Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl SZEREGI POTĘGOWE ( c ciąg licz zspoloych c ( z z - szrg potęgowy, gdzi ( c - ciąg współczyiów szrgu, z C - środ, ctrum (ustalo, z C - zmia. Dla dowolgo ustalogo z C szrg potęgowy moż yć ziży alo roziży. Jżli szrg c ( z z jst ziży w pwym puci w C, to jst o ziży w ażdym ol domiętym z z r, gdzi r< w-z. Rzczywiści z ziżości szrgu c ( w z i z WK ziżości szrgu mamy lim c ( w z, a stąd c ( w z K. Woc tgo dla z C spłiających waru < z z r, gdzi r< w-z dostajmy z z c ( z z c w z Kq w z (, gdzi <q<. Stąd tza Podoi jśli szrg jst roziży w pwym puci w, to jst roziży dla z C spłiających waru z z r, gdzi r< w-z. Woc tgo, z ażdym szrgim potęgowym związa jst tzw. oło ziżości. Jżli z C lży w wętrzu oła ziżości, to szrg jst ziży. Jżli a zwątrz to roziży, zaś jżli z lży a oręgu oła, to adai ziżości wymaga stosowaia spcjalych mtod. Tw: (O promiiu ziżości R szrgu potęgowgo Jżli istij graica lu c lim sup α c (d Alamrt α lim sup c (Cauchy, < α < α to R α α Dow. (ragmt z C dowoli ustalo, adamy zwzględą ziżość Dla ustalogo z C szrg liczowy c ( z z c ( z z. jst szrgim o wyrazach iujmych. c z z c Z rytrium d Alamrta g limsup limsup z z α z z, c z z c więc gdy α z z < szrg jst ziży. Woc tgo dla z C spłiających waru
Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl z z < α ( α α szrg jst ziży czyli jst taż ziży w ol z z < R o promiiu R. (Podoi dla α α. α Z rytrium Wirstrassa wyia poadto, ż szrg potęgowy jst jdostaji ziży, w ażdym ol domiętym zawartym w ol ziżości (z rzgu! Przyład. Zadać oszar ziżości z α lim lim R jżli z lży a oręgu z i wówczas ( (cos ϕ i s Tw. Krytrium Dirichlta. Jżli ciąg (a jst ciągim mootoiczi maljącym do zra z E S ( z ( z M (czyli ciąg sum częściowych ( z jst ograiczoy to szrg a ( z jst jdostaji ziży w ziorz E Jżli w powyższym rytrium ustalimy z C, to otrzymamy jszcz jdo rytrium ziżości szrgu liczowgo ( Ciąg dalszy przyładu ϕ a, gdzi (z. S (... ciąg gomtryczy... S ϕ, stąd dla ϕ szrg jst ziży. Dla ϕ dostajmy szrg harmoiczy (roziży W przypadu rzczywistym ołm ziżości jst przdział a osi, a jgo rzgim ońc przdziału. Ziżość jdostaja a ciągłość Tw. Jżli : E R jst ciągim ucji ciągłych a E to jst ciągła a E
Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl Wiosi: lim lim ( lim ( ( lim ( lim lim ( (zmiaa oljości graic Tw. (wariat dla szrgu Jżli : E R jst ciągim ucji ciągłych a E Szrg ( ziży jdostaji a E to suma szrgu Wios: lim ( jst ucją ciągłą a E ( lim ( ( Jżli szrg ucji ciągłych jst jdostaji ziży, to moża przjść do graicy wyraz po wyrazi. Ziżość jdostaja a całowai Tw: Tw. (ziżość jdostaja a całowai Jżli R[ a, (całowala w ssi Rimaa, gdzi E [ a, to R [ a, i ( d lim ( d (wariat dla szrgu R[ a, a a Szrg to ( R [ a, i ( jdostaji ziży a ( d a ( d Szrg jdostaji ziży ucji całowalych w ssi Rimaa moża całować wyraz po wyrazi. Ziżość jdostaja a różiczowalość Uwaga: Ciąg ( si( ucji różiczowalych a R jst jdostaji ziży do ' (, a ciąg pochodych ( cos( i jst awt putowo ziży (p. roziży dla π Tw. Jżli :[ a, R różiczowala a [ a, ciąg liczowy jst ziży dla pwgo [ a, ] ( jst jdostaji ziży a [ a,
Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl to ciąg ucyjy jst jdostaji ziży a [ a, do pwj różiczowalj ucji ( i lim ( '( [ a, Tw: (wariat dla szrgu Jżli różiczowal a [ a, Szrg ( ziży dla pwgo [ a, ] ( jdostaji ziży a [ a, to szrg ( jst jdostaji ziży a [ a, i ( ( Zastosowai do szrgów potęgowych. D. Jżli ma przdstawii w postaci ( z c ( z z, c, z, z C, to azywamy ucją aalityczą. Poiważ i wprowadzoo pojęcia pochodj ucji ograiczmy się do ucji zmij rzczywistj. ( c (,,, R c : C C, ai całi taij ucji, Załóżmy, ż szrg c ( jst ziży w przdzial < R. Wówczas szrg t jst jdostaji ziży w ażdym przdzial postaci R ε, R ]. [ ε suma szrgu ( c ( jst ciągła i różiczowala a ( R, R, oraz ( c ( (szrg po zróżiczowaiu ma tai sam promiń ziżości ja szrg wyjściowy ( ( (... ( c ( ( ( ( (! c c Stąd ( (! ( (! jst sumą swojgo szrgu Taylora... ( c ( ( c ( t dt ( szrg potęgowy moża całować wyraz po wyrazi
Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl Przyład. Zalźć promiń ziżości i sumę wwątrz przdziału ziżości ( a, ( ( α lim a lim R ( α dla otrzymujmy szrg ( dla otrzymujmy szrg ( ( Przdział ziżości [, - roziży (harmoiczy - ziży (aharmoiczy Promiń ziżości i zmiia się po całowaiu i różiczowaiu szrgu potęgowgo (* S( ( S( [ S( ] ( d d S( 6 6l dla < / ( dt S( ( < > ( 6 6 l < < (** S( l lim S( tw.ala S( wyzaczamy wstawiając do wzoru S( ( Uwaga. Umowa ( i uwzględiając umowę (w szczgólości. Woc tgo S ( ( (w szczgólości i jst w sprzczości z symolm iozaczoym w tórym zarówo podstawa potęgi ja i wyładi zmirzają do. W aszym przypadu wyładi jst rówy i mamy wic zdiiowaą ucję stałą w sąsidztwi putu. Put t jst putm iciągłości usuwalj, gdyż lim. Uwaga. Suma szrgu potęgowgo jst ucją jdostaji ciągła w ażdym przdzial domiętym zawartym w przdzial ziżości. Stąd S( lim S( Do wyzaczaia wartości sumy szrgu w puci ońcowym przdziału ziżości wyorzystao astępując Tw. (Ala. Jżli szrg potęgowy jst ziży w puci ońcowym przdziału ziżości, to jgo suma jst ucją jdostroi ciągłą w tym puci. 5
Automatya i Rootya Aaliza Wyład dr Adam Ćmil cmil@agh.du.pl Uwaga. Jżli ucja jst postaci ( c (, < R przy czym promiń ziżości jst dodati ( czyli jst aalitycza w R,, to jst oa ucją lasy R, ( R ( R ( R, R C, tz. ma wszysti pochod ciągł w. Fucja (, jst ucją lasy C R, tz. ma wszysti pochod ciągł w R i, ( ( ( (, stąd (. W tym przypadu ucja lasy C R! i jst sumą swojgo szrgu Taylora, czyli i jst ucją aalityczą. Jst ta dlatgo, ż promiń ziżości R szrgu Taylora ucji jst rówy. Przyłady rozwiięć Taylora (Maclauria si 5! L, R!!!! 5 ( 5 7 L, R (!! 5! 7! 6 cos (! L, R (!!! 6 l (! ( ( ( ( Jśli A jst macirzą wadratową L, < o ormi A, to orzystając z atu, ż ziżość szrgu (liczowgo om pociąga za soą ziżość szrgu w przstrzi uormowaj możmy zdiiować ucj macirzow A si A 5 A A A A A I A!!!! 5! ( A A A (!! 5 A 5! 6 A A A A cos A ( I (!!! 6! l A ( A I! ( A I ( A I L, 7 A 7! L, ( A I L, ( A I L, gdy λ <, j, L,. j Prolm. Ja tywi wyzaczać t (i i ucj? Poiważ ażda macirz spłia soj rówi charatrystycz, to wyższ potęgi macirzy A są liiowymi omiacjami iższych potęg i w oswcji powyższ szrgi rduują się do wilomiaów macirzowych. Sposó wyzaczaia At macirzy zostai omówioy przy oazji uładów rówań różiczowych liiowych. 6