równania ax 3 + by 3 = cz 3............................ 61 4.5 Równania trzeciego stopnia trzech zmiennych.................. 62 4.6 Równania trzeciego stopnia czterech zmiennych................ 64 5 Bikwadraty 65 5.1 Cyfry bikwadratów................................ 66 5.2 Sumy dwóch bikwadratów............................ 68 5.3 Sumy trzech bikwadratów............................. 69 5.4 Sumy czterech i więcej bikwadratów....................... 71 5.5 Dodatkowe fakty i zadania o bikwadratach................... 71 5.6 Równanie ax 4 + by 2 = c............................. 72 5.7 Równanie ax 4 + by 4 = cz 2............................ 74 5.8 Równanie ax 4 + bx 2 y 2 + cy 4 = dz 2....................... 77 5.9 Różne równania diofantyczne 4-tego stopnia.................. 78 6 Piąte i wyższe potęgi 81 6.1 Piąte potęgi.................................... 81 6.2 Równania diofantyczne 5-tego stopnia...................... 84 6.3 Szóste potęgi.................................... 85 6.4 Siódme potęgi................................... 87 6.5 Ósme potęgi.................................... 89 6.6 Dziewiąte potęgi.................................. 90 6.7 Dziesiąte i wyższe potęgi............................. 90 7 Dowolne potęgi 93 7.1 Potęgi i postępy arytmetyczne.......................... 93 7.2 Sumy n-tych potęg................................. 95 7.3 Problem Waringa................................. 98 7.4 Potęgi oraz trójki i czwórki liczb naturalnych.................. 98 7.5 Równanie f(x,y) = m. Twierdzenia Thuego i Mordella............. 100 7.6 Równania diofantyczne dowolnych stopni.................... 101 7.7 Liczby pełnopotęgowe............................... 102 7.8 Ciągi i zbiory liczb potęgowych.......................... 104 7.9 Różne fakty i zadania o liczbach potęgowych.................. 106 8 Problemy Prouhet-Tarry-Escotta 109 8.1 Sformułowanie problemu, oznaczenia i historia................. 109 8.2 Równoważne sformułowania........................... 110 8.3 Twierdzenia o PTE-parach............................ 111 8.4 PTE-pary stopnia 2................................ 113 8.5 PTE-pary stopnia 3................................ 117 8.6 PTE-pary stopnia 4................................ 119 8.7 PTE-pary stopnia 5................................ 120 8.8 PTE-pary stopni większych od 5......................... 121 8.9 PTE-pary i rozbicia zbiorów........................... 122 ii

8.10 Różne zadania stowarzyszone z PTE problemami................ 123 9 Równania wykładnicze 125 9.1 Równanie x m y n = 1.............................. 125 9.2 Równanie a x b y = c............................... 127 9.3 Równanie a x + b y = c z.............................. 128 9.4 Różne równania wykładnicze........................... 129 10 Potęgi w pierścieniach Z m 131 10.1 Liczby γ s (n).................................... 131 10.2 Okresowość funkcji γ............................... 132 10.3 Elementy postaci x s w ciałach Z p........................ 134 10.4 Elementy postaci x s w pierścieniach Z p n..................... 135 10.5 Sumy elementów postaci x s w pierścieniach Z m................. 136 10.6 Wielkie Twierdzenie Fermata w Z n....................... 138 10.7 Różne fakty i zadania o potęgach w Z m..................... 138 11 Sześciany w pierścieniach Z m 139 11.1 Sześciany w ciałach Z p.............................. 139 11.2 Sześciany w pierścieniach Z 2 n........................... 140 11.3 Sześciany w pierścieniach Z 3 n........................... 142 11.4 Sześciany w pierścieniach Z p n........................... 142 11.5 Różności o sześcianach w Z m........................... 144 12 Bikwadraty, piąte potęgi,... w pierścieniach Z m 147 12.1 Bikwadraty w Z m................................. 147 12.2 Piąte potęgi w Z m................................. 149 12.3 Szóste potęgi w Z m................................ 150 12.4 Siódme potęgi w Z m................................ 151 12.5 Ósme potęgi w Z m................................. 152 12.6 Dziewiąte potęgi w Z m.............................. 153 12.7 Dziesiąte potęgi w Z m............................... 153 Spis cytowanej literatury 154 Skorowidz nazwisk 161 Skorowidz 164 iii

Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularno-naukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularno-naukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. 1

Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Jeśli m jest liczbą naturalną, to ϕ(m) jest liczbą wszystkich liczb naturalnych mniejszych lub równych m i względnie pierwszych z liczbą m. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www.mat.uni.torun.pl/~anow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach 2008 2011. Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

o o o o o W dziewiątej książce z serii Podróże po Imperium Liczb, zajmujemy się liczbami potęgowymi postaci n s, gdzie n jest liczbą naturalną (lub liczbą całkowitą) oraz s jest ustaloną liczbą naturalną większą od 2. Zakładamy, że s jest większe od 2, gdyż przypadkiem s = 2 zajmowaliśmy się już w oddzielnej książce pt. Liczby kwadratowe. Książka składa się z dwunastu rozdziałów. Dwa początkowe rozdziały dotyczą przypadku s = 3. Badamy w nich sześciany, czyli liczby naturalne postaci n 3. Zajmujemy się więc takimi liczbami naturalnymi jak: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728,. W rozdziale 1 przedstawiamy najpierw pewne własności cyfr sześcianów zapisanych w systemie dziesiętnym. Wspominamy też o innych systemach numeracji. Zebrano tu także różne fakty i ciekawostki o samych sześcianach. Natomiast w rozdziale 2 mówi się o liczbach naturalnych będących sumami dwóch, trzech lub więcej sześcianów. W szczególności opisane są rozwiązania naturalne równań postaci x 3 + y 3 + z 3 = t 3 lub x 3 + y 3 + z 3 = a. W równaniu po prawej stronie a jest daną liczbą naturalną. Wspomniane równania są przykładami diofantycznych równań trzeciego stopnia. W tej książce zajmujemy się również innymi równaniami trzeciego stopnia. Cały rozdział 3, o krzywych eliptycznych, dotyczy diofantycznych równań postaci y 2 = x 3 + ax 2 + bx + c, gdzie a, b, c są danymi współczynnikami, przy czym wielomian x 3 + ax 2 + bx + c nie ma pierwiastków wielokrotnych. Wspominamy w tym rozdziale o grupie stowarzyszonej z takim równaniem i przedstawiamy klasyczne wyniki o strukturze tej grupy. Badamy liczby punktów krzywej eliptycznej nad ciałami skończonymi. Podajemy ponadto szczegółowe informacje o krzywych eliptycznych postaci: y 2 = x 3 + a, y 2 = x 3 + ax, y 2 = x 3 x + m 2. Różnymi innymi równaniami diofantycznymi trzeciego stopnia zajmujemy się w rozdziale czwartym. W następnych rozdziałach badamy czwarte, piąte i wyższe potęgi liczb naturalnych. W rozdziale 5 zajmujemy się bikwadratami, czyli liczbami naturalnymi postaci n 4. Potęgi n 5, n 6, itd. są w rozdziale 6. Są tu też oddzielne rozdziały o równaniach diofantycznych wyższych stopni (rozdział 7) i równaniach wykładniczych (rozdział 9). W rozdziale 8 zajmujemy się problemami Prouhet-Tarry-Escotta. Niech n i k będą ustalonymi liczbami naturalnymi. Niech a = (a 1,..., a n ) i b = (b 1,..., b n ) będą n-elementowymi ciągami liczb całkowitych. Mówić będziemy, że (a, b) jest PTE-parą stopnia k długości n, jeśli spełnione są równości a 1 + a 2 + + a n = b 1 + b 2 + + b n a 2 1 + a2 2 + + a2 n = b 2 1 + b2 2 + + b2 n. a k 1 + ak 2 + + ak n = b k 1 + bk 2 + + bk n. W tym przypadku pisać będziemy: (a 1,..., a n ) k = (b 1,..., b n ) lub krótko a k = b. W szczególności zapis (a 1,..., a n ) 1 = (b 1,..., b n ) oznacza, że sumy a 1 +a 2 + +a n oraz b 1 +b 2 + +b n 3

są równe. Mamy na przykład (2, 3, 7) = 2 (1, 5, 6), gdyż 2 + 3 + 7 = 12 = 1 + 5 + 6 i 2 2 + 3 2 + 7 2 = 62 = 1 2 + 5 2 + 6 2. W omawianym rozdziale (ósmym) opisujemy, między innymi, pewne PTE-pary i zajmujemy się problemami dotyczącymi istnienia PTE-par. W trzech ostatnich rozdziałach zajmujemy się sześcianami, bikwadratami i wyższymi potęgami w skończonych pierścieniach Z m, liczb całkowitych modulo m. 4

1 Sześciany Każdą liczbę postaci n 3, gdzie n jest liczbą naturalną, nazywamy sześcianem liczby naturalnej lub krótko sześcianem. Poniższa tabela przedstawia sześciany n 3, dla n 300. 1 1 51 132651 101 1030301 151 3442951 201 8120601 251 15813251 2 8 52 140608 102 1061208 152 3511808 202 8242408 252 16003008 3 27 53 148877 103 1092727 153 3581577 203 8365427 253 16194277 4 64 54 157464 104 1124864 154 3652264 204 8489664 254 16387064 5 125 55 166375 105 1157625 155 3723875 205 8615125 255 16581375 6 216 56 175616 106 1191016 156 3796416 206 8741816 256 16777216 7 343 57 185193 107 1225043 157 3869893 207 8869743 257 16974593 8 512 58 195112 108 1259712 158 3944312 208 8998912 258 17173512 9 729 59 205379 109 1295029 159 4019679 209 9129329 259 17373979 10 1000 60 216000 110 1331000 160 4096000 210 9261000 260 17576000 11 1331 61 226981 111 1367631 161 4173281 211 9393931 261 17779581 12 1728 62 238328 112 1404928 162 4251528 212 9528128 262 17984728 13 2197 63 250047 113 1442897 163 4330747 213 9663597 263 18191447 14 2744 64 262144 114 1481544 164 4410944 214 9800344 264 18399744 15 3375 65 274625 115 1520875 165 4492125 215 9938375 265 18609625 16 4096 66 287496 116 1560896 166 4574296 216 10077696 266 18821096 17 4913 67 300763 117 1601613 167 4657463 217 10218313 267 19034163 18 5832 68 314432 118 1643032 168 4741632 218 10360232 268 19248832 19 6859 69 328509 119 1685159 169 4826809 219 10503459 269 19465109 20 8000 70 343000 120 1728000 170 4913000 220 10648000 270 19683000 21 9261 71 357911 121 1771561 171 5000211 221 10793861 271 19902511 22 10648 72 373248 122 1815848 172 5088448 222 10941048 272 20123648 23 12167 73 389017 123 1860867 173 5177717 223 11089567 273 20346417 24 13824 74 405224 124 1906624 174 5268024 224 11239424 274 20570824 25 15625 75 421875 125 1953125 175 5359375 225 11390625 275 20796875 26 17576 76 438976 126 2000376 176 5451776 226 11543176 276 21024576 27 19683 77 456533 127 2048383 177 5545233 227 11697083 277 21253933 28 21952 78 474552 128 2097152 178 5639752 228 11852352 278 21484952 29 24389 79 493039 129 2146689 179 5735339 229 12008989 279 21717639 30 27000 80 512000 130 2197000 180 5832000 230 12167000 280 21952000 31 29791 81 531441 131 2248091 181 5929741 231 12326391 281 22188041 32 32768 82 551368 132 2299968 182 6028568 232 12487168 282 22425768 33 35937 83 571787 133 2352637 183 6128487 233 12649337 283 22665187 34 39304 84 592704 134 2406104 184 6229504 234 12812904 284 22906304 35 42875 85 614125 135 2460375 185 6331625 235 12977875 285 23149125 36 46656 86 636056 136 2515456 186 6434856 236 13144256 286 23393656 37 50653 87 658503 137 2571353 187 6539203 237 13312053 287 23639903 38 54872 88 681472 138 2628072 188 6644672 238 13481272 288 23887872 39 59319 89 704969 139 2685619 189 6751269 239 13651919 289 24137569 40 64000 90 729000 140 2744000 190 6859000 240 13824000 290 24389000 41 68921 91 753571 141 2803221 191 6967871 241 13997521 291 24642171 42 74088 92 778688 142 2863288 192 7077888 242 14172488 292 24897088 43 79507 93 804357 143 2924207 193 7189057 243 14348907 293 25153757 44 85184 94 830584 144 2985984 194 7301384 244 14526784 294 25412184 45 91125 95 857375 145 3048625 195 7414875 245 14706125 295 25672375 46 97336 96 884736 146 3112136 196 7529536 246 14886936 296 25934336 47 103823 97 912673 147 3176523 197 7645373 247 15069223 297 26198073 48 110592 98 941192 148 3241792 198 7762392 248 15252992 298 26463592 49 117649 99 970299 149 3307949 199 7880599 249 15438249 299 26730899 50 125000 100 1000000 150 3375000 200 8000000 250 15625000 300 27000000 5

6 Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 1.1 Cyfry sześcianów 1.1.1. (5 + 1 + 2) 3 = 512, (4 + 9 + 1 + 3) 3 = 4913, (5 + 8 + 3 + 2) 3 = 5832, (1 + 7 + 5 + 7 + 6) 3 = 17576, (1 + 9 + 6 + 8 + 3) 3 = 19683, ([Je88], [Bedn] 48). 1.1.2. Każdy wyraz następujących ciągów jest sześcianem liczby naturalnej. ( ) (1) 1331, 1030301, 1003003001,... ; 11 3, 101 3, 10001 3,..., ([Mat] 6/1954 102). (2) 729, 970299, 997002999, 999700029999,..., ([MaS] 2/1998). (3) 107811, 3 110778111, 3 111077781111,..., ([IMO] Longlist 1967, [Djmp] s.42). 3 1.1.3. Liczby 9261 i 804357 są sześcianami liczb naturalnych: 9261 = 21 3, 804357 = 93 3. Do ich zapisu wykorzystano wszystkie cyfry 0, 1,..., 9; każdą jeden raz. Jest to jedyny przykład tego rodzaju. ([Mon] 47(3)(1940) E377). 1.1.4. Liczby 8 i 24137569 są sześcianami liczb naturalnych: 8 = 2 3, 24137569 = 289 3. Do ich zapisu wykorzystano wszystkie niezerowe cyfry 1,..., 9; każdą jeden raz. Są jeszcze dwa przykłady tego typu: ([Mon] 47(3)(1940) E377). 8 = 2 3, 32461759 = 319 3 oraz 125 = 5 3, 438976 = 76 3. 1.1.5. Liczby: 1, 8, 64 i 205379 są sześcianami liczb naturalnych: 1 = 1 3, 8 = 2 3, 64 = 4 3, 205379 = 59 3. Wykorzystano wszystkie cyfry 0, 1,..., 9; każdą jeden raz. Nie ma trzech liczb tego rodzaju. ([Mon] 47(3)(1940) E377). 1.1.6. Sześciany 24137569 = 289 3 i 32461759 = 319 3 zbudowane są z tych samych cyfr. Podobnie: 42875 = 35 3, 54872 = 38 3 oraz 125 = 5 3, 512 = 8 3. ([Mon] 47(3)(1940) E377). 1.1.7. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje sześcian, którego początkowe cyfry są odpowiednio równe cyfrom liczby m. Podobny fakt zachodzi również dla dowolnych systemów numeracji. ([N-2]).

Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 7 1.2 Lustrzane odbicia sześcianów Jeśli n jest liczbą naturalną, to przez n oznaczać będziemy liczbę naturalną powstałą z cyfr liczby n zapisanych w odwrotnej kolejności. Mówić będziemy w tym przypadku, że n jest lustrzanym odbiciem liczby n. Przykłady: 12345 = 54321, 4453377 = 7733544, 92100 = 129. Takie liczby n pojawiły się już w [N-2] i [N-3]. W tym podrozdziale zajmować się będziemy liczbami postaci n, gdzie n będzie sześcianem liczby naturalnej. Mówimy, że liczba naturalna n jest palindromiczna, jeśli n = n. Przykłady liczb palindromicznych: 12321, 341143, 1114111. 1.2.1. Wszystkie palindromiczne liczby postaci n 3 dla n < 10 6. 1 3 = 1, 2 3 = 8, 7 3 = 343, 11 3 = 1331, 101 3 = 1030301, 111 3 = 1367631, 1001 3 = 1003003001, 2201 3 = 10662526601, 10001 3 = 1000300030001, 10101 3 = 1030607060301, 11011 3 = 1334996994331, 100001 3 = 1000030000300001, 101101 3 = 1033394994933301, 110011 3 = 1331399339931331. Pojawiła się liczba 2201. Jest to jedyna znana do tej pory taka liczba naturalna, która nie jest palindromiczna i ma palindromiczny sześcian. 1.2.2. Każdy wyraz ciągu 1331, 1030301, 1003003001,, jest palindromicznym sześcianem. Palindromicznych sześcianów istnieje więc nieskończenie wiele. 1.2.3. 1011 3 = 1033364331 1334633301 = 1101 3 10011 3 = 1003303631331 1331363033001 = 11001 3 100011 3 = 1000330036301331 1331036300330001 = 110001 3 100101 3 = 1003033061330301 1030331603303001 = 101001 3 100111 3 = 1003333697667631 1367667963333001 = 111001 3. Istnieją sześciany, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi. Najmniejszym takim sześcianem jest liczba 5 3, której lustrzane odbicie jest liczbą pierwszą 521. Dopisując z prawej strony zera, otrzymujemy nieskończoną serię sześcianów, których lustrzane odbicia są liczbami pierwszymi: (5 3 ) = (50 3 ) = (500 3 ) = = 521. W dalszym ciągu zajmować się będziemy tylko takimi sześcianami, które nie są podzielne przez 10. 1.2.4. W przedziale [1, 100] istnieją trzy niepodzielne przez 10 liczby naturalne n takie, że lustrzane odbicie liczby n 3 jest liczbą pierwszą. Są to liczby: 5, 52, 89. W przedziale [1, 1000] takich liczb jest 59, a w przedziale [1, 10 000] jest ich 451. (Maple).

8 Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 1.3 Cyfry sześcianów w różnych systemach numeracji 1.3.1. 3 3 = 11011 2, 2 3 = 22 3. 1.3.2. 5 3 = 1331 4, 17 3 = 1030301 4, 65 3 = 1003003001 4, 257 3 = 1000300030001 4, 1025 3 = 1000030000300001 4, 4097 3 = 1000003000003000001 4. 6 3 = 1331 5, 26 3 = 1030301 5, 126 3 = 1003003001 5, 626 3 = 1000300030001 5, 3126 3 = 1000030000300001 5, 15626 3 = 1000003000003000001 5. 1.3.3. 7 3 = 1331 6, 37 3 = 1030301 6, 217 3 = 1003003001 6, 1297 3 = 1000300030001 6, 7777 3 = 1000030000300001 6, 46657 3 = 1000003000003000001 6, 279937 3 = 1000000300000030000001 6. 1.3.4. 3 3 = 33 8, 9 3 = 1331 8, 65 3 = 1030301 8, 73 3 = 1367631 8, 513 3 = 1003003001 8, 4097 3 = 1000300030001 8, 4161 3 = 1030607060301 8, 32769 3 = 1000030000300001 8, 262145 3 = 1000003000003000001 8, 262657 3 = 1003006007006003001 8. 2 3 = 11 7, 4 3 = 121 7, 8 3 = 1331 7, 16 3 = 14641 7, 50 3 = 1030301 7, 100 3 = 11333311 7, 200 3 = 124666421 7, 344 3 = 1003003001 7, 688 3 = 11033033011 7, 1376 3 = 121363363121 7, 2402 3 = 1000300030001 7, 4804 3 = 11003300330011 7, 9608 3 = 121036303630121 7, 16808 3 = 1000030000300001 7, 33616 3 = 11000330003300011 7, 67232 3 = 121003630036300121 7. 2 3 = 8 9, 10 3 = 1331 9, 38 3 = 83238 9, 82 3 = 1030301 9, 91 3 = 1367631 9, 730 3 = 1003003001 9, 6562 3 = 1000300030001 9, 6643 3 = 1030607060301 9, 59050 3 = 1000030000300001 9. 1.3.5. (2 + 1 + 0 + 1) 3 = 2101 3, (2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 2) 3 = 200222 3. 1.3.6. (2 + 0) 3 = 20 4, (3 + 1 + 2 + 0) 3 = 3120 4, (1 + 1 + 1 + 1 + 3) 3 = 11113 4, (2 + 3 + 1 + 2 + 1) 3 = 23121 4, (3 + 3 + 2 + 2 + 0) 3 = 33220 4, (1 + 0 + 2) 3 = 102 5, (4 + 0 + 2 + 2) 3 = 4022 5, (1 + 0 + 4 + 0 + 4) 3 = 10404 5, (2 + 3 + 4 + 0 + 3) 3 = 23403 5, (3 + 2 + 2 + 4 + 2) 3 = 32242 5.

Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 9 1.3.7. (3 + 2 + 1 + 3) 3 = 3213 6, (1 + 0 + 0 + 5 + 5) 3 = 10055 6, 1.3.8. (1 + 1) 3 = 11 7, (1 + 2 + 1) 3 = 121 7, (1 + 3 + 3 + 1) 3 = 1331 7, (2 + 0 + 6 + 1) 3 = 2061 7, (2 + 3 + 3 + 4 + 3) 3 = 23343 6, (3 + 0 + 5 + 4 + 4) 3 = 30544 6. (3 + 6 + 1 + 1) 3 = 3611 7, (5 + 0 + 1 + 6) 3 = 5016 7, (1 + 2 + 5 + 6 + 1) 3 = 12561 7, (1 + 4 + 6 + 4 + 1) 3 = 14641 7. 1.3.9. (3 + 3 + 0) 3 = 330 8, (4 + 2 + 2 + 5) 3 = 4225 8, (5 + 2 + 7 + 0) 3 = 5270 8. 1.3.10. (3 + 0) 3 = 30 9, (4 + 2 + 1) 3 = 421 9, (4 + 5 + 6 + 0) 3 = 4560 9, (5 + 5 + 5 + 1) 3 = 5551 9, (1 + 7 + 6 + 1 + 8) 3 = 17618 9, (4 + 8 + 8 + 4 + 8) 3 = 48848 9. 1.4 Sumy cyfr sześcianów Przez s(n) oznaczamy sumę cyfr liczby naturalnej n. 1.4.1. Niech n N. Istnieje sześcian liczby naturalnej, którgo suma cyfr jest równa n wtedy i tylko wtedy, gdy resztą z dzielenia liczby n przez 9 jest 0, 1 lub 8. D. Niech n = s(a 3 ), gdzie a N. Reszta z dzielenia liczby postaci a 3 przez 9 jest równa 0, 1 lub 8. Ponieważ s(a 3 ) a 3 (mod 9), więc n = s(a 3 ) b (mod 9), gdzie b {0, 1, 8}. Niech n będzie dowolną liczbą podzielną przez 9. Wówczas n jest postaci s(a 3 ), gdzie a N. Mamy bowiem: a m = (10 m 1) 3 = } 99 {{... 9 } 7 } 00 {{... 0 } 2 } 99 {{... 9 }, s(a m ) = 9 2m, dla m 1 m 1 m 1 m b m = (10 m 16) 3 = } 99 {{... 9 } 52 } 00 {{... 0 } 767 } 99 {{... 9 } 5904, s(b m ) = 9(2m 1), dla m 4. m 2 m 3 m 4 Ponadto, s(3 3 ) = s(27) = 9 = 9 1, s(3 9 ) = s(19683) = 27 = 9 3 oraz s(9 7 ) = s(4782969) = 45 = 9 5. Niech n będzie liczbą postaci 9k + 1. W tym przypadku mamy: a m = (10 m 3) 3 = } 99 {{... 9 } 1 } 00 {{... 0 } 26 } 99 {{... 9 } 73, s(a m ) = 9(2m 1) + 1, dla m 2 m 1 m 2 m 2 b m = (10 m 9) 3 = } 99 {{... 9 } 73 } 00 {{... 0 } 242 } 99 {{... 9 } 271, s(b m ) = 9(2m 1), dla m 3. m 2 m 3 m 3 Ponadto, s(7 3 ) = s(343) = 10 = 9 1 + 1, s(1 3 ) = s(1) = 1 = 9 0 + 1 oraz s(13 3 ) = s(2197) = 19 = 9 2 + 1. Niech n będzie liczbą postaci 9k + 8. W tym przypadku mamy: a m = (10 m 2) 3 = } 99 {{... 9 } 4 } 00 {{... 0 } 11 } 99 {{... 9 } 2, s(a m ) = 9 2(m 1) + 8, dla m 2 m 1 m 2 m 1 b m = (10 m 5) 3 = } 99 {{... 9 } 85 } 00 {{... 0 } 74 } 99 {{... 9 } 875, s(b m ) = 9(2m 1) + 8, dla m 3. m 2 m 2 m 3 Ponadto, s(8 3 ) = s(512) = 8 = 9 0 + 8, s(47 3 ) = s(103823) = 17 = 9 1 + 8 oraz s(95 3 ) = s(857375) = 35 = 9 3 + 8.

10 Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 1.4.2. Jeśli n 1000 i n 2 = s(n) 3, to n = 1 lub n = 27. ([Ibe] 1999). 1.4.3. Liczba n ma 19 cyfr. Wiadomo, że s(n) = 3. Ile może wynosić s(n 3 )? Odp. 9, 18 lub 27. ([Fom] 20/73). 1.4.4. Liczby n = 1, 8, 17, 18, 26, 27 spełniają równość Są to wszystkie tego rodzaju liczby naturalne. s(n 3 ) = n. D. Załóżmy, że liczba naturalna n spełnia równość s(n 3 ) = n. Niech k będzie liczbą cyfr liczby n. Wtedy 10 k 1 n < 10 k oraz 10 3(k 1) n 3 < 10 3k. Stąd mamy: 10 k 1 n = s(n 3 ) 9 3k = 27k < 10 2 k, więc 10 k 3 < k i stąd k 3. Liczba n jest więc mniejsza od 1000. Wystarczy zatem tylko zbadać wszystkie liczby naturalne co najwyżej 3-cyfrowe. Wśród nich tylko liczby 1, 8, 17, 18, 26, 27 spełniają rozpatrywaną równość. 1.4.5. Spójrzmy na przykłady: 1 = s(n), 1 3 = s(n 3 ), dla n = 1; 2 = s(n), 2 3 = s(n 3 ), dla n = 2 lub n = 11; 3 = s(n), 3 3 = s(n 3 ), dla n = 111 lub n = 1011; 4 = s(n), 4 3 = s(n 3 ), dla n = 11011; 5 = s(n), 5 3 = s(n 3 ), dla n = 1000001010001001; 6 = s(n), 6 3 = s(n 3 ), dla n = 100000000010000010000100010001. Czy dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że s(n) = m i s(n 3 ) = m 3? 1.4.6. Czy stnieje taka liczba naturalna n, że s(n) = 100 oraz s(n 3 ) = 100 3? ([OM] Rosja 2009, citekwant 4/2010 s.57). Odpowiedzi na te pytania są pozytywne. Wynika to z następującego stwierdzenia. 1.4.7. Dla każdej liczby naturalnej m istnieje liczba naturalna n taka, że gdzie s(n) = m oraz s(n 3 ) = m 3. D. Przypomnijmy najpierw następujący uogólniony wzór Newtona: (a 1 + + a m ) n = i 1,..., i s a i1 1... aim m, i 1+ +i m=n i 1+ +i m=n oznacza, że sumowanie przebiega wszystkie ciągi nieujemnych liczb całkowitych (i 1,..., i m ) takie, że i 1 + + i m = n. Występujące tu współczynniki postaci i 1,..., i m są liczbami (naturalnymi) zdefiniowanymi jako i 1,..., i s = (i 1 + i 2 + + i s )!. i 1!i 2!... i s!

Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 11 Szczegóły znajdziemy w [N11] w podrozdziale o uogólniononych symbolach Newtona.. Niech teraz m będzie daną liczbą naturalną i niech n = m 10 4k = 10 4 + 10 16 + + 10 4m. k=1 Suma cyfr liczby n jest równa m. Podnosząc n do trzeciej potęgi, otrzymujemy: ( ) n 3 = i 1,..., i m 10 i141 +i 24 2 + +i m4 m. i 1+ i m=3 Jeśli i 1,..., i m są nieujemnymi liczbami całkowitymi, których suma jest równa 3, to są to liczby mniejsze od 4. Każdy więc uogólniony symbol Newtona i 1,..., i m, występujący w równości ( ), jest jedną z cyfr 1, 3 lub 6. Z jednoznaczności przedstawienia liczb w systemie numeracji o podstawie 4 wynika, że potęgi dziesiątki, występujące po prawej stronie równości ( ), są parami różne. Liczba n 3 zbudowana jest więc z cyfr 0, 1, 3, 6. Zatem s(n 3 ) = i 1,..., i m = i 1,..., i m 1 i1 1 i2 1 im = (1 + 1 + + 1) 3 = m 3, i 1+ i m=3 i 1+ i m=3 Mamy więc: s(n) = m oraz s(n 3 ) = m 3. Rozpatrzmy ciągi postaci n, D(n), D(D(n)), D(D(D(n))),, gdzie D : N N jest funkcją przyporządkowującą każdej liczbie naturalnej n sumę jej cyfr podniesioną do trzeciej potęgi, tzn. D(n) = s(n) 3. Spójrzmy najpierw na kilka przykładów takich ciągów: 5, 5 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, 8 3, ; 6, 6 3, 9 3, 18 3, 18 3, 18 3, 18 3, 18 3, ; 22, 4 3, 10 3, 1, 1, 1, 1, 1, ; 49, 13 3, 19 3, 28 3, 19 3, 28 3, 19 3, 28 3, ; 59, 14 3, 17 3, 17 3, 17 3, 17 3, 17 3, 17 3, ; 899, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, 26 3, ; 999, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3, 27 3,. W każdym z tych ciągów pojawił się wyraz należący do zbioru {1 3, 8 3, 17 3, 18 3, 19 3, 26 3, 27 3 }. Udowodnimy, że tak jest zawsze. 1.4.8. Niech D : N N będzie funkcją określoną wzorem D(n) = s(n) 3, dla n N. Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna k taka, że D k (n) jest jedną z liczb: 1 3, 8 3, 17 3, 18 3, 19 3, 26 3, 27 3. D. (1). Najpierw udowodnimy, że jeśli m 7 jest liczbą naturalną, to (9m) 3 < 10 m 1. Zrobimy to metodą indukcji matematycznej ze względu na m. Dla m = 7 mamy: (9m) 3 = 250047 < 10 6 = 10 m 1. Niech m 7 i niech (9m) 3 < 10 m 1. Wtedy ( ) ( 9(m + 1) 3 9 3 (m + m ) 3 = 9 3 7 ( ) 3 8 m 3 < 512 7 343 10m 1 < 10 10 m 1 = 10 m,

12 Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany a zatem, (9(m + 1)) 3 < 10 (m+1) 1 i to kończy nasz indukcyjny dowód. (2). Teraz wykżemy, że jeśli n 10 6, to D(n) < n. Załóżmy, że n 10 6 i niech m będzie liczbą cyfr liczby n. Wtedy m 7 oraz 10 m 1 n. Korzystamy z nierówności udowodnionej w punkcie (1) i mamy: D(n) = s(n) 3 (9m) 3 < 10 m 1 n, a więc D(n) < n. (3). Teraz wystarczy zbadać tylko te wszystkie liczby naturalne n, które są mniejsze od 10 6. W tym celu wystarczy tylko zbadać wszystkie sześciany mniejsze od 10 6, czyli liczby 1 3, 2 3,..., 99 3. Sprawdzamy to na przykład za pomocą komputera. W każdym przypadku widzimy, że zachodzi rozważana teza. 1.5 Końcowe cyfry sześcianów ) 1.5.1. Niech (c p, c p 1,..., c 1, c 0 (gdzie p 0) będzie ciągiem cyfr układu dziesiętnego, przy czym nwd(c 0, 10) = 1. Istnieje wtedy liczba naturalna n taka, że końcowymi cyframi liczby n 3 są odpowiednio cyfry c p, c p 1,..., c 0. ([OM] Ukraina 1998). D. Indukcja ze względu na p 0. Dla p = 0 jest to oczywiste, gdyż 1 3 = 1, 7 3 = 243, 3 3 = 27 oraz 9 3 = 729. Niech p > 0 i załóżmy, że (c p,..., c 1, c 0 ) jest danym ciągiem cyfr takim, że nwd(c 0, 10) = 1. Na mocy indukcji istnieje liczba naturalna m taka, że końcowe cyfry liczby m 3 tworzą ciąg (c p 1, c p 2,..., c 1, c 0 ). Niech a będzie cyfrą liczby m 3 stojącą na p-tym (licząc od końca) miejscu, tzn. m 3 =... ac p 1 c p 2... c 1 c 0. Niech b {0, 1,..., 9} będzie taką cyfrą, że a + b c p (mod 10). Ponieważ ostatnią cyfrą liczby m jest 1, 3, 7 lub 9, więc ostatnią cyfrą liczby 3m 2 jest 3 lub 7. Istnieje zatem liczba k {0, 1, 2,..., 9} taka, że ostatnią cyfrą liczby 3m 2 k jest b. (Mamy bowiem, modulo 10, następujące równości: 0 3 = 0, 1 3 = 3, 2 3 = 6, 3 3 = 9, 4 3 = 2, 5 3 = 5, 6 3 = 8, 7 3 = 1, 8 3 = 4, 9 3 = 7 oraz 0 7 = 0, 1 7 = 7, 2 7 = 4, 3 7 = 1, 4 7 = 8, 5 7 = 5, 6 7 = 2, 7 7 = 9, 8 7 = 6, 9 7 = 3.) Niech n = m+10 p k. Wtedy n 3 = m 3 +3m 2 k 10 p +3mk 2 10 2p +k 3 10 3p i jest oczywiste, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą ciąg (c p, c p 1,..., c 1, c 0 ). 1.5.2. Znaleźć liczbę naturalną n taką, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 19981997. Odp. n = 43691413, n 3 = 83404267142141019981997. ([OM] Ukraina 1998). 1.5.3. Przykłady liczb naturalnych n takich, że końcowe cyfry liczby n 3 tworzą daną liczbę m. m n n 3 1997 1413 2821151997 19981997 43691413 83404267142141019981997 199919981997 552743691413 168877341551614637488967199919981997 1999 3999 63952011999 19991999 2663999 18906109653319991999 19981999 75993999 438872022882520119981999 9999999 9999999 999999700000029999999 1234554321 5329817841 151403912720127257101234554321 123456789 464658829 100323478236586978123456789 12345678987654321 80608557871517841... 6012345678987654321 987654321 871517841 661955578081361127987654321 20022003 71680587 368302493763542720022003 (Maple i dowód 1.5.1).

Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 13 1.5.4. Jeśli liczba naturalna n ma w zapisie dziesiętnym na końcu s dziewiątek, to liczba n 3 ma na końcu co najmniej s dziewiątek. 1.5.5. Jeśli ostatnią cyfrą liczby n 3 jest 5, to przedostatnią cyfrą tej liczby jest 2 lub 7. 1.5.6. (1) Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 25, to trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę 125 lub 625. (2) Jeśli dwie ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 75, to trzy ostatnie cyfry tej liczby tworzą liczbę 375 lub 875. (3) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 125 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 5. (4) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 375 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 15. (5) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 625 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 25. (6) Trzy ostatnie cyfry liczby n 3 tworzą liczbę 875 wtedy i tylko wtedy, gdy n = 40k + 35. 1.5.7. Liczba n 3 nie może mieć w zapisie dziesiętnym końcówki 14375, To samo z końcówkami: 14375, 10625 oraz 11875. 1.6 Własności sześcianów 1.6.1. Każda liczba postaci n 3 jest sumą n kolejnych liczb nieparzystych. ([WyKM] 156-52). D. 2 3 = 3 + 5, 3 3 = 7 + 9 + 11, 4 3 = 13 + 15 + 17 + 19,. Niech a = n(n 1). Wtedy (a + 1) + (a + 3) + + (a + 2n 1) = n 3. 1.6.2. Z równości ( ) n(n + 1) 2 ( n(n 1) n 3 = 2 2 wynika, że każdy sześcian liczby naturalnej jest różnicą dwóch liczb kwadratowych. ([S50] 510). 1.6.3. W ciągu kolejnych liczb naturalnych 1, 2, 3... wykreślamy co trzecią liczbę. W nowym ciągu 1, 2, 4, 5, 7, 8,... każdy wyraz zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich poprzedzających go wyrazów. W nowym ciągu 1, 3, 7, 12, 19, 27, 37, 48, 61,... wykreślamy co drugi wyraz i następnie każdy wyraz nowego ciągu zastępujemy sumą tego wyrazu i wszystkich go poprzedzających. Otrzymany w ten sposób ciąg jest ciągiem wszystkich kolejnych sześcianów liczb naturalnych. ([Mat] 1-2/1955 78). ) 2 1.6.4. Jeśli liczby x, y i x2 + y 2 + 6 xy całkowitej. ([OM] Estonia 1996, [Pa97]). są całkowite, to x2 + y 2 + 6 xy jest sześcianem liczby 1.6.5. Niech a, b, c Z. Jeśli nwd(a, c) = 1 i bc(a 2 b 2 ) = a(c 2 b 4 ), to a jest sześcianem. ([MG] 88(511)(2004) s.166).

14 Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 1.6.6. Jeśli x, y, z, a, b, c są niezerowymi liczbami takimi, że x + y + z = a + b + c = 0, to a 3 + b 3 + c 3 x 3 + y 3 + z 3 = abc xyz. ([Dlt] 4/1999). 1.6.7. Niech a N i niech x n = n 3 + a dla n N. Wtedy: ) (1) nwd (x n, x n+1, x n+2 = 1 dla n N; (2) jeśli a jest sześcianem, to istnieje n takie, że nwd(x n, x n+1 ) > 1; (3) nie istnieje takie a, że nwd(x n, x n+1 ) = 1 dla każdego n N; (4) jeśli p jest liczbą pierwszą dzielącą nwd(x n, x n+1 ) dla pewnego n, to p 27a 2 + 1. ([Kw] 5/1999 M1680). 1.7 Istnienie lub nieistnienie pewnych sześcianów 1.7.1. Dla każdej liczby naturalnej n > 32 pomiędzy liczbami n i 2n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej. ([Mat] 5/1952 55, [S64] 167, [S68] 102). D. Zauważmy najpierw, że jeśli k 4, to (k+1) 3 < 2k 3. Istotnie: 2k 3 (k+1) 3 = k 3 3k 2 3k 1 > k 3 3k 2 4k = k(k 4)(k + 1) 0. Jeśli 33 n < 64, to n < 4 3 < 2n. Niech teraz n 64 i niech k będzie największą liczbą naturalną taką, że k 3 n. Wtedy (k + 1) 3 > n oraz k 4. Mamy zatem: n < (k + 1) 3 < 2k 3 2n. 1.7.2. Dla każdej liczby naturalnej n > 9 pomiędzy liczbami n i 3n istnieje co najmniej jeden sześcian liczby naturalnej. ([AndG] 63). 1.7.3. Istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych a, b takich, że liczby a b i a 2 + 3b 2 + 1 są sześcianami liczb całkowitych. ([OM] St Petersburg 1997). 1.7.4. Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 7 n + 7 m, gdzie n i m są różnymi liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba jest sześcianem równym (2 7 s ) 3. 7 1+3s + 7 3s 1.7.5. Istnieje nieskończenie wiele sześcianów postaci 26 n + 26 m, gdzie n i m są różnymi liczbami naturalnymi. Każda bowiem liczba jest sześcianem równym (3 26 s ) 3. 26 1+3s + 26 3s 1.7.6. Jeśli w nieskończonym postępie arytmetycznym o wyrazach naturalnych istnieje sześcian liczby naturalnej, to takich sześcianów w tym postępie istnieje nieskończenie wiele.

Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 15 1.7.7. Nie ma trzech różnych sześcianów liczb naturalnych tworzących postęp arytmetyczny. ([S59] 130). 1.7.8 (Maple). Przykłady trójek (a, b, c), liczb naturalnych takich, że a < b < c i wszystkie liczby ab + c, bc + a, ca + b, są sześcianami. (1, 2, 62), (1, 21, 195), (1, 27, 37), (1, 37, 475), (2, 15, 34), (2, 17, 30), (3, 10, 34), (5, 29, 367), (8, 27, 296), (8, 37, 216), (9, 20, 36), (10, 15, 66), (12, 19, 115), (12, 39, 44). 1.8 Różnice dwóch sześcianów 1.8.1. 721 = 16 3 15 3 = 9 3 2 3, 728 = 12 3 10 3 = 9 3 1 3. ([Mat] 3/1984 180). 1.8.2. Liczba 721 jest najmniejszą liczbą naturalną mającą dwa różne rozkłady na różnicę dwóch sześcianów liczb naturalnych. ([Mat] 3/1984 180). 1.8.3. 3367 = 15 3 2 3 = 16 3 9 3 = 34 3 33 3. ([Mat] 3/1984 180). 1.8.4. 172 3 135 3 = 144 3 71 3 = 138 3 ( 1) 3. ([Dlt] 4/2001 6-7). 1.8.5. Niech x Z. Jeśli (x + 1) 3 x 3 = n 2 dla pewnego naturalnego n, to n = a 2 + (a + 1) 2 dla pewnego a Z. Przykład: 8 3 7 3 = 13 2, 13 = 2 2 + 3 2. ([IMO] Longlist 1971). A. Górski, Trzy równe różnice dwóch sześcianów, [Dlt] 4/2001 6-7. 1.9 Odwrotności sześcianów Odwrotnościami sześcianów zajmowaliśmy sią już w pierwszej książce serii Podróże po Imperium Liczb [N-1] (lub [N-1a]). W tym podrozdziale przypominamy tylko pewne zagadnienia pochodzące z tej książki. 1.9.1. Równanie 1 x 3 + 1 y 3 = 1 nie ma rozwiązań naturalnych. z3 D. Przypuśćmy, że takie naturalne rozwiązanie (x, y, z) istnieje. Wtedy po pomnożeniu stronami przez (xyz) 3 otrzymujemy równość (yz) 3 + (xz) 3 = (xy) 3. Dobrze wiadomo jednak, że równanie x 3 + y 3 = z 3 nie ma rozwiązań naturalnych.

16 Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 1.9.2. 1 2 3 + 1 2 3 = 1 2 2, 1 65 3 + 1 260 3 = 1 520 2, 1 (4 13 61) 3 + 1 (9 13 61) 3 = 1 (8 27 13 61) 2. 1.9.3. Równanie 1 x 3 + 1 y 3 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. z2 1.9.4. Jeśli x, y, z są liczbami naturalnymi takimi, że 1 x 3 + 1 y 3 = 1, to nwd(x, y) 2. z2 1 1.9.5. 9 3 + 1 12 3 + 1 72 3 = 1. Zauważmy, że nwd(9, 12, 72) = 3 oraz 3 8. Inne przykłady 83 tego typu: (1) 1 95 3 + 1 171 3 + 1 570 3 = 1, nwd(95, 171, 570) = 19 oraz 19 90. 903 (2) 1 140 3 + 1 170 3 + 1 340 3 = 1, nwd(140, 170, 340) = 10 oraz 10 119. 1193 (3) 1 120 3 + 1 252 3 + 1 266 3 = 1, nwd(120, 252, 266) = 2 oraz 2 171. (Maple). 1713 1.9.6. Równanie 1 x 3 + 1 y 3 + 1 z 3 = 1 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. t3 D. Z poprzednich przykładów wynika, że co najmniej jedno rozwiązanie naturalne (x, y, z, t) istnieje. Każda więc czwórka postaci (ax, ay, az, at), gdzie a N, też jest rozwiązaniem naturalnym rozpatrywanego równania. 1 1.9.7. 12 3 + 1 15 3 + 1 20 3 = 1 10 3. Równość tę otrzymujemy dzieląc obie strony znanej równości 3 3 + 4 3 + 5 3 = 6 3 przez 60 3. Istnieje więc rozwiązanie naturalne równania 1 x 3 + 1 y 3 + 1 z 3 = 1 t 3 takie, że nwd(x, y, z) = 1. Czy istnieje inne tego typu rozwiązanie naturalne? Nie znam odpowiedzi na to pytanie. (15.02.2008). 1.9.8. Dla każdej liczby naturalnej s 3 równanie 1 x 3 0 = 1 x 3 1 + + 1 x 3 s ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. ([S64] 151). 1.9.9. 1.9.10. 1.9.11. 1 1 3 + 1 2 3 + + 1 n 3 < 5. ([IMO] Longlist 1969, [OM] Grecja 2005). 4 1 3 3 + 1 4 3 + + 1 n 3 < 1. ([OM] Irlandia 1990). 12 (1 1 ) (1 2 3 1 ) (1 3 3 1 ) 4 3 (1 1 ) n 3 > 1. ([IMO] Longlist 1971). 2

Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany 17 1.10 Różne fakty i zadania z sześcianami 1.10.1. Cztery różne przedstawienia liczby 1025 w postaci x 2 + y 3 : ([MG] 529(2010) 167). 1025 = 32 2 + 1 3 = 31 2 + 4 3 = 30 2 + 5 3 = 5 2 + 10 3. 1.10.2 (Maple). Cztery różne rozkłady postaci x 2 + y 3. 65537 = 256 2 + 1 3 = 255 2 + 8 3 = 219 2 + 26 3 = 122 2 + 37 3, 105633 = 325 2 + 2 3 = 303 2 + 24 3 = 264 2 + 33 3 = 143 2 + 44 3, 183185 = 428 2 + 1 3 = 293 2 + 46 3 = 256 2 + 49 3 = 87 2 + 56 3, 12730625 = 3568 2 + 1 3 = 3425 2 + 100 3 = 3397 2 + 106 3 = 2175 2 + 200 3. 1.10.3. 16257025 = 4032 2 +1 3 = 3430 2 +165 3 = 2645 2 +210 3 = 2541 2 +214 3 = 795 2 +250 3 ; pięć różnych rozkładów postaci x 2 + y 3. (Maple). 1.10.4. 28344977 = 5324 2 +1 3 = 5323 2 +22 3 = 5310 2 +53 3 = 4765 2 +178 3 = 4099 2 +226 3 = 3372 2 + 257 3 ; sześć różnych rozkładów postaci x 2 + y 3. (Maple). 1.10.5. Jeśli f(x) = 13x 2 13x + 1, to liczby f( 1), f(0), f(1), f(2) są sześcianami. (L. Kurlandczyk 1999). 1.10.6. Znaleźć wszystkie pary (a, b) liczb naturalnych, dla których liczby a 3 + 6ab + 1, b 3 + 6ab + 1 są sześcianami. Odp. (a, b) = (1, 1). ([OM] Polska 1999/2000). 1.10.7. Dla dowolnej liczby rzeczywistej r > 0 istnieją liczby naturalne a i b takie, że b 3 < a 2 < b 3 + rb. ([IMO] Shortlist 1999, [Zw] 2001). Agnieszka Bajak, Wykresy płaskich krzywych algebraicznych trzeciego i czwartego stopnia, [Pmgr] 1999.

18 Sześciany, bikwadraty... 1. Sześciany

2 Sumy sześcianów 2.1 Sumy dwóch sześcianów liczb całkowitych 2.1.1. Liczba naturalna n jest sumą dwóch sześcianów liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taki naturalny podzielnik d liczby n, że jest naturalną liczbą kwadratową. ([Coh1] 377). ( ) 1 4n 3 d d2 2.1.2. Liczba pierwsza p jest sumą dwóch sześcianów liczb całkowitych wtedy i tylko wtedy, gdy p = 2 lub p = 3n 2 + 3n + 1, gdzie n N. ([SilT] 177, [Mol2] 259, [Coh1] 377). 2.1.3. Liczby postaci 7k + 3 lub 7k + 4 nie są sumami dwóch sześcianów liczb całkowitych. ([S50] 111). 2.1.4. Liczby postaci 9k + 3 lub 9k + 4 lub 9k + 5 lub 9k + 6 nie są sumami dwóch sześcianów liczb całkowitych. ([S59] 463, [Mol2] 259). 2.1.5. Z równości 1 + 2 6k = 1 2 + (2 3k ) 2 = 1 3 + (2 2k ) 3 wynika, że istnieje nieskończenie wiele liczb naturalnych, które są jednocześnie sumą dwóch kwadratów i sumą dwóch sześcianów względnie pierwszych liczb naturalnych. ([S64] 182). M. Erickson, A. Vazzana, Sums of two cubes, [ErV] 413-416. R. A. Mollin, Sums of cubes, [Mol2] 259-264. M. B. Nathanson, Sums of two cubes, [Nath] 49-71. J. Sandor, On the sum of two cubes, [Sand] 77-79. W. Sierpiński, Sums of two cubes, [S88] 412-414. 2.2 Sumy dwóch sześcianów - różne rozkłady 2.2.1. Najmniejszą liczbą naturalną mającą dwa istotnie różne rozkłady na sumę dwóch sześcianów jest liczba Hardy ego-ramanujana 1729 = 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3. Liczbę tę znalazł w 1657 roku Bernard Frénicle de Bessy. ([Gy04] 210). 19

20 Sześciany, bikwadraty... 2. Sumy sześcianów 2.2.2. (L.R. Goide,, [MG] 54(390)(1970) 402). ( ) 3+ ( ) 3 ( ) 3+ ( 3. 3x 2 +6xy 3 y 6 +1 3x 2 y 6xy+y 7 y = 3x 2 6xy 3 y 6 +1 3x 2 y+6xy+y y) 7 Dla x = 1, y = 2 (po podzieleniu przez 12 3 ) otrzymujemy równość 1 3 + 12 3 = 9 3 + 10 3. 2.2.3. ([S50] 246, Maple). 1 3 + 103 3 = 64 3 + 94 3, 1 3 + 150 3 = 73 3 + 144 3, 1 3 + 249 3 = 135 3 + 235 3, 1 3 + 495 3 = 334 3 + 438 3, 1 3 + 738 3 = 244 3 + 729 3. 2.2.4. 1 3 + (9k 4 + 3k) 3 = (9k 4 ) 3 + (9k 3 + 1) 3. (A. Gérardin, [S50] 246). 2.2.5. 2 3 + 16 3 = 9 3 + 15 3, 2 3 + 24 3 = 18 3 + 20 3, 2 3 + 34 3 = 15 3 + 33 3, 2 3 + 89 3 = 41 3 + 86 3, 2 3 + 127 3 = 95 3 + 106 3, 2 3 + 150 3 = 83 3 + 141 3, 2 3 + 206 3 = 128 3 + 188 3, 2.2.6. 3 3 + 36 3 = 27 3 + 30 3, 3 3 + 60 3 = 22 3 + 59 3, 3 3 + 186 3 = 59 3 + 184 3, 3 3 + 309 3 = 192 3 + 282 3, 3 3 + 358 3 = 115 3 + 354 3, 2 3 + 300 3 = 146 3 + 288 3, 2 3 + 385 3 = 252 3 + 345 3, 2 3 + 466 3 = 165 3 + 459 3, 2 3 + 498 3 = 270 3 + 470 3, 2 3 + 873 3 = 470 3 + 825 3, 2 3 + 990 3 = 668 3 + 876 3. ([S50] 246, [HW4] 200, Maple). 3 3 + 414 3 = 323 3 + 334 3, 3 3 + 450 3 = 219 3 + 432 3, 3 3 + 747 3 = 405 3 + 705 3, 3 3 + 771 3 = 401 3 + 733 3. ([S50] 246, Maple). 2.2.7. 5 3 + 60 3 = 45 3 + 50 3, 5 3 + 76 3 = 48 3 + 69 3, 5 3 + 254 3 = 197 3 + 206 3, 5 3 + 310 3 = 66 3 + 309 3, 2.2.8. 7 3 + 84 3 = 63 3 + 70 3, 7 3 + 474 3 = 255 3 + 448 3, 7 3 + 542 3 = 336 3 + 495 3, 5 3 + 315 3 = 248 3 + 252 3, 5 3 + 515 3 = 320 3 + 470 3, 5 3 + 750 3 = 365 3 + 720 3, 5 3 + 771 3 = 552 3 + 662 3. 7 3 + 721 3 = 448 3 + 658 3, 7 3 + 896 3 = 134 3 + 895 3. 2.2.9. ([Nath] 50, [Gy04] 211). Najmniejszą liczbą naturalną mającą trzy istotnie różne rozkłady na sumę dwóch sześcianów liczb naturalnych jest 87539319 : 87 539 319 = 167 3 + 436 3 = 228 3 + 423 3 = 255 3 + 414 3. Jest to przykład znaleziony w 1957 roku przez J. Leecha. Liczby występujące w tych rozkładach nie są względnie pierwsze, ponieważ nwd(228, 423) = nwd(255, 414) = 3. Najmniejszą liczbą naturalną mającą trzy istotnie różne rozkłady na sumę dwóch sześcianów względnie pierwszych liczb naturalnych jest 15 170 835 645 : 15 170 835 645 = 2468 3 + 517 3 = 2456 3 + 709 3 = 2152 3 + 1733 3.

Sześciany, bikwadraty... 2. Sumy sześcianów 21 2.2.10. ([Lion], Maple). 87539319 = 167 3 + 436 3 = 228 3 + 423 3 = 255 3 + 414 3, 119824488 = 11 3 + 493 3 = 90 3 + 492 3 = 346 3 + 428 3, 143604279 = 111 3 + 522 3 = 359 3 + 460 3 = 408 3 + 423 3, 175959000 = 70 3 + 560 3 = 198 3 + 552 3 = 315 3 + 525 3, 327763000 = 300 3 + 670 3 = 339 3 + 661 3 = 510 3 + 580 3, 700314552 = 334 3 + 872 3 = 456 3 + 846 3 = 510 3 + 828 3, 804360375 = 15 3 + 930 3 = 198 3 + 927 3 = 295 3 + 920 3, 958595904 = 22 3 + 986 3 = 180 3 + 984 3 = 692 3 + 856 3. 2.2.11. 1148834232 = 222 3 + 1044 3 = 718 3 + 920 3 = 816 3 + 846 3, 1407672000 = 140 3 + 1120 3 = 396 3 + 1104 3 = 630 3 + 1050 3, 1840667192 = 225 3 + 1223 3 = 372 3 + 1214 3 = 681 3 + 1151 3, 1915865217 = 9 3 + 1242 3 = 484 3 + 1217 3 = 969 3 + 1002 3. 2.2.12. Najmniejszą liczbą naturalną mającą cztery istotnie różne rozkłady na sumę dwóch sześcianów liczb naturalnych jest 6 963 472 309 248 = 2421 3 + 19083 3 = 5436 3 + 18948 3 = 10200 3 + 18072 3 = 13322 3 + 16630 3. Przykład ten znaleźli w 1997 roku E.Rosenstiel, J.A. Dardis i C.R.Rosenstiel. Liczby występujące w tych rozkładach nie są względnie pierwsze. Otwartym problemem jest pytanie czy istnieją takie rozkłady z liczbami względnie pierwszymi. ([Nath] 50, [Gy04] 211). 2.2.13 (Fermat). Dla każdej liczby naturalnej n istnieje liczba naturalna mająca więcej niż n rozkładów na sumę dwóch sześcianów liczb całkowitych. ([S59] 472, [Nath] 51, [Mol2] 261). 2.2.14. Nie są znane najmniejsze liczby naturalne mające pięć (lub więcej) różnych rozkładów na sumy dwóch sześcianów liczb naturalnych. Wiadomo, że takie liczby istnieją. Znane są natomiast takie rozkłady dopuszczające sześciany liczb ujemnych. ([Gy04] 211). A. Bailey, A geometric interpretation of equal sums of cubes, [MG] 92(523)(2008) 8-13. H. Davenport, The equation x 3 + y 3 = z 3 + w 3, [Dave] 171-173. L. E. Dickson, Two equal sums of two cubes, [Dic2] 550-561. L. E. Dickson, Three equal sums of two cubes, [Dic2] 561-562. J. H. Silverman, Taxicabs and sums of two cubes, [Mon] 100(4)(1993) 331-340. J. Wróblewski, O równych sumach dwóch sześcianów, [Dlt] 3/2002 17.

22 Sześciany, bikwadraty... 2. Sumy sześcianów 2.3 Równanie x 3 + y 3 = z 3 2.3.1. Następujące dwa zdania są równoważne. (1) Równanie x y + y z = z x nie ma rozwiązań naturalnych. (2) Równanie x 3 + y 3 = z 3 nie ma rozwiązań naturalnych. ([S64] 140). 2.3.2. Równanie x 3 + y 3 = z 3 nie ma rozwiązań naturalnych. Dowody tego faktu można znaleźć w różnych książkach z teorii liczb (na przykład, w [Szni] 51, [S50]). Podane równanie jest szczególnym przypadkiem równania x n + y n = z n, o którym Fermat twierdził, w 1672 roku, że nie ma rozwiązań naturalnych x, y, z, gdy n jest liczbą naturalną większą od 2. Przez kilka stuleci nie potrafiono tego udowodnić. Udowodnił to A. Wiles w 1995 roku. C. D. Bennett, A. M. W. Glass, G. J. Szekely, Fermat last theorem for rational exponents, [Mon] 4(111)(2004) 322-329. L. E. Dickson, Impossibility of x 3 + y 3 = z 3, [Dic2] 545-550. A. Liu, Another Do-It-Yourself proof of the n = 3 case of Fermat s Last Theorem, [Crux] 2000 422-425. W. Narkiewicz, Równanie x 3 + y 3 = z 3, [Nar72] 83-89. M. M. Postnikov, Twierdzenie Fermata dla wykładnika 3, [Po82] 34-38; [Post]. R. Vakil, A Do-It-Yourself proof of the n = 3 case of Fermat s Last Theorem, [Crux] 2000 36-44. 2.4 Równanie x 3 + y 3 = z n 2.4.1. 1 3 + 2 3 = 3 2, 2 3 + 46 3 = 312 2, 4 3 + 8 3 = 24 2, 7 3 + 21 3 = 98 2, 10 3 + 65 3 = 525 2. 2.4.2. 11 3 + 37 3 = 228 2, 37 3 + 407 3 = 8214 2, 57 3 + 112 3 = 1261 2. (Maple). 2.4.3. Równanie x 3 +y 3 = z 2 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. (7.2.7, [Coh2] 467). D. Każda trójka (x, y, z) = ( 3(1 + k 3 ) 2, k(1 + k 3 ), (1 + k 3 ) 2), gdzie k jest dowolną liczbą naturalną, spełnia to równanie. 2.4.4. 28 3 + 84 3 = 28 4, 65 3 + 260 3 = 65 4, 126 3 + 630 3 = 126 4, 144 3 + 288 3 = 72 4. 2.4.5. 70 3 + 105 3 = 35 4. ([MG] 89(516)(2005) 358). 2.4.6. Równanie x 3 + y 3 = z 4 ma nieskończenie wiele rozwiązań naturalnych. (Patrz 7.2.8). 2.4.7. 3 3 + 6 3 = 3 5, 96 3 + 192 3 = 24 5. (Maple).