Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2012 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 8/14
Zbiory przeliczalne Przyjmujemy, że = {0, 1, 2, 3, n-1} dla n>0 oraz = przy n=0. Zbiór skończony to zbiór bijektywny z pewnym zbiorem postaci. Zbiór nieskończony to zbiór, który nie jest skończony. Rozważając skończony zbiór n-elementowy X często używamy notacji ukrywającej w sobie bijekcję postaci. Liczba elementów skończonego zbioru X to jedyna liczba naturalna n taka, że istnieje bijekcja z w X. Liczbę te oznaczamy przez X. Oczywiście. Lemat: Zbiór X jest nieskończony wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje injekcja z w X. Na przykład zbiór liczb rzeczywistych jest nieskończony.
Zbiór przeliczalny to zbiór skończony lub bijektywny z. Wnioski: Zbiór pusty jest przeliczalny, bo jest skończony, Zbiór liczb parzystych jest przeliczalny, bo jest bijekcją Zbiór liczb całkowitych jest przeliczalny, bo jest bijekcją z w. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny, bo
Paradoks Hilberta (paradoks Grand Hotelu, paradoksu hotelu Hilberta) Wyobraźmy sobie, że jesteśmy portierem w Grand Hotelu, w którym jest nieskończona liczba pokoi. Wszystkie pokoje są już zajęte, gdy przychodzi do nas kolejny klient chcący wynająć pokój Na szczęście nasz hotel ma nieskończoną liczbę pokoi więc możemy wykonać sprytny trik: klienta z pokoju numer 1 przekwaterujemy do pokoju nr 2, tego z pokoju nr 2 do pokoju nr 3 itd W ten sposób wszyscy nasi wcześniejsi klienci mają gdzie mieszkać, a my mamy wolny pokój nr 1, do którego możemy zakwaterować naszego nowego gościa. Tak więc mimo że hotel był pełen, znalazło się miejsce dla nowego klienta...
Zasady zliczania ZASADA DODAWANIA Dla skończonych i rozłącznych zbiorów A i B mamy Dla zbiorów skończonych i parami rozłącznych mamy
ZASADA WŁĄCZANIA I WYŁĄCZANIA Dla zbiorów skończonych zachodzi (*) W szczególności,, o ile tylko A, B są skończone.
Dowód (*): Ponieważ trzy zbiory i są parami rozłączne i sumują się do, to na mocy zasady dodawania mamy: i stąd
ZASADA MNOŻENIA Jeżeli mamy wybrać dwa różne obiekty: pierwszy spośród m obiektów, a drugi spośród n obiektów, to liczba możliwych wyborów jest równa mn. Zasada ta mówi, że dla skończonych zbiorów X, Y mamy X Y = X Y. Przypomnijmy, że iloczyn kartezjański zbiorów X, Y to zbiór A zatem liczba par (x, y) Postać ogólniejsza: Jeżeli A 1, A 2, A n są zbiorami skończonymi to A 1 A 2 A n = A 1 A 2 A n. [Dowód przez indukcję]
Przykład Rozważ turniej rycerski między bractwem czerwonych a bractwem niebieskich. Bractwo czerwonych ma 12 rycerzy, bractwo niebieskich 15. Ile różnych indywidualnych pojedynków może być stoczonych, jeśli rycerze z tego samego bractwa nigdy ze sobą nie walczą? Niech C i N będą zbiorami rycerzy, odpowiednio z bractwa czerwonych i z bractwa niebieskich, każdy pojedynek może być interpretowany jako uporządkowana para, gdzie,. Zatem liczba pojedynków to liczność zbioru C N, więc C N = C N = 12 15 = 180.
ZLICZANIE PODZBIORÓW Dla dowolnego, skończonego zbioru X zachodzi Współczynnik dwumianowy to liczba k-elementowych podzbiorów zbioru n-elementowego, tzn.. Wyrażenie czytamy n po k.
ZLICZANIE FUNKCJI Liczba funkcji Zbiór funkcji postaci oznaczamy przez. Dla skończonych zbiorów X, Y mamy: Dowód: zbiór funkcji z X w Y jest równoliczny z otrzymujemy, a z Zasady Mnożenia Y Y Y = Y Y Y = n m = Y X m m
Liczba injekcji Liczba injekcji ze zbioru skończonego X (k-elementowego) w zbiór skończony Y (n-elementowy) wynosi: Y! / ( Y - X )! = n! / (n-k)! = n(n-1) (n-k+1) = n k (dolna potęga krocząca) Liczba bijekcji Liczba bijekcji pomiędzy skończonymi zbiorami X i Y, gdzie = n wynosi n n = n!.
Przykłady 1. Trzech kolegów: Bartek, Paweł i Piotrek spotkali się w pubie tuż po zdanym egzaminie z matematyki dyskretnej. Okazało się, że jest pięć marek piwa do wyboru. Na ile sposobów mogą oni wypić pierwszą kolejkę? Każdy wybór marki piwa przez wszystkie 3 osoby możemy interpretować jako funkcję ze zbioru w pięcioelementowy zbiór marek piwa. A więc istnieje sposobów spożycia pierwszej kolejki. I tyleż sposobów dla każdej następnej. 2. Kod PIN jest kodem autoryzującym właściciela karty bankomatowej. Składa się on z cyfr dziesiętnych. Ile jest różnych kodów PIN? Każdy kod PIN to funkcja z czteroelementowego zbioru pozycji w dziesięcioelementowy zbiór cyfr. Kodów PIN jest dokładnie
3. Ile jest PIN-ów, czyli 4-elementowych słów złożonych z cyfr dziesiętnych takich, że żadna cyfra się nie powtarza? Każdy PIN z niepowtarzającymi się cyframi to injekcja z 4-elementowego zbioru pozycji w -elementowy zbiór cyfr. Zatem jest ich dokładnie.
4. Na kurs tańca uczęszcza pięciu chłopaków i pięć dziewcząt. Większość kroków tanecznych ćwiczy się parami. Dla urozmaicenia pary często się zmieniają. Na ile sposobów może być wykonany jeden taniec? Niech będzie zbiorem chłopaków, a zbiorem dziewcząt. Matematycznym modelem doboru par do tańca jest bijekcja. Zatem możliwych wyborów jest tyle samo co bijekcji pomiędzy 5-elementowymi zbiorami, czyli.
1 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (1ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to istnieje szuflada z przynajmniej dwoma obiektami. 2 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (2ZSD) Jeśli n obiektów jest rozmieszczonych w m szufladach i n > m > 0, to co najmniej jedna szuflada ma n/m lub więcej elementów oraz co najmniej jedna szuflada ma n/m lub mniej elementów. Ta postać zasady mówi, że w zbiorze danych wszystkie wartości nie mogą leżeć równocześnie powyżej średniej ani równocześnie poniżej średniej. Wniosek z 2ZSD Jeżeli dana jest funkcja f: X Y, gdzie X =n, Y =m, to istnieją y 1, y 2 takie, że f -1 (y 1 ) n/m oraz f -1 (y 2 ) n/m.
Dowód 2ZSD Zakładam, że każdy z podzbiorów ma mniej niż n/m elementów, czyli co najwyżej n/m 1 elementów. Wtedy cały zbiór ma ich co najwyżej m ( n/m 1), czyli n m ( n/m 1), czyli n/m +1 n/m. Ale to jest sprzeczne z oczywistą własnością, że x + 1 > x. Proszę ją udowodnić. Dowód drugiej części przebiega analogicznie. Proszę go wykonać. Dowód 1ZSD Przy n > m > 0 wartość n/m jest 2.
3 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (3ZSD) Jeśli n obiektów rozmieszczonych jest w m szufladach i n>mr, dla pewnego naturalnego r, to istnieje szufladka z co najmniej r+1 obiektami. Wniosek z 3ZSD Jeżeli dana jest funkcja f: X Y, gdzie X =n, Y =m, oraz n>mr, dla pewnego naturalnego r, to co najmniej jeden ze zbiorów f --1 (y) ma więcej niż r elementów. Dowód 3ZSD Z 2ZSD co najmniej jedna szuflada ma n/m lub więcej elementów oraz n>mr, dla pewnego naturalnego r. Zatem n/m > r. Czyli szuflada ta ma co najmniej r+1 elementów.
4 ZASADA SZUFLADKOWA DIRICHLETA (UZSD) Niech X 1, X 2, X m będą podzbiorami n-elementowego zbioru X. Każdy element z X należy do co najmniej t spośród zbiorów X i. Wtedy średnia arytmetyczna liczb elementów zbiorów X i wynosi co najmniej tn/m. Dowód 4ZSD Niech P = {(x, i): x X i }. Zbiór P można rozpisać na dwa sposoby: jako suma zbiorów po i=1 m i jako suma zbiorów po x X. P = {(x, 1): x X 1 } {(x, 2): x X 2 } {(x, m): x X m } i wtedy P = Σ X i. i=1 m P = Σ{(x, i): x X i } i wtedy P tn. x X Zatem średnia arytmetyczna (1/m) Σ X i tn/m. i=1 m
Przykład Wśród mieszkańców Krakowa co najmniej dwie osoby mają tę samą liczbę włosów na głowie. Dowód: Rzeczywiście, liczba włosów na głowie człowieka nie przekracza, natomiast liczba mieszkańców Krakowa przekracza. Weźmy szufladek ponumerowanych kolejnymi liczbami naturalnymi od do i wkładajmy do szufladki o danym numerze osoby, które mają taką liczbę włosów na głowie, jak numer szufladki. Ponieważ osób jest, a szufladek, z Zasady Szufladkowej wynika, że w jednej szufladce muszą znaleźć się co najmniej dwie osoby.
Przykład W grupie osób muszą być co najmniej dwie, które urodziły się w tym samym miesiącu. Dowód: Weźmy szufladek z nazwami miesięcy i wkładajmy do nich osoby, które urodziły się w danym miesiącu. Ponieważ osób jest, a szufladek, w jednej z nich muszą być co najmniej dwie osoby. Przykład Pewna grupa osób wita się podając sobie ręce. Nikt nie wita się z samym sobą i żadna para osób nie wita się podwójnie (czyli można przywitać co najwyżej n-1 osób). Czy muszą być dwie osoby, które witały taką samą liczbę osób?
Dowód: Gdy jest n osób, to każda z nich przywita 0 lub 1 lub 2 lub... n-1 osób. Utwórzmy więc n szuflad z etykietami i umieśćmy osobę w szufladzie o etykiecie k, jeśli witała się z dokładnie k osobami. Skoro jest n osób i n szuflad, to... niewiele z tego wynika. Ale... niewiele wynika tylko jeśli wszystkie szuflady będą zajęte, a tak jest w przypadku, gdy również dwa konkretne pudełka o etykietach 0 i n-1 są zajęte. Tyle, że nie jest to możliwe - nie może być osoby, która przywitała wszystkie pozostałe i równocześnie takiej osoby, która nie przywitała nikogo. A zatem n osób zajęło co najwyżej n-1 szuflad, więc w jednej z nich są co najmniej dwie osoby - takie, które przywitały tę samą liczbę osób.
Przykład Wybierzmy dowolnie różnych liczb naturalnych spośród. Pokażemy, że w zbiorze można wybrać dwa rozłączne podzbiory, dające tę samą sumę. Dowód: Szuflady poetykietujmy liczbami reprezentującymi możliwe sumy liczb w co najwyżej 10-cio elementowych podzbiorach zbioru {1, 2, 100}. Ponieważ największa możliwa taka suma to 91+92+ +100=955, to mamy 955 szuflad z etykietami:. Z drugiej strony -cio elementowy zbiór ma podzbiory, więc muszą być dwa różne podzbiory zbioru o tej samej sumie, a te dwa podzbiory nie muszą być rozłączne, ale jeśli z obu z nich usuniemy wspólne liczby, to pozostałe dalej będą dawać takie same sumy, a powstałe zbiory będą już rozłączne.
Przykład Jeżeli na 3 półkach znajduje się 11 książek, to na jednej z nich musi być nie więcej niż 3 książki a na innej nie mniej niż 4 książki. 4 Przykład Niech A będzie 9-cio elementowym podzbiorem {1, 2, 30}. Należy pokazać, że w zbiorze A istnieją dwa różne podzbiory 4-elementowe o tej samej sumie elementów. 9 Po pierwsze, w zbiorze A mamy =126 różnych podzbiorów 4-elementowych. Po drugie, najmniejsza suma wynosi 1+2+3+4=10. Po trzecie, największa 27+28+29+30=114. Możliwych jest więc 114 10=105 różnych sum. Ponumerujmy szuflady tymi sumami. Na mocy 2ZSD co najmniej jedna szuflada musi mieć co najmniej 126 elementów, czyli co najmniej 105 2 elementy.
Przykład W kwadracie o boku 2 umieścimy 5 punktów. Co najmniej dwa z nich są oddalone o nie więcej niż 2. Dzielimy nasz kwadrat na cztery kwadraty o bokach 1 i przekątnych 2. Zgodnie z 1ZSD jeden z tych kwadratów musi zawierać dwa punkty, więc ich odległość nie jest większa od przekątnej kwadratu. Przykład Z grupy 21 posłów każdy uczestniczy w co najmniej dwóch komisjach śledczych. Powołano 7 komisji. Z 4ZSD średnia liczebność komisji wynosi co najmniej 2 21/7 = 6.
Przykład Jeśli 83 jabłka umieszczono w 9 skrzynkach, to jedna ze skrzynek zawiera co najmniej 10 jabłek, bo 83/9 = 10. Istnieje również skrzynka, która zawiera co najwyżej 83/9 = 9 jabłek. Jeśli dwie skrzynki są puste to któraś ze skrzynek ma co najmniej 12 jabłek. Z 2ZSD jabłka są rozmieszczone w 7 skrzynkach, więc istnieje skrzynka, która ma co najmniej 83/7 =12 jabłek.
Przykład Ile co najwyżej razy można rzucić parą kostek bez otrzymywania dwukrotnie tej samej sumy oczek? Szuflada oznacza wszystkie wyniki dające tę samą sumę oczek. Takich szuflad będzie od 2 do 12, czyli 11. Tylko ciąg po jednym elemencie z każdej szuflady daje zadany wynik. Dwunasty rzut trafi do jednej z szuflad, które już wystąpiły w ciągu.
Przykład Wykazać, że jeśli 10 liczb naturalnych daje w sumie 101, to są wśród nich 3 liczby, których suma wynosi co najmniej 31. I sposób Ponumerujmy te liczby jako a 1, a 2, a 10. Następnie wypiszmy 3 rzędy: a 1, a 2, a 8, a 9, a 10 a 2, a 3, a 9, a 10, a 1 a 3, a 4, a 10, a 1, a 2 Suma tych 30 liczb wynosi 303. Jedna z 10 kolumn musi mieć sumę równą co najmniej 303/100 (czyli 31). II sposób Podzielmy 10 liczb na 5 par. Jedna z tych par musi mieć sumę co najmniej 21. Oznaczmy ją przez s. Z pozostałych 8 liczb jedna musi być równa co najmniej 1/8 ich sumy. Wtedy s+ 8 1 (101-s) = 8 7 s + 101 7 101 21 + = 31 8 8 8
Generowanie podzbiorów Weźmy n-elementowy zbiór X={x 1, x 2 x n }. Każdemu podzbiorowi Y X przyporządkujemy ciąg binarny b 0 b 1 b n-1 określony następująco: b i 0 : = 1: x x i+ 1 i+ 1 Y Y Otrzymujemy wtedy wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość pomiędzy elementami P(X) a ciągami binarnymi długości n, czyli liczbami binarnymi z przedziału [0, 2 n 1] postaci b i 2 i oznaczanymi dalej przez [b n-1 b 0 ]. i = 0 n-1 Ciąg binarny stanowi wygodną reprezentację maszynową podzbioru X, a kolejne liczby binarne określą wszystkie podzbiory zbioru X.
W wielu sytuacjach zależy nam, by kolejny generowany podzbiór niewielu różnił się od poprzedniego. W tym celu zamiast kolejnych liczb binarnych generuje się kolejne liczby tzw. kodu Greya. Kod ten powstaje w wyniku zastosowania następującej obserwacji: Jeżeli ciąg C 1, C 2, C m zawiera wszystkie 2 k ciągi binarne długości k, przy czym C i różni się od C i+1 na dokładnie jednej pozycji (i=1, 2 m-1), to ciąg postaci C 1 0, C 2 0, C m 0, C m 1, C m-1 1, C 1 1 zawiera wszystkie ciągi binarne długości k+1 oraz każde dwa sąsiednie ciągi binarne różnią się na dokładnie jednej pozycji. Przykład dla k=4 0000, 1000, 1100, 0100, 0110, 1110, 1010, 0010, 1100, 1011, 1111, 0111, 0101, 1101, 1001, 0001.
ZBIÓR Z POWTÓRZENIAMI A=B wtw gdy mają te same elementy w tych samych krotnościach. A B wtw jeśli każdy element z A występuje w B (krotność każdego elementu w A jest nie większa od krotności tego elementu w B). Niech X zawiera elementy x 1, x 2, x n, odpowiednio o krotnościach k 1, k 2, k n. Licznością zbioru X nazwiemy sumę krotności, czyli X = k 1 + k 2 + + k n. Każdemu podzbiorowi A X odpowiada jednoznacznie ciąg (m 1, m n ), gdzie 0 m 1 k 1, 0 m n k n. Wniosek: wszystkich podzbiorów torby X jest (k 1 +1)(k 2 +1) (k n +1). Generowanie podzbiorów można przeprowadzić w sposób podobny do tego opartego na kodzie Greya.