Algorytmy wyznaczania dróg transportu w problemie szeregowania zadañ z zasobami zale nymi od stanu

Transkrypt

1 AUTOMATYKA 2005 Tom 9 Zeszyt 3 Lidia Dutkiewicz *, Edyta Kucharska * Algorytmy wyznaczania dróg transportu w problemie szeregowania zadañ z zasobami zale nymi od stanu 1. Wprowadzenie W artykule przedstawiony zostanie specyficzny problem szeregowania zadañ, w którym wystêpuje koniecznoœæ transportu maszyn. W problemie tym nale y wykonaæ pewien zbiór zadañ z nieprzekraczalnymi terminami ich zakoñczenia. Zadanie nie polega jednak na zrealizowaniu operacji technologicznej, lecz na wykonaniu (wydr¹ eniu) przez maszynê odcinka drogi. Wykonana droga staje siê nowym zasobem, tj. drog¹ niezbêdn¹ dla transportu maszyn realizuj¹cych pozosta³e zadania. W zwi¹zku z tym zasoby, niezbêdne do realizacji zadañ, s¹ zmienne i ich dostêpnoœæ zale y od aktualnego stanu systemu. W rozpatrywanym problemie uwzglêdniona zosta³a mo liwoœæ oczekiwania maszyn na udostêpnienie zasobu. Mo liwoœæ ta ma wp³yw na wyznaczanie dróg transportu maszyn. Spoœród ca³ego zbioru dróg, którymi mo e byæ transportowana maszyna, mo na wyró niæ dwie charakterystyczne drogi: 1) najkrótsz¹ drogê transportow¹, 2) najszybsz¹ drogê transportow¹. Rozwi¹zanie problemu polega na wyznaczeniu takiego ci¹gu decyzji szereguj¹cego zadania, które minimalizuje ca³kowity koszt realizacji zadañ z zachowaniem wymaganych terminów ukoñczenia zadañ. Jest to problem nale ¹cy do klasy problemów NP-trudnych [2]. Czas transportu maszyny i dostêpnoœæ zasobów nie s¹ znane a priori, dlatego te algorytm rozwi¹zuj¹cy optymalizuj¹cy ten problem musi byæ oparty na symulacji procesu [4]. 2. Opis problemu Przyk³adem rzeczywistego procesu powy szego problemu szeregowania jest realizacja prac przygotowawczych w kopalniach podziemnych. Prace te wykonywane s¹ przed przyst¹pieniem do wydobycia surowców i polegaj¹ na wydr¹ eniu sieci wyrobisk koryta- * Katedra Automatyki, Akademia Górniczo-Hutnicza, Kraków 713

2 714 Lidia Dutkiewicz, Edyta Kucharska rzowych (nazywanych dalej równie chodnikami). Chodniki te umo liwiaj¹ póÿniejsz¹ eksploatacjê pól. Sieæ chodników reprezentowana jest poprzez nieskierowany graf G = (W, C), gdzie: W zbiór wierzcho³ków grafu, reprezentuj¹cych miejsca krzy owania siê chodników, C zbiór krawêdzi grafu, reprezentuj¹cych chodniki. Dla ka dego z chodników okreœlone s¹ nastêpuj¹ce parametry: numer c, d³ugoœæ dl(c) oraz numery dwóch skrzy owañ, z którymi chodnik siê ³¹czy. W dalszej czêœci przez w 1 (c) oznaczaæ bêdziemy ten wêze³ chodnika c, w którym maszyna rozpoczyna jego dr¹ enie, zaœ w 2 (c) wêze³, w którym ukoñczy dr¹ enie. Ponadto dla niektórych chodników narzucony jest nieprzekraczalny czas, w którym dr¹ enie chodnika musi byæ ukoñczone oznaczony jako limit(c). Dr¹ enie chodników wykonywane jest przy wykorzystaniu technologii opartych na dwóch ró nych typach maszyn. Ró ni¹ siê one znacznie prêdkoœci¹ dr¹ enia oraz kosztami eksploatacji, a tak e sposobem transportu. Zbiór maszyn pierwszej technologii M I (maszyny o wiêkszej prêdkoœci dr¹ enia i wiêkszym koszcie) oraz zbiór maszyn drugiej technologii M II (maszyny o mniejszej prêdkoœci dr¹ enia i mniejszym koszcie) tworz¹ zbiór dostêpnych zasobów produkcyjnych M. Dla obu technologii znane s¹ nastêpuj¹ce parametry pracy: liczba maszyn reprezentuj¹ca dan¹ technologiê, prêdkoœæ dr¹ enia chodnika maszyn¹ m, V dr (m), koszt dr¹ enia jednostki d³ugoœci chodnika, K dr (m). W przypadku maszyn pierwszego typu (kombajny) konieczne jest ich przetransportowanie, jeœli znajduj¹ siê w innym wêÿle ni ten, z którego maj¹ rozpocz¹æ dr¹ enie kolejnego chodnika. Dodatkowo podana jest wiêc dla nich prêdkoœæ transportu V tr (m) oraz koszt transportu na jednostkê d³ugoœci K tr (m). Z powodu bardzo ma³ych wielkoœci, czas i koszt transportu w przypadku maszyn drugiego typu jest zaniedbywany i przyjmowany jako równy 0. Transport maszyny mo e odbywaæ siê tylko chodnikami, które zosta³y ju wydr¹ one. W rozwa anym modelu przyjêto nastêpuj¹ce ograniczenia technologiczne i czasowe sposobu wykonywania prac przygotowawczych: prace rozpoczynaj¹ siê w czasie t 0 = 0 w wêÿle nazwanym pocz¹tkowym w 0, a koñcz¹ w momencie wydr¹ enia wszystkich chodników. Chodnik mo e byæ dr¹ ony tylko przez jedn¹ maszynê dowolnej technologii. Podjête prace w chodniku realizowane s¹ bez przerw. Chodnik, w którym zakoñczono dr¹- enie, mo e s³u yæ jako droga transportowa. Przyjêto uproszczenie, i w chodniku mo liwy jest transport kilku maszyn jednoczeœnie w obie strony. Nie uwzglêdnia siê mo liwoœci wyst¹pienia awarii maszyn oraz nie s¹ planowane i przeprowadzane remonty maszyn w czasie trwania prac. Ca³a sieæ chodników znajduje siê w p³aszczyÿnie poziomej, prêdkoœæ dr¹ enia i prêdkoœæ transportu s¹ wiêc sta³e. Nie jest rozpatrywana równie mo liwoœæ wyst¹pienia ró nicy w twardoœci ska³ poszczególnych chodników. Prace musz¹ byæ zaplanowane w taki sposób, aby koszt ca³kowity by³ minimalny oraz dotrzymane zosta³y terminy ukoñczenia pewnych chodników.

3 Algorytmy wyznaczania dróg transportu w problemie szeregowania zadañ Transport maszyn W przedstawionym zagadnieniu niezwykle istotn¹ rolê odgrywa transport maszyn. Koniecznoœæ transportu zachodzi wtedy, gdy maszyna ma rozpocz¹æ dr¹ enie okreœlonego chodnika, a aktualnie znajduje siê w innym miejscu ni jeden z koñców tego chodnika. Jak ju zosta³o to wczeœniej zaznaczone, transport maszyny mo e odbywaæ siê tylko chodnikami wczeœniej ukoñczonymi. Dok³adny model rozwa anego zagadnienia, nale ¹cy do klasy modeli algebraicznologicznych, zaprezentowany zosta³ w [5]. W modelu tym stan systemu okreœlany jest jako s = (x, t), gdzie x to stan w³aœciwy procesu, a t czas bie ¹cy. Droga, któr¹ transportuje siê maszynê, wyznaczana jest w momencie podjêcia decyzji o dr¹ eniu danego chodnika i póÿniej nie jest zmieniana. Liczba potencjalnych dróg, którymi mo e byæ transportowana maszyna, zale y wiêc od aktualnego stanu systemu. Im bardziej zaawansowane s¹ prace, tym liczba wydr¹ onych chodników wzrasta i jednoczeœnie znacznie zwiêksza siê liczba mo liwych dróg, które mog¹ pos³u yæ do transportu maszyny. W rozwa anym problemie przyjmujemy, e wyznaczaj¹c drogê transportu dla maszyny, oprócz aktualnie wydr¹ onych chodników bierzemy pod uwagê pewne dodatkowe chodniki, których terminy ukoñczenia s¹ znane. Dla tych chodników podjêto bowiem ju wczeœniej decyzjê o dr¹ eniu, ale decyzja ta nie zosta³a jeszcze ca³kowicie zrealizowana. Zatem nie wszystkie chodniki, którymi odbywa siê transport maszyny, musz¹ byæ wydr¹ one ju w momencie wyznaczania drogi dla tego transportu. W zwi¹zku z powy szym, konieczne jest uwzglêdnienie mo liwoœci oczekiwania maszyny w sytuacji, kiedy nie wszystkie chodniki na wyznaczonej dla niej trasie transportu s¹ ukoñczone. Mamy tu do czynienia z oczekiwaniem maszyny na udostêpnienie zasobu. Nale y zaznaczyæ, i wprowadzenie mo liwoœci oczekiwania pozwala na rozpatrywanie wiêkszej iloœci potencjalnych dróg transportu dla maszyny. Drogi uwzglêdniaj¹ce dodatkowe chodniki mog¹ okazaæ siê lepsze ni drogi, które zawieraj¹ tylko chodniki ukoñczone do danej chwili. Definicja drogi transportowej dla rozwa anego zagadnienia jest nastêpuj¹ca: Definicja 1. Drog¹ transportow¹ dla maszyny m w stanie s nazywamy drogê w sieci chodników ³¹cz¹c¹ wêze³, w którym znajduje siê maszyna m w jednym z wêz³ów chodnika c, który ta maszyna ma dr¹ yæ. Droga ta sk³ada siê z takich chodników, które w danym stanie s¹ ju ukoñczone lub chodników, dla których decyzja o dr¹ eniu jest w trakcie realizacji i czas ich ukoñczenia jest znany. D³ugoœæ tej drogi równa siê sumie d³ugoœci chodników wchodz¹cych w jej sk³ad. W danym stanie s istnieje bardzo du a iloœæ mo liwych dróg transportowych. Ze wzglêdu na kryterium kosztowe w rozpatrywanym problemie wa ne jest, eby wybraæ mo liwie najtañsz¹ drogê. Tak¹ najtañsz¹ drog¹ jest droga o najmniejszej d³ugoœci, gdy koszt transportu zale y od czasu przeznaczonego na przejazd maszyny t¹ drog¹. Dziêki temu, e rozpatrujemy chodniki, które s¹ aktualnie w trakcie realizacji, mamy szansê na znalezienie krótszej drogi ni tej z³o onej tylko z chodników ukoñczonych do chwili wyznaczania drogi transportowej. Droga transportowa o najmniejszej d³ugoœci nie zawsze jest

4 716 Lidia Dutkiewicz, Edyta Kucharska jednak jednoczeœnie drog¹, któr¹ transport odbywa siê w najkrótszym czasie. Nale y podkreœliæ, e czas poœwiêcony na transport jest istotny ze wzglêdu na koniecznoœæ spe³nienia ustalonych dla tego problemu ograniczeñ czasowych. Wybranie takiej drogi transportowej, dziêki której maszyna w najkrótszym czasie dotrze na miejsce, zwiêksza szansê na znalezienie rozwi¹zania dopuszczalnego. Podajmy przyk³ad wyznaczania najlepszej transportowej dla maszyny. Na rysunku 1 przedstawiony jest fragment sieci chodników, w którym: chodniki 1, 2, 3, 4, 6 s¹ wydr¹ one, chodnik 5 jest aktualnie dr¹ ony, a chodnik 7 jest niewydr¹ ony. Fragmenty niewydr¹- one oznaczone s¹ ciemnym kolorem. W wêÿle w p znajduje siê maszyna m, która ma dr¹ yæ chodnik 7. W zwi¹zku z tym, maszyna ta musi zostaæ przetransportowana do wêz³a w k. Je eli rozpatrywalibyœmy tylko chodniki ukoñczone do danej chwili, to istniej¹ dwie drogi transportowe: (1, 2, 3, 6) i (1, 2, 4). W tym przypadku drog¹ najkrótsz¹ jest droga (1, 2, 4). Mo liwoœæ oczekiwania maszyny na ukoñczenie chodnika 5 pozwala nam na wybranie jeszcze jednej drogi transportowej, z³o onej z chodników: 1, 5 i 6. Droga ta jest krótsza od wczeœniej wyznaczonej drogi (1, 2, 4). Czas oczekiwania na ukoñczenie chodnika 5 mo e byæ jednak bardzo d³ugi. W takiej sytuacji maszyna szybciej dotrze do wêz³a w k, je eli bêdzie transportowana d³u sz¹ drog¹ (1, 2, 3, 5). 2 4 w p w k 7 Rys. 1. Wyznaczanie najlepszej drogi transportowej dla maszyny Dla rozwa anego zagadnienia przyjmujemy nastêpuj¹ce definicje najkrótszej drogi transportowej oraz najszybszej drogi transportowej: Definicja 2. Najkrótsz¹ drog¹ transportow¹ dla maszyny m w stanie s = (x, t) nazywamy tê spoœród wszystkich dróg transportowych, dla której suma d³ugoœci chodników wchodz¹cych w jej sk³ad jest najmniejsza. Definicja 3. Najszybsz¹ drog¹ transportow¹ dla maszyny m w stanie s = (x, t) nazywamy tê spoœród wszystkich dróg transportowych, któr¹ maszyna m pokona w najkrótszym czasie, przy uwzglêdnieniu oczekiwania maszyny na ukoñczenie chodników wchodz¹cych w jej sk³ad. Przy podejmowaniu decyzji o dr¹ eniu chodnika nale y zawsze okreœliæ, jak¹ drog¹ ma byæ przeprowadzony ewentualny transport najkrótsz¹ czy najszybsz¹. W przypadku

5 Algorytmy wyznaczania dróg transportu w problemie szeregowania zadañ gdy wybrana droga wymaga oczekiwania maszyny, przyjmujemy, e maszyna ta najpierw czeka przez stosowny odcinek czasu, a nastêpnie przeje d a ca³¹ trasê bez zatrzymywania. Po dotarciu do wyznaczonego wêz³a maszyna od razu rozpoczyna dr¹ enie. 4. Algorytmy Do wyznaczania zarówno najkrótszej drogi transportowej, jak i najszybszej drogi transportowej dla ustalonej maszyny m nie mo na wykorzystaæ znanych algorytmów szukania najoszczêdniejszej drogi w grafie (np. Dijkstry czy Forda). W naszym przypadku bowiem oprócz d³ugoœci takiej drogi potrzebujemy informacji, czy maszyna bêdzie musia³a oczekiwaæ na ukoñczenie pewnych chodników, a jeœli tak, to jak d³ugo. W zwi¹zku z tym, zosta³y skonstruowane algorytmy szukania odpowiednio najkrótszej i najszybszej drogi w grafie, w którym niektóre krawêdzie s¹ dostêpne po pewnym czasie. Algorytmy te oparte s¹ na algorytmie Dijkstry. Aby zastosowaæ przedstawione poni ej algorytmy, nale y na podstawie grafu G reprezentuj¹cego strukturê po³¹czeñ sieci chodników zbudowaæ graf G. Graf ten jest podgrafem czêœciowym grafu G. Krawêdziami grafu G s¹ te krawêdzie grafu G, które odpowiadaj¹ chodnikom w danym stanie ju ukoñczonym, lub chodnikom, dla których decyzja o dr¹ eniu jest w trakcie realizacji i czas ich ukoñczenia jest znany. Wierzcho³kami grafu G s¹ wszystkie te wierzcho³ki grafu G, które s¹ przyleg³e do krawêdzi c ij C (i i j to odpowiednio wierzcho³ki przyleg³e krawêdzi c). Ka dej krawêdzi c ij C przyporz¹dkowujemy wagê, której wartoœæ równa jest czasowi przejazdu maszyny m chodnikiem odpowiadaj¹cym tej krawêdzi. Wagê tê oznaczamy c ij. Ponadto ka da krawêdÿ ma przyporz¹dkowan¹ liczbê rzeczywist¹ dodatni¹ τ(c ij ), która okreœla czas ukoñczenia dr¹ enia odpowiadaj¹cego jej chodnika, pomniejszony o wartoœæ czasu t dla aktualnego stanu procesu s = (x, t) Najkrótsza droga transportowa Poni ej przedstawiony jest algorytm wyznaczaj¹cy najkrótsz¹ drogê pomiêdzy podanymi wierzcho³kami: pocz¹tkowym w p i koñcowym w k w grafie G. Ka demu wierzcho³kowi w grafu G przyporz¹dkowujemy trzy cechy: 1) cechê tymczasow¹ r(w), 2) cechê sta³¹ R(w), 3) cechê pomocnicz¹ θ(w). Cechê tymczasow¹ wierzcho³ka mo emy interpretowaæ jako czas przejazdu rozpatrywanej maszyny aktualnie znalezion¹ najkrótsz¹ drog¹ z wêz³a pocz¹tkowego do wêz³a reprezentowanego przez ten wierzcho³ek, natomiast cechê sta³¹ wierzcho³ka jako ju ustalony czas przejazdu najkrótsz¹ drog¹. Cechê pomocnicz¹ mo na okreœliæ jako oczekiwanie, czyli ca³kowity czas, jaki maszyna poœwiêci³a na czekanie w drodze do tego wêz³a.

6 718 Lidia Dutkiewicz, Edyta Kucharska Kroki algorytmu s¹ nastêpuj¹ce: Krok 1. Cechom wierzcho³ka pocz¹tkowego w p : sta³ej R(w p ) oraz tymczasowej r(w p ) nadajemy wartoœæ równ¹ 0. Pocz¹tkowe wartoœci cech sta³ych i tymczasowych pozosta³ych wierzcho³ków w W przyjmujemy równe nieskoñczonoœæ 0 dla w= wp Rw ( ) = dla w wp 0 dla w= wp rw ( ) = dla w wp (1a) (1b) Dla wszystkich wierzcho³ków przyjmujemy wartoœæ cechy pomocniczej θ(w) równ¹ 0 θ ( w) = 0 dla w W ' (2) Jako wierzcho³ek ostatnio ustalony w* przyjmujemy wierzcho³ek pocz¹tkowy, czyli w* = w p. Krok 2. Dla ka dego wierzcho³ka w przyleg³ego do wierzcho³ka w* i dla którego cecha sta³a R(w) wynosi nieskoñczonoœæ, sprawdzamy czy rw ( ) > Rw ( *) + cw* w (3) Je eli powy sza nierównoœæ jest spe³niona, to: aktualizujemy wartoœæ cechy tymczasowej rw ( ) = Rw ( *) + cw* w (4) aktualizujemy wartoœæ cechy pomocniczej θ(w), która ma byæ równa wartoœci cechy pomocniczej θ(w*) wierzcho³ka ostatnio ustalonego powiêkszonej o wartoœæ oczekiwania wyznaczon¹ dla tego po³¹czenia, czyli θ ( w) =θ ( w*) + max(0, τ( cw* w) R( w*) θ ( w*)) (5) Krok 3. Spoœród wszystkich wierzcho³ków, dla których cecha sta³a R(w) wynosi nieskoñczonoœæ, wybieramy wierzcho³ek w z o najmniejszej cesze tymczasowej wz = w r ( wz ) = min r ( w ) R ( w ) = (6) ww '

7 Algorytmy wyznaczania dróg transportu w problemie szeregowania zadañ Ustalamy wartoœæ cechy sta³ej tego wierzcho³ka na wartoœæ równ¹ jego cesze tymczasowej Rw ( ) = rw ( ) (7) z z Za wierzcho³ek ostatnio ustalony w* przyjmujemy wyznaczony wierzcho³ek w z, czyli w* = w z. Je eli wierzcho³ek koñcowy w k jest oznaczony cech¹ sta³¹ Rw ( k ) <, to algorytm koñczy dzia³anie. W przeciwnym przypadku przechodzimy do Kroku 2. Po zakoñczeniu obliczeñ otrzymujemy wielkoœæ R(w k ), która równa jest sumie wag krawêdzi nale ¹cych do wyznaczonej minimalnej drogi w grafie, oraz wielkoœæ cechy oczekiwanie θ(w k ). W rozpatrywanym zagadnieniu prac przygotowawczych w kopalni wielkoœæ R(w k ) odpowiada sumie czasów przejazdu chodnikami tworz¹cymi najkrótsz¹ drogê ³¹cz¹c¹ wêze³ pocz¹tkowy (w którym stoi maszyna) z wêz³em docelowym (w którym maszyna ma rozpocz¹æ dr¹ enie). Wielkoœæ θ(w k ) odpowiada czasowi oczekiwania maszyny na ukoñczenie chodników wchodz¹cych w sk³ad wyznaczonej w ten sposób drogi transportowej. Suma tych dwóch wielkoœci: R(w k )+θ(w k ) odpowiada ca³kowitemu czasowi transportu maszyny Najszybsza droga transportowa Poni ej przedstawiony jest algorytm wyznaczaj¹cy najszybsz¹ drogê pomiêdzy podanymi wierzcho³kami: pocz¹tkowym w p i koñcowym w k w grafie G. Ka demu wierzcho³kowi w grafu G przyporz¹dkowujemy trzy cechy: 1) cechê tymczasow¹ r(w), 2) cechê sta³¹ R(w), 3) cechê pomocnicz¹ θ(w). Cechê tymczasow¹ wierzcho³ka mo emy interpretowaæ jako aktualnie najkrótszy czas dotarcia rozpatrywanej maszyny do danego wêz³a reprezentowanego przez ten wierzcho- ³ek, natomiast cechê sta³¹ wêz³a jako ju znaleziony najlepszy taki czas. Cechê pomocnicz¹ mo na okreœliæ jako oczekiwanie, czyli ca³kowity czas, jaki maszyna poœwiêci³a na czekanie w drodze do tego wêz³a. Kroki algorytmu s¹ nastêpuj¹ce: Krok 1. Cechom wierzcho³ka pocz¹tkowego w p : sta³ej R(w p ) oraz tymczasowej r(w p ) nadajemy wartoœæ równ¹ 0. Pocz¹tkowe wartoœci cech sta³ych i tymczasowych pozosta³ych wierzcho³ków w W przyjmujemy równe nieskoñczonoœæ.

8 720 Lidia Dutkiewicz, Edyta Kucharska 0 dla w= wp Rw ( ) = dla w wp 0 dla w= wp rw ( ) = dla w wp (8a) (8b) Dla wszystkich wierzcho³ków przyjmujemy wartoœæ cechy pomocniczej θ(w) równ¹ 0. θ ( w) = 0 dla w W ' (9) Jako wierzcho³ek ostatnio ustalony w* przyjmujemy wierzcho³ek pocz¹tkowy, czyli w* = w p. Krok 2. Dla ka dego wierzcho³ka w przyleg³ego do wierzcho³ka w* i dla którego cecha sta³a R(w) wynosi nieskoñczonoœæ, sprawdzamy czy ( w w ) rw ( ) > Rw ( *) + cw* w + max 0, τ( c* ) Rw ( *) (10) Je eli powy sza nierównoœæ jest spe³niona, to: aktualizujemy wartoœæ cechy tymczasowej ( ) rw ( ) = Rw ( *) + cw* w + max 0, τ( cw* w) Rw ( *) (11) aktualizujemy wartoœæ cechy pomocniczej θ(w), która jest równa wartoœci cechy pomocniczej θ(w*) wierzcho³ka ostatnio ustalonego, powiêkszonej o wartoœæ wyznaczon¹ dla tego po³¹czenia, czyli θ ( w) =θ ( w*) + max(0, τ( cw* w) R( w*)) (12) Krok 3. Spoœród wszystkich wierzcho³ków, dla których cecha sta³a R(w) wynosi nieskoñczonoœæ, wybieramy wierzcho³ek w z o najmniejszej cesze tymczasowej wz = w rw ( z ) = min rw ( ) Rw ( ) = (13) ww ' Ustalamy wartoœæ cechy sta³ej tego wierzcho³ka na wartoœæ równ¹ jego cesze tymczasowej Rw ( z) = rw ( z) (14)

9 Algorytmy wyznaczania dróg transportu w problemie szeregowania zadañ Za wierzcho³ek ostatnio ustalony w* przyjmujemy wybrany wierzcho³ek w z, czyli w* = w z. Je eli wierzcho³ek koñcowy w k jest oznaczony cech¹ sta³¹ Rw ( k ) <, to algorytm koñczy dzia³anie. W przeciwnym przypadku przechodzimy do Kroku 2. Po zakoñczeniu obliczeñ otrzymujemy wielkoœæ R(w k ) oraz θ(w k ) koñcowego wierzcho³ka wyznaczonej drogi. W rozpatrywanym zagadnieniu prac przygotowawczych w kopalni znaleziona minimalna droga odpowiada szukanej najszybszej drodze transportowej dla danej maszyny ³¹cz¹cej wêze³ pocz¹tkowy (w którym stoi maszyna) z wêz³em docelowym (w którym maszyna ma rozpocz¹æ dr¹ enie). Wielkoœæ R(w k ) odpowiada ca³kowitemu czasowi, który niezbêdny jest na przeprowadzenie transportu maszyny m t¹ drog¹ (wliczony jest tu zarówno czas przejazdu jak i ewentualny czas oczekiwania). Natomiast dodatkowo wielkoœæ θ(w k ) odpowiada samemu czasowi oczekiwania maszyny na ukoñczenie chodników wchodz¹cych w sk³ad wyznaczonej w ten sposób drogi transportowej. 5. Podsumowanie W artykule przedstawiono specyficzny problem szeregowania zadañ, w którym wystêpuje koniecznoœæ transportu maszyn. W problemie tym zasoby, niezbêdne do realizacji zadañ, s¹ zmienne i ich dostêpnoœæ zale y od aktualnego stanu systemu. Zaprezentowano problem wyboru najlepszej drogi transportowej dla maszyn z uwzglêdnieniem mo liwoœci oczekiwania. Zaproponowane zosta³y algorytmy wyznaczania najkrótszej drogi oraz najszybszej drogi w grafie, w którym niektóre krawêdzie dostêpne s¹ po pewnym okreœlonym czasie. Algorytmy te zosta³y wykorzystane w symulacji procesu po³¹czonej z optymalizacj¹, za pomoc¹ której wyznaczano rozwi¹zanie minimalizuj¹ce koszty dr¹ enia sieci chodników z zachowaniem ograniczeñ czasowych. Literatura [1] Dudek-Dyduch E.: Formalizacja i analiza problematyki dyskretnych procesów produkcyjnych. Pó³rocznik AGH, Automatyka, z. 54, Kraków 1990 (praca habilitacyjna) [2] Dudek-Dyduch E.: Learning based algorithm in scheduling. Journal of Intelligent Manufacturing (JIM), vol. 11, No. 2, 2000, [3] Dudek-Dyduch E.: Systemy informacyjne zarz¹dzania produkcj¹. Kraków, Wydawnictwo Poldex 2002 [4] Dudek-Dyduch E., Dutkiewicz L., Kucharska E.: Formalny model symulacji procesów decyzyjnych jako model algebraiczno-logiczny. Zeszyty naukowe Politechniki Bia³ostockiej, Bia³ystok 2005 [5] Dutkiewicz L., Kucharska E.: Model dla problemu szeregowania zadañ z zasobami zale nymi od stanu systemu. Pó³rocznik AGH, Automatyka

10 722 Lidia Dutkiewicz, Edyta Kucharska