Ekonometria Typy zada«optymalizacyjnych Analiza pooptymalizacyjna SOLVER 22 maja 2016 Karolina Konopczak Instytut Rozwoju Gospodarczego
Problem diety Aby ±niadanie byªo peªnowarto±ciowe powinno dostarczy dziecku przynajmniej 1 jedn. witaminy B1, 4 jedn. witaminy D, 400 kalorii. Dziecko chce je± wyª cznie mleko i ciasto. 100 ml mleka kosztuje 3,8 zª i dostarcza 0,1 jedn. witaminy B1, 1 jedn. witaminy D oraz 100 kalorii. 100 g ciasta kosztuje 4,2 zª i dostarcza 0,25 jedn. witaminy B1, 0,25 jedn. witaminy D i 120 kalorii. Jaki zestaw ±niadaniowy b dzie odpowiedni dla dziecka i satysfakcjonuj cy dla oszcz dnych rodziców?
Problem harmonogramu (1) Urz d pocztowy dy»uruje przez caª dob, za± ka»dy zatrudniony pracownik w ci gu doby pracuje bez przerwy 8 godzin, zaczynaj c prac o jednej z nast puj cych godzin: 0:00, 4:00, 8:00, 12:00, 16:00, 20:00. Z powodu ró»nej w ró»nych porach doby liczby klientów, minimalna liczba osób niezb dnych do funkcjonowania urz du jest zmienna: Pora dnia Minimalna liczba pracowników 0:00-4:00 3 4:00-8:00 4 8:00-12:00 8 12:00-16:00 4 16:00-20:00 10 20:00-24:00 4 Jak liczb pracowników nale»aªoby minimalnie zatrudni,»eby zapewni funkcjonowanie urz du?
Problem harmonogramu (2) Jak zmieniªby si model, gdyby jako kryterium przyj minimalizacj ª cznego uposa»enia pracowników: 1. przyjmuj c,»e wysoko± pensji nie zale»y od pory dnia, na któr przypadaj godziny pracy 2. przyjmuj c,»e wynagrodzenie za o±miogodzinny czas pracy w zale»no±ci od godziny rozpocz cia zmiany ksztaªtuj si nast puj co: Pora dnia Wynagrodzenie 0:00-4:00 400 4:00-8:00 300 8:00-12:00 200 12:00-16:00 200 16:00-20:00 300 20:00-24:00 400
Zadanie transportowe niezbilansowane (1) Hurtownia posiada w kraju trzy oddziaªy terenowe, w których znajduje si 72, 46 oraz 60 ton m ki. M k t nale»y rozwie¹ do trzech odbiorców zgªaszaj cych zapotrzebowanie w wysoko±ci 27, 50 i 47 ton. Jednostkowe koszty transportu (w tys. zª/ton ) mi dzy hurtowniami a odbiorcami podano w tabeli. Hurtownia Odbiorca 1 2 3 1 33 20 21 2 45 15 35 3 26 25 22 Ustali plan dostaw, z którym zwi zany byªby minimalny koszt transportu.
Zadanie transportowe niezbilansowane (1) Jak uwzgl dni» dania, aby: 1. odbiorca drugi nie otrzymaª m ki z drugiej hurtowni 2. z pierwszej hurtowni wywie¹ caªy zapas m ki 3. z pierwszej hurtowni wywie¹ co najmniej 60 ton maki 4. odbiorca pierwszy dostaª m k tylko z pierwszej hurtowni
Problem przydziaªu W zakªadzie jubilerskim zatrudniaj cym trzech pracowników mo»na wytwarza cztery rodzaje pier±cionków. Tygodniowa wydajno± pracowników mierzona liczba pier±cionków, które mo»e dana osoba wykona, dana jest macierz : W = 3 3 1 4 1 4 2 3 2 2 2 4 Pier±cionki s sprzedawane po cenach odpowiednio 20, 15, 25 i 10 tys. zª. Wªa±ciciel zakªadu chciaªby przydzieli zadania swoim pracownikom, aby ka»dy z nich wytwarzaª jeden, inny ni» pozostali, rodzaj pier±cionków i by tygodniowa warto± produkcji byªa mo»liwie najwi ksza.
Problem portfela inwestycyjnego Fundusz powierniczy rozpatruje problem zainwestowania kapitaªu 20 mld zª. Doradca inwestycyjny funduszu oszacowaª oczekiwane stopy zwrotu oraz ryzyko dla 5 mo»liwych inwestycji. Jak zainwestowa posiadany kapitaª, aby zmaksymalizowa oczekiwany zysk pod warunkiem,»e ±redni wska¹nik ryzyka nie mo»e przekroczy 0,05, a ª czna warto± inwestycji w akcje nie mo»e przekroczy 3 mld zª. Rodzaj inwestycji Oczekiwana stopa zwrotu Ryzyko Nieruchomo±ci 0,16 0,05 Obligacje rmy ubezpieczeniowej 0,15 0,04 Akcje A 0,25 0,30 Obligacje skarbowe 0,12 0,00 Akcje B 0,20 0,10
Problem mieszanki Raneria produkuje 2 gatunki benzyny: zwykª (Z) i wysookoktanow (W), mieszaj c w tym celu trzy skªadniki: S1, S2, S3. Cena 1 tony benzyny Z wynosi 0,5 jp., za± benzyny W - 0,54 jp. Ceny poszczególnych skªadników (w jp. za ton ), ich zapasy (w tonach) oraz skªad benzyny obu typów jest nast puj cy: Skªadniki Cena Zasób Benzyna Z Benzyna W S1 0,25 5000 Co najwy»ej 30% Co najmniej 25% S2 0,30 10000 Co najmniej 40% Co najwy»ej 40% S3 0,42 10000 Co najwy»ej 20% Co najmniej 30% Wywi zanie si z kontraktów podpisanych z odbiorcami wymaga produkcji co najmniej 10000 ton benzyny Z. Jaki plan produkcji benzyny pozwoliªby na maksymalizacj zysku ranerii.
Analiza pooptymalizacyjna > badanie wra»liwo±ci (stabilno±ci) decyzji optymalnej na zmian parametrów zadania optymalizacyjnego wspóªczynnika funkcji celu wyrazu wolnego w warunku ograniczaj cym liczby warunków ograniczaj cych liczby zmiennych decyzyjnych wspóªczynnika przy zmiennej decyzyjnej w warunku ograniczaj cym (zmiana technologii) przy pozostaªych parametrach niezmienionych
Przykªad Piekarnia produkuje dwa rodzaje chlebów - wªoski i francuski. W procesie produkcyjnym zu»ywa trzy skªadniki - m k, mieszank wieloziarnist i mieszank zioªow. Miesi czne zapasy skªadników wynosz odpowiednio 0,4t, 0,5t i 0,8 t. Do produkcji 1 kg chleba wªoskiego zu»ywa si 0,3 kg maki, 0,4 kg mieszanki wieloziarnistej i 0,1 kg mieszanki zioªowej, za± chleba francuskiego odpowiednio 0,2, 0,7 i 0,6 kg. Ceny 1 kg chleba wynosz odpowiednio 10 zª i 15 zª, a koszty produkcji - 5,5 i 10 zª. Jaki plan produkcji pozwoli na maksymalizacje zysku piekarni?
Zmiana wspóªczynnika funkcji celu przykªad: zmiana ceny chleba francuskiego (np. na skutek zmiany konkurencji na rynku, zmiany koniunktury, zmiany preferencji konsumentów) przy wszystkich pozostaªych parametrach (tj. cenie chleba wªoskiego, zasobach skªadników, technologii) niezmienionych zmiana wspóªczynników funkcji celu > zmiana nachylenia warstwicy funkcji celu, które determinuje to, który wierzchoªek jest rozwi zaniem optymalnym szukamy przedziaªu stabilno±ci dla danego wspóªczynnika funkcji celu pytanie: dla jakich warto±ci wspóªczynnika funkcji celu decyzja optymalna jest stabilna przy niezmienionych pozostaªych parametrach zadania?
Zmiana wyrazu wolnego w warunku ograniczaj cym (1) przykªad: cz ± z posiadanych przez piekarni zapasów ulegªa zepsuciu przy pozostaªych warunkach niezmienionych zmiana wyrazu wolnego warunku ograniczaj cego > równolegªe przesuni cie prostej warunku w gór lub w dóª, co mo»e zmieni zbiór rozwi za«dopuszczalnych je±li dany warunek nie jest w optimum napi ty, zmiana wyrazu wolnego mo»e nie mie wpªywu na zbiór rozwi za«dopuszczalnych je±li dany warunek jest w optimum napi ty, zmiana wyrazu wolnego zawsze wywoªa zmian decyzji optymalnej st d w tym przypadku badamy nie tyle stabilno± decyzji optymalnej, ile stabilno± barier dla decyzji optymalnej, czyli czy po zmianie zasobu warunki pozostan napi te
Zmiana wyrazu wolnego w warunku ograniczaj cym (2) struktura bazowa rozwi zania optymalnego > zbiór warunków deniuj cych dane rozwi zanie optymalne (wi» cych) st d badamy, czy struktura bazowa rozwi zania optymalnego nie ulegnie zmianie po zmianie danego zasobu szukamy przedziaªu stabilno±ci struktury bazowej rozwi zania optymalnego pytanie: dla jakich warto±ci wyrazu wolnego warunku ograniczaj cego zbiór warunków napi ty w wyj±ciowym rozwi zaniu optymalnym jest stabilny? dla warunku lu¹nego > nie tylko zachowanie struktury bazowej, ale równie» samego rozwi zania
Cena dualna cena dualna > przyrost/spadek warto±ci funkcji celu wywoªany jednostkowym przyrostem/spadkiem wyrazu wolnego danego warunku pod warunkiem, ze zmiana nie wykracza poza przedziaª stabilno±ci dla warunku lu¹nego cena dualna = 0
Zmiana liczby warunków ograniczaj cych przykªad: piekarnia dzi ki fuzji z mªynem zdobyªa nieograniczony dost p do zasobów m ki / piekarnia podpisaªa kontrakt zobowi zuj cy do produkcji 100 kg chleba francuskiego je±li dany warunek byª lu¹ny, to rozwi zanie optymalne nie ulega zmianie pytanie: czy po usuni ciu / wprowadzeniu warunku rozwi zanie pozostaje optymalne?