ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki.

Wst ep do matematyki aktuarialnej Micha l Jasiczak Wyk lad 9 Analiza pewnego problemu i krótkie przypomnienie, czyli Powtarzanie jest matka nauki. 1

Zadanie (29) zawar l umowe kredytu w momencie ukończenia 29 roku życia. Zgodnie z ta umowa (29) rozpocznie sp late kredytu po up lywie 3 lat od podpisania umowy. Raty w wysokości 500P LN p lacone bed a przez 20 lat na poczatku każdego miesiaca. Zaproponować ubezpieczenie, które zabezpiecza sp late tego kredytu. Zapisać wzór pozwalajacy wyznaczyć JSN na podstawie TTŻ przy za lożeniu HU. 2

Rozwiazanie musi zawiarać dwa elementy: 1. Warunki ubezpieczenia, które zabezpiecza sp lat e kredytu, tzn.: określenie jak zmienia si e suma ubezpieczenia, moment wyp laty. 2. Zależność pozwalajac a wyznaczyć JSN na podstawie TTŻ wraz z wyjaśnieniem użytych symboli. 3

Podstawowe pytanie: Kiedy może nastapić wyp lata? Rozsadna odpowiedź: W momentach kiedy kredytodawca oczekuje zap laty kolejnej raty. To znaczy: Na poczatku każdego miesiaca po up lywie 3 lat od podpisania umowy i przed up lywem 23 lat. 4

Znamy odpowiedź na pytanie kiedy może nastapić wyp lata z tytu lu ubezpieczenia. Kolejne pytanie: W jakiej wysokości? Dok ladniej, jaka bedzie p latność, jeżeli wyp lata nastapi w j-tym miesiacu k-tego roku? 5

Tutaj mamy pewna swobode wyboru! Możemy przyjać, że ubezpieczyciel bedzie p lacić zaleg le raty za zmar lego ubezpieczonego w terminach sp laty kolejnych rat. To znaczy: jeżeli ubezpieczony umrze przed rozpoczeciem sp lat, to w pierwszym miesiacu po up lywie 3 lat zak lad ubezpieczeń zap laci pierwsza rate, w kolejnym druga itd. Jeżeli ubezpieczony umrze po rozpoczeciu sp lacania kredytu, to pierwsza wyp lata z tytu lu ubezpieczenia nastapi na poczatku kolejnego miesiaca po śmierci ubezpieczonego, p latności bed a kontunuowane w kolejnych miesiacach, aż sp lacone zostana wszystkie zaleg le raty. 6

Kolejny krok: Zamiana s lów na matematyk e. Narz edzia: v - czynnik dyskonta K x = T x - przysz ly ca lkowity czas życia (x) S x = T x K x - przysz ly u lamkowy czas życia S (m) x = ms x+1 m. 7

Czynnik dyskonta Różne możliwości: v czynnik dyskonta odpowiadajacy rocznej efektywnej stopie procentowej przy kapitalizacji miesiecznej... v czynnik dyskonta odpowiadajacy rocznej efektywnej stopie procentowej przy kapitalizacji dziennej v czynnik dyskonta odpowiadajacy miesiecznej efektywnej stopie procentowej... 8

Kolejny wybór to liczba podokresów (ziemskiego roku!) m = 12 - przecież mówimy o miesiacach m = 52 - możemy liczyć tygodnie m = 360 - lub dni. 9

Przyjmijmy wi ec: v czynnik dyskonta odpowiadajacy rocznej efektywnej stopie procentowej przy kapitalizacji miesiecznej m = 12 10

Wartość obecna wyp laty: Pierwsza próba K 29 = n, S (12) 29 = l 12 Z = 500 [ 12 j=l n = 3,..., 22, l = 1,..., 12. v n+ j 12 + 22 12 k=n+1 j=1 v k+ j ] 12 Czy to jest dobrze? 11

B l edy: Wzór nie uwzgl ednia śmierci przed rozpocz eciem sp lat, tzn. K 29 < 3! Zgodnie ze wzorem p latność może także nastapić na koniec ostatniego miesiaca trwania umowy! 12

Poprawka K 29 = n, S (12) 29 = l 12 K 29 < 3 Z = 500 Z = 500 [ 12 n = 3,..., 22, l = 1,..., 12. v n+ j 12 + 22 12 k=3 j=1 21 12 j=l k=n+1 j=1 11 + v 22+ j ] 12 j=1 v k+j 1 12, v k+ j 12 Czy to jest dobrze? 13

Jeżeli K 29 = n = 22 to mamy k lopot!. Zgodnie bowiem ze wzorem Z = 500 [ 12 j=l v 22+ j 12 + 11 j=1 Liczymy wi ec to samo dwa razy! v 22+ j ] 12. 14

Komentarze: Jeżeli K 29 < 3, to nie ma znaczenia ile wynosi S (12) 29! Jeżeli K 29 [3, 22], to pierwszy rok liczymy inaczej! Musimy pamietać o tym, że p latności w pierwszym miesiacu po śmierci. 15

W laściwy napis: K 29 = n, S (12) 29 = l 12 K 29 < 3 Z = 500 Z = 500 [ 11 j=l n = 3,..., 22, l = 1,..., 12. v n+ j 12 + 22 12 k=3 j=1 22 12 k=n+1 j=1 v k+j 1 12, ] v k+j 1 12 Uwaga (n, l) (22, 12)! 16

Jednorazowa sk ladka netto: [ 500 + 500 22 12 k=3 j=1 22 12 [ 11 n=3 l=1 ] v k+j 1 12 P (K 29 < 3) j=l v n+ j 12 + P (K 29 = n, S (12) 29 = l 12 ) 22 12 k=n+1 j=1 ] v k+j 1 12 17

Za lóżmy teraz, że v jest czynnikiem dyskonta odpowiadajacym miesiecznej efektywnej stopie procentowej. Ta sama zależność przyjmuje postać: [ 500 + 500 22 12 k=3 j=1 22 12 [ 11 n=3 l=1 v 12k+j 1 ]P (K 29 < 3) j=l v 12n+j + P (K 29 = n, S (12) 29 = l 12 ) 22 12 ] v 12k+j 1 k=n+1 j=1 18

Jak zapisać P (K 29 = n, S (12) 29 = l 12 ), przy pomocy S (360) 29? P ( K 29 = n, 30(l 1) 360 A przy pomocy S (52) P ( K 29 = n, 29 : 4(l 1) 52 S (360) 29 < 30l ) 360 S (52) 29 < 4l ). 52 19

Przypomnijmy problem, którym zajmowaliśmy si e poprzednio: Rozważmy portfel n ubezpieczeń (na przyk lad na życie lub rentowych). Wyznaczyć kwot e, która z zadanym poziomem prawdopodobieństwa wystarczy na wyp laty z tytu lu ubezpieczenia. Niech Z k bedzie wartościa obecna wyp laty z k-tej polisy. Uzasadniliśmy, że P gdzie: ( 1 n n k=1 Z k JSN + u σ n ) Φ(u), 1. Φ - dystrybuanta standardowego rozk ladu normalnego, 2. σ - odchylenie standardowe. 20

Metoda pracuje, jeżeli wszystkie zmienne Z k rozk lad, maja taki sam zmienne Z k sa niezależne. G lówny wniosek Wraz ze wzrostem portfela sk ladka gwarantujaca wyp lacalność z zadanym prawdopodobieństwem maleje do JSN. Wraz ze wzrostem portfela ta sama kwota gwarantuje wi eksze bezpieczeństwo. 21

Reasekuracja - to umowa, na mocy której jeden zak lad ubezpieczeń, zwany cedentem odstepuje ca lość lub cześć ubezpieczonego ryzyka badź grupy ryzyk określonego rodzaju, wraz z odpowiednia cześci a sk ladek innemu zak ladowi ubezpieczeń, zwanemu reasekuratorem, który zobowiazuje sie do zap laty cedentowi odpowiedniej cześci świadczeń wyp laconych ubezpieczajacym. Czesta praktyka to wymiana udzia lów w umowach reasekuracyjnych. 22

Matematycznym celem reasekuracji jest miedzy innymi dażenie do tego, aby ubezpieczane ryzyka by ly niezależne. Na przyk lad pożar u Paw la i Gaw la... 23

Margines wyp lacalności to wskaźnik bezpieczeństwa firmy ubezpieczeniowej, który ubezpieczyciel jest zobowiazany obliczać na koniec każdego, określonego w prawie, okresu sprawozdawczości. Margines wyp lacalności oblicza si e stosownie do rodzaju i d lugości umowy. Kluczowe czynniki majace wp lyw na wysokość marginesu wyp lacalności to wielkość rezerw oraz procentowy udzia l reasekuratora w tych rezerwach. 24

Przypadek ubezpieczenia od wi ekszej liczby zdarzeń p latnego w momencie zakończenia umowy. gdzie: JSN = m j=1 0 c jte δt f(t, j)dt, 1. c jt oznacza sume p latna w momencie t, jeżeli do zakończenia umowy dosz lo na skutek przyczyny j {1,..., m}, 2. f(t, j) = t [ tq x (j) ] = t P (T x t, J x = j). 25

Przypadek ubezpieczenia od wi ekszej liczby zdarzeń p latnego na koniec roku, w którym dosz lo do zakończenia umowy. JSN = m j=1 k=0 c j,k+1 v k+1 P (K x = k, J x = j). 26