Nowe idee w budowie systemów monitorujàcych WOJCIECH BATKO Monitorowanie zmiany stanu obiektu w trakcie eksploatacji jest bardzo z o onym zagadnieniem. Jego g ównym zadaniem jest identyfikacja wczesnych faz uszkodzeƒ i rozpoznanie istotnych zaburzeƒ w prawid owym funkcjonowaniu nadzorowanego obiektu, co umo liwia podj cie dzia aƒ prowadzàcych do unikni cia awarii. Polega ono na Êledzeniu zmian stanów drganiowych dozorowanego obiektu za pomocà uk adu sensorycznego jego systemu monitorujàcego. Najcz Êciej jest nim uk ad do pomiaru bezwzgl dnych lub wzgl dnych drgaƒ wybranych w z ów konstrukcyjnych dozorowanego obiektu. Otrzymywane sygna y pomiarowe podlegajà przetworzeniom w wybrane estymaty liczbowe (np. wartoêci skuteczne, szczytowe bàdê inne wzajemne ich kombinacje) przemieszczeƒ, pr dkoêci przyspieszeƒ drgaƒ, czy te w ich obrazy funkcyjne (tj. trajektorie ruchu czopów wa u w panwi o yska, funkcje g stoêci widmowe drgaƒ, korelacji, koherencji, cepstrum, obwiedni itp.) [1]. Âledzenie ich zmian, w odniesieniu do zdefiniowanych dla nich wartoêci kryterialnych, wyznaczonych odpowiednimi: normami, przepisami, ustaleniami wynikajàcymi z okreêlonych doêwiadczeƒ eksploatacyjnych czy te ze statystycznych przetworzeƒ wyników kontrolowanych sygna ów diagnostycznych jest istotà funkcjonowania i budowy systemu monitorujàcego. Stosunkowo nieliczne sà próby poszukiwania rozwiàzaƒ systemów monitorujàcych, w których istotà funkcjonowania by yby zwiàzki pomi dzy stanem dozorowanego obiektu a postacià monitorowanego sygna u [2, 3] i wynikajàce z nich kryteria tworzenia przez system alarmów lub wy àczeƒ. W regu ach konstrukcji obecnych na rynku systemów monitorujàcych brak jest spójnej teorii zabezpieczajàcej wynikowe powiàzania warunków utraty zdolnoêci monitorowanego obiektu do bezpiecznego funkcjonowania z regu ami doboru symptomów diagnostycznych dla obserwacji zmian stanów nadzorowanych obiektów. W ich budowie nie uwzgl dnia si w wystarczajàcym stopniu cech konstrukcyjnych i eksploatacyjnych nadzorowanego obiektu powiàzanych z procesem niezak óconej estymacji monitorowanych procesów [4]. Prof. zw. dr hab. Wojciech Batko jest pracownikiem Katedry Mechaniki Akademii Górniczo-Hutniczej w Krakowie. Przedstawione oceny rozwiàzaƒ systemów monitorujàcych nie pretendujà do wyliczenia wszystkich kwestii problemowych, jakie wyst pujà przy ich budowie, a tak e omówienia znanych w tym zakresie wyników dokonaƒ badawczych i praktycznych. Mogà byç jedynie inspiracjà do poszukiwaƒ nowych wskazaƒ metodologicznych dla procesu konstruowania systemów monitorujàcych, pozbawionych ograniczeƒ zasygnalizowanych w przedstawionej wczeêniej syntezie. Celem niniejszego artyku u jest wskazanie pewnych mo liwoêci w tym zakresie. Wydaje si, e dobrym narz dziem do realizacji takiego zadania mo e byç teoria statecznoêci technicznej [5], która pozwoli na podejmowanie i rozwiàzywanie wielu zadaƒ w procesie budowy systemu monitorujàcego. Na niej mo na oprzeç szkielet organizacji czynnoêci badawczych i ich algorytmów dedykowanych poszukiwaniom nowych powiàzanych z analizà dynamiki monitorowanego obiektu, symptomów diagnostycznych oraz odpowiedni dobór poziomów ich kwantyfikacji, co umo liwia podejmowanie decyzji diagnostycznych. StatecznoÊç techniczna i jej odniesienia diagnostyczne Rozwiàzanie wielu zagadnieƒ, zwiàzanych z rozwijajàcà si technikà diagnozowania stanu kontrolowanego obiektu technicznego (przyporzàdkowanych jej algorytmów oraz dedykowanych jej realizacji pomiarów) mo na sprowadziç do analiz zachowaƒ dynamicznych monitorowanego obiektu w procesie eksploatacji, opisanych uk adem nieliniowych równaƒ ró niczkowych, a wi c do analiz ich mo liwych rozwiàzaƒ. Sà one zwiàzane z przyj tà formalizacjà modelowà dozorowanego obiektu, opisem jego zespo u elementów pozostajàcych we wzajemnym wspó dzia aniu mi dzy sobà a otoczeniem, charakteryzowanych zbiorem mierzalnych cech (zawierajàcych ca à potrzebnà informacj o stanie kontrolowanego obiektu), które zmieniajà si z up ywem czasu. Zdefiniujmy zatem par (X, f), w której X oznacza wektor przestrzeni stanów monitorowanego obiektu, natomiast f jest wektorem odwzorowaƒ tej przestrzeni w siebie relacjà: x i = f i (t, x 1, x 2,...., x n ) i = 1, 2,...., n (1) w której funkcje f i sà okreêlone w obszarze t 0, (x 1,...., x n ) G E n gdzie E n oznacza liniowo unormowanà przestrzeƒ n-wymiarowà. Korzystajàc z identyfikowanego opisu modelowego dozorowanego obiektu mo na rozpoznaç jego zachowania w czasie pracy, analizowaç wyst powanie mo liwych odchy ek od zaprogramowanych czynników przy okreêlonych zaburzeniach warunków pracy i przewidzianej eksploatacji.
Zadanie analizy rozwiàzaƒ opisujàcych zachowania obiektu, gdy jego stan ustalony zostanie zaburzony, wià e si z podstawowymi celami realizacyjnymi systemu monitorujàcego. Postawmy wi c tez, e tak wyodr bniona klasa problemów mo e byç rozwiàzana w ramach teorii statecznoêci. W zale noêci od potrzeb techniki powsta y ró ne poj cia statecznoêci, a wraz z nimi rozwin y si metody badania warunków jej wyst powania [5 7]. Dla procesów konstruowania systemów monitorujàcych dobrym kryterium badawczym do realizacji wielu zadaƒ, jakie wyst pujà w procesach monitorowania zmian stanu maszyny, mo e byç kryterium statecznoêci technicznej [5]. Rozszerza ono okreêlenie statecznoêci w sensie Lagrange a i w sensie Lapunowa na warunki, jakie mogà wyst powaç w badanej rzeczywistoêci technicznej. W szczególnoêci wydaje si ona istotna dla wyboru drogi realizacji procesu monitorowania zmian stanu kontrolowanego obiektu. Uwzgl dniajà bowiem kwantyfikacj zaburzeƒ ruchu, przy za o onych, dopuszczalnych dla eksploatacji obiektu zmianach warunku ruchu (si wymuszajàcych lub charakterystyk) i zmianach warunków poczàtkowych. W ocenach statecznoêci technicznej niezb dne jest za o enie: dopuszczalnych odchy ek trajektorii ruchu od stanu ustalonego (ze wzgl du na bezpiecznà eksploatacj analizowanego obiektu); dopuszczalnego zakresu zmian warunków poczàtkowych; poziomu przewidywanych zaburzeƒ zewn trznych i wewn trznych, stale dzia ajàcych na kontrolowany obiekt podczas jego eksploatacji dla analizowanego obiektu, którego zachowania dynamiczne sà opisane równaniem: x = f(x, t) + R(x, t) (2) w którym x, f, R sà wektorami okreêlonymi w przestrzeni R n : 44 x = f = R = (3) i których funkcje f(t, x) R(t, x) sà okreêlone w obszarze zawartym w przestrzeni (n + 1)-wymiarowej: t > 0, x G E n (4) O funkcji zaburzeƒ stale dzia ajàcych R(t, x) zak ada si, e sà w obszarze (4) ograniczone: R (t, x) < δ (5) gdzie δ jest dodatnià liczbà, zaê oznacza norm euklidesowà (d ugoêç) wektora R(t, x). Dla tak modelowanego uk adu poj cie statecznoêci technicznej jest rozumiane nast pujàco: Niech b dà dwa obszary Ω i ω zawarte w G takie, e Ω jest domkni ty, ograniczony i zawiera poczàtek uk adu, zaê ω jest otwarty i zawarty w Ω. Za ó my, e rozwiàzaniem analizowanego uk adu (2) jest x(t) o warunku poczàtkowym x(t 0 ) = x 0. Je eli dla ka dego x 0 nale àcego do ω, x(t) pozostaje w obszarze Ω dla t t 0, przy funkcji zaburzeƒ spe niajàcej nierównoêç (5), to uk ad (2) jest stateczny technicznie ze wzgl du na obszary ω, oraz ograniczone, stale dzia ajàce zaburzenia (5). Wed ug tej definicji statecznoêci technicznej, ka da trajektoria ruchu wychodzàca z obszaru ω ma pozostaç w obszarze Ω dla t t 0. Dla systemów monitorujàcych, dopuszczajàcych mo liwoêç chwilowych wyjêç monitorowanych sygna ów poza poziomy uznane za dopuszczalne, mo na os abiç poj cie statecznoêci technicznej do warunku, w którym ka da trajektoria ruchu wychodzàca z obszaru ω ma pozostaç w obszarze Ω dla t 0 t < T 0, gdzie T t 0 jest czasem ruchu. Przy takim warunku b dziemy mieli do czynienia ze statecznoêcià technicznà w skoƒczonym czasie. Realizacji procesu monitorowania zmian stanu nadzorowanego obiektu mo na równie poszukiwaç na bazie warunków definicji stochastycznej statecznoêci technicznej wprowadzonej przez W. Bogusza [5]. Jest ona formu owana nast pujàco w odniesieniu do obiektu opisanego modelem: x = f(x, t, ξ(t, α)) (6) Wyst pujàcy w nim proces stochastyczny ξ(t, α) opisuje zaburzenia przypadkowe α dzia ajàce na obiekt: ξ(t, α) = sup R(t, x, α) (7) x G W odniesieniu do tak formu owanych warunków funkcjonowania kontrolowanego obiektu definiuje si dwa obszary Ω i ω zawarte w E n takie, e obszar ω jest ograniczony i otwarty, Ω jest ograniczony, domkni ty oraz zawiera poczàtek uk adu wspó rz dnych i uwzgl dnia warunek ω Ω. Za ó my, e istnieje liczba dodatnia ε spe niajàca nierównoêç 0 < ε < 1. Oznaczmy warunki poczàtkowe dla t = t 0 przez x(t 0 ) = x 0, a przyporzàdkowane im rozwiàzanie x(t, t 0 ). Je eli ka de rozwiàzanie x(t, t 0 ) o warunkach poczàtkowych nale àcych do obszaru ω przynale y do obszaru Ω z prawdopodobieƒstwem wi kszym od 1 ε, to analizowany obiekt jest technicznie, stochastycznie stateczny wzgl dem obszarów ω, Ω i procesu ξ(t) z prawdopodobieƒstwem 1 ε: P{x(t, t 0 ) Ω } > 1 ε dla x 0 ω (8) Przedstawiona formalizacja matematyczna problemu, uzupe niona odpowiednimi twierdzeniami u atwiajàcymi badanie statecznoêci technicznej, mo e byç wykorzystana jako baza metodologiczna podejêcia do konstruowania systemu monitorujàcego zmiany stanów kontrolowanego obiektu. Rozwiàzania teorii statecznoêci technicznej realizacyjnym narz dziem systemu monitorujàcego Istotà realizacji idei wykorzystania rozwiàzaƒ teorii statecznoêci technicznej w procesie budowy systemów monitorujàcych [8] jest wkomponowanie w ich rozwiàzania algorytmów rozpoznawania warunków utraty statecznoêci technicznej nadzorowanego obiektu. Wymaga to identyfikacji modelu dynamicznego
monitorowanego obiektu, którego rozwiàzania (opisujàce jego zachowania dynamiczne) b dà analizowane przez system monitorujàcy metodami jakoêciowymi, adaptowanymi z rozwiàzaƒ teorii statecznoêci technicznej. Model ten, przy wykorzystaniu twierdzeƒ umo liwiajàcych badanie statecznoêci, stanowiç mo e narz dzie dla procesu rozpoznania pojawienia si stanów alarmowych w dozorowanym obiekcie. U yteczne w tym procesie sà rozwiàzania zaliczane do tzw. topologicznych metod badania rozwiàzaƒ równaƒ ró niczkowych modelu monitorowanego obiektu. Wymagajà one badania portretów fazowych rozwiàzaƒ, czyli krzywych x(t), x(t) = y na p aszczyênie fazowej, których obrazy mogà byç przedmiotem monitorowania. Ich portrety fazowe pozwalajà analizowaç zachowania dynamiczne monitorowanego obiektu przy zaburzeniach stale dzia ajàcych i nieliniowych, które sà znamienne dla procesów pojawienia si uszkodzeƒ, w tym ich wczesnych faz. Zwiàzane z nimi procedury badawcze sà oparte na pewnych topologicznych faktach, zwiàzanych z istnieniem pewnych niezmienników przekszta ceƒ homomorficznych, uj tych w form twierdzeƒ. Umo liwiajà one ocen jakoêciowà zachowaƒ dynamicznych analizowanego obiektu i zwiàzanych z nimi warunków utraty statecznoêci technicznej. Najcz Êciej stosowanà procedurà jest metoda Lapunowa [9], w której wykorzystuje si w asnoêci odpowiednio dobranej do opisu dynamiki nadzorowanego obiektu funkcji skalarnej V(x, t). Badanie jej pochodnej wzd u rozwiàzaƒ (zachowaƒ) uk adu (2) wyznacza decyzj w kwestii jego statecznoêci. Twierdzenie to g osi, e je eli istnieje funkcja skalarna V(x, t) klasy C 1, okreêlona dla ka dego x i t 0 spe niajàca warunki: V(x, t) > 0 dla x 0 V(x, t) 0 wzd u rozwiàzaƒ (2) dla x G ω (9) V(x 1, t 1 ) < V(x 2, t 2 ) dla x 1 ω i x 2 G Ω; t 1 < t 2 to obiekt o opisie (2) jest technicznie stateczny. Odnoszàc rezultaty tego twierdzenia do problemu budowy za o eƒ wykonawczych dla systemu monitorowania stanu maszyn, nale a oby zbudowaç funkcj Lapunowa V(x, t) i korzystajàc z pomiarowo wyznaczonych trajektorii x, y badanego obiektu sprawdziç warunki dane zale noêciami (9). W konstrukcji funkcji Lapunowa V(x, t) pomocne mogà byç wskazówki zawarte w pracach [2, 10, 11], czy te próby okreêlenia jej formy w postaci energii ca kowitej badanego obiektu. Innà metodà badania w asnoêci monitorowanych trajektorii z punktu widzenia oceny statecznoêci monitorowanego uk adu dynamicznego jest ich badanie za pomocà dwóch funkcji [12]:.... Φ (x, y) = xy + xy; Ψ(x, y) = xy xy (10) których okreêlonoêç dodatnia lub ujemna pozwala oceniç charakter monitorowanego ruchu. Ich wartoêci umo liwiajà bowiem przypisanie punktom trajektorii kierunku charakterystycznego dla punktu wyjêcia, wejêcia czy poêlizgu wzgl dem analizowanej krzywej, co s u y wyznaczeniu obszarów G i Ω na obszarze monitorowanej przestrzeni fazowej. Za o eƒ wykonawczych dla budowy kwantyfikatora w asnoêci monitorowanych trajektorii (ze wzgl du na ich statecznoêç) mo na równie poszukiwaç, pos ugujàc si topologicznà metodà retraktowà T. Wa- ewskiego [13]. W metodzie tej, rozwini tej przez W. Bogusza [5], buduje si obszary ograniczone krzywymi, o punktach wejêcia i wyjêcia rozwiàzaƒ uk adu (2) z obszarów uznanych za dopuszczalne. Badanie punktów wejêcia i wyjêcia jest sprowadzane do badania iloczynu skalarnego wektora normalnego N do powierzchni ograniczajàcej obszar Ω i wektora stycznego do trajektorii. Je eli obszar Ω jest ograniczony krzywà f(x, y) = 0 (trajektoria ma ciàg e pochodne czàstkowe wzgl dem x i y rz du pierwszego), to punkt na granicy obszaru (rys. 1) b dzie punktem wejêcia, je eli: lub punktem wyjêcia, je eli: v(t 0 ) N < 0 (11) v(t 0 ) N > 0 (12) Jak wynika z syntetycznego przeglàdu metod badania statecznoêci technicznej [5], ich aplikacja w procesie budowy systemu monitorujàcego polega na [8]: 1. Identyfikacji modelu dynamicznego monitorowanego w z a konstrukcyjnego nadzorowanego obiektu. 2. Stworzeniu instrumentalizacji pomiarowej zabezpieczajàcej obserwacje zmian portretów fazowych dynamicznych zachowaƒ monitorowanego w z a obiektu, wyznaczonych pomiarem x(t), x(t) = y 3. Zbudowaniu kwantyfikatora dla monitorowanych przebiegów przez implementacj algorytmu badania statecznoêci technicznej, opartego na metodzie funkcji Lapunowa czy te metodzie dwóch funkcji Φ(x, y) i (x, y), bàdê metodzie retraktowej. Dla wykonawczej realizacji systemu monitorujàcego rozwiàzanie zadania pierwszego i drugiego nie powoduje istotniejszych trudnoêci. Wi ksze niedogodnoêci sà zwiàzane z wyznaczeniem dodatnio lub ujemnie okreêlonej funkcji Lapunowa do opisujàcej monitorowany obiekt dynamiki, danej zidentyfikowanym uk adem ró niczkowych równaƒ. Istotne uproszczenie zadania wystàpi, gdy system monitorujàcy o okreêlonej lokalizacji sensorów pomiarowych jest dedykowany monitorowaniu zmian parametrów modalnych nadzorowanego obiektu. W przypadku korzystania z metody dwóch funkcji Φ(x, y) i (x, y) pewien problem mo e stanowiç Rys. 1. Ilustracja do procedury analizy trajektorii fazowej 45
rozwiàzanie ich równaƒ funkcyjnych, koniecznych do wykreêlenia krzywych ich zerowania. Za istotnà zalet tej metody mo na natomiast uznaç fakt, obie jej funkcje dla ka dego uk adu nieliniowego majà takà samà postaç, co czyni jà bardziej uniwersalnà. Z kolei zastosowanie metody retraktowej wymusza koniecznoêç zbudowania pewnego obszaru ograniczonego krzywà, na której le à albo tylko punkty wejêcia, albo tylko punkty wyjêcia, co mo e niekiedy sprawiaç istotny k opot realizacyjny. Weryfikacja wybranych elementów realizacyjnych zaproponowanej metody Istotnym elementem proponowanego rozwiàzania jest koniecznoêç Êledzenia w procesie monitoringu zmian portretów fazowych drgaƒ kontrolowanego obiektu. Analiza jakoêciowych ich zmian jest bowiem podstawowym informacyjnym noênikiem umo liwiajàcym Êledzenie procesów destrukcyjnych wyst pujàcych w monitorowanym obiekcie. Stàd wyniki analizy przydatnoêci trajektorii fazowych w realizacji procesu monitoringu mogà byç pierwszym wyró nikiem oceny przydatnoêci zaproponowanej koncepcji. W celu sprawdzenia proponowanych rozwiàzaƒ wykonano wiele badaƒ symulacyjnych, których rezultaty przedstawiono w pracach [14 16]. Dotyczy y one, np. [14], analizy celowoêci wykorzystania trajektorii fazowych do diagnostyki struktur i 3 elementów konstrukcji spr onych. Badanymi w pracy uszkodzeniami by y: zmiana (obni enie) si y spr ajàcej oraz p kni cie elementu spr onego. Trajektorie fazowe wyznaczono, korzystajàc z wyników symulacji uszkodzeƒ opartych na modelu belki Bernoulliego-Eulera. P kni cia modelowano, opierajàc si na mechanice p kania i twierdzeniu Castigliano. Przyk adowy rezultat zmiany trajektorii fazowych, przy uszkodzeniach zwiàzanych z procentowà zmianà (zmniejszenie) si y spr ajàcej, przedstawiono na rys. 2. Ich odniesienia do wyników zmian cz stoêci drgaƒ w asnych generowanych analizowanymi uszkodzeniami pokaza y jego istotnà przydatnoêç diagnostycznà. Cechuje go bowiem wi ksza wra liwoêç na zachodzàce zmiany. Przedmiotem ocen by y równie analizy przydatnoêci tego sposobu monitorowania zmian uszkodzeniowych elementów maszyn i urzàdzeƒ odlewniczych [15]. Analizowano przydatnoêç trajektorii fazowych do diagnostyki p kni ç: p yty wspornikowej (a dok adnie, zmiany d ugoêci spoiny), p kni ç wa u o ró nej g bokoêci i lokalizacji czy ubytku materia u belki na okreêlonych d ugoêciach jej przekroju. Ilustrujàce je rezultaty przedstawiono na rys. 3 5. Rys. 2. Trajektorie fazowe uszkodzonej belki Rys. 4. Zmiana trajektorii fazowej wa u dla p kni ç o ró nej g bokoêci Rys. 3. Trajektorie fazowe p kni tej p yty wspornikowej Rys. 5. Trajektorie fazowe belki przy odcinkowo zmniejszonym przekroju 46
Przedmiotem analiz by y równie badania przydatnoêci trajektorii fazowych w ocenach zmian uszkodzeniowych prowadników, w urzàdzeniach wyciàgowych kopalƒ. Ich wyniki aplikacyjnie obiecujàce dla praktyki sà opisane w pracy [16]. Podsumowanie W artykule nakreêlono nowà ide badawczà dedykowanà konstrukcji systemów monitorujàcych zmiany stanów maszyn, urzàdzeƒ, konstrukcji. OkreÊlajàce jej realizacj podejêcie metodyczne zwiàzano z procedurami analizy statecznoêci technicznej nadzorowanego obiektu. W sposób Êcis y wià à one realizowane rozpoznania z zmianami stanu dynamicznego monitorowanego obiektu, wywo anymi zmianami jego parametrów konstrukcyjnych i eksploatacyjnych, co nadaje mu walor uniwersalnoêci. Wiele problemów zwiàzanych z budowà algorytmów testujàcych statecznoêç technicznà monitorowanej dynamiki nadzorowanego obiektu pozostaje niezbadanych i stanowi interesujàcy nowy obszar badawczy. Jak wykaza y wst pne badania zwiàzane z zaproponowanà metodykà potrzeba kontroli zmian trajektorii fazowych wydaje si bardzo istotna. To rozwiàzanie mo e okazaç si jednym z wa niejszych w procesie Êledzenia rozwoju uszkodzeƒ monitorowanego obiektu i byç jego g ównym wyró nikiem. Jest ono atwo adaptowalne do zastosowaƒ praktycznych. Nie filtruje efektów nieliniowych i zjawisk zmian struktury cz stotliwoêciowej monitorowanych sygna ów diagnostycznych, zwiàzanych z rozwojem uszkodzeƒ, co mo e byç jego szczególnà zaletà. Mimo e wiele zasygnalizowanych problemów nie zosta o do koƒca wyjaênionych, autor ma nadziej, e wskazana idea badawcza b dzie rozwijana, a jej rezultaty pozwolà na opracowanie skuteczniejszej regu y monitorowania zmian stanu: maszyn, konstrukcji i urzàdzeƒ. LITERATURA 1. Diagnostyka maszyn: Zasady ogólne. Przyk ady zastosowaƒ. [Pod red. C. Cempela, F. Tomaszewskiego] Wyd. Mi dzyresortowe Centrum Naukowe Eksploatacji Majàtku Trwa ego, Radom 1992. 2. Banek T., Batko W.: Time Estimation of Disturbance Occurrences in Monitoring Systems. Zeitschrift f. angew. Math. u. Mech. (ZAMM), No. 77/1977, pp. 1 8. 3. Banek T., Batko W.: Method of supporting functionals in the estimation of alarm conditions in systems of vibrational monitoring. Mechanika Teoretyczna i Stosowana. Vol. 32, nr 4/1994, ss. 931 944. 4. Batko W.: Optimale Filterung in Schwingungsueberwachungssystemen von Gleitlager. Proc. IX World Congress on the Theory of Machines and Mechanisms. IFToMM Politecnico Milano. Vol. 2, 1995, pp. 1006 1010. 5. Bogusz W.: StatecznoÊç techniczna. PWN, Warszawa 1972. 6. Demidowicz B. P.: Matematyczna teoria stabilnoêci. WNT, Warszawa 1972. 7. Mitkowski W.: Stabilizacja systemów dynamicznych. WNT, Warszawa 1991. 8. Batko W.: Technical stability a new modelling perspective for building solutions of monitoring systems for machinery state. (z o ony do druku w redakcji czasopisma Zagadnienia Eksploatacji Maszyn ). 9. La Sale J. P., Lefschetz S.: Zarys teorii stabilnoêci Lapunowa i jego metody bezpoêredniej. PWN, Warszawa 1966. 10. Gurel O., Lapidus L.: A Guide to the generation of Lyapunov function. J. Ind. and E. Chem. Vol. 61, No. 3/1969, pp. 30 41. 11. Bogusz W.: A two tensor method for investigation nonlinear systems. Procedings of Vibration Problems. No. 3/1961, p. 2. 12. Wa ewski T.: Sur un principe topologique de l examen de l allure asymptotiquede integrals de equations differentieles ordinaries. Ann. Soc. Polon. Math. No. 20/1947. 13. Batko W., Majkut L.:Damage identification in prestressed structures using phase trajectories (z o ony do druku w czasopiêmie Diagnostyka ). 14. Batko W., Majkut L.: The phase trajectories as the new diagnosticdiscriminates of foundry machines and devices usability. Archives of Metallurgy and Materials. Vol. 52, 2007, pp. 1 6. 15. Batko W., Majkut L., Mikulski A.: Analiza przydatnoêci trajektorii fazowych w diagnozowaniu uszkodzeƒ prowadników szybowych (artyku w redakcji). 16. Barbasin E. A.: O postroenii funkcii Lapunova. Differencjalnye uravnenija, Vol. 4, No. 12/1968, pp. 2127 2158. 47