Interpolacja i teksturowanie

Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki Interpolacja i teksturowanie Aleksander Denisiuk denisjuk@matman.uwm.edu.pl Uniwersytet Warmińsko-Mazurski w Olsztynie Wydział Matematyki i Informatyki ul. Słoneczna 54 10-561 Olsztyn Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 1

Interpolacja i teksturowanie Najnowsza wersja tego dokumentu dostępna jest pod adresemhttp://wmii.uwm.edu.pl/~denisjuk/uwm Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 2

Techniki teksturowania Tekstura zawiera informacje o kolorach, które maja zastapić obliczone kolory powierzchni. Tekstura zawiera informacje o kolorach, blasku, przezroczystości, które maja zmienić charakterystyki powierzchni po obliczniach oświetlenia i cieniowania. Tekstura zawiera parametry, majace wpływ na obliczenie oświetlenia (współczynnik odbicia, przemieszczenie wektoru normalnego, etc). Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 3

Tekstura Zdjęcie, obrazek skanowany, utworzony edytorem graficznym. Obrazek zaprogramowany (skompilowany, generowany na bieżaco). Obrazek generowany podaczas mapowania (odbicie). Teksturowanie [0,1] [0,1] model Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 4

½ ¼ ¼ ¼ κ½ Ì ÕÙ Ö ÓÒ Ø Ð Ø Ø ÜØÙÖ Ñ Ôº Ì ÕÙ Ö ÓÒ Ø Ö Ø ÙÖ Û Ø ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð Ö ÓÒ Ó Ø Ø ÜØÙÖ Ñ Ôº Ì ÓÓÖ Ò Ø Ð Ð Ò ÐÐ ÓÖÒ Ö Ó Ø ÕÙ Ö Ö Ø Ú ÐÙ Ò Ü Ò ÒØÓ Ø Ø ÜØÙÖ Ñ Ôº Ì Ø Ó Ø Ö Ó Ö Ø ÜØÙÖ Ñ Ô Ð Ø Ý Ø Ò Ø ÓÓÖ Ò Ø Ù Ö ÓÒ ÓÛÒ Ò Ø Ð Ø ÕÙ Ö º Ì Ù Ö ÓÒ Ó Ø Ø ÜØÙÖ Ñ Ô Û ÓÒÚ ÖØ ØÓ ØÖ Ò Ð Ö Ø Ò ØÖ Ò Ð Û Ñ ÔÔ Ý Ð Ò Ö ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ÒØÓ ØÛÓ ÓÖÖ ÔÓÒ Ò ØÖ Ò Ð Ò Ø ÕÙ Ö ÓÒ Ø Ö Ø Ø Ù Ø Ú Ð Ø ÓÙÒ ÖÝ ØÛ Ò Ø ØÖ Ò Ð º ÓÒ Ð Interpolacja tekstury 1. Określa się lokalne współrzędne tekstury w wierzchołkach poligonu 2. Interpoluje się wewnatrz: interpolacja barycentryczna, biliniowa ¼ Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 5

κ¾ Ì ÙÖ ÓÒ Ø Ö Ø Ù ÝÔ Ö ÓÐ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ ØÓ Ö Ò Ö Ø ÙÖ Ô Ö Ô Ø Ú ÓÖ ÓÖØ Ò Ò º Ì ÙÖ ÓÒ Ø Ð Ø Ó ÒÓغ ÓÖÖ Ø Interpolacja hyperboliczna (x i : w i ) y i = x i /w i z = α i y i βi (x i : w i ), β i = α i/w i αj /w j Ï Ø ÓÙØ ÝÔ Ö ÓÐ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Ï Ø ÝÔ Ö ÓÐ ÒØ ÖÔÓÐ Ø ÓÒ Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 6

Wybór lokalnych współrzędnych dla tekstury Płaszczyzna. Sześcian. Powierzchnia parametryzowana P(u,v). Współrzędne na teksturze zależa od u i v. (Może być również od p(u,v), wektoru normalnego do powierzchi, etc.) Przykład 1 (Walec. Mapowanie cylindryczne). p(θ,y) = (rsinθ,y,rcosθ), 0 θ < 360, h/2 y h/2 Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 7

Walec s = θ 360, t = y +h/2 h ÙÖ Îº Ø ÜØÙÖ Ñ Ô Ò Ø ÔÔÐ Ø ÓÒ ØÓ ÝÐ Ò Öº Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 8

Walec Þ Û Þ Û Ü Ý Ü Ý ÙÖ Îº Ì ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð Ü Ý Þ Û Ð Ø Ö ÓÒ Ó Ø Ø ÜØÙÖ Ñ Ôº Ì ÖÓ Ø Ö ÓÒ Ó Ø Ø ÜØÙÖ Ñ Ô ÒÓØ Ø ÒØ Ò Ö ÓÒ Ó Ø Ø ÜØÙÖ Ñ Ôº Ì Ö Ø ÒØ Ò Ö ÓÒº Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 9

Sfera. Mapowanie sferyczne P(θ,ϕ) = (rsinθcosϕ,rsinϕ,rcosθcosϕ) s = θ 360, t = ϕ 180 + 1 2 s = θ 360, t = sinϕ 2 + 1 2 Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 10

κ ÌÛÓ ÔÔÐ Ø ÓÒ Ó Ø ÜØÙÖ Ñ Ô ØÓ Ô Ö º Ì Ô Ö ÓÒ ÙÖ Ð Ø Ö Ó Ö Ø ÜØÙÖ ÔÔÐ Û Ø Ø ÜØÙÖ ÓÓÖ Ò Ø Ú Ò Ý Ø Ú Ò Ý Ø ÝÐ Ò Ö Ð ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó ÕÙ Ø ÓÒ Îº µº Ì Ô Ö ÓÓÖ Ò Ø Ö ÛÒ Û Ø Ø ÐØ Ò Ñ ÐÐ ÖÓØ Ø ÓÒº Ö Mapowanie sferyczne Ø Ô Ö Ð Ñ Ô Ó ÕÙ Ø ÓÒ Îº¾µº Ì Ô Ö ÓÒ Ø Ö Ø Ù Ø ÜØÙÖ Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 11

Torus P(θ,ϕ) = ( (R+rcosϕ)sinθ,rsinϕ,(R+rcosϕ)cosθ) s = θ 360, t = ϕ 360 κ Ö Ó Ö Ø ÜØÙÖ Ñ Ô ÔÔÐ ØÓ ØÓÖÙ º ÙÖ Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 12

Aliasing Rozdzielczość tekstury jest mniejsza od rozdzielczości ekranu Rozdzielczość tekstury jest większa od rozdzielczości ekranu Miganie, interferencja, plamy Obiekty ruszajace się Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 13

Antyaliasing Interpolacja Mipmapping Zastosowanie skalowanych tekstur Interpolacja najbliższych tekstur Zwiększenie prędkości Zwiększenie pamięci o 33% Jest implemientowany sprzętowo Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 14

Mipmapping Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 15

κ ÁÒ Ø Ö Ø ÙÖ Ø Ò Ò ÙÔ Ö ÑÔÐ ÔÓ ÒØ Ö ÔÐ Ø Ø ÙÖ Ó Ø Ò Ò Ù Ô Ü Ð º ÁÒ Ø ÓÒ ÙÖ Ø ÙÔ Ö ÑÔÐ ÔÓ ÒØ Ö ÒØ Ö Supersampling (nadpróbkowanie) ØØ Ö ÙØ Ö ÓÒ ØÖ Ò ØÓ Ø Ý Ò Ø Ö Ù Ô Ü Ðº Zwykły Stochastyczny Jittering (fluktacje) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 16

Á º Ò Ü ÑÔÐ Ó ÒØ ¹ Ð Ò Ù Ò ØØ Ö Ù Ô Ü Ð ÒØ Ö º ÙÖ ÓÛ Ø Ò Ö Ò Ö Û Ø ÓÙØ ÙÔ Ö ÑÔÐ Ò ÒÓØ Ø ÓÒ µ Ð ÓÙ ØØ Ó Ø ÐÐ ÓÖ Ò Ø Ò º µ Ø Ò Û Ø Ô Ü Ð Ð Ø Ú ÐÝ Ø ÙÔ ØÓ Ñ Ü ÑÙÑ Ó ¼ Ø Ñ º Ë ÓÐÓÖ ÔÐ Ø º º ÙÔ Ö ÑÔÐ Supersampling µ ÆÓ ÙÔ Ö ÑÔÐ Ò º µ ËÙÔ Ö ÑÔÐ Ò Û Ø ØØ Ö Ù Ô Ü Ð ÒØ Ö º Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 17

κ ÙÑÔ Ñ ÔÔ ØÓÖÙ º ÆÓØ Ø Ð Ó ÙÑÔ ÓÒ Ø Ð ÓÙ ØØ º ÙÖ Ö ÓÙÖ Û Ø Ð Ø Ò Ò ÓÒ Ø Ò ÔÐÙ ÐÓÛ Ð Ú Ð Ó Ñ ÒØ Ì Ö Ì Ô ØÙÖ Û Ò Ö Ø Û Ø Ø Ö Ý ØÖ Ò Ó ØÛ Ö Ö ÐÐÙÑ Ò Ø ÓÒº ÔÔ Ò Ü º Ë ÓÐÓÖ ÔÐ Ø º º Ò Mapowanie wypukłości Zmiana wektora normalnego Przed obliczniem oświetlenia Cieniowanie Phonga (nie Gourauda) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 18

Mapowanie środowiska Dany jest mały zwierciadlany obiekt (kula, sześcian). Oblicza się (robi się zdjęcie) mapa tekstury jako obraz otoczenia widoczny od środka obiektu Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 19

Ñ Ô Ö Ø Ù Û Ò Ø Ú Û Ö Ø ÓÒ ÐÓ ØÓ Ø Ö Ø ÓÒ ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ØÓ Ö Ø Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ñ Ôº Ù Projekcja sferyczna ÙÖ Îº½¼ Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ñ Ô Ñ ÔÔ ÒØÓ Ô Ö ÔÖÓ Ø ÓÒº Ì Ø Ò Ó ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ñ Ô ÙÔÔÓÖØ Ý ÇÔ Ò Äº Ë ÓÐÓÖ ÔÐ Ø º º Ì Ò Ø Ñ ÓÛÒ Ò ÙÖ Îº½½º ÆÓØ Ø Ø Ø ÖÓÒØ Û ÐÐ Ø ÑÓ Ø Ð ØÝ Ò Ø Û ÐÐ Ø Ð Øº ÓÖ Ø Ö ÓÒ Ô Ö Ð Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 20

ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ñ Ô Ñ ÔÔ ÒØÓ ÓÜ ÔÖÓ Ø ÓÒ ÓÒ Ø Ó Ò Ü Ú Û ÖÓÑ ÔÓ ÒØ Ñ ÔÔ ØÓ Ø Ó Ù Ò Ø Ò ÙÒ ÓÐ Ø ÒØ Ö Ó ÖÓÓѺ Ì ÖÓÓÑ ÓÐ ÐÙ Ü ÔØ ÓÖ Ý ÐÐÓÛ ÛÖ Ø Ò ÓÒ Ø Ø Ð Ò Ò ÓÓÖº Ì Ö Ø Ò ÙÐ Ö Û Ø Ö ÓÒ Ó Ø ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ Ñ Ô Û ÐÐ Projekcja sześcianowa ÙÖ Îº½½ ØÓ Ñ Ø Ñ º Ì Ò ÓÛ Ø Ö Ø ÓÒ Ñ Ô ÖÓÑ Ø ÔÓ ÒØ Ø Ö ÒÓØ Ù º Ë ÓÐÓÖ ÔÐ Ø º º Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 21

Ü ½ «½ «¼ «½ Ü ¾ «½ «½ ½ ¾ Áκ½ ÁÒØ ÖÔÓÐ Ø Ò ÜØÖ ÔÓÐ Ø ÔÓ ÒØ ÓÖ Ú Ö ÓÙ Ú ÐÙ Ó «º ÓÖ ÙÖ ¼ Ü «µ ØÓ Ø Ð Ø Ó Ü ½ º ÓÖ «½ Ü «µ ØÓ Ø Ö Ø Ó Ü ¾ º ÓÖ «Interpolacja liniowa x(α) = (1 α)x 1 +αx 2 ¼ «½ Ü «µ ØÛ Ò Ü ½ Ò Ü ¾ º u x 1 = α(x 2 x 1 ) α = (u x 1) (x 2 x 1 ) (x 2 x 1 ) 2 f(x(α) = (1 α)f(x 1 )+αf(x 2 ) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 22

Średnie ważone Definicja 2. Niechx 1,...,x n R 3,α 1,...,α n R. α 1 x 1 + +α n x n (1) nazywa się kombinacja liniowa. Jeżeli α i = 1, to (1) nazywa się kombinacja afiniczn nazywa się kombinacja wypukła (średnia ważona). a. Jeżeli ponadto wszystkieα i [0,1], to (1) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 23

Średnie ważone Twierdzenie 3. Przekształcenie afiniczneazachowuje kombinacje afiniczne. α 1 x 1 + +α n x n α 1 A(x 1 )+ +α n A(x n ) Dowód. A(x) = B(x) + A(0). A więc A(α 1 x 1 + +α n x n ) = α 1 B(x 1 )+ +α n B(x n )+A(0) = = α 1 B(x 1 )+ +α n B(x n )+(α 1 +α n )A(0) = = α 1 B(x 1 )+α 1 A(0)+ +α n B(x n )+α n A(0) = = α 1 A(x 1 )+ +α n A(x n ) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 24

Áκ¾ Ì ÔÓ ÒØ Ù Ò Ø ÒØ Ö ÓÖ Ó Ø ØÖ Ò Ð ÓÒ Ø Ð Ò Ñ ÒØ ÙÖ Û ØÓ Þº Ì ÔÓ ÒØ Û Û Ø Ú Ö Ó Ü Ò Ý º Ì ÔÓ ÒØ Ù ÖÓÑ Współrzędne barycentryczne Twierdzenie 4. Niech dane będa trzy niekolinearne punkty att należ x,y,z R 3, formujace trójk acy do płaszczyznyp. Wtedy 1. u T α,β,γ [0,1], takie żeu = αx+βy +γz, α+β +γ = 1 (kombinacja wypukła), 2. u P α,β,γ R, takie żeu = αx+βy +γz, α+β +γ = 1 (kombinacja afiniczna). Ý Û Ù Þ Ü Û Ø Ú Ö Ó Û Ò Þº Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 25

Współrzędne barycentryczne Twierdzenie 5. Współczynnikiα,β,γ z twierdzenia 4 określone sa jednoznacznie. Definicja 6. Współczynnikiα,β,γ z twierdzenia 4 nazywaja się barycentrycznymi współrzędnymi punktuu. Przykład 7. x = (0,0),y = (2,3),z = (3,1), α = 0,β = 1,γ = 0, α = 2,β = 1,γ = 0, 3 3 α = 4,β = 2,γ = 1. 3 3 Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 26

Interpolacja po trzech punktach u = αx+βy +γz, α+β +γ = 1 f(u) = αf(x)+βf(y)+γf(z) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 27

Współrzędne barycentryczne a pole Ý Ù Þ Ü ÙÖ Áκ Ì ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø «Ò ÓÖ Ø ÔÓ ÒØ Ù Ö Twierdzenie 8. Współrzędne barycentryczne oblicza się przez pola trójkatów według wzoru: ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø Ö Ò º α = A A+B +C, β = B A+B +C, γ = C A+B +C. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 28

¾ ½ ¾ ½ Dowód twierdzenia 8 Ý Ý Û Û Ù Ù Þ Þ Ü Ü µ µ ÙÖ Áκ Ì Ö Ù Ò Ø ÔÖÓÓ Ó Ì ÓÖ Ñ Áκ º Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 29

Obliczenie barycentrycznych współrzędnych w R 2 Ý Ù Þ Ü ÙÖ Áκ Ì ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø «Ò ÓÖ Ø ÔÓ ÒØ Ù Ö ÔÖÓÔÓÖØ ÓÒ Ð ØÓ Ø Ö Ò º β = (z x) (u x) (u x) (y x), γ = (z x) (y x) (z x) (y x), α = 1 β γ. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 30

½ ¾ Obliczenie barycentrycznych współrzędnych w R 3 Ý Ù Ò Þ Ü ÙÖ Áκ ÐÙÐ Ø Ò ÖÝ ÒØÖ ÓÓÖ Ò Ø Ò Ê º m = e 1 (e 1 e 2 )e 2 /e 2 2, n = m/ m D = 1 2 (n e 1) e 2 = (m e 1) e 2 2 m B = 1 2 (n f) e 2 = (m f) e 2 2 m Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 31

Obliczenie barycentrycznych współrzędnych w R 3 β = B D = m f = (e2 2e 1 (e 1 e 2 )e 2 ) f m e 1 e 2 1e 2 2 (e 1 e 2 ) 2 u β = e2 2e 1 (e 1 e 2 )e 2 u e 2 1e 2 2 (e 1 e 2 ) 2 γ = e2 1e 2 (e 1 e 2 )e 1 e 2 1e 2 2 (e 1 e 2 ) 2 β = u β f, γ = u γ f, α = 1 β γ Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 32

Ù¾ Ù Ù Obliczenie barycentrycznych współrzędnych Ù½ Ý Þ Ü Áκ Ì ÔÓ ÒØ ÖÓÑ Ü Ö Áκ º ÙÖ Przykład 9. x = (0,0),y = (2,3),z = (3,1). u = (2,3), u = (3, 2 2 ), u = (1 1 3,2), u = (1,0). Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 33

Interpolacja biliniowa (dwuliniowa) u = (1 β) ( (1 α)x+αy ) +β ( (1 α)w+αz ) = = (1 α) ( (1 β)x+βw ) +α ( (1 β)y +βz ) = = (1 α)(1 β)x+α(1 β)y +αβz +(1 α)βw f = (1 α)(1 β)f(x)+α(1 β)f(y)+αβf(z)+(1 α)βf(w) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 34

Interpolacja biliniowa Þ Û ¼ ¾ Ü ¼ ¼ Ý ¼ ÙÖ Áκ ÙÖ ÓÖ Ü Ö Áκ º Przykład 10. x = (0,0),y = (4,0),z = (5,3),w = (0,2) α = 1,β = 0 1 α = 2 4 α = 1,β = 1 3 α = 2,β = 1 3 3 Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 35

Interpolacja biliniowa Twierdzenie 11. Niechx,y,z iw tworza płaski, wypukły czworokat. Wtedy odwzorowanie interpolacji biliniowej jest wzajemnie-jednoznacznym [0,1] 2 xyzw, (α,β) u(α,β) Wniosek 12. Niech punktyx,y,z iw będa niekomplanarne. Wtedy odwzorowanie jest wzajemnie-jednoznacznym. (α,β) u(α,β) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 36

ÛÈ ÜÈ Áκ½½ Ì ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó Ø ØÛÓ ÓÒ Ð ÓÒØÓ Ø ÔÐ Ò È Ö ÙÖ Ò ÒØ Ö Ø Ø Ø Ö Ñ ÔÓ ÒØ Ø Ø ÓÑÑÓÒ ÔÖÓ Ø ÓÒ Ó ÒÓÒ¹ÓÐÐ Ò Ö Ä Áκ½ Ò Ü ÑÔÐ Ó Ø ÐÙÖ Ó Ì ÓÖ Ñ Áκ ÓÖ ÒÓÒ¹ÓÒÚ Ü ÔÐ Ò Ö ÙÖ ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ð º ÞÈ ÝÈ Interpolacja biliniowa Ý Û Ò Þ Ü ÙÖ Áκ½¼ Ì Ð Ò Ñ ÒØ ÜÞ Ò ÝÛ Ú Ñ ÔÓ ÒØ Ò º Ì Ú ØÓÖ Ò Ø ÙÒ Ø Ú ØÓÖ Ò Ø Ö Ø ÓÒ ÖÓÑ ØÓ º Ò º Ì ÓÙÖ ÔÖÓ Ø Ú ÖØ ÓÖÑ ÓÒÚ Ü ÕÙ Ö Ð Ø Ö Ðº Û Þ Ü Ý Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 37

Odwrócenie na płaszczyźnie A = (w u) (z y) B = (z y) (u x) (w x) (u y) C = (u x) (u y) if B > 0 then β = B B 2 4AC 2A else β = 2C B+ 2A B 2 4AC end if s 1,β = (1 β)x+βw s 2,β = (1 β)y +βz α = (u s 1,β) (s 2,β s 1,β ) (s 2,β s 1,β ) 2 Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 38

µ ½ ¾ ¼º ÁÒ Ø Ö Ö ØÛÓ Ú ÐÙ ÓÖ Û Ö Ø ÔÓ ÒØ Ò ½ µ ¾ µ Ò Ù Ö ÓÐÐ Ò Öº Ì Ú ÐÙ Ò Ö Ø ÓÐÙØ ÓÒ Odwrócenie na płaszczyźnie ½ µ ¾ µ Þ Û Û Þ ¾ µ Ù ½ µ ½ µ Ù ¾ µ Ý Ü Ü Ý µ ½ µ µ ¾ µ ÙÖ Áκ½ Ì ØÛÓ ÔÓ Ð Ø ÓÖ Ø Ò Ó ½ ¾ º ÁÒ µ ½ ¾ ¼ ØÓ ÕÙ Ø ÓÒ Áκ¾¾µ Ó Ø Ò Û Ø Ø Ò Ø Ó Ó ÔÐÙ»Ñ ÒÙ Òº ÓÖ ÓØ µ Ò µ ØÛ Ò ¼ Ò ½ Ò Ø Ö ÖÓÓغ Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 39

Interpolacja trójliniowa Dane sa osiem punktów x i,j,k R 3, i,j,k = 0,1. u(α,β,γ) = i,j,kw i (α)w j (β)w k (γ)x i,j,k, gdzie w n (δ) = { 1 δ, n = 0 δ n = 1 f(u(α,β,γ)) = i,j,kw i (α)w j (β)w k (γ)f(x i,j,k ) Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 40

Zbiory wypukłe Definicja 13. ZbiórA R n nazywa się wypukłym, jeżeli dowolny odcinek, którego końce należa do tego zbioru, w całości się w nim zawiera. odcinek prosta linia, promień płaszczyzna, półpłaszczyzna podprzestrzeń liniowa, afiniczna koło, kula trójkat, równoległobok etc. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 41

Otoczka wypukła Definicja 14. Otoczka wypukła (powłoka wypukła, uwypuklenie) zbioru A R n jest to najmniejszy (w sensie inkluzji) zbiór wypukły zawierajacya. Otoczkę wypukłaaoznacza się zwykle jako:conva. Powłoka wypukła zbioru wypukłego jest ten sam zbiór Powłoka wypukła zbioru punktów płaszczyzny {P 1,P 2,...,P n }, gdzie n > 2 jest wielokatem (wielobokiem) wypukłym o wierzchołkach należacych do zbioru {P 1,P 2,...,P n }. Powłoka wypukła zbioru trzech punktów niewspółliniowych jest trójkat o wierzchołkach w tych punktach. Otoczk a wypukł a zbioru {A,B} jest odcinek AB. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 42

Áκ½ Ì Ö ÓÒ Ö ÔÖ ÒØ Ø º Ì ØÛÓ Ø ÓÒ Ø Ð Ø Ö ÙÖ Ò Ø ØÛÓ Ø ÓÒ Ø Ö Ø Ö ÒÓØ ÓÒÚ Üº Ì ÓØØ Ð Ò ÓÛ ÓÒÚ Ü Ñ ÒØ Û Ø Ò ÔÓ ÒØ Ò Ø Ø Û Ö ÒÓØ ÒØ Ö ÐÝ ÓÒØ Ò Ò Ø Ð Ò Øº Otoczka wypukła Twierdzenie 15. Otoczkę wypukła zgadza się ze zbiorem wszystkich kombinacji wypukłych elementów zbiorua: conva = { x x = n β i a i,a i A,β i [0,1], i=1 } n β i = 1, i=1 Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 43

Wypukłe kombinacje współrzędnych jednorodnych x 0 = (0 : 0 : 0 : 1), x 1 = (1 : 0 : 0 : 1), x 1 = (2 : 0 : 0 : 2). 1 2 x 0 + 1 2 x 1 = ( 1 2 : 0 : 0 : 1) 1 2 x 0 + 1 2 x 1 = (1 : 0 : 0 : 3 2 ) w i > 0 α 1 (w 1 x 1 : w 1 )+ +α k (w k x k : w k ) = ( ) α1 w 1 x 1 + +α k w k x k = : 1 αi w i Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 44

Wypukłe kombinacje współrzędnych jednorodnych Twierdzenie 16. Niech dany będzie zbióra R n. Wtedy kombinacje wypukłe jednorodnych współrzędnych punktówa(w i > 0) będa tworzyć jednorodne współrzędneconva. Modelowanie i wizualizowanie 3W-grafiki p. 45