62 PRAWDOPODOBIEŃSTWO 294. Rycerz zdoła pokonać smoka jednogłowego z prawdopodobieństwem 3 4,trzygłowego z prawdopodobieństwem 1, a siedmiogłowego z prawdopodobieństwem 2 1. W jego królestwie występują tylko smoki o podanej wyżej liczbie głów. Liczba 4 tych smoków jest wprost proporcjonalna do liczby głów. a) Oblicz prawdopodobieństwo, że rycerz pokona pierwszego napotkanego smoka. b) Rycerz pokonał smoka. Oblicz prawdopodobieństwo, że ten smok miał 3 głowy. c) Rycerz nie pokonał smoka. Oblicz prawdopodobieństwo, że ten smok ma więcej niż 2 głowy. 295. Z jednego peronu odjechały dwa pociągi. Do jednego z nich wsiadło 40% oczekujących na peronie pasażerów, a do drugiego pozostałe 60%. Wśród pasażerów, którzy wsiedli do pierwszego pociągu, 6% wsiadło tam przez pomyłkę. Łącznie 3% pasażerów wsiadło do złego pociągu. a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że pasażer, który wsiadł do drugiego pociągu, wsiadł tam przez pomyłkę? b) Jakie jest prawdopodobieństwo, że pasażer, który wsiadł do pierwszego pociągu, zamierzał jechać tym pociągiem? c) Pewien pasażer pomylił pociąg. Jakie jest prawdopodobieństwo, że znalazł się w drugim pociągu? Elementy kombinatoryki 296. Oblicz, na ile sposobów możemy wybrać obiad, mając do wyboru: a) 5 zup i 6 drugich dań, b) 4zupy,5drugichdańi2desery, c) 3zupy,5drugichdań,2deseryi3kompoty? 297. W pewnej pizzerii jest 10 gatunków pizzy, z których każdą można zamówić na cieście cienkim, średnim lub grubym, z sosem ostrym, łagodnym lub bez sosu. Jak długo można stołować się w tej pizzerii, jedząc codziennie inną pizzę? 298. a) Na ile sposobów można ustawić w szeregu 7 osób? b) W wypożyczalni jest 18 par nart, które pasują każdemu z trzech narciarzy. Na ile sposobów ci narciarze mogą wybrać narty z tej wypożyczalni? 299. Tomek codziennie wybiera jeden z pięciu zestawów obiadowych w stołówce. Na ile sposobów może sobie zaplanować menu na trzy dni, jeśli: a) każdego dnia wybiera inny zestaw, b) zestawy mogą się powtarzać?
ELEMENTY KOMBINATORYKI 63 300. Określ, na ile sposobów trzej goście mogą wybrać po jednym z pięciu pokojów hotelowych: a) w różnych terminach, b) w tym samym terminie. 301. Pierwszy ruch w szachach można wykonać jednym z ośmiu pionków, przesuwając go o 1 lub 2 pola, lub jednym z dwóch skoczków koni), przesuwając go o dwa pola do przodu i jedno w lewo lub w prawo. Na ile różnych sposobów gracze mogą wykonać dwa pierwsze ruchy każdy po jednym ruchu)? 302. Liczba palindromiczna to liczba, która czytana od końca i od początku jest tą samą liczbą, np. 31913 albo 312213. Ile jest liczb palindromicznych: a) pięciocyfrowych, b) czterocyfrowych, c) pięciocyfrowych, w których pierwsze trzy cyfry są różne, d) pięciocyfrowych zaczynających się cyfrą 1? 303. W klasie jest 20 dziewcząt i 10 chłopców. Na ile sposobów można wybrać samorząd przewodniczącego, zastępcę i skarbnika), jeśli: a) nie ma żadnych warunków co do płci wybieranych, b) przewodnicząca ma być dziewczyną, c) przewodniczący ma być chłopcem, a zastępca dziewczyną? 304. W języku polskim istnieje około 14 500 słów pięcioliterowych łącznie z nazwami własnymi i różnymi formami tego samego wyrazu). Jaki to procent wszystkich pięcioliterowych napisów, które można ułożyć z liter polskiego alfabetu tzn. z35liter)? 305. Na ile sposobów pięć osób może zająć miejsca w samochodzie pięcioosobowym, jeżeli: a) wszystkie mają prawo jazdy, b) trzy mają prawo jazdy, c) tylko jedna ma prawo jazdy? 306. a) Na ile sposobów można zaplanować koncert, jeśli mają na nim wystąpić po kolei ale w dowolnej kolejności) trzy zespoły, z których jeden wykonuje 6 utworów, drugi 5 utworów, a trzeci 3 utwory? Utwory mogą być wykonywane w różnej kolejności. b) Na ile sposobów można podzielić dziewięć różnych przedmiotów pomiędzy trzy osoby? Podział nie musi być równy, dopuszczamy nawet sytuację, że jedna osoba weźmie wszystko.
64 PRAWDOPODOBIEŃSTWO 307. Zamek szyfrowy ma 4 pokrętła. Na każdym z nich można ustawić cyfrę od 1 do 9. Jak długo potrwa sprawdzanie wszystkich możliwości, jeśli na każdą z nich przeznaczymy 1 sekundę? 308. W konkursie bierze udział 10 osób. a) Ile jest możliwości obsadzenia pierwszych trzech miejsc? b) Oprócz nagród za pierwsze trzy miejsca przewidziano nagrodę fair play, którą może dostać jeden z zawodników. Nagroda ta może jednak nie zostać przyznana. Ile jest możliwości przyznania nagród? 309. Ile jest możliwych wyników klasówki, jeśli pisało ją 10 uczniów, przy czym: a) każdy może dostać ocenę od 1 do 5 bez plusów i minusów), b) każdy otrzymuje tylko informację zaliczone lub niezaliczone? 310. Cztery małżeństwa zajmują miejsca w ośmioosobowym przedziale kolejowym. Ustal,nailesposobówmogąjezająć,jeśli: a) każdy mężczyzna ma siedzieć obok swojej żony, b) każda kobieta ma siedzieć naprzeciwko swojego męża, c) mężczyźni mają siedzieć po jednej stronie, a kobiety po drugiej, d) kobiety mają siedzieć w rogach przedziału, e) przy oknach mają siedzieć kobiety, f) usadzenie jest dowolne. 311. Na balu jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. a) Na ile sposobów można połączyć te osoby w pary do tańca? b) Na ile sposobów można podzielić przybyłych na pary do tańca, jeśli wszystkie kobiety mają tańczyć? 312. Ile różnych napisów możemy otrzymać, przestawiając litery podanego słowa? a) JABŁKO b) BANAN c) ANANAS 313. Z dowolnej liczby jednakowych, białych lub czarnych, papierowych kwadratów o boku 1 układamy duży kwadrat o boku 4. a) Ile możemy otrzymać: wszystkich wzorów, wzorów o pionowej osi symetrii, wzorów o pionowej i poziomej osi symetrii, wzorów o skośnej osi symetrii? b) Odpowiedz na pytanie z podpunktu a) przy założeniu, że mamy tylko 8 kwadratów czarnych i 8 białych.
ELEMENTY KOMBINATORYKI cd.) 65 314. Ile przekątnych mają bryły foremne przedstawione na poniższym rysunku? a) Policz wszystkie przekątne, także przekątne ścian. b) Policz tylko przekątne łączące wierzchołki nieleżące na jednej ścianie. 315. Na parkingu jest 10 miejsc w jednym rzędzie. Na ile sposobów można na nim postawić 5 fordów i 5 opli, jeżeli: a) wszystkie samochody danej marki stoją obok siebie, b) wszystkie fordy stoją obok siebie? 316. Cztery małżeństwa zajmują miejsca w ośmioosobowym przedziale kolejowym. Ile jest możliwych sposobów zajęcia miejsc, jeśli: a) każdy mężczyzna ma siedzieć obok kobiety przynajmniej jednej), b) każdy mężczyzna ma siedzieć obok dokładnie jednej kobiety? 317. Informacja genetyczna jest zakodowana w DNA w taki sposób, że każdemu aminokwasowi odpowiada trójka zasad, z których każda może być adeniną, cytozyną, guaniną lub uracylem. Sprawdź, że trzy zasady wystarczą do oznaczenia 23 aminokwasów występujących w białkach, a dwie by nie wystarczyły. 318. a) Ile podzbiorów ma zbiór pięcioelementowy? b) Ile podzbiorów ma zbiór n elementowy? Elementy kombinatoryki cd.) 319. Oblicz: ) ) a) 5, 5, 1 2 ) ) ) 8 6 4 6 4 2 b) ),, 6! 8 2 ) 10, 4 ) 17, 15 ) 15 10 15 10)!, 129 101 ) 125 125 ) ) + ) 130 101 129 100
66 PRAWDOPODOBIEŃSTWO 320. Oblicz, na ile sposobów można wybrać: a) trzy kule z pięciu, b) pięć kul z dwudziestu, c) dziewiętnaście kul z dwudziestu. 321. Na pewnym okręgu zaznaczono pięć punktów. Oblicz, ile można narysować odcinków, a ile strzałek o końcach w tych punktach. 322. Na ile sposobów można z 25-osobowej klasy wybrać trzy osoby, jeśli: a) każda ma wziąć udział w jednym z trzech różnych konkursów, b) wszystkie osoby mają wziąć udział w tym samym konkursie? 323. a) Na ile sposobów można wybrać 5 spośród 25 rodzajów sałatek w barze? b) W barze jest 25 rodzajów sałatek. Na ile sposobów mogą wybrać zestawy pięciu sałatek trzy osoby, jeśli każda z nich wybiera 5 różnych rodzajów? 324. W Dużym Lotku losowane jest 6 spośród liczb od 1 do 49. a) Ile jest możliwych wyników losowania zawierających liczbę 1? b) Gracz skreślił 6 liczb. Ile jest możliwości wylosowania sześciu innych liczb niż skreślone przez niego? 325. Klasa III a liczy 30 uczniów, a klasa III b 32 uczniów. Na ile sposobów można wybrać sześcioosobową drużynę składającą się z 3 uczniów klasy III a i 3 uczniów klasy III b? 326. Ali postanowił podzielić swoje wielbłądy między czterech synów. Pierwszemu kazał wybrać 8 z nich, drugiemu 6, trzeciemu 4, a czwartemu dał pozostałe 2 wielbłądy. Na ile sposobów bracia mogą podzielić stado? 327. Na ile sposobów można podzielić 52 karty pomiędzy dwóch graczy, a na ile pomiędzy czterech? 328. Zbiór 20 różnych starych monet dzielimy pomiędzy dwie osoby. Ile jest możliwych podziałów, jeśli: a) każda z osób ma dostać tyle samo monet, b) podział nie musi być równy, może się nawet zdarzyć, że jedna osoba weźmie wszystkie monety? 329. Na ile sposobów można wybrać 4 gałki lodów spośród 10 smaków, jeśli: a) każda gałka lodów ma mieć inny smak, b) gałki lodów mogą mieć ten sam smak?
KOMBINATORYKA I PRAWDOPODOBIEŃSTWO 67 330. W klasie jest 16 chłopców i 14 dziewcząt. Wybieramy i ustawiamy w rzędzie 2 dziewczyny i 3 chłopców. Ile różnych rzędów można w ten sposób ustawić? 331. Sześciokąt ABCDEF jest foremny. Ile jest trójkątów o wierzchołkach wybranych spośród punktów A, B, C, D, E oraz F? Ustal, ile wśród nich jest trójkątów równobocznych. 332. W Dużym Lotku za każdy zakład skreślenie 6 z 49 liczb) trzeba zapłacić 1,25 zł. Ile kosztowałoby obstawienie wszystkich możliwych wyników losowania? Kombinatoryka i prawdopodobieństwo 333. Czworo rodzeństwa w różnym wieku: Michał, Ania, Magda i Jaś ustawia się w rzędzie w losowej kolejności. Oblicz prawdopodobieństwo, że ustawią się od najstarszego do najmłodszego. 334. Aby otworzyć zamek szyfrowy, należy ustawić każde z trzech pokręteł w odpowiedniej pozycji, jednej z sześciu możliwych. Jakie jest prawdopodobieństwo, że uda się go otworzyć za pierwszym razem, ustawiając pokrętła losowo? 335. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybierając losowo 7-cyfrowy numer telefoniczny, przypadkiem trafimy na jeden z 30 numerów do naszych znajomych? Numer telefonu nie może zaczynać się cyfrą 0 ani 9. 336. Wśród 20 żarówek 6 jest przepalonych. Wybieramy losowo dwie żarówki. Jakie jest prawdopodobieństwo, żeobiesąprzepalone? 337. W klasie jest 16 chłopców i 14 dziewcząt. Nauczyciel przyniósł sprawdzone klasówki ułożone w przypadkowej kolejności. Oblicz prawdopodobieństwo, że: a) klasówki ułożone są według listy w dzienniku, b) najpierw znajdują się klasówki wszystkich chłopców, potem klasówki wszystkich dziewcząt, c) klasówki wszystkich chłopców ułożone są jedna po drugiej. 338. W sali stoi 20 krzeseł, z których 5 jest białych, a 15 czarnych. Sześć osób wchodzi do tej sali i losowo zajmuje miejsca. Jakie jest prawdopodobieństwo, że: a) wszystkie usiądą na czarnych krzesłach, b) wszystkie usiądą na białych krzesłach, c) dokładnie dwie usiądą na białych krzesłach?