Wyznaczanie widma energetycznego wiązki elektronowej akceleratora medycznego przy wykorzystaniu metody Monte Carlo

Uniwersytet Warszawski Wydział Fizyki Janusz Harasimowicz Nr albumu: 195891 Wyznaczanie widma energetycznego wiązki elektronowej akceleratora medycznego przy wykorzystaniu metody Monte Carlo Praca magisterska na kierunku Fizyka w zakresie Fizyki Biomedycznej Praca wykonana pod kierunkiem: dr Jarosława Żygierewicza Zakład Fizyki Biomedycznej Uniwersytet Warszawski oraz dr inż. Sławomira Wronki Zakład Aparatury Jądrowej Instytut Problemów Jądrowych Warszawa, czerwiec 2006

Oświadczenie kierujących pracą Oświadczam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i stwierdzam, że spełnia ona warunki do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przez mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora pracy 2

Streszczenie W przedstawionej pracy zaprezentowano metodę odtwarzania widma energetycznego wiązki elektronowej akceleratora medycznego w oparciu o pomiar procentowej dawki głębokiej w fantomie wodnym. Wykonano symulacje Monte Carlo wiązek monoenergetycznych, a następnie zaimplementowano algorytm wstecznej propagacji błędu, pozwalający na wyznaczenie udziału każdej z nich w zmierzonym rozkładzie dawki. Przeprowadzone testy wskazują, że zaproponowana technika pozwala na odtworzenie najbardziej prawdopodobnej energii i szerokości połówkowej rozkładu energetycznego, zaś niedokładność ustawienia detektora w fantomie wprowadza błąd ±250 kev. Metodę zastosowano również do wyznaczenia energii rzeczywistej wiązki. Uzyskano widmo o szerokości połówkowej ~340 kev, osiągając różnicę w dopasowaniu dawek ~0,6 %. Słowa kluczowe akcelerator, wiązka elektronowa, Monte Carlo, algorytm wstecznej propagacji błędu Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) 13.2 Fizyka 3

Spis treści: 1. Wstęp... 5 2. Liniowy akcelerator medyczny... 7 3. Wiązki elektronowe... 15 3.1. System formowania wiązek elektronowych... 15 3.2. Charakterystyka wiązek elektronowych... 16 3.3. Modelowanie wiązek elektronowych... 18 4. Cel pracy... 20 5. Materiały i metody... 21 5.1. Akcelerator medyczny... 21 5.2. Pomiary dozymetryczne... 22 5.3. Symulacje i obliczenia... 22 6. Pomiary wiązki elektronowej akceleratora Coline 15... 24 7. Symulacje Monte Carlo wiązek elektronowych... 29 8. Realizacja odwrotnej metody Monte Carlo... 34 9. Analiza metody i otrzymanych wyników... 37 9.1. Analiza metody dla wiązek o znanym widmie... 37 9.2. Analiza zastosowania metody dla rzeczywistej wiązki... 51 9.3. Weryfikacja otrzymanych wyników... 62 10. Podsumowanie... 65 11. Dodatek 1: Specyfikacja komór jonizacyjnych... 66 12. Bibliografia... 68 4

1. Wstęp Radioterapia jest metodą walki z chorobami nowotworowymi przy wykorzystaniu promieniowania jonizującego. Jej głównym celem jest dostarczenie dawki dostatecznej do uzyskania miejscowego wyleczenia nowotworu bez powodowania nadmiernych komplikacji w tkankach zdrowych. Jednak, w zależności od stopnia zaawansowania choroby nowotworowej, wybierane są różne strategie prowadzenia terapii. Jeśli istnieje szansa na uzyskanie trwałego wyleczenia, a za takie przyjmuje się pięcioletnie przeżycie bez objawów choroby, podejmowane jest leczenie radykalne. Jego celem jest zabicie wszystkich komórek nowotworowych posiadających nieograniczoną zdolność rozmnażania i opanowanie procesu chorobowego. W przypadkach zaawansowanych zarówno miejscowo, jak i z istniejącymi przerzutami odległymi, w których nie jest możliwe trwałe wyleczenie, stosuje się leczenie paliatywne. Ma ono na celu łagodzenie bólu i innych objawów chorobowych oraz zahamowanie na pewien okres rozwoju nowotworu. [17] [22] Pierwsze próby zastosowania niskoenergetycznych promieni X podjęto pod koniec XIX wieku do leczenia nowotworów skóry, jednak niska jakość oraz trudna dostępność źródeł promieniowania znacząco ograniczały możliwości rozwoju radioterapii. Przez dłuższy czas w celach terapeutycznych stosowano ręcznie aplikowane igły lub tubki radu-226 albo też lampy rentgenowskie o małym natężeniu i stosunkowo niewielkiej energii promieniowania X. Dopiero w połowie XX wieku, wraz z pojawieniem się wynalazków dokonanych na potrzeby wojskowe, rozpoczęła się era wysokoaktywnych źródeł promieniotwórczych. Nastąpił gwałtowny rozwój radioterapii realizowanej za pomocą izotopowych źródeł radioaktywnych umieszczanych w bezpośrednim sąsiedztwie napromienianych komórek: brachyterapii z użyciem źródeł zamkniętych oraz terapii radioizotopowej z użyciem źródeł otwartych. Kobalt-60, emitujący promieniowanie gamma o energiach 1,17 MeV i 1,33 MeV, z powodzeniem wykorzystany został w terapii chorób nowotworowych przy użyciu zewnętrznych wiązek promieniowania jonizującego, tzw. teleradioterapii. Lata pięćdziesiąte XX wieku uznać należy za epokę aparatów (tzw. bomb) kobaltowych, jednak kolejne dziesięciolecia zdominowane zostały przez techniki akceleracyjne. 5

Pojawienie się akceleratorów zwanych betatronami pozwoliło na radykalne zwiększenie energii promieniowania fotonowego. Możliwie stało się prowadzenie terapii wiązkami o energii 20-25 MeV, odznaczającymi się znacznie korzystniejszymi dla pacjentów charakterystykami rozkładu dawki. Mimo to duży i utrudniający manewrowanie ciężar betatronów, stosunkowo niskie natężenie promieniowania X, a także niewielkie wymiary napromienianego pola spowodowały, że od połowy lat siedemdziesiątych stopniowo zaprzestawano stosowania tych aparatów. Ich miejsce zajęły liniowe akceleratory elektronowe, dziś w teleradioterapii wykorzystywane najczęściej. Duże wartości mocy dawki, szeroki zakres dostępnych energii promieniowania oraz możliwość pełnego obrotu wokół pacjenta należy uznać za podstawowe czynniki, które doprowadziły zarówno do szybkiego upowszechnienia akceleratorów liniowych, jak i do zdominowania światowego rynku urządzeń radioterapeutycznych przez ten właśnie rodzaj przyspieszaczy. [17] [27] [31] Współczesna radioterapia jest wciąż rozwijającą się gałęzią medycyny, fizyki i biologii. Jej skomputeryzowanie oraz wykorzystanie algorytmów wspomagających pracę lekarzy i fizyków medycznych podniosło jakość leczenia i usprawniło pracę ośrodków onkologicznych. Wprowadzono wiele nowych rozwiązań konstrukcyjnych, pozwalających na przeprowadzanie wysokospecjalistycznych zabiegów terapeutycznych oraz stosowanie zupełnie nowych metod napromieniania. Za sprawą technik cyfrowych możliwa stała się integracja obrazowania diagnostycznego z planowaniem i weryfikacją leczenia. Wyznacza to dalsze kierunki rozwoju radioterapii. Systemy planowania mogą dziś uwzględniać bardzo dokładne trójwymiarowe obrazy anatomii pacjenta i lokalizacji nowotworu, wymagają zatem precyzyjnych metod obliczania rozkładu dawki. Niezbędne staje się opracowanie nowych, pełniejszych modeli radiobiologicznych, pozwalających zmaksymalizować skuteczność terapii. Wzrasta konieczność bardzo dokładnego ułożenia i unieruchomienia pacjenta w pozycji do napromieniania oraz kontroli tej pozycji. Ponadto należy spodziewać się rozwoju systemów zapewnienia jakości, umożliwiających kontrolowanie poprawności i powtarzalności przebiegu wszystkich etapów złożonego procesu radioterapii. [2] [20] 6

2. Liniowy akcelerator medyczny Źródłami wiązek promieniowania jonizującego w radioterapii są w znacznej mierze liniowe akceleratory elektronowe. Ich główną zaletą jest duża moc dawki (dawka dostarczana w jednostce czasu) oraz wysoka energia promieniowania, zapewniająca mniejszą dawkę naskórną przy leczeniu głębiej położonych tkanek. Ponadto przyspieszacze mogą wytwarzać dwa różne jakościowo typy promieniowania: 1) Niemal monoenergetyczne wiązki elektronów o energiach z zakresu od 4 MeV do 25 MeV, emitowane w ostrosłup o podstawie prostokąta, którego wymiary na ogół nie przekraczają 25 cm x 25 cm w odległości terapeutycznej (zwykle 80 100 cm); 2) Wiązki fotonów, otrzymywane przez konwersję wiązki elektronowej na promieniowanie hamowania; wiązki promieniowania X charakteryzują się ciągłym widmem energetycznym ograniczonym energią elektronów inicjujących, padających na tarczę konwersji (target); maksymalne wymiary pól fotonowych sięgają 40 cm x 40 cm. [27] Na rysunku 1 przedstawiono liniowy akcelerator medyczny produkcji polskiej. Rys. 1. Akcelerator liniowy Coline 4 skonstruowany w Zakładzie Aparatury Jądrowej ZdAJ IPJ w Świerku. Na rysunku zaznaczona została oś obrotu ramienia akceleratora. 7

Źródło elektronów Magnes zakrzywiający Struktura przyspieszająca Modulator impulsowy Magnetron lub klistron Głowica akceleratora Rys. 2. Schemat blokowy liniowego akceleratora medycznego. Uproszczony schemat liniowego akceleratora medycznego przedstawia rysunek 2. W rzeczywistości budowa urządzenia jest dużo bardziej złożona, różni się też w zależności od typu maszyny i producenta. Można jednak wydzielić kilka grup komponentów występujących w każdym akceleratorze [23] [27]. Są to: 1) System iniekcji wiązki, 2) System generacji mocy mikrofalowej, 3) System przyspieszający, 4) System transportu wiązki, 5) System kolimacji i monitorowania wiązki, 6) Systemy pomocnicze. System iniekcji wiązki to źródło elektronów zwane również działem elektronowym. Może być nim dioda lub trioda, jednak niezależnie od typu działo składa się z żarzonej katody i uziemionej anody (w przypadku triody występuje jeszcze siatka sterująca). Emitowane z żarzonej katody elektrony skupiane są w wąską wiązkę i kierowane w stronę anody, przez którą wprowadzane są do układu przyspieszającego. Rysunek 3 przedstawia diodowe i triodowe działo elektronowe. 8

Rys. 3. Działo elektronowe typu diodowego (z lewej) i triodowego (z prawej). System generacji mocy mikrofalowej wytwarza promieniowanie wysokiej częstotliwości wykorzystywane w akceleratorze do nadania elektronom pożądanej energii kinetycznej. System ten stanowią dwa komponenty: 1) Źródło mocy mikrofalowej, 2) Modulator impulsowy. Źródłem mocy wysokiej częstotliwości jest magnetron lub klistron. Mimo odmiennej konstrukcji i zasad działania, oba urządzenia wytwarzają promieniowanie mikrofalowe na skutek przyspieszania i opóźniania elektronów w próżni. Tak jak i działo elektronowe wymagają one impulsów wyzwalających o wysokim napięciu (~100 kv), dużym prądzie (~100 A) i krótkim czasie trwania (~1 µs). Impulsy te wytwarzane są przez modulator impulsowy. Kluczowe dla wydajnego działania akceleratora jest, by każdy impuls podawany na działo zsynchronizowany był z impulsem wyzwalającym źródło mocy mikrofalowej. Modulator i magnetron przedstawiono na rysunkach 4 i 5. Rys. 4. Impulsowy modulator magnetronu firmy ScandiNova. 9

Rys. 5. Magnetron 3.1 MW firmy E2V. System przyspieszający stanowi próżniowa struktura złożona z wnęk mikrofalowych o specjalnej konstrukcji precyzyjnie strojonych do częstotliwości rezonansowej. Wynosi ona od 10 3 MHz (tzw. pasmo L) do 10 4 MHz (pasmo X), jednak przeważająca większość akceleratorów medycznych pracuje na częstotliwości ~3000 MHz (pasmo S). Wytworzone przez generator mocy mikrofalowej (magnetron lub klistron) pole elektromagnetyczne doprowadzane jest do struktury przyspieszającej poprzez układ falowodów, czyli metalowych linii transmisyjnych najczęściej wypełnionych szcześciofluorkiem siarki SF 6 gazem o wysokiej wytrzymałości elektrycznej. Specyficzna konstrukcja struktury zapewnia dystrybucję mocy mikrofalowej w całej objętości i sprzężenie pomiędzy sąsiednimi wnękami, a także odpowiedni rozkład pola elektrycznego, służącego do przyspieszania elektronów. Rys. 6. Struktura przyspieszająca o fali stojącej. 10

Wyróżnić można dwa typy struktur przyspieszających: o fali bieżącej i fali stojącej. W przypadku fali bieżącej mikrofale wprowadzane są do struktury po stronie działa elektronowego i propagują się wzdłuż sekcji przyspieszającej do drugiego jej końca, gdzie albo są absorbowane bez żadnych odbić, albo są wyprowadzane na zewnątrz do obciążenia lub ponownie wykorzystywane do zasilenia struktury. W przypadku struktury o fali stojącej (rysunek 6) mikrofale mogą być wprowadzane w dowolnym miejscu sekcji. Po dojściu do końca struktury przyspieszającej fala ulega wielokrotnym odbiciom. Nakładające się fale tworzą pewien stan stacjonarny, nazywany falą stojącą. Rysunek 7 przedstawia przekrój struktury przyspieszającej o fali stojącej. Rys. 7. Trójwymiarowy model struktury przyspieszającej o fali stojącej. W przypadku obu typów struktur wprowadzane elektrony zostają grupowane w pakiety, ponieważ przyspieszane są jedynie cząstki pojawiające się we wnękach w fazie z oscylującym wektorem pola elektrycznego. Efekt grupowania elektronów przedstawia rysunek 8. 11

Rys. 8. Elektrony (czarne punkty) emitowane z działa, następnie przyspieszane w strukturze przyspieszającej. Widoczne jest grupowanie cząstek związane z oscylacją składowej elektrycznej szybkozmiennego pola elektromagnetycznego. W przypadku akceleratorów niskoenergetycznych krótka struktura przyspieszająca może być zamontowana w sposób umożliwiający wyprowadzenie wiązki bezpośrednio w kierunku ciała pacjenta. W przypadku akceleratorów wytwarzających wiązki powyżej 6 MeV struktura jest zbyt długa i musi być ułożona równolegle do osi obrotu ramienia. W takiej sytuacji konieczne jest zastosowanie systemu transportu wiązki, czyli układu magnesów odchylających. Opracowano trzy różne rozwiązania transportu wiązki: 1) System odchylania 90 o ; 2) Achromatyczny system odchylania 270 o ; 3) System odchylania 112,5 o typu slalom. Na rysunku 9 przedstawiono układ odchylania wiązki 270 o wyposażony w filtr energetyczny. System o takiej konstrukcji działa jak spektrometr magnetyczny, separując przestrzennie cząstki o różnych energiach. W stałym polu magnetycznym elektrony o wyższej energii zakreślają tory o większym promieniu, natomiast elektrony niskoenergetyczne poruszają się po torach o mniejszym promieniu. Dodatkowo, przedstawiony układ odchylający wyposażony jest w szczelinę energetyczną, przepuszczającą jedynie cząstki o wybranej energii. Na wyjściu z systemu transportu skupiona ponownie wiązka trafia na próżnioszczelne okienko wyjściowe (w przypadku wiązki elektronowej) lub też na tarczę konwersji (w przypadku wiązki fotonowej). 12

Rys. 9. Achromatyczny układ odchylania wiązki 270 o. Czerwone linie symbolizują tory elektronów, natomiast na niebiesko zaznaczono filtr energii (szczelina energetyczna). W dalszej części przyspieszacza znajduje się system kolimacji i monitorowania wiązki, który różni się w zależności od rodzaju generowanej wiązki. W przypadku urządzeń wytwarzających zarówno wiązki fotonowe i elektronowe automatyczny system nastaw zmienia konfigurację głowicy akceleratora, przystosowując ją do prowadzenia terapii za pomocą danego typu promieniowania. Niezależnie jednak od rodzaju stosowanych wiązek, system kolimacji i monitorowania zawiera: 13

1) Układ przysłon (kolimatorów), ograniczających pole wiązki do zadanych wymiarów; 2) Filtr wyrównujący, zapewniający jednorodny rozkład dawki dostarczanej do obszaru napromienianego; 3) Układ niezależnych komór jonizacyjnych, monitorujący symetrię i płaskość, a także stabilność wyprowadzanej wiązki promieniowania. Szczegółowy opis konfiguracji głowicy akceleratora przystosowanej do terapii wiązkami elektronowymi przedstawiony został w rozdziale 3.1. W akceleratorze występują również systemy pomocnicze. Składają się one z kilku układów, które jednak nie są bezpośrednio zaangażowane w proces przyspieszania elektronów, niemniej umożliwiają poprawne działanie maszyny, wpływają na jakość jej działania i użytkowania. Należy do nich zaliczyć: 1) System próżniowy zapewniający próżnię w układzie przyspieszającym na poziomie ~10 8 tora (1 Tr = 1 mm Hg = 1/760 atm = 133,3224 Pa), 2) System chłodzenia wodnego zapewniający odpowiednią temperaturę układów akceleratora, 3) System osłon przed ubocznym promieniowaniem rozproszonym, 4) System symulacji świetlnej. 14

3. Wiązki elektronowe 3.1. System formowania wiązek elektronowych Rysunek 10 przedstawia schemat głowicy akceleratora przystosowanej do terapii elektronowej. Wiązka przyspieszonych elektronów przechodzi z próżni do powietrza przez próżnioszczelne okienko. Ponieważ początkowy rozkład przestrzenny wiązki nie gwarantuje dostarczenia jednorodnej dawki w objętości nowotworu, konieczne jest przystosowanie jej do celów terapeutycznych. Z tego powodu w dalszej części głowicy umiejscowione są najczęściej dwie folie rozpraszające, które stanowią filtr wygładzający profil wiązki. Grubości obu folii ograniczone są przez maksymalne tolerowane straty energii elektronów oraz dopuszczalną intensywność powstającego promieniowania hamowania. Próżnioszczelne okienko wyjściowe Folia pierwotna Kolimator wstępny Szczęki kolimatora głównego Aplikator elektronowy Folia wtórna Komory jonizacyjne Odległość źródło-pacjent (SSD) Maksymalne wymiary wiązki e 25 cm x 25 cm w odległości SSD Rys. 10. Głowica akceleratora medycznego przystosowana do terapii wiązkami e. 15

Po przejściu przez układ wygładzający oraz kolimator wstępny wiązka elektronów natrafia na komory dozymetryczne. W celu zapewnienia maksimum bezpieczeństwa pacjenta, stosowany jest układ dwóch niezależnych komór jonizacyjnych. Służą one do monitorowania symetrii, płaskości oraz stabilności wiązki podczas terapii, a konstrukcja komór zapewnia minimalny wpływ na przechodzące przez nie promieniowanie. Wymagane jest również, by odpowiedź detektorów była niezależna od zmian temperatury i ciśnienia. W przypadku komór zamkniętych wpływ warunków zewnętrznych jest zaniedbywalny, jednak stosowane są również otwarte komory jonizacyjne, w przypadku których konieczne jest wprowadzenie poprawek korekcyjnych na zmienne ciśnienie i temperaturę. Poniżej komór znajdują się dwie pary szczęk kolimatora głównego, które zapewniają ochronę przed promieniowaniem ubocznym oraz wstępne ograniczenie pola napromieniania w płaszczyźnie prostopadłej do osi wiązki. Ponieważ jednak granice pola wiązki elektronów ulegają rozmyciu w warstwie kilkudziesięciu centymetrów powietrza na drodze do ciała pacjenta, konieczne jest stosowanie aplikatorów elektronowych. Na czas trwania terapii elektronowej są one doczepiane do głowicy akceleratora. Kończąc się tuż nad samym pacjentem, ustalają ostateczne wymiary pól napromieniania. 3.2. Charakterystyka wiązek elektronowych Terapeutyczne wiązki elektronowe używane są bądź samodzielnie do napromieniania płytko położonych zmian nowotworowych, bądź też w skojarzeniu z wiązkami fotonów do dopromieniania części nowotworu w sytuacjach wymagających ochrony głębiej położonych struktur. Zasadniczą zaletą wiązek e jest skończony zasięg elektronów w tkankach, co pozwala unikać napromieniania obszarów krytycznych położonych kilka centymetrów poniżej zmiany nowotworowej. [17] Rozkład dawki pochłoniętej w funkcji głębokości (ang. percent depth dose, PDD) dla wiązek elektronowych przedstawia rysunek 11. Schematyczny wykres reprezentuje pomiar wykonany na osi wiązki terapeutycznej w fantomie wodnym umiejscowionym w standardowej odległości od źródła (zwykle 100 cm). Początkowy wzrost dawki wraz z głębokością (tzw. build-up) wynika ze wzrostu fluencji (strumienia) elektronów na osi głównej wiązki i spowodowany jest dwoma zjawiskami: rozpraszaniem elektronów w ośrodku oraz pojawieniem się elektronów wtórnych. Występujący głębiej odcinek gwałtownego spadku dawki to obszar stopniowego spadku liczby elektronów w wiązce na skutek ich wyhamowywania. 16

Poruszające się w absorbencie elektrony bardzo łatwo wytracają swoją energię, a ich tory ulegają wielokrotnemu zakrzywieniu w różnych kierunkach. Całkowite straty energii elektronów są sumą strat wywołanych oddziaływaniami kulombowskimi, a więc jonizacją i wzbudzeniami atomów ośrodka, oraz stratami radiacyjnymi, wywołanymi zmianami kierunku ruchu elektronów i ich hamowaniem [3] [4]. W konsekwencji silnego oddziaływania z ośrodkiem zasięg elektronów jest ograniczony do pewnej głębokości, poniżej której deponowana dawka nie spada jednak do zera ze względu na promieniowanie hamowania generowane przez spowalniane elektrony. Procentowa dawka głęboka Głębokość w wodzie Rys. 11. Rozkład dawki głębokiej zaabsorbowanej w fantomie wodnym dla wiązki elektronowej. R 100 odpowiada głębokości, na jakiej deponowana jest dawka maksymalna D max, R 50 to głębokość, na której dawka spada do 50 %, natomiast R p oznacza zasięg praktyczny elektronów. D x jest dawką deponowaną przez wytworzone promieniowanie hamowania (promieniowanie X). Jednym z parametrów wiązki, jaki powiązano empiryczną zależnością z krzywą procentowej dawki głębokiej, jest najbardziej prawdopodobna energia elektronów na powierzchni fantomu wodnego E p,0. Związana jest ona z zasięgiem praktycznym elektronów R p równaniem [14] [29]: 2 p, 0 0,22 + 1,98Rp 0, 0025Rp E = + (3.1) 17

gdzie E p,0 wyrażone jest w megaelektronowoltach, zaś zasięg praktyczny wiązki elektronów R p zdefiniowany jest jako głębokość, na której styczna do krzywej procentowej dawki głębokiej w punkcie jej przegięcia przecina się z linią wyznaczającą poziom dawki od ubocznego promieniowania hamowania D x (por. rysunek 11), wyrażona w centymetrach. Najbardziej prawdopodobna energia E p,0 nie jest jednak parametrem pozwalającym na wyczerpującą charakterystykę wiązki promieniowania elektronowego. Do pełnego opisu konieczna jest znajomość widma energii i rozkładu kątowego elektronów, mających najistotniejszy wpływ na ostateczny kształt krzywej rozkładu procentowej dawki głębokiej przedstawionej na rysunku 11 [8]. Chociaż wytwarzane w akceleratorach medycznych wiązki elektronowe są niemal monoenergetyczne, to jednak na drodze od okienka próżniowego do ciała pacjenta rozkład ich energii ulega stopniowej degradacji. Przechodząc przez głowicę akceleratora i warstwę kilkudziesięciu centymetrów powietrza elektrony ulegają rozproszeniom, powstaje również wtórne promieniowanie X (promieniowanie hamowania). Dokładna charakterystyka wiązki elektronowej jest zatem bardzo istotna z punktu widzenia planowania radioterapii, ma bowiem wpływ na rozkład dawki dostarczanej do nowotworu i tkanek otaczających. 3.3. Modelowanie wiązek elektronowych Złożoność oddziaływań elektronów w tkankach sprawia, że wiązki elektronowe są trudne do modelowania. Mimo to opracowano szereg technik pozwalających na przewidywanie rozkładów dawki w radioterapii [10]. Wczesne techniki obliczania dawki w pacjencie dla wiązek elektronowych polegały na korekcji rozkładów zmierzonych w standardowej geometrii. Metody te okazały się zawodne, wprowadzają bowiem duże niepewności w przypadku silnie niejednorodnych ośrodków. Różnice w pochłanianiu i rozpraszaniu elektronów na granicy struktur o znacząco różnych gęstościach powodują duże niejednorodności dawki, które silnie zależą od geometrii ośrodka, przy czym na dawkę mają wpływ nie tylko struktury leżące na prostej łączącej rozważany punkt ze źródłem, ale również struktury położone w sąsiedztwie tego punktu. W takich przypadkach wszelkie korekcje bazujące na podstawowych danych empirycznych mają ograniczone zastosowanie. Wykorzystanie poprawek korekcyjnych na niejednorodności pozwala na użyteczną parametryzację procentowej dawki głębokiej, nie ma jednak wiele wspólnego z fizyką transportu elektronów. Dlatego też opracowywane są algorytmy uwzględniające modele fizycznych oddziaływań elektronów z materią [17]. 18

Obecnie powszechnie stosowane metody obliczania rozkładów dawki w przypadku wiązek elektronowych należą do rodziny algorytmów wiązek elementarnych (tzw. pencil beams) [29]. Wywodzą się one z teorii Fermiego-Eygesa wielokrotnego rozpraszania kulombowskiego. Szeroka wiązka elektronowa rozważana jest jako złożona z wielu indywidualnych wąskich wiązek rozpraszanych poprzecznie przy przechodzeniu przez kolejne warstwy tkanki. Dawka w rozważanym punkcie obliczana jest jako suma dawek od poszczególnych wiązek elementarnych. Algorytm pencil beam uwzględnia charakterystykę wiązki padającej, dominujące efekty oddziaływań, kształt pola promieniowania oraz skład ośrodka. Zastosowanie wielu przybliżeń sprawia jednak, że w znacznej części przypadków klinicznych algorytm ten niej jest w stanie zapewnić precyzyjnych obliczeń rozkładu dawki [7] [16]. Chociaż oddziaływanie elektronów z materią jest dobrze znane, analityczne modele transportu promieniowania jonizującego ograniczone są matematyczną złożonością. Przemieszczający się w ośrodku elektron oddziałuje kulombowsko zarówno z elektronami, jak i jądrami atomów, a liczba zderzeń jakim ulega sięga kilkuset tysięcy [26]. Co więcej, konieczne jest rozważanie całej wiązki elektronowej, powstającego promieniowania hamowania i elektronów wtórnych, a także elektronów i pozytonów wytwarzanych przez fotony w procesie kreacji par. Czynniki te, silnie zależne od struktury i geometrii ośrodka, czynią praktycznie niemożliwym opracowanie uniwersalnego wyrażenia opisującego transport promieniowania w radioterapii. Stosowane techniki analityczne są więc z konieczności uproszczone, a zatem należy liczyć się z ograniczonym zakresem ich stosowalności. Wydaje się, że kwestią niedalekiej przyszłości będzie wprowadzenie do praktyki klinicznej programów obliczających rozkłady dawki metodami Monte Carlo [9] [16]. Techniki te umożliwiają symulowanie historii poszczególnych cząstek, a w konsekwencji całej wiązki terapeutycznej w dowolnie skomplikowanej geometrii. Wykorzystanie wiedzy dotyczącej prawdopodobieństwa wystąpienia różnych oddziaływań elektronu lub fotonu z materią pozwala na symulację przypadkowych torów. Dzięki śledzeniu dużej liczby cząstek uzyskiwany jest statystyczny obraz wielkości opisujących makroskopowe właściwości wiązki. Podejście to umożliwia obliczanie rozkładu dawki, a także zebranie informacji o parametrach trudnych lub niemożliwych do zmierzenia w ośrodkach onkologicznych. Stałą przeszkodę w rutynowym zastosowaniu metod Monte Carlo stanowi jeszcze długi czas obliczeń [9] [17]. Ponadto, na poprawność otrzymanych wyników wpływ ma wiedza nie tylko o anatomii pacjenta, lecz również o budowie głowicy akceleratora i źródle promieniowania [18] [19]. 19

4. Cel pracy Z punktu widzenia metod Monte Carlo zaadaptowanych na potrzeby radioterapii jednym z bardziej istotnych, ale jednocześnie najmniej znanych parametrów akceleratora, są właściwości źródła promieniowania. W większości modeli Monte Carlo za źródło promieniowania przyjmuje się wiązkę elektronów padających na próżnioszczelne okienko wyjściowe, tzw. wiązkę inicjującą. Do jej pełnego opisu potrzebna jest znajomość przestrzennego rozkładu fluencji cząstek i ich widma energii. Peter Björk [1] pokazał, że wpływ geometrycznych parametrów wiązki na rozkład względnej dawki zaabsorbowanej jest niewielki w porównaniu z wpływem dokładności opisu głowicy akceleratora. Jednak z przeprowadzonych analiz wynika również, iż szczególnie istotna jest informacja o widmie elektronów inicjujących, mającym zauważalny wpływ na procentową dawkę głęboką (PDD). Producenci akceleratorów rzadko dostarczają informację o tym parametrze, głównie z powodu trudności w jego bezpośrednim pomiarze oraz indywidualnych różnic pomiędzy akceleratorami tego samego typu. Wydaje się zatem, że opracowanie prostej metody określania widma energetycznego wiązki może być bardzo pomocne dla uzyskania niezbędnych danych wejściowych dla programów opartych na technikach Monte Carlo, a tym samym dla ich upowszechnienia w radioterapii. Celem niniejszej pracy jest przedstawienie metody wyznaczania widma energetycznego elektronów inicjujących na podstawie pomiaru procentowej dawki głębokiej wiązki elektronowej w fantomie wodnym. Metoda ta opiera się na obliczeniu rozkładów dawki techniką Monte Carlo dla serii wiązek monoenergetycznych. Dzięki wykorzystaniu algorytmu wstecznej propagacji błędu określany jest wkład każdej z symulowanych wiązek do zmierzonej krzywej PDD, a zatem udział poszczególnych energii w widmie rzeczywistej wiązki. Posługując się opisywaną metodą, można wyznaczyć widmo energetyczne wiązki elektronowej w dowolnym miejscu pomiędzy próżnioszczelnym okienkiem wyjściowym a pacjentem. 20

5. Materiały i metody 5.1. Akcelerator medyczny Pomiary i symulacje zostały wykonane dla akceleratora Coline 15, powstającego obecnie w Zakładzie Aparatury Jądrowej IPJ w Świerku. Akcelerator ten wytwarza wiązki elektronów z zakresu od 6 MeV do 15 MeV. Do pomiarów wykorzystano wiązkę o energii nominalnej 12 MeV. Na czas ich trwania z głowicy akceleratora usunięte zostały folie rozpraszające i aplikator, a szczęki kolimatora głównego maksymalnie rozsunięto, ustawiając pole 40 cm x 40 cm w izocentrum (por. rysunek 12). Miało to na celu zminimalizowanie wpływu komponentów głowicy na widmo energetyczne wiązki inicjującej. Kolimator wstępny Próżnioszczelne okienko wyjściowe Szczęki kolimatora głównego Komory jonizacyjne Komora odniesienia Komora pomiarowa Fantom wodny Rys. 12. Schemat konfiguracji głowicy akceleratora Coline 15 i układu pomiarowego. 21

5.2. Pomiary dozymetryczne Pomiary rozkładu dawki wykonane zostały w fantomie wodnym RFA-300 firmy Scanditronix (por. rysunek 12). Procentową dawkę głęboką określono przy wykorzystaniu płaskiej komory jonizacyjnej NACP-02 (Scanditronix), natomiast profil dawki prostopadły do osi wiązki wyznaczono za pomocą płaskiej komory NACP-02 oraz cylindrycznej komory jonizacyjnej RK (Scanditronix). Wykonywano pomiary względne, podczas których za sondę odniesienia służyła druga cylindryczna komora RK umieszczona w wiązce promieniowania poza fantomem wodnym. Oba typy zastosowanych komór przedstawione zostały na rysunku 13. Dodatkowo, dostarczoną przez producenta specyfikację detektorów zamieszczono w Dodatku 1. Sterowanie ruchem komór w fantomie, a także zapis danych i konwersja wyników z jonizacji na dawkę, możliwe było dzięki wykorzystaniu oprogramowania RFAPlus, będącego na wyposażeniu fantomu wodnego. Rys. 13. Płaska komora jonizacyjna NACP-02 (z lewej) i cylindryczna komora RK (z prawej) firmy Scanditronix. 5.3. Symulacje i obliczenia Symulacje transportu promieniowania oraz rozkładów dawki deponowanej w fantomie wodnym zrealizowane zostały przy użyciu pakietu BEAM [24] (BEAMnrcMP05) zainstalowanego na platformie Mandrake Linux. Program ten pozwala na wykorzystanie metody Monte Carlo do modelowania wiązek promieniowania jonizującego wytwarzanych przez urządzenia radioterapeutyczne. W wykonanych symulacjach możliwe było uwzględnienie charakterystyki wiązki inicjującej i głowicy akceleratora. 22

W rezultacie otrzymano rozkłady dawki głębokiej od wiązek monoenergetycznych z zakresu od 1 MeV do 15 MeV co 250 kev. Posłużyły one do wyznaczenia udziału poszczególnych energii w widmie zmierzonej wiązki. W tym celu w środowisku Matlab zaimplementowany został algorytm wstecznej propagacji błędu, pozwalający na dopasowanie wyników symulacji Monte Carlo do zmierzonego rozkładu procentowej dawki głębokiej. Szczegółowy opis symulacji Monte Carlo został przedstawiony w rozdziale 7, natomiast opis realizacji algorytmu wstecznej propagacji błędu w rozdziale 8. 23

6. Pomiary wiązki elektronowej akceleratora Coline 15 W pracy wykorzystano wiązkę elektronową akceleratora Coline 15 o energii nominalnej 12 MeV. Ponieważ celem było określenie widma energetycznego wiązki inicjującej, z głowicy akceleratora usunięto pierwotne i wtórne folie rozpraszające oraz aplikator elektronowy, a szczęki kolimatora głównego rozsunięto na maksymalne pole 40 cm x 40 cm. Pozwoliło to na zminimalizowanie strat energii mierzonej wiązki elektronów. Schemat przygotowanej głowicy akceleratora Coline 15 i układu pomiarowego przedstawiono na rysunku 14. Próżnioszczelne okienko wyjściowe Kolimator wstępny Szczęki kolimatora głównego Komora odniesienia (cylindryczna komora RK) Komory jonizacyjne Komora pomiarowa (NACP-02 lub RK) 100 cm Fantom wodny RFA-300 Rys. 14. Szczegółowy schemat konfiguracji głowicy akceleratora Coline 15 i układu pomiarowego. 24

W celu wykonania pomiarów dozymetrycznych powierzchnia fantomu wodnego RFA-300 ustawiona została w odległości 100 cm od położenia pierwszej folii rozpraszającej (w przypadku akceleratora Coline 15 jest to jednocześnie normalna odległość terapii). Płaską komorę jonizacyjną NACP-02 umieszczono w fantomie na osi wiązki, pozycjonując powierzchnię detektora na równi z powierzchnią wody. Należy zwrócić uwagę na efektywny punkt pomiarowy komory, który znajduje się na wewnętrznej powierzchni okienka wejściowego [5]. W przypadku NACP-02 okienko składa się z warstwy 0,5 mm grafitu i 0,1 mm uszczelniającej folii mylarowej, co równoważne jest warstwie 1 mm wody. Oznacza to, że referencyjny punkt płaskiej komory jonizacyjnej znajduje się na głębokości 1 mm. Przesunięcie to, a także poprawki korekcyjne na ciśnienie i temperaturę, zostały uwzględnione w dalszych pomiarach i obliczeniach. Następnie w wiązce promieniowania poza fantomem wodnym umocowano cylindryczną komorę RK, służącą za komorę odniesienia. Dokładność ustawień obu detektorów zweryfikowano na symulacji świetlnej, umożliwiającej odtworzenie pozycji osi wiązki i pola napromieniania z wykorzystaniem światła widzialnego. Przy użyciu komory NACP-02 wykonano pomiary procentowej dawki głębokiej oraz profilu wiązki na głębokości 2,5 cm, która w przybliżeniu odpowiada położeniu maksimum jonizacji w wodzie wiązki mierzonej. Następnie detektor zastąpioną cylindryczną komorą jonizacyjną RK, za pomocą której wykonano pomiary profilu wiązki na tej samej głębokości, zgodnie z wytycznymi protokołu dozymetrycznego Międzynarodowej Agencji Energii Atomowej IAEA [5]. Wynika z niego, że efektywny punkt pomiarowy komory cylindrycznej dla wiązek elektronowych znajduje się nie w jej punkcie centralnym, lecz jest przesunięty o 0,5r (r wewnętrzny promień wnęki powietrznej komory) w kierunku źródła promieniowania. W wykonywanych pomiarach uwzględnione zostały zarówno poprawka na referencyjny punkt pomiarowy detektora, jak i korekcja na ciśnienie i temperaturę. Należy mieć na uwadze fakt, że wartością mierzoną bezpośrednio za pomocą komór jonizacyjnych jest jonizacja, natomiast w wykonanych symulacjach Monte Carlo obliczona została dawka zaabsorbowana. Konieczne było zatem przeliczenie uzyskanych wyników pomiarowych na dawkę [15]. W tym celu skorzystano z protokołów konwersji jonizacji na dawkę dostępnych w programie RFAPlus. Otrzymane wyniki pomiarów względnej jonizacji oraz względnej dawki zaabsorbowanej w funkcji głębokości, a także zmierzony profil wiązki przedstawione zostały na rysunkach 15 i 16. 25

Rys. 15. Rozkład zmierzonej względnej jonizacji oraz (uzyskanej po konwersji) względnej dawki. 26

Rys. 16. Profil wiązki zmierzony na głębokości 25 mm za pomocą płaskiej komory jonizacyjnej NACP-02 oraz cylindrycznej komory RK. 27

W przypadku pomiaru profilu wiązki widoczna jest rozbieżność wyników uzyskanych za pomocą komory płaskiej i cylindrycznej sięgająca 5 % dawki maksymalnej lub 5 mm wzajemnego przesunięcia izodoz. Najprawdopodobniej jest to spowodowane różną powierzchnią czułą detektorów. Średnica obszaru czułego w przypadku komory NACP-02 wynosi 10 mm, natomiast w przypadku komory RK zaledwie 4 mm. W konsekwencji detektory różnią się odpowiedzią w obszarze spadku dawki dostarczonej przez niewyrównaną wiązkę o małym polu przekroju. Warto nadmienić, że komory płaskie rekomendowane są do pomiarów procentowych dawek głębokich ze względu na ich dobrą rozdzielczość przestrzenną w kierunku osi komory. Nie zaleca się natomiast stosowania ich w pomiarach profilów dawki, gdyż ich rozdzielczość przestrzenna w kierunku prostopadłym do osi komory jest z reguły gorsza niż dla komór cylindrycznych wynika to ze stosunkowo dużych średnic wnęki powietrznej tych komór [5]. 28

7. Symulacje Monte Carlo wiązek elektronowych Przeprowadzone symulacje Monte Carlo składały się z dwóch etapów. W pierwszym kroku, przy użyciu kodu BEAMnrc [24] [25], wykonane zostały obliczenia transportu promieniowania jonizującego od próżnioszczelnego okienka wyjściowego do powierzchni fantomu wodnego. Wymagało to określenia parametrów wiązki inicjującej, budowy głowicy akceleratora, liczby początkowych elektronów, a także energii odcięcia, czyli progu energetycznego, poniżej którego dalszy transport cząstek nie był obliczany. Informacje o cząstkach, które osiągnęły powierzchnię fantomu, tj. ich rodzaju, energii, położeniu, kierunku ruchu itp., zapisywane były w pliku przestrzeni fazowej (ang. phase space file). Ponieważ symulacje wykonano dla pewnej ilości monoenergetycznych wiązek inicjujących o energiach z zakresu od 1 MeV do 15 MeV co 250 kev, otrzymano serię plików przestrzeni fazowej. Każdy z nich posłużył w kolejnym etapie symulacji wykonanych za pomocą kodu DOSXYZnrc [32], również wchodzącego w skład pakietu BEAM. Przy jego użyciu możliwe było obliczenie rozkładów dawki zaabsorbowanej w fantomie wodnym. Konieczne było określenie energii odcięcia cząstek, a także wymiarów voxeli, czyli elementów objętości fantomu, w których deponowana jest obliczana dawka. W pierwszym etapie symulacji źródło radioterapeutyczne scharakteryzowano jako równoległą wiązkę elektronów o Gaussowskim rozkładzie przestrzennym (por. schemat na rysunku 17). Założono, że każda z symulowanych wiązek monoenergetycznych pada prostopadle do powierzchni próżnioszczelnego okienka wyjściowego. Ponadto, na podstawie pomiarów przeprowadzonych w Zakładzie Aparatury Jądrowej IPJ [34], szerokość wiązek inicjujących w połowie wysokości rozkładu (ang. FWHM full width at half maximum) oszacowano na 2 mm. 29

FWHM Rys. 17. Charakterystyka inicjującej wiązki w symulacjach. Granatowe strzałki symbolizują monoenergetyczną wiązkę elektronową o rozkładzie Gaussowskim i szerokości w połowie wysokości rozkładu (FWHM) równej 2 mm. Wiązka pada prostopadle do próżnioszczelnego okienka wyjściowego, symbolizowanego przez płaszczyznę XY. Głowicę akceleratora Coline 15 scharakteryzowano przy użyciu gotowych komponentów dostępnych w programie BEAMnrc [25] (rys. 18). Próżnioszczelne okienko wyjściowe wykonane z folii tytanowej o grubości 50 µm zdefiniowane zostało w oparciu o komponent SLABS. Poniżej umieszczony został kolimator wstępny z otworem stożkowym o kącie rozwarcia 28 o opisany komponentem CONESTAK. Dalej znajdował się układ dwóch komór jonizacyjnych, zawierających wnęki powietrzne osłonięte folią mylarową, na którą napylono aluminium. Opisano je przy wykorzystaniu komponentu CHAMBER. Ostatnim elementem modelu głowicy akceleratora były dwie pary wolframowych szczęk kolimatora głównego o grubości 7 cm każda. Zdefiniowano je w oparciu o komponent JAWS. Jako całkowitą energię odcięcia elektronów ECUT przyjęto 700 kev, zaś energię odcięcia fotonów PCUT 10 kev. 30

Wiązka inicjująca Próżnioszczelne okienko wyjściowe Kolimator wstępny Układ komór jonizacyjnych Górna para szczęk kolimatora głównego Dolna para szczęk kolimatora głównego Rys. 18. Model głowicy akceleratora Coline 15 zdefiniowany w programie BEAMnrc. Symulacje przeprowadzono dwuetapowo. W pierwszym etapie każda z wiązek o zadanej energii składająca się z 10 8 elektronów początkowych przebywała 100 cm warstwę powietrza. Informacje o cząstkach docierających do powierzchni fantomu wodnego zapisywane były w postaci plików przestrzeni fazowej. W następnym etapie każdy z otrzymanych plików służył jako źródło promieniowania wpadającego do fantomu wodnego. Dla każdej z wiązek monoenergetycznych wykonano symulacje 10 7 cząstek zdefiniowanych na podstawie danych zawartych w pliku przestrzeni fazowej. Podobnie jak poprzednio 700 kev przyjęto za energię odcięcia elektronów ECUT, zaś 10 kev za energię odcięcia fotonów PCUT. Dodatkowo, konieczne było określenie voxeli, tj. elementów objętości fantomu, w których deponowana jest obliczana dawka. 31

Na potrzeby niniejszej pracy stworzono voxele o wymiarach 1 cm x 1 cm x 0,2 cm zdefiniowane jedynie na osi wiązki do głębokości 12 cm. W celu uwzględnienia udziału promieniowania rozproszonego w dawce zaabsorbowanej określony został dodatkowy obszar wody o szerokości 40 cm z każdej strony voxeli. Umożliwiło to wyznaczenie dawki zabsorbowanej w rzeczywistym fantomie wodnym w funkcji głębokości z rozdzielczością 2 mm wzdłuż osi wiązki. Schemat modelu fantomu przedstawiony został na rysunku 19, natomiast uzyskane rezultaty dla wszystkich wiązek monoenergetycznych zawiera rysunek 20. Oś wiązki 10 mm 10 mm 120 mm 400 mm 400 mm 400 mm 400 mm Rys. 19. Model fantomu wodnego zdefiniowany w programie DOSXYZnrc. Voxele o wymiarach 10 mm x 10 mm x 2 mm ułożone są wzdłuż osi wiązki. 32

Rys. 20. Rozkłady procentowej dawki głębokiej dla wysymulowanych wiązek monoenergetycznych z zakresu od 1 MeV do 15 MeV znormalizowane do 100 % względem maksimum dawki dla wiązki o najwyższej energii (krzywa odpowiadająca energii największej położona najwyżej). 33

8. Realizacja odwrotnej metody Monte Carlo Metoda Monte Carlo opiera się na wyborze pewnych wartości początkowych i symulacji wielu losowych zdarzeń, składających się na końcowy rezultat. Zagadnienie odwrotne, mające na celu odtworzenie parametrów początkowych na podstawie znanych wyników końcowych, jest problemem optymalizacji wstecz. Wymaga ono wykonania klasycznych obliczeń Monte Carlo ( w przód ), a następnie badania otrzymywanych rezultatów jako funkcji danych wyjściowych. Technika ta znana jest pod nazwą odwrotnej metody Monte Carlo (ang. inverse Monte Carlo method). Została ona wykorzystana w niniejszej pracy do odtworzenia widma energetycznego rzeczywistej wiązki inicjującej. Rozkłady procentowej dawki głębokiej dla obliczonych wiązek elektronowych o różnych energiach posiadają odmienne kształty, dlatego spróbowano wyznaczyć wkład każdej z nich do zmierzonej krzywej PDD rzeczywistej wiązki o nieznanym widmie energii. W celu dopasowania wyników symulacji Monte Carlo do danych pomiarowych zaadaptowany został algorytm wstecznej propagacji błędu (ang. error backpropagation algorithm), z powodzeniem stosowany w procesie uczenia sieci neuropodobnych [30] [33]. Ważona suma obliczonych krzywych PDD porównywana była ze zmierzonym rozkładem dawki głębokiej. Wagi, a więc udział poszczególnych wiązek monoenergetycznych w dawce, dobierano tak, by zminimalizować błąd średniokwadratowy Q dany równaniem: Q = 1 2 j j p i w s i i j 2 (8.1) gdzie p i oznacza wartość dawki zmierzonej na głębokości w i -tym punkcie, j w to waga wiązki o j -tej energii, natomiast na głębokości w i -tym punkcie. j s i to wartość dawki obliczonej dla j -tej energii W celu dopasowania ważonej sumy krzywych PDD otrzymanych w symulacjach do uzyskanej w pomiarach dawki głębokiej, wagi przeciwnym do kierunku gradientu błędu średniokwadratowego Q : w Q w j w zmieniano iteracyjnie w kierunku j = η (8.2) j 34

gdzie j w oznacza zmianę wagi j w w kolejnym kroku iteracji, natomiast η to parametr kontrolujący szybkość zmiany wag, wybierany arbitralnie z zakresu (0;1). Obliczona na podstawie równania (8.1) pochodna cząstkowa Q j w = j j j s p i w s i i i j Q j w Podstawiając powyższe wyrażenie do równania (8.2) otrzymujemy: j j j s p i w s i i i j wynosi: (8.3) j w = η (8.4) Dodatkowo, przyspieszenie otrzymywania wyników można uzyskać poprzez dodanie członu bezwładności do formuły zmiany wag (8.2) [30]: gdzie oznacza zmianę wagi j w ( k ) j Q j w ( k + 1) = η + α w j ( k ) (8.5) w j w w k -tym kroku iteracji, zaś α jest parametrem kontrolującym zmianę szybkości modyfikowania wag, którego wartość wybierana jest arbitralnie z zakresu <0;1>. W oparciu o równanie (8.5) opracowana została procedura odtwarzania widma energetycznego inicjującej wiązki elektronów wytwarzanej przez akcelerator Coline 15. Schemat implementacji algorytmu wstecznej propagacji błędu przedstawiony został na rysunku 21. Zmiana wag trwa tak długo, aż wartość błędu średniokwadratowego zmniejszy się do poziomu zadanej tolerancji. Uzyskane w ten sposób wagi charakteryzują udział poszczególnych wiązek monoenergetycznych w widmie energii. W przypadku przeprowadzanych obliczeń tolerancji Q przypisano wartość 3 10. Przyjęto również założenie, że współczynniki η i α muszą być dobrane w taki sposób, by algorytm był zbieżny, a otrzymana krzywa PDD nie różniła się od krzywej zmierzonej o więcej niż 1 % dawki maksymalnej lub nie była przesunięta o więcej niż 1 mm. Ponieważ wagi odpowiadają względnemu udziałowi wiązek monoenergetycznych w dawce, algorytm uzupełniono o warunek, by minimalne wartości wag nie były mniejsze od zera. Ponadto wagi początkowe określano przy pomocy równania (3.1), opisującego najbardziej prawdopodobną energię wiązki elektronowej na powierzchni fantomu wodnego E p,0. 35

Ze względu na straty energii, jakim ulega wiązka elektronów na drodze od okienka wyjściowego do fantomu wodnego, wartość E p,0 jest nieco mniejsza niż najbardziej prawdopodobna energia elektronów inicjujących. Z tego powodu względny udział równy 100 przypisywano binowi energetycznemu przesuniętemu o 250 kev w stronę wyższych energii w stosunku do tego, który zawierał wyznaczoną wartość E p,0. Binom sąsiednim przypisywano wagi względne 50, a pozostałym wagi zero. Wielkości te były następnie przeskalowane w taki sposób, by otrzymana krzywa dawki głębokiej była znormalizowana do 100 % dla dawki maksymalnej. Chociaż w przypadku innych zastosowań sieci neuropodobnych wagi początkowe dobierane są w sposób losowy, w rozważanej sytuacji znany jest przybliżony wynik końcowy. Przypisanie wagom określonych wartości, zgodnych z wiedzą o fizycznych własnościach modelowanego systemu, pozwala przyspieszyć uzyskiwanie rozwiązań i uniknąć części minimów lokalnych funkcji Q. Oprócz tego wprowadzono warunek, aby proces dopasowywania krzywej PDD został przerwany po 5000 iteracji. Inicjalizacja: wczytanie krzywych PDD, ustalenie wartości współczynników η, α i tolerancji Q, a także wag początkowych Obliczenie błędu średniokwadratowego Q zgodnie ze wzorem (8.1) Zmiana wag zgodnie ze worem (8.5) Sprawdzenie czy Q mniejsze niż zadana tolerancja lub czy liczba iteracji wynosi 5000 TAK NIE Obliczenie pochodnej δq/δw zgodnie ze wzorem (8.3) Przedstawienie uzyskanych wyników Rys. 21. Procedura dopasowywania widma energetycznego wiązek symulowanych do widma wiązki rzeczywistej oparta na algorytmie wstecznej propagacji błędu. 36

9. Analiza metody i otrzymanych wyników 9.1. Analiza metody dla wiązek o znanym widmie Na wstępie przedstawiona metoda została zastosowana do odtworzenia rozkładów dawki głębokiej od wiązek o znanych widmach. Schemat postępowania przedstawiono na rysunku 22. Na podstawie symulacji Monte Carlo stworzone zostały wykresy procentowych dawek głębokich dla wiązek o różnych rozkładach energetycznych (rysunki 22a i 22b). Otrzymane krzywe PDD posłużyły jako rozkłady wzorcowe, do których zastosowano opisaną w rozdziale 8 odwrotną metodę Monte Carlo (rysunek 22c). Uzyskane widmo porównano następnie z rzeczywistym widmem (rysunek 22d), analizując dokładność odtworzenia dawki głębokiej (rysunek 22e) oraz udziału poszczególnych energii w widmie (rysunek 22f). W pierwszej kolejności algorytm wstecznej propagacji błędu zastosowano do odtworzenia dawki głębokiej od wiązki monoenergetycznej o energii 13,625 MeV. Obliczenia wykonano dla kilku wartości parametrów η i α, analizując ich wpływ na otrzymane rezultaty. Wagi początkowe ustalono zgodnie z opisem przedstawionym w rozdziale 8. W przypadku η =10 7 i α =0,9 algorytm został przerwany po 5000 iteracji, osiągając wartość błędu średniokwadratowego Q =3,6. Chociaż dawka głęboka odtworzona została z dokładnością 0,87 % (rysunek 23b i 23d), uzyskane widmo energii w dużym stopniu różni się od rzeczywistego rozkładu energii (rysunek 23a i 23c), a błąd wyznaczenia udziału energii w widmie wiązki sięga 75 %. Jednocześnie znaczne rozmycie piku energetycznego (rysunek 23c) nie zmienia w istotny sposób rozkładu dawki głębokiej (rysunek 23a). Otrzymane widmo scharakteryzowano za pomocą średniej energii E śr, najbardziej prawdopodobnej energii Ep oraz szerokości połówkowej rozkładu FWHM, a także wyrażeniem FWHM / E p. Wymienione parametry widma rzeczywistego i otrzymanego zestawiono w tabeli 1. Widmo E śr [MeV] E p [MeV] FWHM [kev] FWHM / E p Rzeczywiste 13,625 13,625 250 1,8 % Odtworzone 13,482 13,875 469 3,4 % Tabela 1. Wyniki dopasowania widma wiązki monoenergetycznej 13,625 MeV dla η =10 7 i α =0,9. 37

Rys. 22. Schemat analizy opracowanej odwrotnej metody Monte Carlo. Rysunek przedstawia: a) widmo wiązki wzorcowej, b) rozkład dawki głębokiej od wiązki wzorcowej, c) odtworzony rozkład dawki, d) otrzymane widmo energii, e) różnica w dopasowaniu dawki, f) różnica w dopasowaniu energii. 38

Rys. 23. Wykres dopasowania widma wiązki monoenergetycznej dla η =10 7 i α =0,9. 39

Rys. 24. Wykres błędu średniokwadratowego Q dla η =10 7 i α =0,9 (linia niebieska) oraz dla η =10 7 i α =1 (linia czerwona).. 40

Rys. 25. Wykres dopasowania widma wiązki monoenergetycznej dla η =10 7 i α =1. 41

W następnym kroku zmieniono wartość parametru α, przypisując mu wartość 1, pozostawiając bez zmian parametr η. W tym przypadku wartość błędu średniokwadratowego Q spadła poniżej zadanej tolerancji, osiągają wartość 6. 10 4, a działanie algorytmu zakończyło się po 3291 iteracjach. Na rysunku 24 porównano błąd średniokwadratowy Q w funkcji liczby iteracji dla przypadku η =10 7 i α =1 oraz dla η =10 7 i α =0,9. W przypadku α =1 procentowa dawka głęboka została odtworzona z dokładnością 0,017 % (rysunki 25b i 25d), co zagwarantowało wyznaczenie udziału poszczególnych energii w widmie wiązki z błędem nie przekraczającym 0,3 % (rysunki 25a i 25c). W kategoriach energii najbardziej prawdopodobnej E p i szerokości połówkowej FWHM odtworzone widmo nie różni się od rzeczywistego (rysunek 25a). Pomimo to, minimalny udział niskich energii w uzyskanym widmie spowodował różnicę w energii średniej E śr na poziomie 58 kev. Następnie zwiększono krok algorytmu wstecznej propagacji błędu, przypisując η wartość 10 6. W przypadku α =1 algorytm ponownie znalazł rozwiązanie, tym razem po 734 iteracjach. Dawkę głęboką odtworzono z dokładnością 0,006 % (rysunek 26d), również błąd wyznaczenia widma osiągnął 0,006 % (26c). Kształt widma został zrekonstruowany bardzo dokładnie (rysunek 26a), jednak niewielka różnica w wartości wyznaczonego udziału energii spowodowała nieznaczną zmianę w normalizacji dawki. Uwidacznia się to w systematycznym przesunięciu odtworzonej krzywej PDD (rysunek 26d). W przypadku α =0,9, algorytm jest rozbieżny i nie znajduje rozwiązania. Przedstawia to rysunek 27, na którym porównano zmianę błędu średniokwadratowego Q w funkcji liczby iteracji dla η =10 6 i α =1 oraz dla η =10 6 i α =0,9. Widać jednak, że początkowo również dla α =1 algorytm oddala się od rozwiązania, dopiero później kierunek zmian ulega poprawie i wynik zostaje znaleziony. Dla η =10 5 algorytm jest rozbieżny dla obu wartości α. Ostatecznie dalsze obliczenia zdecydowano się wykonywać dla η =5. 10 7 i α =1, dla których otrzymano rezultat analogiczny do przedstawionego na rysunku 25, jednak już po 1462 iteracjach. Jeśli nie napisano inaczej, wagi początkowe określano zgodnie z opisem przedstawionym w rozdziale 8. 42