Justya Majewska Katedra Statystyk, Akadema Ekoomcza w Katowcach e-mal: majewskaj@wp.pl ESTYMATORY ODPORNE ZMIENNOŚCI W MODELU BLACKA - SCHOLESA Streszczee: NajwaŜejszym etapem przy wycee opcj jest właścwe oszacowae zmeośc strumetu fasowego. W przypadku występowaa w zborze daych fasowych obserwacj odstających oraz grubych ogoów w rozkładze daych zastosowae zajdują odpore estymatory. W pracy przedstawoe zostały odpore estymatory zmeośc: t-estymatory oraz A- estymatory pozwalające a dokładejsze wyzaczee parametru zmeośc. Dokoalśmy aalzy porówawczej wartośc opcj a deks WIG WGPW borąc pod uwagę klasycze odchylee stadardowe, odchylee medaowe MAD, A- estymator oraz t-estymator. Wartośc opcj zostały wyzaczoe za pomocą powszeche stosowaego przez westorów modelu wycey europejskej opcj kupa Blacka-Scholesa. Poadto, w pracy przedstawlśmy arzędza modelowaa odporego do wykrywaa obserwacj wpływowych etypowych oraz do aalzy wpływu odporośc estymatorów a pewe odstępstwa od załoŝoego modelu. Słowa kluczowe: odpore estymatory zmeośc, t-estymatory, A-estymatory, model wycey Blacka-Scholesa, odchylee stadardowe, odchylee medaowe, pukty odstające, fukcja wpływu, pukt załamaa, maksmum odchylea. WSTĘP Powszeche stosoway model wycey europejskej opcj kupa Blacka- Scholesa zakłada rozkład ormaly stóp zwrotu strumetu bazowego, zatem bardzo często parametr zmeośc jest szacoway jako odchylee stadardowe. Powszeche wadomo, Ŝe rozkład obserwowaych daych fasowych rzadko jest rozkładem ormalym. Wręcz przecwe, często jest rozkładem leptokurtyczym z grubym ogoam. W zborze daych fasowych bardzo często moŝa wyróŝć wartośc wyraźe róŝące sę od pozostałych tzw. obserwacje odstające (ag. outlers), których występowae moŝe stote zmeć końcowy wyk aalzy. W zwązku z powyŝszym odchylee stadardowe stosowae w modelu Blacka-Scholesa e jest efektywym estymatorem zmeośc, a wyzaczee wartośc opcj z tego modelu jest obarczoe błędem. Zasygalzowae problemy występujące podczas stosowaa model parametryczych doprowadzły do rozwęca metod odporych, a estymatory odpore staową alteratywę wobec klasyczych estymatorów. Idea zastosowaa odporych metod estymacj pojawła sę juŝ w latach pęćdzesątych XX weku, a tesywe rozwęła sę dzęk pracom Hubera (964) Hampela (968).
Celem tej pracy jest zaprezetowae odporych estymatorów zmeośc: A-estymatorów t-estymatorów oraz zastosowae ch w wyzaczeu wartośc opcj a deks WIG Warszawskej Gełdy Paperów Wartoścowych. Wykorzystując odchylee stadardowe, odchylee medaowe MAD, A-estymator oraz t-estymator dokoamy aalzy porówawczej wycey opcj. Przedstawmy arzędza modelowaa odporego do wykrywaa obserwacj wpływowych etypowych oraz do aalzy wpływu odporośc estymatorów a pewe odstępstwa od załoŝoego modelu. PODSTAWOWE POJĘCIA Główym celem stosowaa metod odporych jest poprawa wyków estymacj parametrów słuŝących do budowy modelu. W teor metod odporych rozpatrujemy marę opsową zdefowaą jako fukcjoał T ( ), który przyporządkowuje kaŝdej dystrybuace F ( F I, I - rodza dystrybuat) pewą lczbę. Mary opsowe dukują eparametryczy estymator T F ), gdze F jest empryczą dystrybuatą (wykorzystywaą do estymacj F ). Estymator T ( ) azywamy estymatorem odporym, jeśl słabo reaguje a odchylea od załoŝoego modelu [Ostasewcz 998]. Badając odporość metod statystyczych, aleŝy badać zachowae sę mar opsowych e tylko a wyszczególoej rodze dystrybuat p. rodze parametryczej, ale róweŝ w jej ajblŝszym otoczeu. Zatem dla daej dystrybuaty F R d, d oraz ε [,] rozwaŝamy, zdefoway przez Hubera, model ε -zaburzoy (ag. ε - coatamated model) { F ε, G Fε, G = ( ε)f + εg } (.) gdze G jest dystrybuatą z udzałem ε zaburzeń. Do badaa odporośc estymatorów a pewe odstępstwa od złoŝoego modelu wykorzystuje sę róŝe arzędza. Do ajwaŝejszych aleŝą fukcja wpływu, pukt załamaa oraz maksmum odchylea, które zostaą omówoe w dalszej częśc tego rozdzału. (
FUNKCJA WPŁYWU Fukcja wpływu (ag. fluece fucto) opsuje lokalą odporość estymatora a zaburzea w próbe. Przy załoŝeu, Ŝe jest to zaburzee puktowe, dukowae przez mpuls skupoy w pukce x (.) przybera postać F, x = ( ε ) F εδ (.) ε δ + gdze δ x jest dystrybuatą Draca w pukce x, tj. δ x ({ x}) =, x R d ( d ) oraz ε [,]. Fukcja wpływu estymatora T dla dystrybuaty F w pukce x jest zdefowaa astępująco T (( ε ) F + εδ x ) T ( F) IF( x; T, F) = lm. (.3) ε ε Fukcjoał T ( ) wraz z ograczoą fukcją wpływu jest estymatorem odporym [Zuo 5]. MAKSIMUM ODCHYLENIA ORAZ PUNKT ZAŁAMANIA x Maksymale odchylee (ag. maxmum bas) jest marą globalej odporośc fukcjoału T ( ) dla dystrybuaty F. Dla dowolej dystrybuaty G z udzałem ε zaburzeń modelu (.) maksmum odchylea T ( ) dla dystrybuaty F zostało zdefowae jako [Hampel. 986] B( ε ; T, F) = sup T ( ε ) F + εg) T ( F) (.4) G Najmejszy udzał zaburzeń puktowych rozkładu F jest azyway puktem załamaa fukcjoału T dla dystrybuaty F, tj. * ε = m{ ε : B( ε; T, F) = }. Pukt załamaa (ag. breakdow pot) dzęk tucyjemu rozumeu prostym oblczeom jest bardzo popularą marą globalej odporośc estymatora T [Zuo 5]. Posługując sę powyŝszym arzędzam modelowaa odporego moŝa wykazać, Ŝe ajbardzej populara mara zmeośc - odchylee stadardowe e jest dobrym estymatorem odporym. ZałóŜmy, Ŝe rozkład teoretyczy F jest stadaryzowaym rozkładem ormalym N (,), wtedy dla waracj otrzymujemy
Var( F, ) = ( ε ) Var( F) εx oraz Var( F ) ( ) ( ( )) x, Var F = ε x Var F x ε δ + ε δ. Z tych rówań wyka postać fukcj wpływu: ε ( x Var( F)) IF( x; Var, F) = lm( ) = x Var( F) ε ε oraz wartość puktu załamaa ε * =, poewaŝ dla kaŝdego ε > wartość fukcj Var( Fε, δ ) jest eograczoa ze względu a wartośc x, które mogą x przyjmować dowole duŝe wartośc. Poadto, o braku odporośc odchylea stadardowego logarytmczych stóp zwrotu daego wzorem s = ( r r) śwadczy róweŝ = wykorzystywaa średa arytmetycza r z zaobserwowaych stóp zwrotu. Średa e jest dobrym estymatorem odporym, bowem wystarczy jeda wyraźe odstająca obserwacja, aby stote zmeć wartość średej. W procedurach modelowaa odporego podstawową ezwykle waŝą kwestą jest detyfkacja obserwacj odstających (etypowych wpływowych), których wpływ a wyk jest bardzo stoty. Przyczyy występowaa obserwacj odstających mogą być róŝe. Wartośc daych wyraźe odstających od pozostałych mogą być wykem pomaru jak teŝ pochodzea z ej populacj. Jedak e powśmy ch lekcewaŝyć od razu elmować. Bardzo krótko przedstawmy arzędza słuŝące wykrywau obserwacj odstających etypowych w zborze daych. Podstawowym arzędzem słuŝącym wykrywau obserwacj wpływowych jest macerz rzutowaa: T T H = X ( X X ) X, gdze X jest macerzą obserwacj zmeych objaśających. Macerz H ma wymary, a jej elemety dagoale ozaczae są w skróce h azywają sę welkoścam wpływowym. Wpływ -tej obserwacj a zmaę teoretyczej wartośc zmeej objaśaej zaleŝy wyłącze od welkośc reszty e (róŝcy pomędzy wartoścą rzeczywstą y, a teoretyczą ŷ wykającą z rówaa hperpłaszczyzy regresj) oraz -tej welkośc wpływowej. Huber przyjął, Ŝe wartośc wpływowe do, za bezpecze, wartośc pomędzy, a,5 jako ryzykowe, a wartośc wększe od,5 za edopuszczale. Przy wykrywau obserwacj etypowych stosuje sę reszty studetyzowae:
3 e e( ) = (.5) s h ( ) gdze s () jest oceą odchylea stadardowego po usuęcu -tej obserwacj. Wskaźkem merzącym w sposób łączy etypowość wpływowość obserwacj jest h DFITS = e ( ). (.6) h Przyjmując, Ŝe gracza wartość reszt stadaryzowaych wyos, a średa k + wartość wpływowa jest rówa, propouje sę astępującą regułę odrzucaa k + obserwacj odstających DFTIS > [Ostasewcz 998]. k + ODPORNE ESTYMATORY ZMIENNOŚCI Zastosowae estymatorów słabo reagujących a zmay moŝe przyczyć sę do prawdłowego oszacowaa parametru zmeośc, co jest ezwykle waŝe dla westorów. Lax (985) zaprezetował szereg odporych estymatorów zmeośc, jedak wśród ch ajbardzej a uwagę zasługują A-estymatory, które wykazują sę ajwększą odporoścą dla symetryczych rozkładów z grubym ogoam. Nech X,..., X będą ezaleŝym zmeym losowym o detyczych rozkładach, wtedy A-estymator jest astępującej postac gdze s A k A = = ( u k A = ( u )( 5u ) ; = ) 4 e e u = (.) cs oraz e X M ;( X M ) cs = ;( X M ) > cs gdze M jest odporym estymatorem połoŝea (p. medaą) s jest odchyleem medaowym
4 MAD = medaa x medaa{ x }}, (.) { atomast c jest stałą. Lax podaje wartość c rówą 9, zaś Joh Radal, Mart Lally oraz Peter Thompso zapropoowal c = lub c =. W przypadku występowaa obserwacj odstających zmay ce a ryku fasowym mogą być doskoale opsae przy uŝycu rozkładu t-studeta z stopam swobody. Nech Z Y będą ezaleŝym zmeym losowym, Z X ~ N (,), Y ma rozkład χ, wtedy t = ma rozkład t-studeta z Y stopam swobody. Poadto, fukcja gęstośc rozkładu t-studeta ma postać + ( x µ ) p ( x) = t ( µ, σ ) = ( + ), (.3) Γ( + Γ( ) ) πσ gdze µ jest wartoścą oczekwaą, σ - odchyleem stadardowym. Dla pomędzy 3 a 9 rozkład t uwzględa grube ogoy, atomast gdy rozkład t-studeta jest zbeŝy do rozkładu ormalego N(,). NaleŜy zazaczyć, Ŝe rozkład t ma eskończoe momety rzędu k, gdy k. Stąd, 3 zapewa skończoą wartość waracj, zaś 5 - skończoą kurtozę. σ T-estymatory zmeośc oparte są a t-rozkładach wymagają teracyjych procedur ch wyzaczaa. Perwszym ze sposobów wyzaczea rodzy t- estymatorów jest zastosowae metody ajwększej warygodośc (ag. maxmum lkelhood fucto). Metoda ta polega a wyzaczeu fukcj warygodośc L = = p(, θ ), astępe wyzaczeu jej logarytmu l = l( L) = l p(, θ ) x oraz maksymalzacj tej fukcj. = x Zatem, fukcja warygodośc jest postac L = = + g ( ) x µ p( x, σ ) = ( + ) σ σ ( ) = + Γ( ) gdze g =. Γ( ) π
5 L Maksmum przewdujemy w zerze pochodej, tz. =. σ Stąd otrzymujemy ˆ σ = w ( x ˆ µ ) (.4) = w X ˆµ = = (.5) w = + ( X ˆ µ ) w = (.6) + ( + ) ( ) ˆ σ Wzór (.6) wskazuje, Ŝe teracje powy sę rozpocząć od oszacowaa wartośc ˆµ oraz ˆ σ. Do oszacowaa tych parametrów wskazae jest uŝyce odporych estymatorów MAD (.) lub terkwartyla IQD (ag. terquartle dstace) [Tchertser, Rubsov 5]. Drugą metodą wyzaczaa rodzy t-estymatorów jest metoda maksymalzacj wartośc oczekwaej EM (ag. Expectato ad Maxmzato). Nech X = ( X,..., X ) będą ezaleŝym zmeym losowym o detyczych rozkładach, Z - zmeym losowym o rozkładze ormalym Y N (,), atomast Y = - zmeym losowym ezaleŝym od Z t, gdze Y ma rozkład χ ( p( y) = χ ( y) ). Wtedy σz X = µ + ( =,..., ) (.7) Y ma rozkład t-studeta t ( µ, σ ) z E ( X ) = σ. Fukcja warygodośc, po opuszczeu wszystkch składków, które e są zaleŝe od µ σ, jest astępującej postac log L = logσ ( µ ) Y X. σ =
6 Maksymalzacja wartośc oczekwaej E (log L X ) prowadz do astępującej postac W przypadku, gdy ˆ σ = = Y ma rozkład + E( Y X )( X µ ) χ / otrzymujemy ( X µ ) ˆ σ = ( ) ( + ) ( X ) µ. = ( ) σ W przypadku aalzy dzeych logarytmczych zwrotów, moŝa bezpecze przyjąć, Ŝe µ =. Wtedy, t-estymator zmeośc ma astępującą postać ˆ σ = + ( ) X ) ) ˆ σ X ( + = (. (.8) Operając sę a woskach Tchertsera Rubsova w celu uzyskaa ajbardzej zadowalających wyków aalz dobera sę = 5 dla t-estymatorów, poewaŝ rozkład t 5 posada ajwększe grube ogoy spośród t-rozkładów ze skończoą waracją kurtozą. MODEL WYCENY BLACKA-SCHOLESA Model Blacka-Scholesa stał sę podstawowym podejścem wykorzystywaym przez praktyków ryków fasowych. UmoŜlwa o w prosty sposób wyzaczee wartośc opcj. Rozwązae zapropoowae przez Blacka Scholesa, jakkolwek przełomowe bardzo populare, e jest pozbawoe pewych wad. Twórcy modelu załoŝyl, Ŝe cey strumetu bazowego zmeają sę zgode z geometryczym ruchem Browa, którego parametry są stałe. Nestety, jak pokazują lcze badaa emprycze, zmeość ce akcj e jest stała w czase. Efektem tego jest systematyczy błąd w wycee opcj, gdy korzysta sę ze zmeośc hstoryczej [Jakubowsk. 3]. Zgode z modelem Blacka-Scholesa wartość europejskej opcj kupa a strumet e wypłacający dywdedy daa jest wzorem: rt c = SN d ) Ee N( ), (3.) ( d
7 gdze: d S σ l( ) + ( r + ) T = E σ T d S σ l( ) + ( r ) T = E σ T c - wartość europejskej opcj kupa, S - cea strumetu bazowego, E - cea wykoaa opcj, r - stopa wola od ryzyka, T - długość okresu do termu wygaśęca opcj, wyraŝaa w latach, σ - zmeość stopy zwrotu strumetu bazowego, N(d) - wartość dystrybuaty stadaryzowaego rozkładu ormalego dla argumetu rówego d. ZauwaŜmy, Ŝe wyzaczee wartośc opcj sprowadza sę do oszacowaa parametru zmeośc (volatlty), gdyŝ pozostałe parametry są zae. PRZYKŁAD EMPIRYCZNY PoŜszy przykład o charakterze lustracyjym pozwol dokoać aalzy pomędzy wartoścam parametrów zmeośc dla modelu podstawowego (zawerającego wszystke obserwacje) oraz modelu tzw. odporego (z którego zostały usuęte obserwacje odstające). Parametry modelu stóp zwrotu zostały wyestymowae a podstawe 3 obserwacj poprzedzających dzeń aalzy tj..5.6 (dzee logarytmcze stopy zwrotu, rysuek )., stopy zwrotu 5 5 5 3 -, umer obserwacj Rysuek. Dyamka zma wartośc logarytmczych stóp zwrotu WIG Źródło: oblczea włase
8 Aby wytypować w rozpatrywaym 3 elemetowym zborze daych fasowych obserwacje odstające wyzaczylśmy wartośc teoretycze stóp zwrotu ŷ, wartośc wpływowe h, welkośc reszt studetyzowaych e () oraz wskaźk DFTIS. Rówae tredu dla wszystkch 3 obserwacj wyos yˆ t =,4e 5t +,363, współczyk korelacj,, a błąd stadardowy,3. Dla trzech obserwacj: 49, 69 3 bezwzględa wartość reszty studetyzowaej rówej odpowedo dla tych obserwacj 4,754; 4,35; 4,4 jest wększa od progowej wartośc reszty studetyzowaej wykającej z rozkładu t- studeta wyoszącej 3,95. JuŜ a tym etape obserwacje powy być uzae za obserwacje etypowe. Na podstawe merka DFTIS te trzy obserwacje moŝa uzać za odstające aleŝy odrzucć z rozpatrywaego zboru daych. Po odrzuceu tych daych współczyk korelacj poprawa sę. Pozostałe obserwacje róŝące sę od obserwacj występujących w zborze moŝa uzać jedye za ryzykowe. Dla modelu podstawowego modelu bez obserwacj odstających wyzaczylśmy zmeość stóp zwrotu wykorzystując klasycze odchylee stadardowe, odchylee medaowe (.), odpory A-estymator (.) oraz t- estymator (.4.6). Tabela prezetuje uzyskae wartośc: Tabela Zmeość stóp zwrotu w skal roku dla deksu WIG Parametr zmeośc Model podstawowy Model odpory (bez 3 obserwacj) odchylee stadardowe,6% 9,% MAD 8,97% 8,3% A-estymator ( c = ) 9,3% 8,75% t-estymator ( = 5) 6,75% 6,67% Źródło: Oblczea włase Na podstawe powyŝszych wyków moŝa stwerdzć, Ŝe ajbardzej stablym estymatorem zmeośc jest t-estymator. Natomast występujące obserwacje odstające mają sly wpływ a oszacowae zmeośc oblczaej jako odchylee stadardowe. Oszacowaa parametrów zastały wykorzystae do wycey opcj. RozwaŜmy przykładową europejską opcję kupa a deks WIG, której okres do wygaśęca wyos 3 mesące. Wartość deksu w du.5.6 wyosła 398 zł, zaś cea wykoaa wyos. Wola od ryzyka stopa procetowa kształtuje sę a pozome 5 % w skal roku. Wyk wycey opcj kupa przedstawoe zostały w Tabel.
9 Tabela Wartośc wycey opcj a deks WIG dla róŝych estymatorów zmeośc Wartość opcj Parametr zmeośc Model podstawowy Model odpory (bez 3 obserwacj) odchylee stadardowe 98,8 zł,39 zł A-estymator ( c = ), zł 4,3 zł t-estymator ( = 5) 6,6 zł 6,4 zł Źródło: oblczea włase PowyŜsze wyk jedye potwerdzają, Ŝe ajdokładejsze wartośc cey opcj otrzymamy stosując odpore estymatory zmeośc. ZAKOŃCZENIE Zaczee zmeośc w zarządzau ryzykem jest fudametale. W zwązku z szybkm rozwojem strumetów pochodych stałym wzrostem ryzyka, westorzy zmusze są do poszukwaa lepszych metod estymacj zmeośc, gdyŝ prawdłowe oszacowae parametru zmeośc umoŝlwa zmejszee ryzyka westycj lub osągęce wększych dochodów. Zastosowae estymatorów odporych w wycee opcj przyczy sę do dokładejszego wyzaczea wartośc opcj. LITERATURA Geske R., Torous W. 987. Volatlty ad Msprcg: Robust Varace Estmato ad Black-Scholes Call Opto Prcg, Uversty of Calfora Huber P.J. 98. Robust statstc, Wley, New York Hampel F.R., Rochett E.M., Rousseeuw P.J., Stahel W.A. 986. Robust Statstc: The approach based o fluece fuctos, Wley, New York Jakubowsk J., Palczewsk A., Rutkowsk M., Stetter Ł. 3. Matematyka fasowa, WNT, Warszawa, str.99, 8-9 Lax D.A. 985. Robust estmamators of scale: fte-sample performace log-taled symmetrc dsrtbutos, J. Am. Sta. Assoc., 8, str. 736-74 Ostasewcz W. 998. Statystycze metody aalzy daych, Wydawctwo AE m. Oscara Lagego we Wrocławu, str. 35-74 Tchertser A., Rubsov D.H. 5. Robust estmato of hstorcal volatlty ad correlato rsk maagemet, Uversty of Toroto, str. - Zuo Y. 5. Robust locato ad scatter estmators multvarate aalyss, Mchga State Uv.
3 Robust estmators of volatlty the Black-Scholes opto pcg model Summary: Correct estmato of volatlty of facal asset s the most mportat stage opto prcg. Facal tme seres have two features whch prevet use of covetoal estmators of volatltes such as outlers ad leptokurtotc tals of data dstrbutos. I ths paper, we preseted robust estmators of volatlty t- estmators ad A-estmators, whch are requred to acheve stable ad accurate results. We made comparatve aalyss of opto s values o dex WIG Warsaw Stock Exchage takg to cosderato followg volatlty parameters: stadard devato, meda absolute devato, t-estmator ad A-estmator. The values of optos were estmated by geerally kow the Black-Scholes opto prcg model. Besdes, we preseted three most popular robustess measures ad powerful tools of robust statstc for outlyg observatos detfcato. Key words: robust estmators of volatlty, t-estmator, A-estmator, Black-Scholes opto prcg model, stadard devato, meda absolute devato, outlers, fluece fucto, breakdow pot, maxmum bas.