Szeregowanie prac przygotowawczych w kopalni algorytmy symulacyjne

GOSPODARKA SUROWCAMI MINERALNYMI Tom 24 2008 Zeszyt 3/3 LIDIA DUTKIEWICZ*, EDYTA KUCHARSKA*, MARTA KRASZEWSKA** Szeregowanie prac przygotowawczych w kopalni algorytmy symulacyjne Wprowadzenie W wiêkszoœci przypadków rzeczywiste problemy optymalizacji s¹ problemami trudnymi do rozwi¹zania. Bardzo czêsto nale ¹ do klasy problemów NP-trudnych. Dla problemów tych nie istniej¹ algorytmy dok³adne o wielomianowej z³o onoœci obliczeniowej. Co wiêcej, zdarza siê, e specyficzne w³aœciwoœci problemu uniemo liwiaj¹ u ycie wiêkszoœci ze znanych metod przybli onych. W takich przypadkach mo na zastosowaæ podejœcie oparte na symulacji i wykorzystuj¹ce model algebraiczno-logiczny. Na jego podstawie mo na stworzyæ zarówno algorytmy dok³adne jak i efektywne algorytmy przybli one. Celem artyku³u jest przedstawienie idei ogólnego schematu modelu algebraiczno-logicznego oraz mo liwoœci jego zastosowania w optymalizacji problemów decyzyjnych. Jest to model w przestrzeni stanów, który odpowiada pewnej formalnej postaci wieloetapowego procesu decyzyjnego po³¹czonego z symulacj¹ dyskretnego procesu. Formalny opis problemu w postaci modelu algebraiczno-logicznego umo liwia analizê jego matematycznych w³asnoœci i jednoczeœnie stanowi pewien sposób reprezentacji wiedzy o problemie. Aby przedstawiæ dany problem w postaci modelu algebraiczno-logicznego nale y okreœliæ postaæ stanu systemu, zbiory stanów docelowych oraz stanów niedopuszczalnych, zdefiniowaæ postaæ decyzji, zbiór decyzji mo liwych do podjêcia w poszczególnych stanach oraz zbiór decyzji dopuszczalnych, a tak e podaæ elementy sk³adaj¹ce siê na funkcjê przejœcia. * Dr in., ** Mgr in., Wydzia³ Elektrotechniki, Automatyki, Informatyki i Elektroniki AGH, Kraków; e-mail: lidia@agh.edu.pl

80 Model algebraiczno-logiczny znajduje zastosowanie przede wszystkim w rozwi¹zywaniu skomplikowanych problemów, w których nie da siê ustaliæ aprioriskutków podejmowanych decyzji i konieczna jest symulacja procesu. Mo liwe jest zastosowanie modelu i opartych na nim algorytmów w systemach, w których warunki zmieniaj¹ siê dynamicznie (np. mog¹ wyst¹piæ awarie czy te czasowe zmiany w dostêpnoœci zasobów), co w rzeczywistych systemach zdarza siê czêsto. Przy korzystaniu z modelu algebraiczno-logicznego zmiany takie zazwyczaj da siê uwzglêdniæ modyfikuj¹c bezpoœrednio wartoœci niektórych parametrów modelu. Mo liwe jest to nawet w trakcie generowania trajektorii procesu, bez koniecznoœci dostosowywania algorytmu. Zaproponowane podejœcie mo na zastosowaæ w optymalizacji procesów decyzyjnych zwi¹zanych z ró nymi ga³êziami gospodarki, w szczególnoœci w szeregowaniu prac w kopalniach podziemnych. W dalszej czêœci artyku³u przedstawiono model algebraiczno-logiczny oraz oparte na nim algorytmy symulacyjne dla problemu decyzyjnego zwi¹zanego z prowadzeniem prac przygotowawczych przed eksploatacj¹ z³o a. Niniejszy artyku³ nawi¹zuje do badañ przedstawionych w (Dudek-Dyduch 2000). Natomiast inne podejœcia do rozwi¹zywania problemu optymalizacji prac przygotowawczych zawarte s¹ m.in. w (Duda 1980; Dudek-Dyduch, Duda 1982). 1. Schemat modelu algebraiczno-logicznego Ogólny schemat modelu algebraiczno-logicznego zaproponowany zosta³ w (Dudek- -Dyduch 1990). Schemat ten powsta³ na podstawie metody logiczno-algebraicznej, wprowadzonej przez Z. Bubnickiego (1990). Istot¹ modeli algebraiczno-logicznych jest fakt, e zarówno wspó³rzêdne stanu, jak i decyzje (sterowania) mog¹ byæ zmiennymi indywiduowymi lub zmiennymi wy szego rzêdu. Funkcja przejœcia i ograniczenia mog¹ natomiast byæ zdefiniowane zarówno za pomoc¹ zale noœci algebraicznych jak i logicznych. Model algebraiczno-logiczny stanowi równoczeœnie formalny model procesu symulacyjnego, którego celem jest wyznaczanie ci¹gu decyzji. Jeœli przyjmiemy oznaczenia: X zbiór stanów w³aœciwych, T R+ podzbiór nieujemnych liczb rzeczywistych reprezentuj¹cych chwile czasowe, S = X T zbiór stanów uogólnionych, U zbiór decyzji, to model mo na zdefiniowaæ jako czwórkê P =(s 0, f, S N, S G ) (1) gdzie: s 0 =(x 0,t 0 ),s 0 S uogólniony stan pocz¹tkowy, f: U S S funkcja czêœciowa (a wiêc okreœlona tylko dla pewnych par (u,s) U S), zwana funkcj¹ przejœcia, S N S zbiór uogólnionych stanów niedopuszczalnych, S G S niepusty zbiór uogólnionych stanów docelowych.

81 Funkcja przejœcia jest zdefiniowana przy pomocy dwóch funkcji f =(f x,f t ), gdzie: f x : U X T X okreœla nastêpny stan w³aœciwy, f t : U X T T okreœla nastêpny moment czasu i spe³nia nastêpuj¹cy warunek: t = f t (u,x,t) t ma wartoœæ dodatni¹ i skoñczon¹. Zbiór stanów docelowych S G stanowi niepusty zbiór uogólnionych stanów koñcowych, czyli stanów, w których proces powinien siê znaleÿæ w wyniku dzia³ania w³aœciwych decyzji (sterowañ). Natomiast pewne istniej¹ce w systemie ograniczenia dotycz¹ce zarówno czasu jak i zasobów uwzglêdniane s¹ w modelu poprzez definicjê zbioru S N uogólnionych stanów niedopuszczalnych. Zdefiniowanie funkcji przejœcia jako funkcji czêœciowej pozwala na uwzglêdnienie wszystkich ograniczeñ dotycz¹cych decyzji steruj¹cych za pomoc¹ tzw. zbiorów sterowañ mo liwych w stanie s, oznaczonych U p (s). Jeœli decyzja u jest mo liwa (sensowna) w stanie s, to funkcja przejœcia jest okreœlona dla tej pary (u,s). W przeciwnym wypadku nie jest okreœlona. Ograniczenia dotycz¹ce stanów uogólnionych definiuj¹ce S N mo na równie uwzglêdniæ za pomoc¹ zbiorów sterowañ dopuszczalnych w stanie s, oznaczonych U d (s). Na podstawie modelu algebraiczno-logicznego generowana jest trajektoria procesu. Generowanie to przebiega nastêpuj¹co. W ka dym nowo wyznaczonym stanie symulowanego procesu podejmowana jest decyzja, wybierana spoœród decyzji mo liwych (sensownych) dla danego stanu. Nastêpnie dla rozwa anego stanu i wybranej decyzji wyznaczany nastêpny stan procesu oraz odpowiadaj¹cy mu moment czasu. Oblicza siê je korzystaj¹c z funkcji przejœcia procesu. Jeœli wyznaczony stan nale y do zbioru stanów docelowych procesu, przebieg symulacji jest zakoñczony pomyœlnie i mo na dokonaæ oceny wygenerowanej trajektorii. Jeœli natomiast stan i zwi¹zany z nim czas nie spe³niaj¹ warunków ograniczaj¹cych, to znajduje siê on w zbiorze tzw. stanów niedopuszczalnych i symulacja procesu jest przerywana. Zadanie poszukiwania rozwi¹zania dopuszczalnego problemu opartego na modelu algebraiczno-logicznym polega na znalezieniu ci¹gu decyzji wyznaczaj¹cego trajektoriê dopuszczaln¹. Natomiast zadanie optymalizacji sterowania procesem polega na znalezieniu takiego ci¹gu decyzji dopuszczalnych, który ekstremalizuje przyjête kryterium jakoœci. Wyznaczenie trajektorii jest równowa ne ze znalezieniem drogi w grafie stanów uogólnionych ³¹cz¹cej stan pocz¹tkowy s 0 =(x 0,t 0 ) ze zbiorem stanów koñcowych, czyli docelowych S G lub niedopuszczalnych S N. Nale y zwróciæ uwagê na fakt, e graf stanów uogólnionych ma strukturê blisk¹ struktury drzewa. Wynika to st¹d, e nawet je eli dla dwóch stanów uogólnionych s 1 =(x,t 1 )is 2 =(x,t 2 ) stan w³aœciwy x jest taki sam, to stan uogólniony bêdzie ró ny, jeœli istnieje nawet bardzo ma³a ró nica pomiêdzy t 1 i t 2. 2. Algorytmy optymalizacji Model algebraiczno-logiczny stanowi podstawê do tworzenia algorytmów optymalizacji procesów decyzyjnych. Proponowane podejœcie przeznaczone jest dla skomplikowanych

82 problemów, dla których nie istniej¹ algorytmy dok³adne daj¹ce rozwi¹zanie w czasie wielomianowym. W takich przypadkach w celu znalezienia rozwi¹zania stosuje siê algorytmy przybli one. G³ównym zadaniem takiego algorytmu jest odpowiedni wybór i podejmowanie decyzji w trakcie symulacji procesu. Dziêki oparciu na formalnym modelu algebraiczno- -logicznym, algorytm pozostaje niezale ny od konkretnego jêzyka programowania i struktury danych. Dodatkowo ze wzglêdu na fakt, e z modelu w prosty sposób mo na pozyskaæ potrzebne informacje, projektowanie i implementacja algorytmów jest w znacznej mierze u³atwiona. Precyzyjne okreœlenie sk³adników systemu zmniejsza nak³ad pracy przy wprowadzaniu ewentualnych modyfikacji w algorytmie czy te nawet przy ca³kowitej zmianie metody optymalizacji. Nie ma bowiem potrzeby korygowania sposobu reprezentacji problemu ani dostosowywania metody symulacji. Ponadto w sytuacji, w której dla tego samego problemu ró ne algorytmy zosta³y oparte na modelu algebraiczno-logicznym, mamy mo - liwoœæ obiektywnego porównania ich efektywnoœci i jakoœci. Projektuj¹c algorytmy optymalizacji mo na zastosowaæ techniki bazuj¹ce na znanych metodach przybli onych lub te stworzyæ specjalizowane podejœcie oparte na charakterystycznych w³aœciwoœciach problemu. Algorytmy przybli one mog¹ generowaæ tylko jedno rozwi¹zanie (trajektoriê procesu) b¹dÿ te wiele rozwi¹zañ i z nich wybieraæ najlepsze. W tym drugim przypadku kolejne trajektorie mog¹ byæ generowane niezale nie albo przy wykorzystaniu informacji uzyskanych na podstawie analizy dotychczas otrzymanych rozwi¹zañ. W szczególnoœci nowe trajektorie mog¹ powstawaæ poprzez poprawianie koñcowych odcinków wczeœniej wygenerowanych trajektorii. Projektuj¹c taki algorytm nale y oczywiœcie ustaliæ regu³y wyboru tego stanu procesu, od którego bêdzie generowana nowa koñcowa czêœæ trajektorii. Niezale nie od iloœci generowanych rozwi¹zañ kluczow¹ spraw¹ jest okreœlenie sposobu podejmowania kolejnych decyzji w trakcie konstruowania bie ¹cej trajektorii. Jednym ze sposobów jest wygenerowanie wszystkich decyzji ze zbioru U p (s) decyzji mo liwych do podjêcia w danym stanie s. Nastêpnie decyzje te s¹ przegl¹dane i za pomoc¹ lokalnych procedur wyboru decyzji wyznaczana jest jedna z nich. Przyk³ad takiej procedury mo na znaleÿæ w (Kucharska, Dutkiewicz 2006). Innym sposobem wyznaczania decyzji w danym stanie jest jej ustalenie na podstawie specjalnie skonstruowanych zasad. W tym przypadku generowana jest tylko jedna z decyzji nale ¹cych do zbioru U p (s) decyzji mo liwych. Zasady wyboru takiej decyzji musz¹ byæ zaprojektowane w odpowiedni sposób tak, aby zapewniæ zarówno dopuszczalnoœæ takich decyzji, jak i odpowiedni¹ jakoœæ tworzonych na ich podstawie rozwi¹zañ. Najczêœciej korzysta siê z ró nego rodzaju regu³ priorytetowych, ale mo na te zastosowaæ w tym celu metodê zadañ zastêpczych. Metoda ta jest now¹ metod¹ rozwi¹zywania skomplikowanych problemów szeregowania i polega na tym, e w ka dym stanie procesu decyzja podejmowana jest na podstawie specjalnie skonstruowanego zastêpczego zadania optymalizacji. Metoda zadañ zastêpczych, opisana na bazie modelu algebraiczno-logicznego, zosta³a przedstawiona w pracy (Dudek-Dyduch, Dutkiewicz 2006). Tak jak wczeœniej podano, do rozwi¹zywania trudnych problemów stosuje siê w³aœciwie wy³¹cznie algorytmy przybli one, niemniej jednak dla przyk³adów o ma³ych rozmiarach

mo na spróbowaæ znaleÿæ rozwi¹zanie dok³adne. Realizowane jest to za pomoc¹ algorytmu przegl¹du zupe³nego, zwykle w celu oszacowania b³êdu metod przybli onych. Stworzenie odpowiedniego algorytmu przegl¹du na podstawie modelu algebraiczno-logicznego zapewnia przebadanie wszystkich mo liwoœci, mamy bowiem do dyspozycji okreœlony w ka - dym stanie s zbiór decyzji mo liwych do podjêcia. Proponowana metodologia ma szczególne zastosowanie w problemach, w których optymalizowane kryterium jest addytywnie separowalne i monotonicznie rosn¹ce. Z tego typu kryterium mamy jednak e do czynienia doœæ czêsto. Przyk³adem mo e byæ minimalizacja ca³kowitego kosztu realizacji prac, która ma miejsce w rozwa anym w niniejszej pracy problemie. Optymalizowany koszt stanowi w tym przypadku sumê kosztów wykonania poszczególnych zadañ i wzrasta wraz z postêpem prac. 83 3. Rozwa any problem Przedstawione podejœcie zosta³o zastosowane do silnie NP-trudnego problemu zwi¹zanego z realizacj¹ prac przygotowawczych w kopalniach podziemnych. Prace te wykonywane s¹ przed przyst¹pieniem do wydobycia surowców (Magda 1999; Ostrihansky 1993). W szczególnoœci realizowana jest sieæ poziomych i pionowych wyrobisk udostêpniaj¹cych, nie maj¹cych kontaktu z powierzchni¹, których zadaniem jest po³¹czenie z³o a kopaliny z szybem. Wyrobiska udostêpniaj¹ce s³u ¹ miêdzy innymi jako drogi transportowe, wentylacyjne, do odprowadzania wody, a tak e drogi doprowadzania energii. Rozwa any w pracy problem dotyczy tej czêœci prac przygotowawczych, które polegaj¹ na wydr¹ eniu sieci poziomych lub zbli onych do poziomych wyrobisk korytarzowych (nazywanych tak e chodnikami). Prace przy dr¹ eniu wyrobisk korytarzowych rozpoczyna urabianie pok³adu, które mo e siê odbywaæ poprzez roboty strzelnicze lub mechanicznie (g³ównie za pomoc¹ kombajnów górniczych). Cech¹ charakterystyczn¹ kombajnów jest to, i musz¹ byæ one transportowane do miejsca, z którego maj¹ rozpocz¹æ kolejne dr¹ enie. W pracy dr¹ eniem chodnika nazywany jest komplet prac koniecznych do wykonania wyrobiska korytarzowego (urabianie pok³adu, za³adowanie i odstawienie urobku, wykonanie obudowy wydr¹ onych wyrobisk korytarzowych). Sieæ wyrobisk korytarzowych musi byæ dr¹ ona w taki sposób, aby zapewniæ udostêpnienie poszczególnych parceli w ¹danym i okreœlonym przez plan eksploatacji czasie oraz umo liwiæ sprawne i terminowe dostawy potrzebnych do eksploatacji materia³ów. Warunkuje to prawid³owy postêp przodków, w³aœciwy poziom bezpieczeñstwa pracy oraz zapewnienie odpowiednich warunków klimatycznych. Z tych wzglêdów dla pewnych chodników mo e byæ okreœlony termin, przed up³ywem którego musz¹ one byæ wydr¹- one. W celu stworzenia formalnego modelu rozwa anego problemu dr¹ enia wyrobisk korytarzowych, nale y sprecyzowaæ szereg ustaleñ dotycz¹cych przyjêtego sposobu wykonywania prac, a tak e trzeba przedstawiæ dane technologiczne maszyn oraz z³o a. Powinno siê

84 równie pokazaæ wystêpuj¹ce zale noœci czasowe. Ponadto trzeba okreœliæ przyjête uproszczenia rzeczywistych warunków. Rzeczywist¹ sieæ chodników reprezentuje nieskierowany graf G =(W,C) gdzie: W zbiór wierzcho³ków grafu, reprezentuj¹cych miejsca krzy owania siê chodników, C zbiór krawêdzi grafu, reprezentuj¹cych chodniki. Dysponujemy nastêpuj¹cymi danymi dla chodnika: numer c, d³ugoœæ dl(c) oraz numery dwóch skrzy owañ, z którymi chodnik siê ³¹czy. Przez w 1 (c) oznaczony jest ten wêze³ chodnika c, w którym maszyna rozpoczyna jego dr¹ enie, zaœ w 2 (c) wêze³, w którym ukoñczy dr¹ enie. Ponadto, dla niektórych chodników narzucony jest nieprzekraczalny czas, w którym dr¹ enie chodnika musi byæ ukoñczone oznaczony jako limit(c). Dr¹ enie chodników wykonywane jest przy wykorzystaniu technologii opartych na dwóch ró nych typach maszyn, odpowiadaj¹cych technice strza³owej oraz kombajnom. Ró ni¹ siê one znacznie prêdkoœci¹ dr¹ enia oraz kosztami eksploatacji, a tak e sposobem transportu. Zbiór maszyn pierwszej technologii M I (kombajny) oraz zbiór maszyn drugiej technologii M II (technika strza³owa) tworz¹ zbiór dostêpnych zasobów produkcyjnych M. Dla obu technologii znane s¹ nastêpuj¹ce parametry pracy: liczba maszyn reprezentuj¹cych dan¹ technologiê, V dr (m) prêdkoœæ dr¹ enia chodnika maszyn¹ m, K dr (m) koszt dr¹ enia oraz K p (m) koszt postoju. W przypadku maszyn pierwszego typu (kombajny) konieczne jest ich przetransportowanie jeœli znajduj¹ siê w innym wêÿle ni ten, z którego maj¹ rozpocz¹æ dr¹ enie kolejnego chodnika. Dodatkowo podana jest wiêc dla nich prêdkoœæ transportu V tr (m) oraz koszt transportu K tr (m). Z powodu bardzo ma³ych wielkoœci czas oraz koszt transportu w przypadku maszyn drugiego typu jest zaniedbywany i przyjmowany jako równy 0. W rozwa anym modelu przyjêto nastêpuj¹ce ograniczenia technologiczne i czasowe sposobu wykonywania prac przygotowawczych: prace rozpoczynaj¹ siê w czasie t 0 =0 w wêÿle nazwanym pocz¹tkowym w 0, a koñcz¹ w momencie wydr¹ enia wszystkich chodników. Chodnik mo e byæ dr¹ ony tylko przez jedn¹ maszynê, dowolnej technologii. Podjête prace w chodniku realizowane s¹ bez przerw. Chodnik, w którym zakoñczono dr¹ enie, mo e s³u yæ jako droga transportowa. Ca³a sieæ chodników znajduje siê w p³aszczyÿnie poziomej, prêdkoœæ dr¹ enia i prêdkoœæ transportu s¹ wiêc sta³e. Nie jest te rozpatrywana mo liwoœæ wyst¹pienia ró nicy w twardoœci ska³ poszczególnych chodników. Po skoñczeniu dr¹ enia danego chodnika przez maszynê, podejmowane s¹ decyzje o przydzieleniu jej do pracy w kolejnym chodniku. W przypadku koniecznoœci przetransportowania maszyny do miejsca, z którego ma rozpocz¹æ dr¹ enie chodnika, nale y wyznaczyæ dla tej maszyny najkrótsz¹ drogê transportu. Droga ta zale y od stanu ca³ego

85 8 21 23 24 25 20 22 24 38 39 17 0 9 14 19 4 5 5 19 20 17 15 1 13 4 7 16 18 12 16 3 6 8 32 22 1 2 6 7 28 21 18 10 3 33 15 34 2 31 12 10 27 35 11 32 31 14 30 11 13 9 38 33 36 63 26 23 28 37 62 29 25 41 35 39 40 34 60 61 26 53 27 43 58 51 59 42 56 52 57 37 36 58 50 65 44 55 64 45 48 40 44 66 46 50 54 67 56 47 49 43 51 48 52 45 49 42 47 53 68 41 46 57 29 30 54 55 Rys. 1. Sieæ wyrobisk korytarzowych i jej reprezentacja grafowa dla przyk³adowej kopalni [11] Fig. 1. A net of drifts (horizontal workings) and its graph representation for exemplary main [11] systemu, poniewa transport mo liwy jest tylko poprzez ukoñczone, czyli ju wydr¹ one wyrobiska (chodniki). Prace musz¹ byæ zaplanowane w taki sposób, aby koszt ca³kowity by³ minimalny oraz dotrzymane zosta³y terminy ukoñczenia pewnych chodników. 4. Model rozwa anego problemu W wyniku przeprowadzonej analizy stan s =(x, t) wykonywania prac przygotowawczych w danej chwili czasu t opisany jest poprzez stan wszystkich maszyn oraz zbiór ukoñczonych chodników. Stan systemu x jest okreœlany nastêpuj¹co: 0 1 2 x ( x, x, x,... x M ) (2) gdzie: x 0 x m zbiór wykonanych chodników w stanie s =(x,t), stan maszyny m, dlam = 1,2,..., M. Stan maszyny m definiowany jest w nastêpuj¹cy sposób: x m ( p, w, ) (3) gdzie: p C {0} numer chodnika przydzielonego maszynie m do dr¹ enia dla p C lub postój maszyny w skrzy owaniu dla p = 0 (maszynie nie zosta³ przydzielony chodnik do dr¹ enia), w W numer skrzy owania (wêz³a), w którym maszyna stoi (gdy nie jest przydzielona do adnego chodnika) lub numer wêz³a, w którym

86 ukoñczy dr¹ enie chodnika c (gdy dr¹ y ten chodnik b¹dÿ bêdzie go dr¹ yæ po dotransportowaniu), [0,) d³ugoœæ drogi jaka zostaje do osi¹gniêcia wêz³a w przez maszynê m (czyli d³ugoœæ pozostaj¹ca do ukoñczenia dr¹ enia danego chodnika c, a w przypadku koniecznoœci transportu maszyny jest to d³ugoœæ pozostaj¹ca do ukoñczenia operacji transportu i wydr¹ enia chodnika c). Zbiór stanów niedopuszczalnych S N jest zbiorem stanów s =(x,t) takich, e czas jest równy lub wiêkszy od czasu krytycznego limit(c) pewnego chodnika c zaœ chodnik ten nie jest wydr¹ ony (x 0 (s) wartoœæ wspó³rzêdnej x 0 wstanies): S { s( x, t): cx ( s) limit ( c) t} (4) N cc Zbiór stanów docelowych S G jest zbiorem wszystkich stanów s =(x,t), dla których proces prac przygotowawczych zosta³ zakoñczony (czyli wszystkie chodniki zosta³y wydr¹ one i dla adnego nie zosta³ przekroczony jego czas krytyczny): 0 0 S { s( x, t): ss cx ( s)} (5) G W danym stanie s =(x,t) podejmowana jest decyzja, na podstawie której system przeprowadzany jest do nastêpnego stanu. Dla podkreœlenia, e dana decyzja podejmowana jest wstanies u ywane bêd¹ w dalszej czêœci pracy oznaczenia u(s) orazu(x,t). Decyzja u jest M elementowym ci¹giem u =(u 1,u 2,...,u M ), gdzie kolejne wspó³rzêdne u oznaczaj¹ odrêbne decyzje dla poszczególnych maszyn. Wspó³rzêdna u m C {0}c jest decyzj¹ dotycz¹ca maszyny m i oznacza: dla u m =c podjêcie realizacji zadania wydr¹ enia chodnika przez maszynê m. W wyniku podjêcia takiej decyzji maszyna jest transportowana z aktualnego miejsca postoju do tego wêz³a chodnika c, do którego w stanie s prowadzi najkrótsza droga transportowa; dla u m =0 kontynuacjê dotychczasowego dzia³ania maszyny (dalsze dr¹ enie wraz z ewentualnym transportem lub dalszy postój). Wyznaczona decyzja u(x,t) musi nale eæ do zbioru decyzji mo liwych (sensownych) U p (s) =U p (x,t). Jest on generowany przy nastêpuj¹cych za³o eniach: maszynie, która nie ma przydzielonego chodnika i stoi w wêÿle w mo na przydzieliæ do dr¹ enia dostêpny chodnik lub postanowiæ, e bêdzie kontynuowa³a postój, maszynie, która ma wczeœniej przydzielony chodnik i aktualnie go dr¹ y lub jest do niego transportowana mo na jedynie nakazaæ kontynuacjê dotychczasowego dzia³ania, aden chodnik nie mo e byæ przydzielony do dr¹ enia wiêcej ni jednej maszynie. Je eli decyzja u =(u 1,u 2,...,u M ) przeprowadza stan s =(x,t) do zbioru S N,tzn.wwyniku podjêtej decyzji przekroczony zostaje limit(c) dla któregoœ chodnika, to jest to decyzja niedopuszczalna. N cc

Zbiór decyzji dopuszczalnych U d (s) wstanies =(x,t) jest zdefiniowany nastêpuj¹co: U () s { uu (): s s f(,) u s S } (6) d p N Kolejno podjête decyzje tworz¹ ci¹g decyzyjny, gdzie z+1jest liczb¹ podjêtych decyzji. Ci¹g decyzyjny wyznacza jednoznacznie jedn¹ z trajektorii systemu. Na podstawie aktualnego stanu s =(x,t) i decyzji u podjêtej w tym stanie, generowany jest, przy pomocy funkcji przejœcia f, nastêpny stan s =(x,t) = f(u,x,t). Funkcja przejœcia okreœlana jest dla ka dej mo liwej decyzji u(s) U p (s). Zdefiniowana jest przy pomocy dwóch funkcji f =(f x,f t ), gdzie f x okreœla nastêpny stan w³aœciwy, a f t okreœla nastêpny moment czasu. W pierwszej kolejnoœci wyznaczany jest moment t wyst¹pienia nastêpnego stanu, czyli najbli szy moment, w którym co najmniej jedna maszyna zakoñczy dr¹ enie chodnika. Dla ka dej maszyny jest wiêc obliczany niezbêdny na zrealizowanie podjêtej dla niej decyzji czas wykonania t m. Nastêpny stan wyst¹pi w zwi¹zku z tym w momencie t =t+t, gdzie: 87 t min t m12,,..., M m (7) Znaj¹c moment wyst¹pienia nastêpnego stanu t mo na wyznaczyæ stan w³aœciwy procesu w tym czasie. W wyniku zakoñczenia dr¹ enia zbiór ukoñczonych chodników zostaje powiêkszony o chodniki, których dr¹ enie zakoñczy³o siê do czasu t. Pierwsza wspó³rzêdna stanu w³aœciwego zmienia siê wiêc w nastêpuj¹cy sposób: 0 x 0 x m { c: x ( s) ( p,, ) p c t t} mm m (8) Nastêpnie wyznaczane s¹ wartoœci kolejnych wspó³rzêdnych, reprezentuj¹cych stany m m maszyn: x ( s ) fx ( u, x ( s), t) ( p,, ), dla m = 1,2,..., M. 1) dla decyzji oznaczaj¹cej kontynuacjê dzia³ania maszyny u m =0 pdla tm t (9) p 0dla tm t max ( dlc ( ), 0) max ( dl( c), 0 Vtr ( m) min, t Vdr max t Vtr ( m), 0 m M Vtr ( m) dla Vdr ( m) t dla mm I II 2) dla decyzji oznaczaj¹cej przydzielenie maszynie nowego zadania u m =c

88 cdla tm t (10) p 0dla tm t dl(*( r m, c)) dl(*( r m, c)) dl() c Vtr ( m) min, t Vdr ( m) max t Vtr ( m) dl(*( r m, c)), 0 Vtr ( m) dla mmi dl( c) Vdr ( m) t dla mm II gdzie dl(*( r m, c)) d³ugoœæ najkrótszej drogi transportowej do chodnika c. 5. Badania symulacyjne Dla rozwa anego problemu opracowano szereg algorytmów opartych na modelu algebraiczno-logicznym. Algorytmy te podzielono na dwie grupy. Pierwsza grupa zawiera algorytmy generuj¹ce pojedyncze ca³e trajektorie. Do ich konstrukcji wykorzystano optymalizacjê lokaln¹. W bie ¹cym stanie wybierana jest najlepsza decyzja na podstawie specjalnie skonstruowanej funkcji (kryterium lokalnego), która analizuje aktualny stan sytemu i szacuje przyrost kryterium globalnego na koñcowym odcinku trajektorii. Postaæ kryterium jest nastêpuj¹ca: quxt (,, ) Quxt (,, ) Quxt (,, ) a1 Euxt (,, ) b1 F1 ( ux,, t) b2 F2 ( u, x, t) (11) gdzie: Q (u,x,t) przyrost ca³kowitego kosztu prac w wyniku podjêtej decyzji u, Quxt (,, ) oszacowanie wartoœci kosztu dokoñczenia wykonania sieci chodników odpowiadaj¹cego koñcowemu odcinkowi trajektorii po zrealizowaniu decyzji u, E(u,x,t) sk³adnik kryterium zwi¹zany z koniecznoœci¹ omijania przez trajektoriê stanów zbioru S N, czyli takich stanów, w których przekroczony zosta³ dla chodników termin krytyczny, F 1 (u,x,t) sk³adnik kryterium zwi¹zany z preferowaniem decyzji, które powoduj¹ zaanga owanie wszystkich maszyn do dr¹ enia przez wiêksz¹ czêœæ czasu wykonywania ca³oœci prac, F 2 (u,x,t) sk³adnik kryterium zwi¹zany z preferowaniem decyzji, które powoduj¹ przydzielanie do dr¹ enia tylko najtañszych maszyn w przypadku, gdy wydr¹ one s¹ ju wszystkie chodniki z terminami krytycznymi,

89 a 1 wspó³czynnik okreœlaj¹cy wagê sk³adnika E(u,x,t), b 1 wspó³czynnik okreœlaj¹cy wagê sk³adnika F 1 (u,x,t), b 2 wspó³czynnik okreœlaj¹cy wagê sk³adnika F 2 (u,x,t). Zadanie optymalizacji lokalnej polega na wybraniu takiej decyzji u* spoœród wszystkich decyzji mo liwych w danym stanie s, aby nastêpowa³a minimalizacja wartoœci kryterium lokalnego o podanej postaci. W tym celu nale y wygenerowaæ i sprawdziæ ca³y zbiór U p (s) mo liwych decyzji w rozwa anym stanie. Poszczególne algorytmy pierwszej grupy ró ni¹ siê postaciami poszczególnych sk³adników kryterium lokalnego. W dalszej czêœci oznaczone s¹ jako algorytmy A1-A7. Druga grupa zawiera algorytmy generuj¹ce wiele trajektorii, w szczególnoœci wykorzystuj¹ce mo liwoœæ poprawy danego rozwi¹zania poprzez zmiany koñcowych czêœci trajektorii. Ich konstrukcja polega na tym, e wybierana jest odpowiednia postaæ kryterium optymalizacji lokalnej oraz sposób wyboru stanu, od którego generowany bêdzie koñcowy odcinek trajektorii. W proponowanym rozwi¹zaniu z ka dym stanem zwi¹zany jest pewien zestaw atrybutów, które œciœle zale ¹ od rozpatrywanego problemu. Postaci tych atrybutów okreœlane s¹ na podstawie wiedzy uzyskanej w trakcie analizy problemu oraz pewnych obserwacji i intuicji projektanta. Generowanie koñcowego odcinka trajektorii rozpoczynane jest od takiego z dotychczas wygenerowanych stanów, dla którego wartoœæ wybranego atrybutu jest najlepsza (minimalna lub maksymalna). Dla rozwa anego problemu zdefiniowano zestaw piêciu takich atrybutów, które pos³u- y³y do wyboru stanu. W pierwszym wybierany jest stan, dla którego stosunek kosztu wykonania prac dla pocz¹tkowego odcinka trajektorii przez ³¹czn¹ d³ugoœæ wydr¹ onych chodników do tej pory jest najmniejszy. W drugim wybierany jest stan, dla którego stosunek kosztu wykonania prac dla pocz¹tkowego odcinka trajektorii przez czas dla danego stanu, jest najmniejszy. W trzecim wybierany jest stan, dla którego stosunek ³¹cznej d³ugoœci wydr¹ onych chodników do tej pory przez czas dla danego stanu jest najmniejszy. W czwartym wybierany jest stan, dla którego minimalna wartoœæ zapasu czasu dla niewydr¹ onych zadañ z okreœlonym terminem krytycznym jest najwiêksza. Natomiast w pi¹tym przypadku wybierany jest stan, dla którego stosunek minimalna wartoœæ zapasu czasu dla niewydr¹ onych zadañ z okreœlonym terminem krytycznym do ³¹cznej d³ugoœci wydr¹ onych chodników do tej pory jest najwiêkszy. Dla sprawdzenia skutecznoœci zaproponowanego podejœcia przeprowadzone zosta³y eksperymenty komputerowe. Obliczenia prowadzone by³y na komputerach klasy Pentium IV. Badania wykonano na zestawie kilkunastu sieci wyrobisk korytarzowych. Ka da sieæ wyrobisk reprezentowana jest przez graf p³aski, w którym stopieñ wierzcho³ków wynosi od 1 do 4. Iloœæ wyrobisk z okreœlonymi terminami krytycznymi stanowi oko³o 25% iloœci wszystkich wyrobisk. Przebadano algorytmu generuj¹ce pojedyncze ca³e trajektorie oraz algorytmy generuj¹ce wiele trajektorii. Aby okreœliæ jakoœæ rozwi¹zañ uzyskiwanych za pomoc¹ proponowanych algorytmów, stworzono algorytm przegl¹du zupe³nego oparty na modelu algebraiczno-logicznym. Za

90 jego pomoc¹ znaleziono rozwi¹zanie optymalne dla jednej z rozwa anych sieci (oznaczonej jako GI-2). Przy przyjêtych w eksperymentach prêdkoœciach oraz kosztach eksploatacji maszyn, znaleziony dla tej sieci koszt optymalny wynosi 16 524,40 jednostek. Wyznaczony on zosta³ w czasie 43 h3min59s.dlapozosta³ychsieciobliczenia by³y przerywane po przesz³o 2 dobach i tylko w kilku przypadkach uzyskano trajektorie dopuszczalne. Dlatego te poni ej prezentowane s¹ wyniki tylko dla sieci, dla której uzyskano rozwi¹zanie dok³adne, czyli sieci GI-2. W celu sprawdzenia efektywnoœci algorytmów generuj¹cych pojedyncz¹ ca³¹ trajektoriê, dla danej sieci i danego algorytmu skonstruowano kilkadziesi¹t trajektorii przy zmieniaj¹cych siê wartoœciach wspó³czynników odpowiadaj¹cych za wagê poszczególnych sk³adników w kryterium lokalnym. W tabeli 1 podano najlepsze znalezione przez kolejne algorytmy wartoœci kosztu ca³kowitego. Podano równie wartoœci b³êdu wzglêdnego liczonego wzglêdem kosztu optymalnego dla sieci GI-2, czyli 16 524,40 jednostek. Podkreœliæ nale y, e dla zaproponowanych algorytmów czas zadanych obliczeñ nie przekroczy³ 1s dla mniejszych sieci (w tym dla sieci GI-2), a 5s dla du ych sieci. Wyniki zastosowania algorytmów pierwszej grupy dla sieci GI-2 Results for net GI-2 given by algorithms from first group TABELA 1 TABLE 1 Algorytm A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 Najlepszy znaleziony koszt ca³kowity 17 284,1 16 790,6 16 848,5 16 811,2 16 748,2 16 855,2 16 792,2 B³¹d wzglêdny (procentowy) 4,6% 1,6% 1,9% 1,7% 1,3% 2% 1,6% Nastêpnie przebadano algorytmy generuj¹ce wiele trajektorii, wykorzystuj¹ce mo liwoœæ poprawy uzyskanego rozwi¹zania poprzez zmiany koñcowych czêœci trajektorii. W tym celu dla sieci przeprowadzono symulacjê polegaj¹c¹ na skonstruowaniu 40 trajektorii (lub koñcowych odcinków trajektorii) przy zastosowania konkretnego kryterium lokalnego wyboru decyzji oraz kolejnego z podanego wczeœniej zestawu sposobu wyboru stanu, od którego generowany jest koñcowy odcinek trajektorii. W szczególnoœci algorytmy B1-B5 wykorzystuj¹ tak¹ sam¹ postaæ kryterium lokalnego jak algorytm A1, algorytmy B6-B10 jak algorytm A5, natomiast algorytmy B11-B15 jak algorytm A7. Wspó³czynniki sk³adników w kryterium lokalnym zosta³y dobrane na podstawie wyników uzyskanych dla algorytmów pierwszej grupy. W tabeli 2 podano wartoœæ najlepszego uzyskanego kosztu dla ka dego z algorytmów oraz wartoœæ b³êdu wzglêdnego (procentowego). Czas obliczeñ w przypadku tych algorytmów nie przekracza³ 10 s. Na podstawie uzyskanych wyników eksperymentów mo na stwierdziæ, e algorytmy oparte na modelu algebraiczno-logicznym znajduj¹ rozwi¹zanie z doœæ dobrym przybli- eniem. Jak pokazano w tabelach wzglêdny b³¹d w przypadku rozwa anej sieci nie by³ wiêkszy ni 4,6%, a w przewa aj¹cej iloœci wynosi³ w okolicach 1,5%. W wyniku zastosowania algorytmów drugiej grupy o ustalonej postaci kryterium lokalnego, uzyskiwane

rezultaty s¹ lepsze ni dla algorytmów grupy pierwszej z tak¹ sam¹ postaci¹ kryterium. Nale y podkreœliæ, e mo liwe jest uzyskanie jeszcze lepszych rezultatów w przypadku opracowania i zastosowania pomocniczych algorytmów doboru wartoœci wspó³czynników w kryterium lokalnym. Algorytm Koszt ca³kowity Wyniki zastosowania algorytmów drugiej grupy dla sieci GI-2 Results for net GI-2 given by algorithms from second group B³¹d wzglêdny Algorytm Koszt ca³kowity B³¹d wzglêdny Algorytm Koszt ca³kowity TABELA 2 TABLE 2 B³¹d wzglêdny B1 17 284,10 4,6% B6 16 653,70 0,8% B11 16 780,80 1,5% B2 17 284,10 4,6% B7 16 748,20 1,3% B12 16 780,80 1,5% B3 17 139,70 3,7% B8 16 748,20 1,3% B13 16 792,20 1,6% B4 17 202,00 4,1% B9 16 748,20 1,3% B14 16 766,00 1,4% B5 17 023,40 3% B10 16 748,20 1,3% B15 16 766,00 1,4% 91 Podsumowanie W artykule przedstawiono ideê ogólnego schematu modelu algebraiczno-logicznego oraz mo liwoœci zastosowania tego modelu w optymalizacji problemów decyzyjnych. Metody oparte na modelu algebraiczno-logicznym mog¹ byæ z powodzeniem zastosowane do ró nych problemów decyzyjnych, w szczególnoœci do rozwi¹zywania rozwa anego w pracy problemu dr¹ enia wyrobisk korytarzowych. Przedstawione wyniki eksperymentów wykazuj¹ du ¹ efektywnoœæ algorytmów bazuj¹cych na proponowanym podejœciu. LITERATURA Bubnicki Z.,1990 Wstêp do systemów ekspertowych. Warszawa, PWN. D u d a J., 1980 Optymalizacja planów prowadzenia robót przygotowawczych w kopalniach wêgla kamiennego. Zesz. Nauk. AGH, Elektryfikacja i Mechanizacja Górnictwa i Hutnictwa nr 818. D u d e k - D y d u c h E., 1990 Formalizacja i analiza problematyki dyskretnych procesów produkcyjnych. Kraków, Zesz. Nauk. AGH, s. Automatyka z. 54. D u d e k - D y d u c h E., 2000 Learning based algorithm in scheduling. Cluver Academic Publishers. Journal of Intelligent Manufacturing (JIM), vol. 11, no 2, 135 143. D u d e k - D y d u c h E., D u d a J. 1982 Ewolucyjna metoda planowania robót przygotowawczych w kopalniach podziemnych. Kraków, Zesz. Nauk. AGH nr 928, Automatyka z. 32. Dudek-Dyduch E., Dutkiewicz L., 2006 Metoda zadañ zastêpczych do rozwi¹zywania NP-trudnych problemów szeregowania. Gliwice, Wydawnictwo PŒ. D u d e k - D y d u c h E., D u t k i e w i c z L., K u c h a r s k a E., 2004 Model algebraiczno-logiczny szeregowania zadañ z uwzglêdnieniem transportu maszyn. Kraków, Zesz. Nauk. AGH, s. Automatyka t. 8, z. 3, s. 553 562.

92 Kucharska E., Dutkiewicz L., 2006 Klasa algorytmów heurystycznych dla zagadnienia szeregowania zadañ na maszynach z przezbrojeniami. Kraków, Zesz. Nauk. AGH, s. Automatyka t. 10, z. 3, s. 531 541. M a g d a R., 1999 Modelowanie i optymalizacja elementów kopalñ. Kraków, Instytut Gospodarki Surowcami Mineralnymi i Energi¹ PAN. O s t r i h a n s k y R., 1993 Eksploatacja podziemna z³ó wêgla kamiennego. Gliwice, Politechnika Œl¹ska, Skrypt Uczelniany nr 1725. http://www.batmanagement.com/projects/canoe%20creek%20map/canoecreek.html SZEREGOWANIE PRAC PRZYGOTOWAWCZYCH W KOPALNI ALGORYTMY SYMULACYJNE S³owa kluczowe Model algebraiczno-logiczny, proces decyzyjny, optymalizacja lokalna, symulacja dyskretna Streszczenie W wiêkszoœci przypadków rzeczywiste problemy optymalizacji s¹ problemami trudnymi do rozwi¹zania. Bardzo czêsto nale ¹ do klasy problemów NP-trudnych. Jednym z takich problemów jest znalezienie optymalnego uszeregowania prac przygotowawczych w kopalniach. Dla tego problemu nie istniej¹ algorytmy dok³adne o wielomianowej z³o onoœci obliczeniowej. Co wiêcej, specyficzne w³asnoœci tego problemu wykluczaj¹ u ycie wiêkszoœci ze znanych metod przybli onych. Zastosowano wobec tego podejœcie oparte na symulacji i wykorzystuj¹ce model algebraiczno-logiczny. Na jego podstawie stworzone zosta³y algorytmy optymalizuj¹ce rozwa any problem i przeprowadzone zosta³y badania symulacyjne. Wyniki eksperymentów zosta³y przedstawione w artykule. Celem artyku³u jest przedstawienie idei ogólnego schematu modelu algebraiczno-logicznego oraz mo liwoœci jego zastosowania w optymalizacji problemów decyzyjnych. Jest to model w przestrzeni stanów, który odpowiada pewnej formalnej postaci wieloetapowego procesu decyzyjnego po³¹czonego z symulacj¹ dyskretnego procesu. Formalny opis problemu w postaci modelu algebraiczno-logicznego umo liwia analizê jego matematycznych w³asnoœci i stanowi równoczeœnie pewien sposób reprezentacji wiedzy o problemie. Aby przedstawiæ dany problem w postaci modelu algebraiczno-logicznego nale y okreœliæ postaæ stanu systemu, zbiory stanów docelowych oraz stanów niedopuszczalnych, zdefiniowaæ postaæ decyzji, zbiór decyzji mo liwych do podjêcia w poszczególnych stanach oraz zbiór decyzji dopuszczalnych, a tak e podaæ elementy sk³adaj¹ce siê na funkcjê przejœcia. Model algebraiczno-logiczny znajduje zastosowanie przede wszystkim w rozwi¹zywaniu skomplikowanych problemów, dla których nie da siê ustaliæ a priori skutków podejmowanych decyzji i konieczna jest symulacja procesu. Stanowi on podstawê do tworzenia algorytmów optymalizacji procesów decyzyjnych pozostaj¹c niezale nym od konkretnego jêzyka programowania i struktury danych. SCHEDULING OF PREPARATORY WORK IN MINE SIMULATION ALGORITHMS Key words Algebraic-logical model, decision process, local optimization, discrete simulation Abstract In the most cases real optimization problems are very difficult to solve. Mostly they are NP-hard problems. One of such problems is presented in the article. This example problem is connected with scheduling of preparatory work in mines. For this problem there are no exact algorithm using a polynomial amount of computation time. Moreover, specific features of the problem exclude many known optimization methods. Therefore to solve this

problem there was applied an approach based on simulation of the process and using an algebraic-logical model. On this basis, optimization algorithms are built and used for the considered problem. Results of computer experiments are presented in the article. The aim of the paper is to present an idea of an algebraic-logical model and its usefulness in optimization of decision problems. The model uses state space representation and corresponds to a formal representation of a multistage decision process connected with simulation of a discrete process. This formal representation of the problem allows to analyze its mathematical features and is some kind of repository of knowledge about it. To build the algebraic-logical model of the problem one should specify: a state of the system, a set of goal states, a set of not-admissible states, a notion of the decision, a set of possible decisions and a set of admissible decisions. Components of transition function should be also given. The algebraic logical model is generally used in solving complicated problem, in which effects of decisions cannot be identified a priori and simulation of the process is necessary. The model and created on its basis optimization algorithms are independent from programming language and data structure. 93