DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolske Semnarum Naukowe, 4 6 wrześna 2007 w Torunu Katedra Ekonometr Statystyk, Unwerset Mkołaja Kopernka w Torunu Tadeusz Kufel, Paweł Kufel Unwerset Mkołaja Kopernka w Torunu Postulat zgodnośc a początk dynamcznego modelowana ekonometrycznego 1. Wprowadzene Zastosowane aparatu matematycznego do opsu relacj zwązków mędzy różnym zjawskam ekonomcznym prowadz do budowy model ekonometrycznych. Modele budowane dla procesów stochastycznych, czyl dla danych chronologcznych lub naczej dla danych zawartych w postac szeregów czasowych nazywamy modelam dynamcznym. Ogólną defncję modelu dynamcznego podaje Balasko (1984, s. 125), dynamczny model ekonometryczny opsuje zmany w czase wartośc kolejnych obserwacj zmennej ekonomcznej. Natomast defncja przedstawona w pracy Talaga, Zelńsk (1986, s. 179) jest następująca: przez dynamczny model ekonometryczny rozume sę model opsujący zależnośc mędzy endogencznym procesam stochastycznym oraz zależnośc tych procesów od stochastycznych determnstycznych procesów egzogencznych. Punktem wyjśca koncepcj budowy wstępnej specyfkacj dynamcznych model ekonometrycznych były różne założena. Jedne dotyczyły zwązków przyczynowych struktur współzależnoścowych, a nne struktur wewnętrznych procesów z pomnęcem przyczynowośc, a jeszcze nne zakładały uwzględnene jednego drugego założena. Autorem koncepcj dynamcznego modelowana zgodnego 1, które uwzględna jedno druge założene jest Profesor Zygmunt Zelńsk. Przez zgodność modelu w sense Zelńskego rozume sę zgodność harmoncznej struktury procesu objaśnanego z łączną harmonczną strukturą procesów objaśnających 1 Por. Zelńsk (1984), (1991), Talaga, Zelńsk (1986).
20 Paweł Kufel, Tadeusz Kufel oraz procesu resztowego, który jest nezależny od procesów objaśnających. Model, w którym wszystke wykorzystywane procesy mają własnośc bałoszumowe jest zawsze modelem zgodnym, tj. modelem o postac: ε = k = 1 ρ ε x t + ε. (1) t Model (1) jest zgodny, poneważ struktury harmonczne procesów po lewej prawej strone równana są dentyczne podobne do sebe lub naczej spektra tych procesów są równoległe w przebegu do os częstośc. Nech Y t X t (=1,..,k) oznaczają odpowedno proces endogenczny wektor procesów objaśnających, dla których modele podstawowe, opsujące ch wewnętrzną strukturę, są następujące: modele opsujące składnk nestacjonarne: Y t X gdze: = P t procesów, + S x t + η, x t = P + S + η, (2) P, P xt S, S x t welomanowe funkcje zmennej czasowej t dla odpowednch xt składnk sezonowe o stałej lub zmennej ampltudze wahań dla odpowednch procesów, η, η stacjonarne autoregresyjne procesy xt odnoszące sę do odpowednch procesów; modele autoregresyjne: B A ( u) η = ε, ( u) x t ε x t η =, (3) gdze: B(u), A (u) stacjonarne autoregresyjne operatory, dla których wszystke perwastk równana B(u) = 0 A (u) = 0 leżą poza okręgem jednostkowym, ε, ε bałe szumy dla odpowednch procesów. xt Znajomość wewnętrznej struktury wszystkch badanych procesów umożlwa budowę dynamcznego modelu zgodnego na podstawe zależnośc dla bałoszumowych składnków opsanej modelem (1). Model zgodny dla rzeczywstych procesów Y t X t uzyskuje sę przez następujące podstawena: do równana (1) podstawa sę bałe szumy z równań (3), następne z równań (2) wyznacza sę autoregresyjne procesy η, η wstawa sę je do poprzedno otrzymanego równana. Po dalszych przekształcenach otrzymuje sę następujący model: B k * ( u) Yt A ( u) X t + Pt + St t = =1 xt + ε. (4) W modelu (4) proces resztowy ε t jest tak sam jak w modelu (1). Oznacza to, że warunek zgodnośc struktur harmoncznych obu stron równana został spełno-
Postulat zgodnośc a początk dynamcznych model ekonometrycznych 21 ny. Model zgodny (4) zawera wszystke wewnętrzne składnk poszczególnych procesów. W skróce naszkcowana koncepcja dynamcznego modelowana zgodnego zwraca uwagę na koneczność uwzględnena już na etape specyfkacj modelu nformacj o wewnętrznej strukturze zastosowanych procesów do których zalczamy: - składnk trendowy sezonowy, - składnk autoregresyjny. Celem artykułu jest zaprezentowane początków specyfkacj elementów wewnętrznej struktury dynamcznych model ekonometrycznych. 2. Składnk trendowy sezonowy Przykłady najstarszego podejśca realzującego postulat zgodnośc, aby w modelu uwzględnć składnk perodyczny lub wyelmnować wpływ tego składnka można znaleźć już w pracy W.S. Jevons z 1862 r., który napsał następujące zdane 2 : Every knd of perodc fluctuaton, whether daly, weekly, monthly, quarterly, or yearly, must be detected and exhbtve, not only as a subject of study n tself, but because we must ascertan and elmnate such perodc varatons before we can correctly exhbt those whch are rregular or non-perodc, and probably of more nterest and mportance 3 Potrzeba takch badań dostrzeżona została przez Jevonsa na podstawe analz dzennych raportów handlowych 4. Poprawna analza zwązków wymaga, aby uwzględnać lub elmnować obserwowane cyklczne składnk z procesów. Budowę dynamcznych model ekonometrycznych z uwzględnenem jednego drugego założena, dotyczącego uwzględnana teor ekonom jako podpowedz co do struktury przyczynowej włączana elementów struktury procesu do specyfkowanego modelu, można już było spotkać na początku XX weku. W pracach Jevonsa, Moore a, Hookera, Pearsona, Langego można znaleźć wele elementów badana struktury procesów wykorzystana tych nformacj w modelowanu 5. Elmnacja z procesów składnka trendowego lub sezonowego poprzez odjęce lub włączene do modelu tych składnków jest tu naj- 2 W.S. Jevons (1862, s. 4), w pracy: Hendry, Morgan (1995), s. 113 121. 3 Tłumaczene: Każdy rodzaj perodycznych wahań, czy to dzennych, tygodnowych, mesęcznych, kwartalnych lub rocznych, mus zostać zbadany zaprezentowany, ne tylko jako temat studów sam w sobe, ale mus być, to wahane wyodrębnone wyznaczone zanm przejdze sę do prezentowana (badana) tych zmennośc, które są neregularne neperodyczne, prawdopodobne te zmennośc są bardzej nteresujące o wększym znaczenu. 4 W.S. Jevons (1862, s. 3), w pracy: Hendry, Morgan (1995), s. 113 121. 5 Szersze omówene zagadneń wykorzystana nformacj o wewnętrznej strukturze procesów w różnych koncepcjach modelowana ekonometrycznego można znaleźć w pracy Kufel (2002), rozdzał 1.
22 Paweł Kufel, Tadeusz Kufel lepszym przykładem. Najczęścej włączene tych składnków do zestawu zmennych wynkało tylko z ntucj badacza. Twerdzene Frscha Waugha (1933, s. 387 401) wskazuje, że wprowadzona zmenna czasowa t do równana elmnuje trend lnowy z wszystkch wykorzystywanych procesów w równanu. Tntner (1952, s. 301) rozszerzył twerdzene Frscha Waugha na przypadek trendów welomanowych, a Lovell (1963, s. 993 1009) na składnk sezonowy. Z twerdzeń Frscha Waugha, Tntnera Lovella wynka, że włączene elementów wewnętrznej struktury procesów (trendu, sezonowośc) do modelu elmnuje z wszystkch wykorzystywanych procesów te elementy. Należy pamętać, aby nterpretację parametrów takego modelu odnosć do zależnośc pomędzy procesam ekonomcznym, z których zostały wyelmnowane składnk trendowo-sezonowe, czyl do częśc stacjonarnej procesu. Perwsze prace Moore a z początków XX weku dotyczące analz dynamcznych w Stanach Zjednoczonych były zwązane z badanam dynamk procesów rolnczych. Amerykańsk statystyk Henry L. Moore wykorzystał korelację weloraką regresję do analzy szeregów czasowych plonów zemopłodów w zależnośc od ch cen w czase żnw od pozomu opadów deszczu. Wykorzystując transformacje Fourera perodogram wyznaczył cykle welkośc opadów deszczu o długośc 8 33 lata, które określał jako cykle całkowce nezależne od zjawsk ekonomcznych, czyl jako czysto egzogenczne procesy. Jevons Moore podchodzl do analzy cykl konunkturalnych w sposób statystyczny, a ne meroryczny, tj. od strony przyczyn ekonomcznych. Byl jednak perwszym badaczam, którzy poszukwal perodycznej przyczyny dla perodycznego skutku, tzn. perodyczne powtarzającego sę zjawska gospodarczego, którym był cykl konunkturalny (Morgan (1990), s. 39). Zatem kerunek ch poszukwań, w sense uwzględnana w modelowanu postulatu zgodnośc struktur procesów ekonomcznych, był poprawnym postępowanem. Czas t, który występuje w równanu popu, odgrywa rolę zastępczą, albowem czas jako tak ne stanow przyczyny powodującej zmanę popu. Oczywśce byłoby pożądane, aby we wzorze określającym pop wystąpły explcte te czynnk, które zmenają sę z begem czasu. [...] Trend jest rezultatem nnych ne uwzględnonych tutaj składnków oddzaływujących na pop (Lange (1961), s. 126, 130). Wprowadzene zmennej czasowej do równana było pożądanym zabegem z punktu wdzena elmnacj nestacjonarnośc, z punktu wdzena dentyfkowalnośc otrzymanych parametrów równana. Włączne do równana zmennej czasowej t w późnejszych zastosowanach stało sę częstym zabegem, przy czym zmennej tej przypsywano tylko rolę czynnka zastępczego, a ne elementu oczyszczającego procesy z nestacjonarnośc średnej. Wszystke te zabeg z jednej strony przyczynały sę do lepszego opsu zależnośc zjawsk ekonomcznych, a z drugej wskazywały na pewne elementy struktury zjawsk, które koneczne należy uwzględnć przy budowe modelu.
Postulat zgodnośc a początk dynamcznych model ekonometrycznych 23 Metody wyodrębnana składnków procesu opsał Oskar Lange w swojej pracy z 1931 roku, pod tułem: Statystyczne badane konjunktury gospodarczej. W pracy tej przedstawł metodologę rozłożena szeregu chronologcznego na składnk. Wyodrębnł cztery następujące składnk: trend, wahana sezonowe, wahana cyklczne konunkturalne wahana neregularne. Lange w pracy z 1931 przedstawł sposoby wyodrębnana wszystkch składnków procesu. Dla przykładu: wahana cyklczne (konunkturalne) wyodrębnł także za pomocą analzy harmoncznej, w której oszacowany perodogram był podstawą wyboru harmonk do oceny długośc sły cyklu (Lange (1931), s. 125 131). Praca Langego z 1931 roku jest perwszym dzełem w języku polskm, prezentującym szerok wachlarz metod opsu składnków szeregu czasowego. Postulat zgodnośc struktur procesów wykorzystywanych w budowe dynamcznych model ekonometrycznych przejawał sę już w pracy Oskara Langego z 1931 roku w stwerdzenu, że każdy składnk procesu ma swoją grupę przyczyn. Zakłada sę, że przyczyny, kształtujące przebeg tych szeregów, dają sę podzelć na cztery grupy, z których każda wywołuje pewne skutk statystyczne wymerne. Grupy te są następujące: 1) przyczyny, dzałające stale poprzez dłuższy przecąg czasu (klkanaśce lat, klkadzesąt lat), 2) przyczyny, których dzałane powtarza sę perodyczne w pewnych określonych porach każdego roku albo mesąca (np. każdej jesen, albo pod konec każdego mesąca), 3) przyczyny, powodujące cykle konunkturalne wreszce, 4) przyczyny, których skutk są do tego stopna neregularne, że ne dają sę ująć w jakś ogólny schemat. Każda z wymenonych grup przyczyn wywołuje pewne skutk loścowe wpływa w pewen sposób na przebeg szeregu statystycznego, wywołując pewen specjalny rodzaj zman, zachodzących w szeregu statystycznym. Wobec tego można zmany, zachodzące w szeregach statystycznych, poklasyfkować na cztery grupy, stosowne do przyczyn, które je wywołują. [...] Chodz zatem o rozłożene szeregu statystycznego na cztery składnk, tj. na trend, na wahana sezonowe, na zmany cyklczne oraz wahana neregularne, w ten sposób, żeby każdy składnk przedstawał skutk, będące wynkem dzałana jednego z wymenonych kompleksów przyczyn. Znaczy to, że uważa sę szereg empryczny, przedstawający faktyczny przebeg procesu gospodarczego, za wypadkową czterech szeregów perwotnych, z których każdy powstaje pod wypływem tylko jednego z wymenonych czterech kompleksów przyczyn (Lange (1931), s. 69 72). W welu modelach ekonometrycznych pojawały sę zmenne zerojedynkowe dla wybranych okresów, w celu opsana netypowej zmany wartośc średnej procesu. W pracy Welfego (1977, s. 95 115) przedstawono klkanaśce sposobów wykorzystana zmennych zero-jedynkowych do poprawy specyfkacj dynamcznych model ekonometrycznych po to, aby uwzględnć
24 Paweł Kufel, Tadeusz Kufel zmany wartośc średnej procesów, zmany parametrów strukturalnych (w tym także wyrazu wolnego), zmenność warancj tym podobne. Wykorzystane zmennych zero-jedynkowych należy traktować jako element poprawy uzgodneń harmoncznych pomędzy procesam objaśnającym z procesem objaśnanym, które w lepszy sposób opsują zmenność parametru wolnego w modelu ekonometrycznym 6. Take pojmowane oddzaływana przyczyn na skutk oznacza, że modelując wyodrębnone składnk skutk należy wykorzystać określony zestaw przyczyn dzałający na dany składnk, czyl zachować zgodność struktur procesów przyczyn procesów skutków, np. przyczyny dzałające perodyczne wyjaśnają perodyczne skutk tp. Powyższe określena sformułowane przez Langego przejawające sę ntucyjne w pracach dotyczących badań konunktury należy traktować jako dążene do spełnena późnej sformułowanego postulatu Grangera (1981) zgodnośc struktur danych, czy też postulatu Zelńskego (1985) o harmoncznej zgodnośc modelowanych struktur. 3. Składnk autoregresyjny Występowane składnka autoregresyjnego w modelu ekonometrycznym przejawa sę w forme procesów opóźnonych, które spełnają podwójną rolę w modelu jako czynnk przyczynowy uzgadnający strukturę harmonczną. Na przykład Moore budując równana cen zauważył, że dla nektórych rolnczych towarów (zboże, zemnak, sano) zależność jest jednoczesna, tzn. tempo przyrostów ceny zboża ΔP / Pt 1 zależy od tempa przyrostu zborów Δ Q, a tempo przyrostu zborów ΔQ Q zależy od tempa przyrostu Q / t 1 / t 1 ceny z poprzednego okresu ΔP t 1 / Pt 2. Budowa model ekonometrycznych dla temp przyrostów, a ne dla orygnalnych szeregów, wynkała z ntucj Moore a o konecznośc dokonana transformacj zmerzających do wyelmnowana efektów szoków klmatycznych na zbory zemopłodów cen. Jednak przekształcene tych procesów w przyrosty względne należy traktować jako zastosowane fltracj różncowej dla elmnacj nestacjonarnośc warancj procesu. Był to pożądany zabeg w przypadku procesów podlegających dzałanu klmatycznych szoków, które wywoływały zmenność warancj. Elmnacja zmennośc warancj procesu jest jednym z warunków poprawnego modelowana ekonometrycznego. Wprowadzene opóźnonej ceny zostało przez Moore'a znterpretowane jako oczekwana beżąca cena (ang. expected current prce, Epsten (1987), s. 18), która wpływała na zachowane sę producentów bawełny przez to, że decyzje o przyszłej produkcj (t+1) formułowal on na podstawe oczekwanej ceny równej cene z beżącego okresu t. Interpretacja przez Moore a czynnka ceny 6 Por. Zelńsk (1984), s. 146.
Postulat zgodnośc a początk dynamcznych model ekonometrycznych 25 jako oczekwanej wartośc skłana do traktowana modelu (3) jako jednego z perwszych model oczekwań gospodarczych. Moore był głęboko przekonany, że wyjaśnene wahań cyklcznych znalezene praw je opsujących jest podstawowym problemem badana dynamk zjawsk ekonomcznych (ang. fundamental problems of economc dynamcs por. Moore (1914)) 7. Z tego powodu należy uważać Moore a za prekursora badań wewnętrznej struktury procesów w obecnym rozumenu. Następcam Moore a w badanach cyklcznośc w procesach gospodarczych, a szczególne w procesach rolnczych byl w Stanach Zjednoczonych: Henry Schultz (uczeń Moore'a) Holbrook Workng (por. Epsten (1987), s. 13 33; Lange (1961), s.91 188). Osągnęca Schultza, na które warto zwrócć uwagę, dotyczą także zagadneń zgodnośc struktur danych oraz opóźneń czasowych. I tak, Schultz wyznaczając krzywe popu na produkty rolne otrzymał ujemny współczynnk pomędzy ceną a welkoścą popu. Do wyznaczena krzywej podaży na produkty rolne wprowadzł do równana podaży cenę z okresu poprzednego. Analzując zwązk pomędzy popem, podażą ceną Schultz jako perwszy wykorzystał cenę jako zmenną opóźnoną w czase, ale było to możlwe tylko dla produktów rolnczych, w których roczne opóźnene w pojawenu sę nowej produkcj umożlwało zastosowane tego typu rozwązana. Dla produktów przemysłowych ne mało to zastosowana, gdyż cykle produkcj przemysłowej trwają krócej, najczęścej 1 mesąc, 3 mesące, a najwyżej pół roku. W nnych pracach Schultz, ne znając metod szacowana równań współzależnych, budował równana popu podaży, wprowadzał do równań zmenne dodatkowe. I tak w równanu popu na męso wołowe uwzględnał cenę męsa weprzowego fundusz płac. Przy braku typowych czynnków ekonomcznych Schultz wprowadzał do równana zmenną czasową w forme trendu lnowego bądź kwadratowego. W latach sedemdzesątych pojawły sę nowe nurty w ekonometr. Zwązane one były z kryką dotychczasowego modelowana, czyl modelowana dla zmennych ekonomcznych, a ne dla procesów stochastycznych. Przykłady takej kryk można znaleźć w pracach Hendry ego 8, który twerdz, że w celu modelowana danych, ekonometrycy pownn stosować najnowsze technk mocne testowane; oznacza to, że odkrywane zależnośc statystyczne pownny być wyżej stawane od teor. Powstałe najnowsze koncepcje modelowana dynamcznego dotyczą: od ogółu do szczegółu, ntegracj kontegracj, modelowana VAR, VECM, ARIMA, GARCH wykorzystują elementy wewnętrznej struktury modelowanych procesów. 7 Por. Morgan (1990), s. 26. 8 Zbór przedruków welu artykułów dotyczących tej kryk można znaleźć w pracy: Hendry (2000).
26 Paweł Kufel, Tadeusz Kufel Lteratura Balasko, Y. (1984), The Sze of Dynamc Econometrc Models, Econometrca, vol. 52. Epsten, R. J. (1987), A Hstory of Econometrcs, Elsever Scnce Publshers, North Holland. Frsch, R., Waugh F. (1933), Partal Tme Regressons as Compared wth Indvdual Trends, Econometrca, vol. 1, 387 401. Granger, C. W. J. (1981), Some Propertes of Tme Seres Data and Ther Use n Econometrc Model Specfcaton, Journal of Econometrcs, vol. 16. Hendry, D. F. (2000), Econometrcs: Alchemy or Scence? New Edton. Oxford: Oxford Unversty Press. Hendry, D.F., Morgan, M.S. (1995), The Foundatons of Econometrc Analyss, Cambrdge Unversty Press, Cambrdge. Jevons, W.S. (1862), On the Study of Perodc Commercal Fluctuatons, Read to the Brtsh Assocaton n 1862 oraz Investgatons n Currency and Fnance, Macmllan, 1884, 3 10. Kufel, T.(2002), Postulat zgodnośc w dynamcznych modelach ekonometrycznych, Wydawnctwo UMK Toruń. Morgan, M. S. (1990), The Hstory of Econometrc Ideas, Cambrdge Unversty Press. Lange, O. (1931), Statystyczne badane konjunktury gospodarczej, Drukarna Unwersetu Jagellońskego, Kraków. Lange, O. (1961), Wstęp do ekonometr, wyd. 5, PWN, Warszawa. Lovell, M. C. (1963), Seasonal Adjustment of Economc Tme Seres and Multple Regresson Analyss, Journal of Amercan Statstcal Assocaton, no 58, New York. Moore, H. (1914), Economc Cycles: Ther Law and Cause, New York, MacMllan, s. 68 80. Sms, C. A. (1980), Macroeconomcs and Realty, Econometrca, vol. 48, no. 1, 1 48. Talaga, L., Zelńsk, Z. (1986), Analza spektralna w modelowanu ekonometrycznym, PWN, Warszawa. Tntner, G. (1952), Econometrca, John Wley & Sons, New York. Welfe, W. (red.), (1977), Metody ekonometryczne, t. I, PWE, Warszawa. Wśnewsk, J. W., Zelńsk, Z. (1985), Ekonometra, cz. I, Wydawnctwo UMK Toruń. Zelńsk, Z. (1984), Zmenność w czase strukturalnych parametrów modelu ekonometrycznego, Przegląd Statystyczny, R. XXXI, z. 1/2, 135 148. Zelńsk, Z. (1985), Lnowe modele opsujące zależnośc stacjonarnych procesów ekonomcznych, w: Wśnewsk, J. W., Zelńsk, Z. (1985), Ekonometra, cz. I, UMK Toruń, 277 346. Zelńsk, Z. (1991), Lnowe modele ekonometryczne jako narzędze opsu analzy przyczynowych zależnośc zjawsk ekonomcznych, Wydawnctwo UMK, Toruń.