ownn oznczkowe Równn óżnczkowe. Wstę Równne óżnczkow nzw ównne zwejące funkcje newdoe zenne nezleżne oz ocodne funkcj newdoc lu c óżnczk. Pzkłd d 5 d d sn d. d d e d d d. z z z z. ównne óżnczkowe zwczjne ównne óżnczkowe cząstkowe ząd ównn óżnczkowego cłk ównn óżnczkowego cłkowne ównn óżnczkowego ozwązne ównn óżnczkowego wunk oczątkowe wunk zegowe jednoznczność ozwązn ównn óżnczkowego cłk ogóln ównn óżnczkowego cłk szczególn ównn óżnczkowego ozwązne osolwe ównn óżnczkowego Pzkłd ec t P Równne v P gdze v = const jest ównne óżnczkow zwczjn ewszego zędu. Rozwązne ogóln tego ównn jest funkcj /5 4--
ownn oznczkowe v d t C P czl vtc P4 ec n ozwązne P4 ędze nłożon nstęując wunek oczątkow P5 Podstw wunek oczątkow 5 do ozwązn ogólnego P4 dostje v C P6 Stąd C P7 Rozwązne szczególne sełnjące zówno ównne P jk wunek oczątkow P6 ostć vt P8 co jest łtwo swdzć. Podstw P8 do P dostje v v P9 Podstwene t = do P8 dje P jew zje sę ównn któe ożn sowdzć do ostc.4 Równne tu ędze ozwązwć z wunku oczątkow.5 Pzkłd ównń djącc sę sowdzć do ostc.4.6 5 sn.7 t. /5 4--
ownn oznczkowe. Metod łnc Eule Dne ównne óżnczkowe. Wunek oczątkow. Wzó ekuencjn n ozwązne zlżone ównn gdze..4 Błąd lokln etod jest zędu e o.5 /5 4--
ownn oznczkowe PRZYKŁD Dne jest ównne óżnczkowe oz wunek oczątkow. Wznczć wtość funkcj w unkce dzeląc zedzł [; ] n n częśc. Zstosowć wzó Eule ROZWIĄZIE. k Olcz kok: n. ; k k. Uleszon etod Eule etod Eule-Cuc'ego etod Heun 4/5 4--
ownn oznczkowe... 5/5.4.5 5.6 Błąd lokln etod jest zędu e o.7 W etodze zjęto że wsółcznnk keunkow secznej zecodzącej zez unkt jest śedną tetczną wsółcznnków keunkowc stcznc w unktc oz. 4--
ownn oznczkowe 4. Metod Tlo Równne ostc f 4. z wunke oczątkow 4. ożn ozwązć wkozstując ozwnęce funkcj w szeeg Tlo w otoczenu unktu!! Szeeg 4. ożn zedstwć w wgodnejszej ostc 4. 4.4 6 gdze 4.5 4.6 Pocodną dugego zędu wstęującą w zlżenu 4.4 otzuje óżnczkując zleżność 4. f f 4.7 Pocodną tzecego zędu wzncz óżnczkując wą stonę zleżnośc 4.7 td. Wkozstując wunek oczątkow 4. olcz jąc wzncz td. ż do oszukwnej wtośc n. 5. Metod Rungego-Kutt 5. Wunek oczątkow 5. Metod t oleg n zlżenu szeegu Tlo dl koncją lnową wtośc ewszej ocodnej funkcj olczonc dl odowedno donc unktów. W ten sosó unk sę konecznośc wznczn ocodnc wższc zędów funkcj w unkce. Poszukuje tk 6/5 4--
ownn oznczkowe 4-- 7/5 n j j j 5. gdze: 5.4 5.5 5.6 Dl n = zleżność 5. uszcz sę do 5.7 Zje sę wznczene wtośc dl tego zdku. Dokłdne ozwązne ównn 5. ozncz zez ozwne je w szeeg Tlo w otoczenu unktu z dokłdnoścą do dugc ocodnc!! 5.8 Z ównn 5. wzncz dugą ocodną funkcj d d 5.9 Do ozwnęc 5.8 odstw ównn 5.9 5. 5.4 5. Z zleżnośc 5.7 o uwzględnenu wzoów 5.4 5.5 dostje 5. unkcję ozwj w szeeg Tlo z dokłdnoścą do ewszc ocodnc! 5. Podstwene 5. do 5. dje 5. Równn 5. 5. ędą tożsośc gd
ownn oznczkowe 4-- 8/5 5.4 5.5 5.6 W ukłdze tzec ównń 5.4-5.6 wstęują 4 newdoe. Pzjuje = stąd 5 5 5.7 Po odstwenu 5.7 do 5.5 5.7 dostje 5 5 5.8 Błąd lokln etod dl n = etod dugego zędu jest zędu. Wzo 5.8 są tożse z wzo etod Eule-Cuc'ego. W ktce stosuje sę wzo Rungego-Kutt wższc zędów nczęścej czwtego zędu. Wzo tzecego zędu 6 4 5.9 Błąd lokln etod jest zędu 4. Wzo czwtego zędu 4 6 4 5. Błąd lokln etod jest zędu 5.
ownn oznczkowe Zgdnen zegowe. Metod tecjn etod stzłów Rozwąże nstęujące zgdnene zegowe ' "... Zkłd że '.4 gdze oże ć dowolną wtoścą. Zgdnene...4 ozwązuje jko zgdnene oczątkowe. W ogólnośc olczon wtość dl ozncz ją jko ędze sę óżnć od. sz zdne jest znlezene tkej wtośc wunek. ł sełnon. Wznczwsz dwe wtośc oże tzecą wtość wznczć z nstęującego ównn nteolcjnego ost 9/5 4--
ownn oznczkowe.5 Poszukuje tkego stąd.6 Wkozstując olcz z ównn.. Gd to wkonuje nstęną tecję; olcz 4 dl znnc. jeszcze zt ocno óżn sę od. Metod óżnc skończonc Zje sę ównne óżnczkow zwczjn dugego zędu lnow ;. z wunk zegow.. sz cele ędze wznczene wtośc funkcj wewnątz zedzłu [ ]. Pzedzł [ ] dzel n ównc częśc o szeokośc /5 4--
ownn oznczkowe 4-- /5.4 Pocodne wstęujące w ównnu. zstą loz óżncow centln.5.6 gdze. Równne óżnczkowe. zstęuje ukłde ównń óżncowc dl węzłów leżącc wewnątz zedzłu [ ]. ;.7 gdze:.8.9... Po wnożenu ównn.7 ston zez wkonnu odowednc zeksztłceń dostje ;. Po odstwenu do. zleżnośc.8 oz.9 dostje dl 4.4 n
ownn oznczkowe 4-- /5 n Ukłd.4 ożn zedstwć w nstęującej ostc cezowej.5 gdze:.6 n.7 Q R P Q R P Q R P Q R P Q.8 ; P.9 ; Q. ; R. Mcez główn ukłdu.5 jest tójdgonln dzęk teu ukłd ten oże ć łtwo szko ozwązn n. etodą Tos. Metod kolokcj dl zgdnen zegowego Zje sę ównne óżnczkow zwczjn dugego zędu lnow f ; z wunk zegow
ownn oznczkowe Złoż że oszukwne ozwązne ożn zedstwć w ostc c c c kk 4 gdze k są z gó on lnowo nezleżn funkcj. jczęścej funkcje te doe tk 5 6 k 7 Pz złożenc 5-7 ozwązne 4 sełn wunk zegowe - dl dowolnc wtośc oszukwnc wsółcznnków c. Resduu ównn ostć R f 8 Podstwene dokłdnego ozwązn do ównn 8 owdz do R 9 dl dowolnej wtośc. Dl zlżonego ozwązn o ostc 4 ędze wgć wunek 9 ł sełnon dl skończonego z gó złożonego zou unktów k Wsółcznnk c c c k ożn węc ędze wznczć z ukłdu ównń R R R k Metod kolokcj - zkłd Dne jest ównne óżnczkowe 4 z wunk zegow 5 /5 4--
ownn oznczkowe Złoż że oszukwne ozwązne ożn zedstwć w ostc c c c kk 4 W dlszej nlze zje k oz 5 5 6 7 8 Równne 5 jest ównne ostej zecodzącej zez unkt [ ;] oz ;5 ] zjują wtość ówną zeu dl oz [. tost funkcje. Tk węc ozwązne 4 sełn wunk zegowe dl dowolnej wtośc wsółcznnków c. Resduu ównn ostć R 4 9 Podstwene dokłdnego ozwązn do ównn 9 owdz do R dl dowolnego. Dl zlżonego ozwązn ostc 4 ędze wgć wunek ł sełnon dl z gó złożonego zou unktów Wsółcznnk c c c ożn węc ędze wznczć z ukłdu ównń R R R W nsz zdku R c c c gdze 4 4 4 4 5 6 4 4 6 4 6 4 4 7 4/5 4--
ownn oznczkowe Złoż nstęne 5 8 5 9 75 Po odstwenu 4-7 oz kolejno 8- do wej ston wkozstnu dostje ukłd ównń 6c c 45c 4 c 6c c 76c 96c 7c 6 z któego wzncz c 86798 4 c 67779 5 c 448 6 W tel onżej zedstwono óżnce oędz wtośc uzskn z ozwązn dokłdnego d ozwązn uzsknego etodą kolokcj. d - 896-67 78-564 689-65 4 5885-9 5 4867-66 6 4575-7 4878-8 4468 + 9 4694-87 5 5/5 4--