F = e(v B) (2) F = evb (3)

Sprawozdanie z fizyki współczesnej 1 1 Część teoretyczna Umieśćmy płytkę o szerokości a, grubości d i długości l, przez którą płynie prąd o natężeniu I, w poprzecznym polu magnetycznym o indukcji B. Wówczas pomiędzy brzegami płytki wytwarza się napięcie U H. Napięcie to odpowiada polu elektrycznemu, które jest prostopadłe do prądu I i indukcji B. Napięcie to wyraża się wzorem: BI U H = R H (1) d gdzie R H jest stałą Halla. Zjawisko to powstaje na skutek poruszających się w polu magnetycznym nośników ładunków. Zakładając, że v jest prędkością poruszającego się ładunku, a ładunek co do wartości bezwzględnej wynosi e, to otrzymujemy, że pole magnetyczne działa na ładunki siłą: Ponieważ v jest prostopadły do B otrzymujemy: F = e(v B) (2) F = evb (3) Na skutek tej siły ładunki są odchylane, co powoduje nadmiar ładunków w pobliżu jednej ze ścianek, a niedobór w pobliżu drugiej. Dlatego też powstaje pole elektryczne, którego natężenie wynosi E, a kierunek jest zależny od znaku ładunku. Natomiast siła qe działająca na ładunek od strony tego pola jest przeciwna do siły F. W przypadku gdy te siły się równoważą mamy: Zatem wartość liczbowa natężenia wyraża się wzorem: Załóżmy teraz, że pole elektryczne jest jednorodne. Wtedy U H wynosi: Natomiast natężenie prądu I, który przepływa przez płytkę wynosi: ee = evb (4) E = vb (5) U H = Ed = vbd (6) I = evps = evpad (7) gdzie p koncentracja nośników ładunku. Wtedy napięcie Halla wynosi: U H = 1 IB ep a (8) Zatem z powyższego równania wynika, że stała Halla wyraża się wzorem: R H = 1 ep (9) Wobec tego można zauważyć, że znak stałej Halla odpowiada znakowi ładunku który jest nośnikiem prądu. W przypadku gdy R > 0 nośnikami są dziury, gdy R < 0 to elektrony. Na podstawie stałej Halla jesteśmy w stanie wyznaczyć gęstość ładunku p oraz koncentrację µ: p = 1 er H (10) µ = σ R H (11) Gdzie σ oznacza przewodnictwo próbki. Przewodnictwo możemy wyznaczyć znając jej oporności R i wymiary: l σ = (12) R d a 1

Sprawozdanie z fizyki współczesnej 2 2 Wyniki pomiarów Tablica 1: Pomiary zależności napięcia Halla U H prądu I, B = 76 mt od natężenia I [ma] U [mv] U 0 [mv] U H [mv] 16,58 16,5 4,01 12,49 17,47 17,3 4,23 13,07 17,95 17,8 4,35 13,45 18,68 18,5 4,53 13,97 19,46 19,3 4,72 14,58 19,97 19,8 4,85 14,95 20,85 20,7 5,06 15,64 21,83 21,7 5,31 16,39 22,72 22,5 5,53 16,97 23,48 23,3 5,71 17,59 24,15 24,0 5,88 18,12 25,86 25,7 6,30 19,40 27,27 27,1 6,65 20,45 28,69 28,5 7,00 21,50 30,07 29,9 7,34 22,56 31,70 31,5 7,75 23,75 33,24 33,0 8,13 24,87 35,07 34,9 8,58 26,32 37,35 37,2 9,14 28,06 37,51 37,4 9,18 28,22 Tablica 2: Pomiary zależności napięcia Halla U H prądu I, B = 76 mt od natężenia I [ma] U [mv] U 0 [mv] U H [mv] 16,51 8,5 3,99 12,49 17,33 8,9 4,19 13,09 18,08 9,3 4,38 13,68 18,75 9,6 4,55 14,15 19,47 10,0 4,72 14,72 20,42 10,5 4,96 15,46 21,03 10,8 5,11 15,91 21,78 11,1 5,29 16,39 22,38 11,4 5,44 16,84 23,39 12,0 5,69 17,69 24,70 12,6 6,02 18,62 26,40 13,5 6,44 19,94 27,61 14,1 6,74 20,84 28,84 14,7 7,04 21,74 29,86 15,2 7,29 22,49 30,84 15,7 7,53 23,23 32,20 16,4 7,87 24,27 34,01 17,3 8,32 25,62 35,99 18,2 8,81 27,01 37,17 18,9 9,10 28,00 2

Sprawozdanie z fizyki współczesnej 3 Tablica 3: Pomiary zależności napięcia Halla U H od indukcji magnetycznej B, I = 16,59 ma B [mt] U [mv] U 0 [mv] U H [mv] 0 4,1 4,01 0,09 5 4,8 4,01 0,79 10 5,6 4,01 1,59 15 6,7 4,01 2,69 20 7,3 4,01 3,29 25 8,2 4,01 4,19 30 9,1 4,01 5,09 35 9,9 4,01 5,89 40 10,7 4,01 6,69 45 11,5 4,01 7,49 50 12,4 4,01 8,39 55 13,2 4,01 9,19 60 14,0 4,01 9,99 65 14,8 4,01 10,79 70 15,6 4,01 11,59 75 16,5 4,01 12,49 Tablica 4: Pomiary zależności napięcia Halla U H od indukcji magnetycznej B, I = 16,59 ma B [mt] U [mv] U 0 [mv] U H [mv] 0 4,1 4,01 0,09 5 3,1 4,01 0,91 10 2,3 4,01 1,71 15 1,5 4,01 2,51 20 0,7 4,01 3,31 25 0,2 4,01 4,21 30 1,1 4,01 5,11 35 1,9 4,01 5,91 40 2,7 4,01 6,71 45 3,5 4,01 7,51 50 4,3 4,01 8,31 55 5,1 4,01 9,11 60 5,9 4,01 9,91 65 6,8 4,01 10,81 70 7,6 4,01 11,61 76 8,5 4,01 12,51 Tablica 5: Badanie zmian przewodnictwa germanu w obecności pola magnetycznego B [mt] U [mv] U B [mv] 0 4,7 1201,7 4 4,4 1201,4 10 4,2 1201,2 14 4,1 1201,1 21 4,1 1201,1 26 4,0 1201,0 31 4,0 1201,0 3

Sprawozdanie z fizyki współczesnej 4 B [mt] U [mv] U B [mv] 35 4,1 1201,1 41 4,2 1201,2 45 4,3 1201,3 51 4,5 1201,5 60 4,9 1201,9 70 5,4 1202,4 81 6,0 1203,0 91 6,6 1203,6 100 7,3 1204,3 122 9,1 1206,1 148 11,5 1208,5 166 13,5 1210,5 189 16,3 1213,3 206 18,6 1215,6 232 22,2 1219,2 267 27,5 1224,5 280 29,6 1226,6 300 32,7 1229,7 B indukcja pola magnetycznego, U napięcie wskazywane przez woltomierz (napięcie na próbce pomniejszone o napięcie baterii, w celu zwiększenia dokładności pomiaru), U B wyliczone napięcie na próbce. 3 Część praktyczna 3.1 Wykreślenie zależności napięcia Halla U H od natężenia I prądu sterującego próbką Stała indukcja B=76 mt, zakładamy także stałą temperaturę. a) Jeden z kierunków prądu Prosta została policzona na podstawie metody najmniejszych kwadratów. Wyniki przedstawiają się następująco: a = 0,7527 V A b) Przeciwny kierunek prądu a = 0,0012 V A b = 0,091 mv b = 0,003 mv Prosta została policzona na podstawie metody najmniejszych kwadratów. Wyniki przedstawiają się następująco: a = 0,762 V A a = 0,003 V A b = 0,13 mv b = 0,03 mv 4

Sprawozdanie z fizyki współczesnej 5-1 2-1 4-1 6-1 8 U H [m V ] -2 0-2 2-2 4-2 6-2 8-3 0-4 0-3 8-3 6-3 4-3 2-3 0-2 8-2 6-2 4-2 2-2 0-1 8-1 6-1 4 I [m A ] Rysunek 1: Funkcja przedstawiająca zależność napięcia Halla od natężenia prądu jeden z kierunków prądu 3 0 2 8 2 6 2 4 U H [m V ] 2 2 2 0 1 8 1 6 1 4 1 2-3 8-3 6-3 4-3 2-3 0-2 8-2 6-2 4-2 2-2 0-1 8-1 6-1 4 I [m A ] Rysunek 2: Funkcja przedstawiająca zależność napięcia Halla od natężenia prądu drugi kierunek prądu 5

Sprawozdanie z fizyki współczesnej 6 3.2 Wykreślenie zależności napięcia Halla U H od indukcji B. Proste wyznaczone metodą najmniejszych kwadratów. a) Jeden z kierunków prądu Prosta została policzona na podstawie metody najmniejszych kwadratów. Wyniki przedstawiają się następująco: a = 0,1658 V T a = 0,0008 V T b = 0,13 mv b = 0,03 mv 2 0-2 -4 U H [m V ] -6-8 -1 0-1 2-1 4 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 B [m T ] Rysunek 3: Funkcja przedstawiająca zależność napięcia Halla od indukcji jeden z kierunków prądu b) Przeciwny kierunek prądu Prosta została policzona na podstawie metody najmniejszych kwadratów. Wyniki przedstawiają się następująco: a = 0,1651 V T a = 0,0007 V T b = 0,23 mv b = 0,03 mv 6

Sprawozdanie z fizyki współczesnej 7 1 4 1 2 1 0 8 U H [m V ] 6 4 2 0-8 0-7 0-6 0-5 0-4 0-3 0-2 0-1 0 0 1 0 B [m T ] Rysunek 4: Funkcja przedstawiająca zależność napięcia Halla od indukcji drugi kierunek prądu 3.3 Obliczenie wartości stałej Halla Zgodnie ze wzorem (1) możemy policzyć wartość stałej Halla. Na podstawie znaku stałej określiliśmy rodzaj nośników ładunku. Zatem stała Halla wynosi: z dokładnością co do grubości płytki: R H = (8,93 ± 0,07) 10 3 1 C m 3 d = 1 10 3 m. Do policzenia koncentracji p nośników prądu wykorzystamy wzór (10). Zatem podstawiając pod e ładunek elektronu i R H obliczoną stałą Halla mamy, że p wynosi p = (251 ± 9) 10 18 m 3. W celu wyznaczenia przewodnictwa elektrycznego germanu σ wykorzystamy wzór (12), gdzie l długość badanej próbki, d długość próbki, a szerokość próbki oraz R opór w temperaturze pokojowej. Zatem podstawiając pod wzór (12) otrzymujemy: σ = (7,018 ± 0,013) 1 Ω m 7

Sprawozdanie z fizyki współczesnej 8 W celu wyznaczenia ruchliwości nośników µ posłużymy się wzorem (11) i powyższymi wyliczeniami. Zatem otrzymujemy, że: µ = (63 ± 8) 10 3 1 Ω C m 4 3.4 Wykreślenie względnej zmiany oporu próbki Względną zmianę oporu próbki od indukcji magnetycznej B możemy wyznaczyć ze wzoru (R R B) R, gdzie R opór przy B = 0, a R B opór w obecności pola magnetycznego. Ponieważ w doświadczeniu nie mierzymy bezpośrednio oporu próbki, a jedynie napięcie na niej, posłużymy się wartościami U i U B, gdzie U napięcie na próbce przy B = 0, a U B napięcie na próbce w obecności pola magnetycznego. Ponieważ zmiana wartości indukcji magnetycznej nie wpływała na natężenie prądu przepływającego przez próbkę, powyższy wzór możemy zapisać jako (U U B) U. Dane bierzemy z tabeli (5). 0,0 2 5 0,0 2 0 0,0 1 5 0,0 1 0 0,0 0 5 0,0 0 0 0 5 0 1 0 0 1 5 0 2 0 0 2 5 0 3 0 0 B [m T ] Rysunek 5: Wykres przedstawia względną zmianę oporu próbki od indukcji B 3.5 Błędy w obliczeniach Przy wykorzystaniu metody różniczki zupełnej otrzymujemy błędy obliczanych wielkości: R H = 0,007 10 3 1 C m 3 1 σ = 0,013 Ω m p = 9 10 18 m 3 µ = 0,008 1 Ω C m 4 8

Sprawozdanie z fizyki współczesnej 9 4 Wnioski Otrzymane przez nas wyniki wydają się być zgodne z rzeczywistością. Znak R H wyszedł dodatni. Zatem potwierdziło się, że mamy do czynienia z półprzewodnikiem akceptorowym, w którym nośnikami prądu są dziury. Dziury te mają określoną koncentrację p, którą policzyliśmy. Niestety, nie udało się ustrzec od błędów. Widać je m.in. na wykresach (1-4), gdzie współczynnik b powinien wyjść równy 0. Były one zapewne spowodowane niedokładnością pomiarową sprzętu. Jeżeli chodzi o wyznaczone wielkości to ich rzędy zgadzają się z rzędami wielkości dla podobnych materiałów. Jedyne wielkości jakie udało nam się znaleźć to koncentracja w germanie, która wynosiła 21 10 19 m 3, ruchliwość 3,6 10 2 1 Ω C m 4 oraz stała Halla wynosząca 5,7 10 3 1 C m. Należy pamiętać, że różnice w wielkościach obliczonych i 3 wziętych z tabel muszą się różnić, gdyż tablicowe są dla germanu a policzone dla germanu typu p. Nie mniej jednak wielkości, które policzyliśmy wydają się być prawdziwe, gdyż są podobnych rzędów. Należy także pamiętać, że wyznaczona koncentracja nośników i ich ruchliwość zależą od konkretnej próbki i od temperatury, w której się ta próbka znajduje. 9