TEORIA GIER W EKONOMII WYKŁAD : GRY W POSTACI EKSTENSYWNEJ I NORMALNEJ dr Robert Kowalczyk Katedra Analizy Nieliniowej Wydział Matematyki i Informatyki UŁ
Schemat gry. Początek gry. 2. Ciąg kolejnych posunięć (ze zbioru posunięć dopuszczalnych). 3. Posunięcia losowe (rzut monetą, tasowanie kart). 4. Osiągnięcie końca gry (wygrana, przegrana, remis). 5. Wypłaty poszczególnych graczy. 6. Koniec gry.
Przykłady gier Szachy (gra bez czynnika losowego, strategiczna, z kompletną informacją). Brydż (gra losowo-strategiczna, bez kompletnej informacji). Ruletka, orzeł i reszka (gra czysto losowa).
Dendryt, drzewo topologiczne gry Drzewem topologicznym lub dendrytem gry nazywamy zbiór węzłów zwanych wierzchołkami połączonych liniami zwanymi łukami w taki sposób aby otrzymana figura była: spójna, nie zawiera łamanych zamkniętych. drzewo topologiczne zbiór wierzchołków nie będący drzewem topologicznym (istnieje krzywa zamknięta) zbiór wierzchołków nie będący drzewem topologicznym (brak spójności)
Definicje podstawowych pojęć Niech będzie drzewem topologicznym z wyróżnionym wierzchołkiem A. Powiemy, że wierzchołek C następuje po wierzchołku B, jeśli ciąg łuków łączących A z C przechodzi przez B. Powiemy, że wierzchołek C następuje bezpośrednio po wierzchołku B, gdy C następuje po B oraz B jest połączony łukiem z C. Powiemy, że wierzchołek X jest wierzchołkiem końcowym drzewa, gdy żaden inny wierzchołek nie następuje po X. A B C C następuje po B C A B C nie następuje po B C jest wierzchołkiem końcowym
N-osobowa gra w postaci ekstensywnej Przez n-osobową grę w postaci ekstensywnej rozumiemy: Drzewo topologiczne z wyróżnionym wierzchołkiem A nazywanym punktem początkowym gry (punkt początkowy gry). Funkcję, nazywaną funkcją wypłaty, która przypisuje każdemu wierzchołkowi końcowemu drzewa pewien n- wymiarowy wektor (istnienie funkcji wypłaty). Rozbicie zbioru niekońcowych wierzchołków drzewa na n+ zbiorów S 0, S, S n nazywanych zbiorami posunięć graczy (rozbicie posunięć na losowe i poszczególnych graczy). Rodzinę rozkładów prawdopodobieństwa określonych dla każdego wierzchołka ze zbioru S 0 na zbiorze wierzchołków następujących bezpośrednio po nim (określenie randomizacji na każdym posunięciu losowym). Rozbicie każdego ze zbiorów S i, i=,2,,n, na zbiory S i j zwane zbiorami informacyjnymi, tzn. takimi, że każde dwa wierzchołki z tego samego zbioru informacyjnego maja tą samą ilość wierzchołków następujących po nich. Ponadto, żaden wierzchołek nie następuje po żadnym innym z tego samego zbioru informacyjnego (rozbicie posunięć graczy na zbiory informacyjne: gracz wie w którym zbiorze informacyjnym jest ale nie wiem w którym wierzchołku tego zbioru). Określony dla każdego zbioru S i j zbiór wskaźników I i j wraz z przyporządkowanym każdemu wierzchołkowi X ze zbioru S i j wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem zbioru I i j na zbiór wierzchołków następujących po X (definiujemy ten sam kierunek w przypadku ruchu z tego samego zbioru informacyjnego).
Gra na zbiory informacyjne Gracz I A S Gracz II B S 2 C S 2 2 D E F G (,) (,3) (2,2) (0,2)
Gra orzeł-reszka zbiory informacyjne A Gracz I O Gracz II B O R O S R C R S 2 D E F G (,-) (-,) (-,) (,-)
Gra w pokera gracz losowy, zbiory informacyjne S Gracz I A,A ¼ A,K ¼ S 0 K,A ¼ K,K ¼ S 2 S 2 Gracz II Sprawdź Graj Pas Graj Pas Graj Pas Graj Pas Pas (,-) (,-) (,-) Sprawdź Pas Sprawdź Pas Sprawdź Pas (,-) S 2 2 (0,0) (-,) (3,-3) (-,) (3,-3) (-,) (0,0) (-,)
Gra z kompletną informacją Powiemy, że informacja i-tego gracza jest kompletna, gdy wszystkie jego zbiory informacyjne S i j składają się z dokładnie jednego wierzchołka. Powiemy, że jest grą z kompletną informacją, gdy informacja każdego gracza jest kompletna. Inaczej mówiąc: gra jest grą z kompletną informacją, gdy każdy z graczy w danym momencie gry wie wszystko o ruchach pozostałych graczy. Szachy i warcaby, to gry z kompletną informacją. Brydż i poker, to gry bez kompletnej informacji (jest czynnik losowości).
Definicja strategii w grze Strategią i-tego gracza nazywamy funkcję i, która przyporządkowuje każdemu zbiorowi informacyjnemu S i j dla i-tego gracza jeden ze wskaźników ze zbioru I ij. Zbiór wszystkich strategii i-tego gracza oznaczamy symbolem i. Inaczej mówiąc: Strategia i-tego gracza, to kompletny opis jego postępowania w każdej możliwej sytuacji, tzn. takiej w której to on ma wykonać posunięcie.
Wypłata n-graczy, postać normalna gry Wypłatą n-graczy nazywamy wartość oczekiwaną funkcji wypłaty każdego z n-graczy, tzn. (, 2,, n )=( (, 2,, n ), 2(, 2,, n ),, n(, 2,, n )), przy założeniu, że i-ty gracz używa strategii i i. Tablicując funkcję wypłaty (, 2,, n ) dla wszystkich możliwych wartości, 2,, n (przez utworzenie n-wymiarowej macierzy, której elementami są n-wymiarowe wektory) dostajemy postać normalną gry.
Strategie i wypłaty w grze - Gracz I A S Gracz II Gracz I B->D C->F B->D C->G B->E C->F B->E C->G Gracz II B S 2 C S 2 2 A->B (,) (,) (,3) (,3) D E F G (,) (,3) (2,2) (0,2) A->C (2,2) (0,2) (2,2) (0,2)
Strategie i wypłaty w grze orzeł-reszka A Gracz I O Gracz II B O R O S R C R S 2 D E F G (,-) (-,) (-,) (,-) Gracz I Gracz II {B,C}->D {B,C}->F {B,C}->E {B,C}->G A->B (,-) (-,) A->C (-,) (,-)
Gra w wybór liczby Dokonujemy losowego wyboru liczby całkowitej z ze zbioru {,2,3,4} (każdej z prawdopodobieństwem ¼). Gracz I nie znając wyniku losowania wybiera liczbę całkowitą x ze zbioru {,2,3,4}. Gracz II nie znając wyniku losowania oraz wyboru gracza I wybiera liczbę całkowitą y ze zbioru {,2,3,4}. Wektor wypłaty określamy następująco: ( y-z - x-z, x-z - y-z ). Gracz II Gracz I 2 3 4 (0, 0) (-½, ½) (-½, ½) (0,0) 2 (½, -½) (0, 0) (0, 0) (½, -½) 3 (½, -½) (0, 0) (0, 0) (½, -½) 4 (0, 0) (-½, ½) (-½, ½) (0,0)
Układ n-strategii w równowadze Powiemy, że układ n-strategii ( *, 2*,, n* ) jest w równowadze, gdy i ( *, 2*,, i-*, i, i+ *,, n* ) i ( *, 2*,, n* ) dla wszystkich i =,2,,n oraz dowolnej strategii i i. Inaczej mówiąc: układ n-strategii jest w równowadze, gdy żaden z graczy nie ma powodu by zmieniać swoją strategię o ile tylko żaden z pozostałych graczy nie zmieni swojej.
Przykład i zasadnicze twierdzenie Gra w której zarówno (, ) oraz ( 2, 2 ) są parami strategii w równowadze. Twierdzenie Każda gra skończona (tzn. taka, że jej dendryt zawiera tylko skończoną ilość wierzchołków) n-osobowa z kompletną informacją ma układ n-strategii w równowadze. G. Owen, Teoria Gier Gracz II Gracz I 2 (2,) (0,0) 2 (0,0) (,2)
DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ dr Robert Kowalczyk Wydział Matematyki i Informatyki UŁ