MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 34, s. 93-98, Gliwice 2007 UPROSZCZONY MODEL ZAKŁADKOWEGO POŁĄCZENIA KLEJONEGO PAWEŁ MAJDA Instytut Technologii Mechanicznej, Politechnika Szczecińska e-mail: Pawel.Majda@ps.pl Streszczenie. W pracy dokonano krytycznej oceny wyników obliczeń dotyczących rozkładu napręŝeń w zakresie liniowo-spręŝystym, uzyskanych za pomocą metody elementów skończonych (MES) dla zakładkowego połączenia klejonego (ZPK). Efektem tych działań jest zaproponowanie metody efektywnego modelowania rozwaŝanego połączenia, która gwarantuje uzyskanie miarodajnych wyników obliczeń przy minimalnych kosztach (minimalnej liczbie stopni swobody modelu). 1. WSTĘP Wyniki obliczeń uzyskanych MES wykazują istnienie obszarów w typowej spoinie ZPK (rys.1.) gdzie osiągnięcie zbieŝności rozwiązania dla wartości obliczeniowych napręŝeń wraz z zagęszczaniem siatki podziału elementów skończonych jest utrudnione [1,4,7,8]. Rys.1. Zakładkowe połączenie klejone Przez typowe ZPK rozumiane jest wyidealizowane połączenie z prostokątnym zakończeniem spoiny na końcu zakładki (wariant najczęściej spotykany w literaturze). Kształt ZPK oraz bardzo duŝa róŝnica pomiędzy modułami spręŝystości kleju oraz materiałów klejonych powoduje, Ŝe jego obciąŝeniu towarzyszy bardzo intensywna koncentracja napręŝeń na granicy klej - komponent klejony w miejscu skokowej zmiany geometrii na końcu zakładki. Jak wykazano w wielu pracach [1,2,4,5], w obszarach koncentracji napręŝeń na końcach zakładki obserwuje się duŝe gradienty napręŝeń, a numeryczne obliczenia wykazują istnienie w tych miejscach tzw. punktów osobliwych. Z publikacji poświęconych doskonaleniu
94 P. MAJDA metod oceny stanu napręŝenia oraz zwiększania dokładności obliczeń w tych newralgicznych obszarach moŝna wymienić: [2,4,5,7,8,9,10,11,12]. W dalszej części pracy zestawiono aktualny stan wiedzy na temat obliczania rozkładu napręŝeń w spoinie ZPK z wykorzystaniem MES. Na podstawie koncepcji obliczeń ZPK wg W. C. Carpentera i R. Barsouma [13] sformułowano wytyczne zapewniające znaczne zmniejszenie liczby stopni swobody modelu przy jednoczesnym zapewnieniu zbieŝności rozwiązania dla obliczeniowych wartości napręŝeń w złączu ZPK. Model połączenia opracowany na podstawie takich wytycznych będzie nazywany dalej uproszczonym modelem zakładkowego połączenia klejonego. 2. METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH W ANALIZIE ZAKŁADKOWEGO POŁĄCZENIA KLEJONEGO G. R. Wooley i D. R. Carver jako pierwsi zastosowali MES do obliczenia rozkładu napręŝeń przy załoŝeniu płaskiego stanu napręŝenia, w spoinie ZPK [14]. Po tej pierwszej pracy szybko wzrosła liczba publikacji, w których MES uŝywano do analizy właściwości mechanicznych ZPK. JednakŜe gęste siatki elementów skończonych, jakich wymagała dyskretyzacja spoiny w miejscu koncentracji napręŝeń na końcach zakładki, spowodowała, Ŝe podjęto próby poszukiwania innych metod modelowania. S. Yadagiri oraz C. Papi Reddy jako pierwsi zastosowali jedną warstwę sześciowęzłowych elementów tarczowych wzdłuŝ grubości spoiny klejowej [15] (w analizie uwzględniono właściwości reologiczne kleju). W. C. Carpenter i R. Barsoum w pracy [13] zaprezentowali oryginalną, uproszczoną metodę analizy zakładkowego połączenia z wykorzystaniem MES. W analizie dwuwymiarowej elementy klejone dyskretyzowali elementami belkowymi o stałym przekroju. PołoŜenie tych elementów odpowiadało środkowi symetrii klejonych płaskowników. Warstwa kleju dyskretyzowana była elementami tarczowymi z węzłami odsuniętymi od węzłów naleŝących do elementów belkowych. Uzyskali w ten sposób znaczną redukcję stopni swobody modelu, poniewaŝ w metodzie tej elementy jednowymiarowe (belkowe) zastąpiły dwuwymiarowe elementy dyskretyzujące płaskowniki. Oczywiście, zastosowane w tej metodzie elementy skończone róŝnią się liczbą stopni swobody rozpatrywanych w węźle (belka trzy, element tarczowy dwa stopnie swobody). Dlatego teŝ w modelu nadano relację wiąŝącą przemieszczenia węzłów naleŝących do elementów dyskretyzujących klej z węzłami bezpośrednio znajdującymi się nad (lub pod) nimi i naleŝącymi do elementów belki. Ideę przedstawia rys.2. Intensywne zagęszczanie siatki elementów skończonych w miejscu koncentracji napręŝeń na końcu zakładki ZPK zastosowali A. Öchsner i J. Gegner w artykule [6]. W pracy tej do dyskretyzacji warstwy kleju uŝyto tarczowych czworobocznych elementów o dwóch translacyjnych stopniach swobody w kaŝdym z czterech węzłów. Gęstość siatki dochodziła na końcach zakładki do 10000 elementów skończonych na jeden milimetr długości. Analizując połączenie w płaskim stanie odkształcenia oraz płaskim stanie napręŝenia, stwierdzili, Ŝe nie ma istotnych róŝnic w rozkładzie napręŝeń ścinających wzdłuŝ zakładki, natomiast maksimum napręŝeń normalnych na końcach zakładki osiąga większe wartości o ok. 40% w przypadku analizy połączeń w płaskim stanie odkształcenia. B. Kilic, E. Madenci oraz D. R. Ambur w pracy [4] podkreślają, Ŝe zagęszczanie siatki elementów skończonych na końcu zakładki prowadzi do wniosku, Ŝe rozwiązanie w miejscu skokowej zmiany geometrii jest osobliwe i nie zapewnia poprawnego obliczenia wartości napręŝeń. W modelach o nieduŝej gęstości podziału na elementy skończone końca zakładki szybko jest osiągana zbieŝność rozwiązania dla napręŝeń w środkowym przekroju spoiny (równoległym do powierzchni zakładki). Na podstawie takiego wniosku oraz przyjmując, Ŝe rozkład napręŝeń na grubości
UPROSZCZONY MODEL ZAKŁADKOWEGO POŁĄCZENIA KLEJONEGO 95 spoiny jest stały, R.H. Andruet, D.A. Bilard oraz S.M. Holzer [1] opracowali element skończony (w wersji dwu oraz trójwymiarowej) dedykowany do obliczeń stanu napręŝenia w połączeniach klejonych. Cechą charakterystyczną tego elementu jest to, Ŝe istnieje moŝliwość zadowalającego oszacowania wartości napręŝeń przy zastosowaniu tylko jednej warstwy elementów skończonych wzdłuŝ grubości spoiny klejowej. Z kolei J. Godzimirski [3] zaleca do poprawnego określenia wytęŝenia materiału minimum dwie warstwy elementów skończonych wzdłuŝ grubości spoiny klejowej. Przykłady obliczeń rozkładu napręŝenia dla modeli z prostokątnym zakończeniem spoiny na końcu zakładki i mniej niŝ pięcioma warstwami elementów skończonych wzdłuŝ grubości spoiny moŝemy prześledzić w [16,17,18]. Mimo duŝej liczby opracowań dotyczących metod obliczania rozkładu napręŝeń w spoinie ZPK z wykorzystaniem MES dostrzeŝono istotne rozbieŝności pomiędzy zaleceniami róŝnych autorów odnośnie do doboru liczby warstw elementów skończonych wzdłuŝ grubości spoiny oraz załoŝeń upraszczających dla geometrii złącza. RóŜnice te są szczególnie widoczne, gdy porównuje się opracowania krajowe z zagranicznymi. Taki stan rzeczy utrudnia jednoznaczne podjęcie decyzji, w jaki sposób rzetelnie obliczyć rozkład napręŝenia w spoinie ZPK. 3. UPROSZCZONY MODEL ZAKŁADKOWEGO POŁĄCZENIA KLEJONEGO Model fizyczny ZPK zbudowano na podstawie następujących załoŝeń: nie uwzględnia się oddziaływań sił adhezji pomiędzy klejem a materiałem klejonym;. zakłada się liniowo-spręŝysty zakres pracy materiału kleju i komponentów klejonych; zaleŝność pomiędzy odkształceniem i przemieszczeniem jest liniowa; istnieje naturalny, beznapięciowy (beznapręŝeniowy) stan ciała, do którego powraca ono zawsze po odciąŝeniu; w strefie kohezyjnej i adhezyjnej materiał jest jednorodny i izotropowy; uwzględnia się odkształcenia własne brył;. w spoinie klejowej panuje płaski stan odkształcenia [1,4,17,19,20]; Wymiary komponentów złącza, stałe materiałowe, warunki utwierdzenia, sposób i wartość obciąŝenia przedstawiono na rys.2. Na podstawie koncepcji uproszczonego modelu ZPK wg [13] naleŝy: komponenty klejone dyskretyzować elementami belkowymi o stałym przekroju poprzecznym; klej dyskretyzować elementami tarczowymi o dwóch translacyjnych stopniach swobody w kaŝdym węźle; Pomiędzy węzłami elementów belkowych a węzłami elementów tarczowych znajdujących się na kierunku normalnym do powierzchni zakładki zachodzą relacje wiąŝące ich wzajemne przemieszczenia węzłowe wg schematu przedstawionego na rys.2. Zapewnienie zbieŝności wyników obliczeń dla maksymalnych wartości napręŝeń w spoinie klejowej na długości zakładki uzyskuje się przy spełnieniu następujących zaleceń [7,8]: Spoinę klejową dyskretyzować prostokątnymi elementami tarczowymi w liczbie 16 warstw wzdłuŝ grubości spoiny. Wskazane jest, by stosunek długości boków tych elementów był bliski jedności. Funkcje kształtu tych elementów dobrano z ciągu Pascala. Na końcu zakładki odwzorować geometrię wypływki klejowej w postaci zaokrąglenia o promieniu równym ½ grubości spoiny. Wypływkę dyskretyzować elementami trójkątnymi.
96 P. MAJDA Ocena błędów otrzymywanych wyników obliczeń jest bardzo utrudniona, poniewaŝ do dnia dzisiejszego nie opracowano powszechnie przyjmowanych równań opisujących w ścisły sposób rozkłady napręŝeń w ZPK. Nie ma zatem odniesienia i moŝliwości oszacowania tych błędów. W celu sprawdzenia wpływu załoŝeń upraszczających odnośnie do sposobu dyskretyzacji komponentów klejonych i spoiny na obliczeniowe wartości maksymalnych napręŝeń w spoinie ZPK poddano porównaniu wyniki obliczeń uzyskane dla uproszczonego modelu ZPK z wynikami uzyskanymi dla modelu odniesienia. Przez model odniesienia rozumiany jest model, w którym komponenty klejone i spoinę dyskretyzuje się w myśl powszechnie znanych procedur MES prostokątnymi elementami tarczowymi. W modelu tym, tak samo jak w modelu uproszczonym, zastosowano zalecenia [7,8], których spełnienie zapewnia uzyskanie niezaleŝnych rozwiązań dla składowych napręŝeń w spoinie od gęstości podziału na elementy skończone. Rys.2. Wymiary komponentów złącza, stałe materiałowe, sposób obciąŝenia oraz utwierdzenia uproszczonego modelu zakładkowego połączenia klejowego Model uproszczony ZPK zbudowany w oparciu o powyŝsze załoŝenia posiadał 26893, natomiast model odniesienia 107538 stopni swobody. Uzyskano zatem w modelu uproszczonym 75% redukcję liczby stopni swobody, a tym samym redukcję liczby równań układu, który naleŝy rozwiązać celem obliczenia przemieszczeń węzłowych omawianego połączenia. Porównaniu poddano maksymalne obliczeniowe wartości składowych napręŝeń normalnych x, y, z i składowej stycznej τ xy jakie występują na długości zakładki (pomijając obszar wypływki klejowej).
UPROSZCZONY MODEL ZAKŁADKOWEGO POŁĄCZENIA KLEJONEGO 97 Za miarę błędu przyjęto odchyłkę zdefiniowaną wg równania 1. Tabela 1 zawiera wyniki obliczeń przeprowadzonych w oparciu o powyŝsze załoŝenia. = ( ) io io iu 2 100% (1) gdzie: - odchyłka (błąd) względna, io - i-ta składowa napręŝenia obliczeniowego dla modelu odniesienia ZPK, - i-ta składowa napręŝenia obliczeniowego dla modelu uproszczonego ZPK. iu Tabela 1. Odchyłki pomiędzy maksymalnymi wartościami napręŝeń w spoinie klejowej, jakie uzyskano w wyniku obliczeń przeprowadzonych z uŝyciem modelu uproszczonego a wartościami obliczonymi z uŝyciem modelu odniesienia. x y z τ xy [%] 3,7 4,8 4,3 2,2 4. WNIOSKI PowyŜsze rozwaŝania moŝna skomentować następującymi wnioskami: ZwaŜywszy na bardzo duŝą, bo aŝ 75% redukcję stopni swobody modelu uproszczonego w porównaniu z modelem odniesienia, błędy, których wartości zamieszczono w tabeli 1, moŝna uznać za relatywnie małe. Dla maksymalnych wartości napręŝeń w spoinie klejowej na długości zakładki błędy te są mniejsze od 5% dla kaŝdej z analizowanych składowych napręŝenia. Zmniejszenie o 75% liczby stopni swobody prezentowanego modelu połączenia zakładkowego, w porównaniu z modelami opracowanymi na podstawie zaleceń najpowszechniej spotykanych w literaturze, czyni ten sposób modelowania wysoce uŝytecznym w badaniach symulacyjnych, które wymagają iteracyjnych procesów obliczeń takich jak: analizy wytrzymałościowe z uwzględnieniem nieliniowości fizycznych materiału, analizy optymalizacyjne, analizy wraŝliwości itp. LITERATURA 1. Andrut R.H., Bilard D.A., Holzer S.M.: Two - and three dimensional geometrical nonlinear finite elements for analysis of adhesive joints. International Journal of Adhesion & Adhesives 2001, 21, s. 17-34. 2. Diang S., Kumosa M.: Singular stress behavior at an adhesive interface corner. Engineering Fracture Mechanics. 1994, 47, s. 503-519. 3. Godzimirski J.: Wytrzymałość doraźna konstrukcyjnych połączeń klejowych. Warszawa: WNT, 2002. 4. Kilic B., Madenci E., Ambur D. R.: Global-local finite element analysis of bonded singlelap joints. American Institute of Aeronautics and Astronautics 2004.
98 P. MAJDA 5. Imanaka M., Ishii K., Nakayama H.: Evaluation of fatigue of adhesively bonded single and single step double lap joints based on stress singularity parameters. Engineering Fracture Mechanics 1999, 62, s. 409-424. 6. Öchsner A., Gegner J.: Critical analysis of the substrate deformation correction in the thick-adherend tensile-shear test. International Journal of Adhesion & Adhesives 2004, 24, s. 37-41. 7. Majda P., Biedunkiewicz W.: The influence of idealization of the shape of an adhesive bonded joint on imum stress values at an single lap joint Advances in Manufacturing Science and Technology, 2006, Vol. 30, No 3. 8. Majda P.: Modelowanie konstrukcyjnych połączeń klejonych na zakładkę. Rozprawa doktorska. Politechnika Szczecińska, Szczecin 2006. 9. Barsoum R. S.: Application of the finite element iterative method to the eigenvalue problem of a crack between dissimilar media. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1988, 26, s. 85-98. 10. Barsoum R. S.: Asymptotic fields at interfaces using the finite element iterative method. Computers and Structures 1990, 35, s. 285-292. 11. Barsoum R. S.: Theoretical basis of the finite element iterative method for the eigenvalue problem in stationary cracks. International Journal for Numerical Methods in Engineering 1988, 26, s. 531-539. 12. Cheikh M., Coorevits P., Loredo A.: Modelling the stress vector continuity at the interface of bonded joints. International Journal of Adhesion & Adhesives 2001, 21, s. 249-257. 13. Carpenter W. C., Barsoum R.: Two finite elements for modeling the adhesive in bonded configurations. Journal of Adhesion 1989, 30, s. 25-46. 14. Wooley G. R., Carver D. R.: Stress concentration factors for bonded lap joint. Journal of Aircraft 1971, 8, s. 17-20. 15. Yadagiri S., Papi Reddy C., Sanjeeva Reddy T.: Viscoelastic analysis of adhesively bonded joints. Computers & Structures 1987, 27, s. 45-54. 16. Kuczmaszewski J., Rudawska A.: Analiza napręŝenia w połączeniach klejowych blach ocynkowanych. W: X Seminarium Tworzywa Sztuczne w Budowie Maszyn, Kraków 2003, s. 227-232. 17. Periera A. B., Morais A. B.: Strength of adhesively bonded stainless steel joints. International Journal of Adhesion & Adhesives 2003, 23, s. 315-322. 18. Włodarczyk M., Flisak J.: Analiza wpływu charakterystyki materiału kleju na rozkład napręŝenia w połączeniu klejowym. Eksploatacja i Niezawodność 2005, 2, s. 72-77. 19. Yang C., Tomblin J. S.: Investigation of adhesive behavior in aircraft applications. U. S. Departament of Transportation Federal Aviation Administration, Final Raport DOT/FAA/AR-01/57, 2001. 20. Zgoul M., Crocombe A. D.: Numerical modelling of lap joints bonded with a rate dependent adhesive. International Journal of Adhesion & Adhesives 2004, 24, s. 355-366. SIMPLIFIED MODEL OF SINGLE LAP JOINT Summary. Paper presents a critical analysis of results of stress distribution computations. The results were obtained using FEM model of single lap joints (SLJ) within elastic range. An outcome of the research is a method of SLJ
UPROSZCZONY MODEL ZAKŁADKOWEGO POŁĄCZENIA KLEJONEGO 99 modeling that assures reliable results at minimum computational costs (reduced number degree of freedom DOFs).