Aca Woy WRAŻLIWOŚĆ WYNIKU TECHNICZNEGO ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ NA ZMIANĘ POZIOMU REZERWY SZKODOWEJ Wstęp Załad ubezpeczeń est zobgoway do tworzea fuduszu ubezpeczeowego sładaącego sę z rezerw techczo-ubezpeczeowych podzeoych a trzy grupy: rezerwy zwązae ze sładą, rezerwy zwązae z odszodowaem/śwadczeem, rezerwy meszae. W opracowau poruszoo probem auac rezerwy a ewypłacoe odszodowaa śwadczea (dae zwaą rezerwą szodową) oraz probem wyboru ostatecze wartośc rezerwy z uwzgędeem odyc fasowe załadu. Przeprowadzoo taże aazę wrażwośc wyu techczego załadu ubezpeczeń a zmaę wartośc rezerwy. Zmaa ta wya aczęśce z różorodośc metod statystyczych uzyswaych w wyu obczeń błędów szacuowych służących do auac rezerwy.. Szacowae wartośc rezerwy szodowe Ceem tworzea rezerwy szodowe est zapewee przez załad ubezpeczeń środów fasowych a wypłatę odszodowań da szód, tóre zadą ub zostaą zgłoszoe ubezpeczyceow w przyszłośc. Zatem podstawą auac rezerwy est szacowae wartośc odszodowań śwadczeń w oresach rozczeowych załadu. Pos ustawodawca dopuszcza trzy podeśca w auac rezerwy szodowe:
94 Aca Woy. Podeśce dywduae charateryzue sę tym, że wartość wypłacoego odszodowaa oraz oszty wdac szód są szacowae dywduae da ażde poedycze szody. 2. Podeśce ryczałtowe charateryzue sę tym, że wartość wypłacaego odszodowaa oszty wdac szód są ustaae zborczo da portfea ubezpeczeń. 3. Podeśce atuarae poega a ustaeu rezerwy z zastosowaem metod matematy atuarae statysty ubezpeczeowe. Podeśce to opera sę a aaze daych statystyczych dotyczących wysoośc wypłacoych odszodowań, czby wypłacoych odszodowań, opóźea w zgłaszau szody, wartośc poesoych w przeszłośc osztów wdac szód, wartośc zebrae sład oraz wysoośc fac. W podeścu atuaraym ogóa defca wartośc rezerwy szodowe ma postać: z R = C C + gdze C est szacowaą całowtą wartoścą odszodowań, tóre zostały wypłacoe ub będą wypłacoe w przyszłośc, C est wartoścą odszodowań, z tóre zostały uż wypłacoe, atomast Ks są to szacowae oszty wdac szód. Istee częśc odszodowań ewypłacoych da szód zaszłych wya główe z powodów ezgłoszea szody ubezpeczyceow, ezaończea procesu wdac szody oraz ezaończea procesu szacowaa szody. Istotą podeśca atuaraego est węc oszacowae całowte wartośc wypłacoych odszodowań C. W teraturze przedmotu zapropoowao do te pory wee metod statystyczych służących do szacowaa pozomu rezerwy szodowe * ; operaą sę oe a daych hstoryczych dotyczących wypłacaych odszodowań. Nabardze zae z tych metod to: Tarbea (Tarbe, 934), cha-adder (Straub, 988), Borhuettera-Fergusoa (Borhuetter, Ferguso, 972), Cape-Code (Struzzer, Hussa, 998), separacya (separato) (Zehwrth, 996), agebracza (Weer, 995). Zastosowae tych metod pozwaa a uzysae szacuowych wartośc rezerwy, atomast e wadomo edozacze, tóra z metod est w dae sytuac aepsza. Zatem proces szacowaa rezerwy szodowe może być wspomagay aazą wsaźów fasowych merzących odycę fasową załadu ubezpeczeń. Jedym z ceów zarządzaa załadem ubezpeczeń est prowadzee efetywe dzałaośc ubezpeczeowe. Ce te może być merzoy za pomocą wyu techczego załadu. Poeważ wartość rezerwy szodowe wpływa bezpośredo a po- K s * W zasadze e est to auaca a estymaca, eda tae sformułowae występue w teraturze przedmotu.
WRAŻLIWOŚĆ WYNIKU TECHNICZNEGO ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ... 95 zom wyu techczego, stota est węc aaza wrażwośc wyu techczego a orety weośc rezerwy szodowe (w ramach przedzału zmeośc rezerwy uzysaego w trace statystycze aazy daych). 2. Wybór wartośc rezerwy szodowe Załad ubezpeczeń przymue zwye ochroę ubezpeczeową ryzy o różym charaterze szodowośc (w grupach ryzy). Datego też szacowae wartośc rezerwy szodowe odbywa sę oddzee da ażde grupy ryzya (z reguły w grupach ryzy występuą e rozłady szód). Zatem ostatecza wartość rezerwy szodowe est sumą rezerw da poszczegóych grup ryzy. Załóżmy, że w daym załadze ubezpeczeń występue grup ryzy oraz że rezerwa szodowa da -te grupy ryzya est auowaa za pomocą m metod obczeowych. Wtedy wszystch możwych wartośc rezerwy szodowe est m wartośc te są obczae ze wzoru: a = X,...,m, +... + X,z;, z = gdze a ozacza -tą wartość rezerwy, atomast X, ozacza wartość rezerwy da -te grupy ryzya obczoą za pomocą -te metody obczeowe. Poadto przymmy, że system wsaźów f,..., f opsue odycę fasową załadu ubezpeczeń. Do wyboru ostatecze wartośc rezerwy szodowe propouemy zastosowae modeu weoryteraego ze sończoą czbą ateratyw decyzyych, w tórym: a ateratywy decyzye, oee wartośc rezerwy szodowe, =,..., m, f fuce ryterum (założee masymazac), wsaź fasowe, =,...,. Poadto ażdemu ryterum przypsuemy wagę tóra wyraża ważość tego ryterum. w, =,...,, = w =, Ateratywy decyzye Krytera wsaź fasowe f... a f )... a ) ( a f f (............ a f ( )... f ( ) m a m Wag w... a m w
96 Aca Woy Do rozwązaa powyższego modeu została zastosowaa metoda ważoe fuc ompromsu (Weghted Sum Mode) poegaąca a wyzaczeu współczya preferec P, tóry pozwaa a utworzee ragu ateratyw decyzyych. Współczy te est defoway astępuąco: P = = f ( a, z ) w Ateratywa, tóre odpowada awęsza wartość współczya preferec, est decyzą aepszą. W powyższym modeu system wsaźów fasowych opsuących odycę fasową załadu est systemem otwartym. Ozacza to, że system może być modyfoway w przypadu, gdy stee uzasadoa potrzeba wprowadzea ub usuęca wsaźa. Pozwaa a to róweż addytywość współczya preferec, do tórego moża dodawać owe wartośc bez zmay wcześeszych obczeń. Jest to stote ułatwee w przypadu procesu wyboru rezerwy szodowe, gdyż awet w przypadu ewee czby grup ryzy oraz metod obczeowych czba możwośc est duża (p. edye 5 grup ryzy oraz 3 metody daą uż 25 ateratyw decyzyych). Poże został przedstawoy przyład obczeowy obrazuący pratycze zastosowae modeu weoryteraego. Zostały przyęte trzy grupy ryzy, da tórych pozom rezerw szodowych został oszacoway dwoma metodam obczeowym. Poadto w modeu zostały uwzgędoe 3 rytera: f peęże poryce zobowązań ubezpeczeowych, f 2 zabezpeczee zobowązań ubezpeczeowych sładą, f 3 retowość dzałaośc ubezpeczeowe oraz wag tych ryterów wyoszące odpowedo 0,; 0,3; 0,6.
WRAŻLIWOŚĆ WYNIKU TECHNICZNEGO ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ... 97 Tabea Pozom rezerwy szodowe da grup ryzy wraz z wartoścam ryterów Metoda obczeowa X X 2 X 3 f f 2 f 3 (m2,m2,m2) 2023 3060 845 34,% 27,20% 5,70% (m2,m2,m) 934 3680 856 33,46% 29,68% 3,64% (m,m2,m) 2003 340 805 34,09% 27,29% 4,2% (m2,m,m2) 234 3980 85 32,92% 3,79% 2,0% (m2,m,m) 904 3220 823 34,09% 27,28% 3,60% (m,m,m) 2000 3240 839 33,93% 27,89% 3,2% (m,m2,m2) 2098 330 823 33,96% 27,76% 2,9% (m,m,m2) 987 3000 90 34,6% 27,0% 3,20% Dae umowe. Wag 0, 0,3 0,6 Ze wzgędu a złożoość obczeową zostały przyęte edye 3 grupy ryzy oraz 2 metody obczeowe, eda możwe est wprowadzee do uładu ryterów węsze czby wsaźów. Na podstawe powyższych daych został uzysay astępuący rag wartośc rezerwy szodowe ze wzgędu a pozom fuc preferec P. Tabea 2 Łącze wartośc pozomu rezerwy szodowe a P 5928 0,499039 6470 0,443447 5948 0,42424 6929 0,408835 5947 0,37549 6079 0,3636 605 0,34705 5888 0,34403 Zatem aepsza wartość ostatecze rezerwy szodowe przy wagach ryterów a pozome 0,; 0,3; 0,6 wyos a = 6929.
98 Aca Woy 3. Aaza wrażwośc pozomu rezerwy szodowe a zmaę wag ryterów ocey Załad ubezpeczeń est ustawowo zobgoway do prowadzea edye dzałaośc ubezpeczeowe e może zamować sę bezpośredo żadym ym rodzaem dzałaośc pozaubezpeczeowe. Stąd podstawowym źródłem przychodu załadu są zebrae sład, atomast awęszym obcążeem fasowym wypłacae odszodowaa. Datego też aaza pozomu wyu techczego est ezbędym eemetem zarządzaa gospodarą fasową załadu. Zatem w procese ustaaa rezerwy szodowe (z uwzgędeem odyc fasowe załadu) waża est aaza wrażwośc modeu, a przez to wyu techczego a zmaę wartośc rezerwy. W zapropoowae metodze a wybór ateratywy decyzye stoty wpływ maą ustaoe wartośc wag. Naepsza wartość rezerwy, a przez to wartość wyu techczego, zmea sę węc w zaeżośc od tego, tóre ze wsaźów fasowych zostaą uzae za bardze stote, a tóre za me stote. W ceu przeprowadzea aazy wrażwośc decyz a zmaę wag, da zadaych wag teresuące est wyzaczee wartośc będące ameszą (moduo) zmaą pozomu wag powoduącą zmaę a perwsze pozyc w ragu ateratyw (Percet-top crtca crtero PT). Wartość ta est defowaa astępuąco (Ros Isua, 990): PT,, 00δ,, = m,, =,...,, w gdze δ ozacza ameszą zmaę wag w,, da ryterum f, tóra powoduę zamaę mescam ateratywy a oraz a. Wartość δ da wag, powoduąca zmaę w ragu a,, oraz a, mus spełać astępuące waru (Ros Isua, 990): ( P P ). δ < da,, f ( a ) > f ( a ) [ f ( a ) f ( a )] ( P P ) 2. δ,, > da f ( a ) < f ( a ) [ f ( a ) f ( a )]
WRAŻLIWOŚĆ WYNIKU TECHNICZNEGO ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ... 99 W pratyce, powyższe własośc pozwaaą a aazę zma aepsze wartośc rezerwy szodowe oraz wartośc wyu techczego ze wzgędu a ażdy wsaź fasowy. W przypadu paowaa przyszłe strateg załadu, symuaca wrażwośc wyu a ważość poszczegóych wsaźów fasowych umożwa rozpatrywae różych scearuszy wyów fasowych. W prezetowaym wyże przyładze został uzysay astępuący rag wartośc rezerwy szodowe oraz wyu techczego (ustaoe wag: 0,; 0,3; 0,6). Pozom wyu techczego załadu da uzysaych wartośc rezerwy szodowe a Rezerwa da oresu t P Wy techczy Rezerwa da oresu t- Zmaa stau 5928 0,499039 706 306 292 6470 0,443447 7648 306 3454 5948 0,42424 726 306 2932 6929 0,408835 807 306 393 5947 0,37549 725 306 293 6079 0,3636 7257 306 3063 605 0,34705 7229 306 3035 5888 0,34403 7066 306 2872 Tabea 3 Tabea 3 poazue, że wy techczy da aepsze wartośc rezerwy szodowe est zacze ższy od masymaego. Wya to z tego, że astotesze ryterum f 3 ma wagę zacze wyższą od ryterów f, f 2. Przymmy, że waga ryterum f 3 zostae zmeszoa w stosuu do ych ryterów. Stosuąc wprowadzoe powyże własośc aeży przypować, aby zmaa wag była węsza od wartośc: [ f 3 ( P P ) ( a ) f 3 ( a, = 2,..., 8 )] Ograczea doe da oeych ateratyw przedstawa tab. 4.
200 Aca Woy Tabea 4 Lp. a Wartośc rezerwy szodowe przy zmeoych wagach ryterów Wy techczy Ograczee zmay wag da ryterum f 3 Nowe wag zmeaące dera ragu w w 2 w 3 5928 706 - - - - 2 6470 7648 0,269866788 0,2349334 0,4349334 0,3303322 3 5948 726 0,5833575 0,395679 0,595679 0,06864249 4 6929 807 0,250565676 0,2252828 0,4252828 0,349434324 5 5947 725 0,588668396 0,3943342 0,5943342 0,033604 6 6079 7257 0,526663658 0,363338 0,563338 0,073336342 7 605 7229 0,54476433 0,3723822 0,5723822 0,055235669 8 5888 7066 0,62 0,39 0,59 0,02 Zatem aby p. zwęszyć wy techczy z pozomu 706 do pozomu 7648, aeży zwęszyć stotość ryterum drugego trzecego przez wzrost wag w 2, w oraz zmeszyć wagę w 3. Ustaee wag ryterów est a ogół dywduaym probemem załadu ubezpeczeń. W orete sytuac fasowo-eoomcze załady mogą zacze różć sę preferecam odośe do ważośc ceów do osągęca przy auac rezerwy szodowe. Wos Powyższa metoda umożwa w prosty sposób wybór rezerwy szodowe uwzgędaący preferece decydeta w obszarze zarządzaa gospodarą fasową załadu ubezpeczeń. Bezpośred wpływ wartośc rezerwy a wy techczy moża łatwo zauważyć w trace przeprowadzaa aazy wrażwośc ragu ateratyw decyzyych a wag ryterów. Własośc pozomu zma wag, wyorzystywae w te aaze, pozwaaą a szybe uzyswae scearuszy różących sę ważoścą ryterów, w tym przypadów wsaźów fasowych, co pozwaa a efetywe paowae odyc fasowe załadu.
WRAŻLIWOŚĆ WYNIKU TECHNICZNEGO ZAKŁADU UBEZPIECZEŃ... 20 Lteratura Borhuetter R.L., Ferguso E.F.: The Actuary ad IBNR. PCAS LIX, 972. Gaas Z., Nyows I., Żółews Z.: Programowae weoryterae. PWE, Warszawa 987. Kweceń M.: Aaza wrażwośc w zadau weoryterae ocey decyz z ważoą fucą ompromsu. W: Metody zastosowaa badań operacyych 2000. Praca zborowa pod red. D. Kopańse-Bród. AE, Katowce 200. Ros Isua D.: Sesvty Aayss Mut-Obectve Decso Mag. Lecture Notes Ecoomcs ad Mathematca Systems. Sprger-Verag, Ber 990. Straub E.: No-Lfe Isurace Mathematcs. Sprger-Verag, New Yor 988. Struzzer P.J., Hussa P.R.: Usg Best Practces to Determe a Best Reserve Estmate. CAS Reservg Ca Papers, 998, Vo., Fa. Tarbe T.F.: Icurred But Not Reported Cams Reserves. Proceedg of the CAS, 934, Vo. 20. Weer A.O.: A Agebrac Reservg Method for Pad Loss Data. CAS Forum, 995, Fa. Zehwrth B.: Three Powerfu Dagostc Modes for Loss Reservg. Research Paper No 34, Ceter for Actuara Studes, The Uversty of Meboure, Meboure 996. SENSITIVITY OF THE TECHNICAL RESULT OF THE INSURANCE COMPANY ON THE CHANGE OF THE DAMAGE RESERVE LEVEL Summary The paper presets a mut-crtera mode whch s supposed to support the choce of the surace reserve eves. The mode s based o the hstorca vaues estmated statstcay that are depedet for ay gve rs group. Crtera for the fa reserve eve have bee defed as the faca factors. Thas to the atter, t s possbe to cosder faca codto of the compay. After havg made a decso the techca resuts sestvty to the chagg reserve vaue have bee aayzed. The above metoed aayss aows to estabsh qucy the scearos wth dfferet crtera s mportace whch eabe pag the faca resuts as we as future strategy effectvey.