POLITECHNIKA ŚLĄSKA WYDZIAŁ TRANSPORTU KATEDRA LOGISTYKI I TRANSPORTU PRZEMYSŁOWEGO NR 4 Katowice, październik 2015r.
CEL ĆWICZENIA Poznanie metod pomiaru mocy w jednofazowych obwodach prądu przemiennego. Poznanie istoty kompensacji mocy biernej. ZESTAW OPRZYRZĄDOWANIA DO ĆWICZENIA watomierz, zestaw przewodów łączeniowych, elektroniczny monitor energii, kondensatory, odbiorniki energii elektrycznej (żarówki). ZAGADNIENIA WSTĘPNE wielkości charakteryzujące przebiegi sinusoidalne prądów i napięć, moc w obwodach prądu zmiennego, moc chwilowa, moc czynna, moc bierna, moc pozorna, wykres trójkąta mocy dla odbiornika o charakterze indukcyjnym, pojemnościowym i rezystancyjnym, współczynnik mocy. WSTĘP TEORETYCZNY W obwodzie elektrycznym przesunięcie elementarnego ładunku dodatniego + dq z punktu A o potencjale V A do punktu B o potencjale V B, niższym od potencjału punktu A, wymaga wykonania pracy dl = (V A V B )dq (5.1) Uwzględniając zależność między ładunkiem elektrycznym, prądem oraz czasem dq = idt (5.2) otrzymuje się dl = uidt (5.3) L = uidt 0 t (5.4) Dla napięcia prądu stałego u = U = const oraz i = I = const L = UIt (5.5) Jednostką pracy jest dżul (J). Moc prądu jest równa pochodnej pracy względem czasu P = dl dt (5.6) a więc przy prądzie stałym P = UI (5.7) Jednostką mocy jest wat [W], czyli (dżul na sekundę). Moc równa 1W jest to moc wydzielona w przewodzie o rezystancji 1Ω, przy przepływie prądu 1A. W technice są często używane takie wielokrotności wata jak: kilowat (1kW=10 3 W) i megawat (1MW=10 6 W). Korzystając z prawa Ohma, można wzór (5.7) wyrazić również w postaci: P = I 2 R = U2 R (5.8) gdzie U = IR opracował: dr inż. Krzysztof Bizoń strona 2 z 10
Moc pobierana ze źródła podczas pracy ciągłej przy znamionowych parametrach danego urządzenia elektrycznego, nosi nazwę mocy znamionowej. Wyjątek stanowią silniki elektryczne, dla których jako moc znamionowa jest podawana wartość mocy mechanicznej, oddawanej przez silnik. Ponieważ liczne odbiorniki mają moce rzędu setek watów, a czas użytkowania wynosi dziesiątki godzin, często stosuje się jako jednostkę pracy (energii) kilowatogodzinę (kwh), przy czym 1kWh = 3.6 10 6 J (5.9) ponieważ: 1kW = 10 3 W 1h = 3600s czyli: 3,6 10 3 10 3 = 3,6 10 6 W s J = W s Prawo Joule a W obwodzie elektrycznym w czasie ruchu ładunków, czyli przepływu prądu energia pobierana ze źródła całkowicie zmienia się w ciepło wydzielane w przewodzie. Ciepło to nosi nazwę ciepła Joule a. Dla prądu stałego, przy uwzględnieniu zależności (5.6) oraz prawa Ohma, energia wydzielona w przewodzie W = UIt = RI 2 t = U2 R t (5.10) ponieważ: I = U/R, W = U U/R t = U2/R t Z danych doświadczalnych wynika, że odpowiednikiem mocy jednego wata, tj. pracy jednego dżula wykonanej w ciągu jednej sekundy, jest wydzielenie się ciepła w ilości 0,2389 kalorii. Stąd całkowita ilość wydzielonego ciepła Q = 0.24 I 2 Rt [cal] (5.11) lub Q = I 2 Rt [J] (5.11a) Wzór ten przedstawia prawo Joule a. Watomierze Do pomiaru mocy czynnej prądu przemiennego względnie mocy prądu stałego stosuje się watomierze. W watomierzu elektrodynamicznym (rys. 5.1) nieruchoma cewka prądowa L1 jest połączona szeregowo z odbiornikiem energii elektrycznej, a ruchoma cewka napięciowa L2 równolegle do odbiornika. I 2 I 0=I 1 U Rys. 5.1. Układ watomierza elektrodynamicznego; 1 cewka prądowa, 2 cewka napięciowa, Z impedancja, Rd rezystancja dodatkowa opracował: dr inż. Krzysztof Bizoń strona 3 z 10
Prąd przepływający przez cewkę prądową L1 jest równy prądowi przepływającemu przez odbiornik, tj. I1=I0. Prąd przepływający przez cewkę napięciową jest proporcjonalny do napięcia na odbiorniku, tj. I2 = c2u. Ze względu na stosunkowo dużą rezystancję opornika dodatkowego Rd, prąd I2 jest w fazie z napięciem U. Między prądami płynącymi w cewkach występuje takie samo przesunięcie fazowe, jak między prądem odbiornika I0 a napięciem na odbiorniku U. Moment napędowy watomierza elektrodynamicznego M n = c 1 I 1 I 2 cos (I 1, I 2 ) dm dα = c 1c 2 I 0 Ucosφ dm dα = c 3UI 0 cosφ dm dα = c 4P dm dα, M n = c 5 α (5.12) wobec czego przy równowadze momentów c 4 P dm dα = c 5α (5.13) a zatem: α = c 4 P dm c 5 dα = c 6P dm dα (5.14) Charakter podziałki watomierza jest uzależniony od zmiany indukcyjności wzajemnej cewek w funkcji kąta dm/dα. W celu otrzymania równomiernej podziałki, kształty wymiary cewek są dobierane w taki sposób, aby było dm/dα=const. wówczas: α = c 6 P = 1 c w P (5.15) gdzie c w stała watomierza. Podziałka watomierza jest zawsze niemianowana. W celu otrzymania wartości mierzonej mocy należy liczbę działek, o jaką wychyliła się wskazówka, pomnożyć przez stałą watomierza. Stałą watomierza cw w watach na działkę (W/dz) oblicza się ze wzoru c w = U ni n n max (5.16) w którym: U n; I n wartości zakresowe napięcia i prądu; n max liczba działek podziałki. Zmiany zakresu watomierza dokonuje się przez zmianę zakresu prądowego i napięciowego. Zmiana zakresu prądowego odbywa się przez szeregowe lub równoległe łączenie połówek cewki prądowej (jak w amperomierzach). Zmianę zakresu napięciowego uzyskuje się przez zmianę rezystancji opornika dodatkowego. Watomierze elektrodynamiczne są wytwarzane jako mierniki wielozakresowe klasy 0.1, 0.2, 0.5. Zakresy prądowe watomierzy zawierają się w granicach 0,25.50A, napięciowe w granicach 30...1000V. Przy większych prądach i napięciach stosuje się przekładniki (rys. 5.2). Rys. 5.2. Układ watomierza elektrodynamicznego z przekładnikami prądowym i napięciowym opracował: dr inż. Krzysztof Bizoń strona 4 z 10
Moc w obwodach jednofazowych prądu sinusoidalnie zmiennego Moc czynna Moc chwilowa pobierana przez dwójnik elektryczny złożony z elementów liniowych (rys.5.3) wyraża się iloczynem wartości chwilowych prądu i napięcia p(t) = u(t) i(t) (5.17) gdzie u(t) = U m sinωt, i(t) = I m sin(ωt φ) (5.18) czyli prąd jest przesunięty względem napięcia o kąt φ, który jest dodatni w odbiorniku o charakterze indukcyjnym, a ujemny w odbiorniku o charakterze pojemnościowym. i(t) u(t) Rys. 5.3. Dwójnik liniowy Na rys. 5.4 przedstawiono przykładowe przebiegi czasowe napięcia, prądu i mocy. Faza początkowa napięcia jest równa zeru, a prąd opóźnia się za napięciem o kąt fazowy φ, czyli obwód posiada charakter indukcyjny. Moc chwilowa p jest dodatnia w przedziałach czasu, w których wartość chwilowa napięcia u oraz wartość chwilowa prądu i posiadają jednakowe znaki, natomiast jest ujemna, jeżeli znaki wartości chwilowych u oraz i są różne. Jeśli p>0, tzn. moc chwilowa jest dodatnia, to energia elektryczna jest dostarczana ze źródła do odbiornika, natomiast jeżeli p<0, tzn. moc chwilowa jest ujemna, to energia elektryczna jest oddawana przez odbiornik do źródła. I tak elementy rezystancyjne oraz te odbiorniki, które są zdolne do przekształcenia energii elektrycznej w inny rodzaj energii, pobierają energię i nic zwracają jej. Natomiast cewki i kondensatory posiadają zdolność gromadzenia energii oraz jej oddawania w zależności od wartości napięcia oraz prądu związanego z tymi elementami. Rys. 5.4. Przebiegi czasowe napięcia, prądu i mocy. Po podstawieniu zależności u(t) oraz i(t) do równania (5.17) otrzymujemy: p(t) = U m I m sinωtsin(ωt φ) (5.19) opracował: dr inż. Krzysztof Bizoń strona 5 z 10
Wykorzystując zależność trygonometryczną: sinαsinβ = 1 [cos(α β) cos(α + β)] 2 (5.20) otrzymujemy: p(t) = 1 2 U mi m cosφ 1 2 U mi m cos(2ωt φ) (5.21) Pierwszy składnik we wzorze (5.21) posiada stałą wartość w ciągu całego okresu, natomiast drugi przedstawia cosinusoidę o pulsacji dwa razy większej od pulsacji ω prądu i o amplitudzie ½UmIm, a zatem moc chwilowa oscyluje sinusoidalnie z częstotliwością 2ƒ wokół wartości stałej Ulcosφ, a amplituda przebiegu sinusoidalnego wynosi U (rys. 5.4.). W zagadnieniach praktycznych dużą rolę odgrywa wartość mocy średniej w ciągu dłuższego czasu, będącego wielokrotnością okresu. W ciągu jednego okresu wartość drugiego składnika zależności tj. (5.21) jest równa zeru. Zatem średnia wartość mocy prądu pobieranego przez odbiornik w ciągu okresu jest równa pierwszej składowej zależności (5.21). P = 1 2U 2Icosφ = UIcosφ 2 (5.22) czyli moc czynna odbiornika jest równa iloczynowi wartości skutecznej napięcia, prądu i współczynnika cosφ - przesunięcia między prądem i napięciem (cosφ nazywa się współczynnikiem mocy). Jednostką mocy czynnej jest wat [1W]. Moc bierna Moc bierna Q odbiornika pojemnościowego lub indukcyjnego wyraża się iloczynem wartości skutecznych napięcia i prądu pomnożonym przez sinus kąta φ przesunięcia fazowego. Q = UIsinφ (5.23) W przypadku obciążenia indukcyjnego mamy Q>0, gdyż O<φ π/2 a w przypadku Q<0, gdyż -π/2 φ<0. Dlatego przyjmujemy, że moc bierna indukcyjna jest dodatnia i jest to wielkość wyrażająca wartość maksymalnej mocy wymienianej między odbiornikiem a źródłem napięcia zasilającym ten odbiornik. Odbiorniki o charakterze indukcyjnym pobierają moc bierną. Natomiast moc bierną pojemnościową przyjmujemy jako ujemną i dlatego mówimy, że kondensator jest generatorem mocy biernej i wysyłając ją do źródła. Jednostką mocy biernej jest war [1var]. Nazwa jest skrótem słów wolt-amper- reaktywny. Moc pozorna Iloczyn wartości skutecznych napięcia U i prądu I rozpatrywanego dwójnika (rys.5.3) nazywamy mocą pozorną. S = UI (5.24) Moc pozorna ma istotne znaczenie dla urządzeń elektrycznych, np. maszyn elektrycznych czy transformatorów, posiadających określone wartości znamionowe napięcia i wynikające z wytrzymałości izolacji dopuszczalnych wartości prądu ze względu na: nagrzewanie i działanie dynamiczne. Jak wynika, ze wzoru (5.24) moc pozorna jest równa największej wartości mocy czynnej, którą można otrzymać przy danym napięciu U oraz prądzie I. Jednostką mocy pozornej S jest woltoamper [1VA]. Zależności pomiędzy mocami P, Q i S określają następujące związki: P = UIcosφ = Scosφ, Q = UIsinφ = Ssinφ, P 2 + Q 2 = S 2 (5.25) których interpretację geometryczną (trójkąt mocy) pokazano na rys.5.5. W zależności od znaku mocy biernej otrzymujemy trójkąt mocy przedstawiony na rys. 5.5a lub 5.5b. Jeżeli kąt fazowy φ jest dodatni (odbiornik rezystancyjno-indukcyjny), moc bierna posiada wartość dodatnią (Q>0), natomiast gdy kąt φ jest ujemny (odbiornik rezystancyjno-pojemnościowy), to moc bierna posiada wartość ujemną (Q<0). opracował: dr inż. Krzysztof Bizoń strona 6 z 10
a. b. Rys.5.5. Trójkąt mocy; a) dla Q >0 (odbiornik rezystancyjno-indukcyjny), b) dla Q < O (odbiornik rezystancyjno-pojemnościowy) Metody pomiaru mocy czynnej Pomiaru mocy czynnej w obwodzie jednofazowym za pomocą watomierza można dokonać w układzie poprawnie mierzonego prądu (rys.5.6a) lub poprawnie mierzonego napięcia (rys.5.6b). Rys. 5.6. Pomiar mocy czynnej watomierzem; a) układ poprawnie mierzonego prądu, b) układ poprawnie mierzonego napięcia. W pierwszym przypadku (rys.5.6a) moc wskazywana przez watomierz wynosi: P = P o P i (5.26) w drugim (rys.5.6b) P = P o P u (5.27) gdzie: P i = R i I i 2, P u = U u 2 R u (5.28) P0 - rzeczywista wartość mocy pobieranej przez odbiornik (Zodb), Pi - moc tracona w obwodzie prądowym, Pu - moc tracona w obwodzie napięciowym, Ri - rezystancja obwodu prądowego, Ru - rezystancja obwodu napięciowego. Moc wskazywaną, przez watomierz oblicza się z zależności: P = α c w (5.29) gdzie: α - wychylenie wskazówki watomierza wyrażone w działkach, cw- stała watomierza. c w = U NI N cosφ N α N (5.30) Indeksem N oznaczono wielkości znamionowe watomierza, αn maksymalna liczba działek skali watomierza, cosφn - znamionowy współczynnik mocy (zwykle cosφn=1). W przypadku gdy wartości natężenia prądu i napięcia w obwodzie, w którym wykonuje się pomiar mocy, przekraczają zakresy pomiarowe watomierza, należy zastosować przekładniki prądowe i napięciowej. opracował: dr inż. Krzysztof Bizoń strona 7 z 10
Kompensacja mocy biernej Z punktu widzenia gospodarki elektroenergetycznej bardzo ważne jest zagadnienie odpowiedniej wartości współczynnika mocy cosφ. Zbyt mała wartość cosφ powoduje duże straty ekonomiczne. Odbiorniki energii elektrycznej: silniki elektryczne, urządzenia grzejne, oświetleniowe są dobierane pod kątem mocy czynnej. Wartość prądu w odbiorniku, a zatem i w przewodach oraz urządzeniach rozdzielczych łączących odbiornik ze źródłem energii elektrycznej zależy od wartości współczynnika mocy, gdyż P = UIcosφ, I = P Ucosφ (5.31) Jeżeli współczynnik mocy odbiornika jest mały, to dostarczenie określonej mocy P, przy danym napięciu, wymaga przepływu prądu o większej wartości niż w przypadku dużej wartości współczynnika mocy cosφ. Straty mocy czynnej w przewodach łączących źródło z odbiornikiem P = R P I 2 (5.32) gdzie R p - rezystancja przewodów. Jeżeli do wzoru (5.32) podstawimy zależność (5.31), to otrzymamy: P = R P P 2 U 2 cos 2 φ (5.33) Strata mocy czynnej jest więc odwrotnie proporcjonalna do kwadratu współczynnika mocy. Zwiększony pobór prądu wywołany małą wartością współczynnika mocy wymaga również zastosowania prądnic i transformatorów o większej wartości mocy znamionowej, która jest podawana jako moc pozorna. Gdyby odbiornik pobierał moc czynną przy cosφ to moc czynna prądnicy byłaby równa mocy znamionowej i jej warunki pracy byłyby optymalne. Jeżeli cosφ<1, to moc czynna jest mniejsza od mocy znamionowej mimo że prądnica pracuje przy wartości znamionowej napięcia i prądu. Sprawność wytwarzania energii elektrycznej jest wówczas mała. Z tych też powodów dąży się do tego, aby współczynnik mocy był bliski jedności. Poprawa współczynnika mocy polega na kompensowaniu mocy biernej indukcyjnej mocą bierną pojemnościową. Na rys.5.7a pokazano schemat zastępczy odbiornika o charakterze RL. Przy zasilaniu napięciem U oraz prądzie IR1, odbiornik ten pobiera z sieci moc czynną P oraz moc bierną QL, którą należy skompensować. Jedną z powszechnie stosowanych metod jest kompensacja mocy biernej za pomocą baterii kondensatorów lub silników synchronicznych. Prąd pobierany przez odbiornik R1 jest opóźniony względem napięcia na jego zaciskach o kąt fazowy φ1 (rys.5.7b). Jeżeli równolegle do odbiornika włączymy baterię kondensatorów o pojemności C, to prąd pobierany przez tę baterię będzie wynosił: I C = ωcu (5.34) Prąd I c wyprzedza napięcie U o kąt fazowy π/2, zatem ma zwrot przeciwny do prądu I L, który opóźnia się względem napięcia U o kąt π/2. Można teraz dobrać tak wartość pojemności C, aby I c=i L lub aby współczynnik mocy układu cosφ2 miał inną wartość, tj. większą od wartości współczynnika mocy cosφ1. W pierwszym przypadku: I C = I L = I RL sinφ 1 (5.35) Moc bierna baterii kondensatorów Q C = UI C = UI RL sinφ 1 (5.36) a odpowiadająca tej mocy pojemność baterii wynosi: Q = Q C ωu 2 (5.37) Jest to kompensacja idealna, tzn. moc bierna indukcyjna odbiornika zostaje skompensowana mocą bierną pojemnościową baterii kondensatorów i wartość współczynnika mocy układu jest równa jedności. opracował: dr inż. Krzysztof Bizoń strona 8 z 10
W przypadku drugim, jeżeli I L>I c (rys.5.7c), z wykresu wektorowego wynika, że I C = I R tgφ 1 I R tgφ 2 = P U (tgφ 1 tgφ 2 ) (5.38) Moc bierna baterii kondensatorów wynosi wówczas: Q C = UI C = P(tgφ 1 tgφ 2 ) (5.39) a po wykorzystaniu zależności (5.39) otrzymujemy: Q = P ωu 2 (tgφ 1 tgφ 2 ) (5.40) φ1- kąt pomiędzy I RL a U przed przyłączeniem kondensatora, φ2- kąt pomiędzy I a U po przyłączeniu kondensatora C. Powyższa zależność określa pojemność kondensatora, którą należy dołączyć równolegle do odbiornika (rys. 5.7a), aby uzyskać zmniejszenie kąta przesunięcia fazowego, czyli zwiększenie współczynnika mocy z cosφ1 do cosφ2. Dla przypadku I C>I L wchodzimy w stan przekompensowania mocy biernej indukcyjnej. Odbiornik zmienia swój charakter obciążenia z indukcyjnego na pojemnościowy, a kąt φ staje się ujemny. Stan przekompensowania nie znajduje uzasadnienia ekonomicznego. Rys. 5.7. Kompensacja mocy biernej; a) schemat obwodu; b) wykres wektorowy dla układu bez kondensatora, c) wykres wektorowy dla układu z dołączonym kondensatorem PRZEBIEG ĆWICZENIA 1. Zestawić układ do pomiaru mocy (rys. 3.1). Rys. 3.1. Schemat do pomiaru mocy za pomocą watomierza Na rysunku 3.2 przedstawiony jest schemat podłączenia watomierza LW-1 do obwodu prądu stałego lub jednofazowego obwodu prądu zmiennego. opracował: dr inż. Krzysztof Bizoń strona 9 z 10
Rys. 3.2. Schemat podłączenia Watomierza LW-1, dla pomiaru mocy czynnej prądu zmiennego jednofazowego 2. Dokonać rejestru zużycia energii elektrycznej podczas wykonywania całego ćwiczenia za pomocą monitora energii, (przycisk Mode na monitorze energii). 3. Dokonać odczytu: mocy pozornej, mocy czynnej, cosinusa kąta przesunięcia fazowego (współczynnika mocy), napięcia zasilania obwodu, natężenia prądu płynącego przez obwód, mocy czynnej na watomierzu (obliczyć stałą watomierza z zależności 4.15), dla każdej z osobna żarówek podłączonych do układu, powtórzyć pomiary dla układu trzech żarówek podłączonych równocześnie do obwodu. 4. Powtórzyć pomiary dla dodatkowo podłączonego kondensatora: C=4μF, C=16μF. 5. Określić wartości mocy biernej Q. 6. Naszkicować trójkąt mocy dla badanego obwodu. LITERATURA 1. B. Miedziński: Elektrotechnika podstawy i instalacje elektrotechniczne, PWN, Warszawa 2000. 2. H. Rawa: Elektryczność i magnetyzm w technice, PWN, Warszawa 2001. 3. S. Idzi: Pomiary elektryczne. Obwody prądu stałego, PWN, Warszawa 1999. 4. G. Łomnicka-Przybyłowska: Pomiary elektryczne. Obwody prądu zmiennego, PWN, Warszawa 2000. 5. S. Bolkowski: Teoria obwodów elektrycznych, WNT, Warszawa 2001. 6. A. Chwaleba M. Poniński, A Siedlecki: Metrologa elektryczna, WNT Warszawa 2000. 7. R. Sikora Teoria pola elektromagnetycznego WNT Warszawa 1997. opracował: dr inż. Krzysztof Bizoń strona 10 z 10